第3章·一元一次不等式·期中复习·满分压轴讲义 ·2026-2027学年浙教版八年级数学上册

第3章·一元一次不等式·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 深刻理解不等式的三条基本性质，能对含字母的不等式变形做出准确判断与比较大小 · 熟练解一元一次不等式（组），并能在数轴上直观表示解集，处理含参与整数解问题 · 掌握含参不等式（组）的求解策略，能根据整数解个数、解集情况反推参数取值范围 · 能将不等式（组）与方程、一次函数、几何图形等知识综合运用，解决压轴综合题 · 能列一元一次不等式（组）解决实际方案选择与最优决策问题，体会建模与分类思想 📚 知识梳理 ☆ 1.不等式的概念与基本性质 不等式：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子；使不等式成立的未知数的值叫解，所有解的集合叫解集 性质1：两边加（或减）同一个数（或式），不等号方向不变；若a＞b，则a±c＞b±c 性质2：两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；若a＞b，c＞0，则ac＞bc 性质3：两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变；若a＞b，c＜0，则ac＜bc 传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；比较大小常用作差法，差大于0则被减式大 概念辨析例题：已知a＜b，下列不等式变形：①a+2＜b+2；②−5a＞−5b；③ac²＜bc²；④am²+1＜bm²+1。其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 解析：①两边加2，不等号方向不变，正确；②两边乘−5（负数），不等号方向改变，正确；③中c²可能为0，当c=0时ac²=bc²，不一定成立；④中m²+1≥1＞0，两边除以正数方向不变，正确。故①②④正确，选C。 ☆ 2.一元一次不等式（组）的解法 一元一次不等式解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 去分母时不要漏乘不含分母的项；系数化为1时若乘除负数，不等号方向必须改变 一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式组成；解集是各不等式解集的公共部分 解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解） 数轴表示：大于向右画，小于向左画；含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈 概念辨析例题：解不等式组：5+2x≤3x+2，＜，并把解集在数轴上表示出来 答案：x≥3 解析：解第一个不等式：5+2x≤3x+2，移项得x≥3；解第二个不等式：去分母得3(x−1)＜2x，去括号得3x−3＜2x，解得x＜3。两个解集x≥3与x＜3无公共部分，故不等式组无解。 ☆ 3.含参不等式（组）与整数解 含参问题：先把参数看作常数解出解集，再根据整数解个数、有解无解、解集为某范围等条件倒推参数 已知整数解个数时，借助数轴在解集中「数格子」，确定参数的上界与下界 边界能否取等是高频易错点，应单独把端点值代入验证是否满足题意 不等式组无解即「大大小小」，也就是两个解集没有公共部分 新定义运算问题：先根据定义求出表达式，再转化为常规不等式（组）求解 概念辨析例题：已知关于x的不等式3x−a＞1有且只有1个负整数解，则a的取值范围是________ 答案：−4≤a＜−1 解析：解不等式得x＞。有且只有1个负整数解，说明该负整数解为−1，即−2≤＜−1，解得−6≤a+1＜−3，即−7≤a＜−4。验证：当a=−4时x＞−1，无负整数解；当a=−7时x＞−2，只有x=−1一个负整数解。 ☆ 4.不等式（组）与方程、函数、几何的综合 与方程组结合：先解方程组用参数表示x、y，再代入题给不等关系求参数范围 与一次函数结合：由图象经过的象限确定k、b的符号，列出不等式（组） 与几何结合：利用三角形三边关系、点所在象限、等腰三角形性质等列出不等式（组） 与完全平方公式结合：利用平方非负性求代数式最值，再比较大小 阅读理解题：先读懂材料给出的方法（如作差比较、取整函数），再迁移运用 概念辨析例题：在等腰三角形ABC中，AB=AC，周长为20，底边BC=y，腰长为x。求x的取值范围 答案：5＜x＜10 解析：由周长得2x+y=20，即y=20−2x。由三角形三边关系：两边之和大于第三边，即x+x＞y，也即2x＞20−2x，解得x＞5；又y＞0，即20−2x＞0，解得x＜10。故5＜x＜10。 ☆ 5.一元一次不等式（组）的实际应用 列不等式解应用题步骤：审题设未知数→抓住关键词找不等关系→列不等式（组）→求解→检验是否符合实际 常见关键词：「至少、不低于、不少于」对应≥，「至多、不超过、不足」对应≤ 方案设计问题常先用二元一次方程组求出单价，再用不等式（组）确定可行方案，必要时比较选出最优方案 最优方案：在可行解中结合一次函数增减性或逐一比较各方案费用 实际问题的结果必须是符合题意的非负整数或合理数量 概念辨析例题：某校计划购买篮球和足球共30个，购买资金不超过3600元，且篮球数量不少于排球数量的2倍。已知篮球每个120元，排球每个80元。求购买方案 答案：篮球20个、排球10个；或篮球21个、排球9个 解析：设篮球x个，则排球(30−x)个。由题意得：120x+80(30−x)≤3600，且x≥2(30−x)。化简第一个不等式得40x≤1200，即x≤30；第二个不等式得x≥20。故20≤x≤30，又x为整数且x≥2(30−x)即x≥20。可行方案：x=20时排球10个；x=21时排球9个。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 不等式性质2 两边乘除同一个正数，不等号方向不变 c＞0时同号同向 不等式性质3 两边乘除同一个负数，不等号方向改变 最易错，必须变号 一元一次不等式 一个未知数、次数为1的不等式 去分母勿漏乘常数项 不等式组解集 各不等式解集的公共部分 口诀：同大取大、同小取小 数轴表示 界点实心/空心，方向左小右大 含等号实心，不含空心 含参整数解 先求解集再在其中取整数 借数轴判断边界能否取等 实际应用 找不等关系列不等式（组） 结果须为合理非负整数 ⚠️ 核心考点 【考点1】不等式的性质与变形（第1-10题） · 紧扣三条性质判断变形：加减不变向，乘除正数不变向，乘除负数必变向 · 判断某式是否一定成立时常用举反例法，特别注意所乘除字母的正负 · 不等式两边乘除含字母的式子前，必须先判断该式为正还是为负（如c²≥0可能为0） · 比较两个式子的大小可作差：差大于0则被减式大，差小于0则减式大 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知，下列不等式变形，正确的个数有（    ） ①        ②        ③        ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式的变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）当a______时，不等式的解集是． 7．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知a，b为有理数，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④，，则；⑤若，则．其中正确的是______．（填序号） 8．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）知识链接： ①对于任意两个实数，如果，那么；如果，那么；如果，那么． ②任意实数的平方都是非负数，即． 知识运用： (1)直接写出与的大小关系； (2)已知a为实数，且，，你能比较A与B的大小关系吗？请写出比较过程． (3)已知m、n都是正实数，请直接写出与之间的大小关系． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①，∵，∴，∴代数式有最小值； ②，∵，∴，∴代数式有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 【考点2】一元一次不等式（组）的解法与数轴表示（第11-18题） · 解不等式按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1五步进行，乘除负数要变号 · 解不等式组先分别解出每个不等式，再用口诀取公共部分 · 数轴表示：大于向右、小于向左，含等号用实心点，不含等号用空心圈 · 新定义运算题先根据定义化简为常规不等式再求解 11．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）如果关于的不等式至少有4个正整数解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·天津·期末）在直角坐标系中，点在第四象限，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）若点坐标可表示为，其中为任意实数，点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．（23-24九年级·全国·一轮复习）定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：，， （1）如果，那么a的取值范围是__________． （2）如果，满足条件的所有正整数x为__________． 15．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过x的最大整数． 例如：，． 则下列结论：①；②；③若，则x的取值范围是； 其中正确的结论有_________（写出所有正确结论的序号）． 16．（25-26八年级上·浙江·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：________． (2)若，则的取值范围是________． (3)已知，求的取值范围． 17．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：    第一步         第二步         第三步         第四步         第五步 任务一： 填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据______（填运算律）进行变形的； ②第______步开始出错，这一步错误的原因是______； 任务二： 请直接写出该不等式的解集______并把它的解集在数轴上表示出来．    18．（24-25七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 【考点3】含参不等式（组）与整数解（第19-21题） · 先把参数看作常数解出解集，再根据整数解个数、有解无解等条件倒推参数 · 已知整数解个数时，借助数轴在解集中「数格子」，确定参数的上界与下界 · 边界能否取等是高频易错点，应单独把端点值代入验证是否满足题意 19．（21-22七年级下·四川内江·期中）已知不等式组的解集为，则（　　） A．2016 B． C． D．1 20．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是________． 21．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；④若不等式组有解，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【考点4】不等式与方程、函数、几何的综合（第22-32题） · 与方程组结合：先解方程组用参数表示x、y，再代入题给不等关系求参数范围 · 与一次函数结合：由图象经过的象限确定k、b的符号，列出不等式（组） · 与几何结合：利用三角形三边关系、点所在象限、等腰三角形性质等列出不等式（组） · 与完全平方公式结合：利用平方非负性求代数式最值，再比较大小 22．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 23．（2024·河南郑州·二模）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，7，点C在线段上且不与端点重合，若线段能围成三角形，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 24．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）对x，y定义一种新运算※，规定：（其中a，b均为非零常数）．已知，，的解集为，则m的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知三角形的三边长为3，5，，则化简的结果为________． 27．（24-25八年级上·浙江·期末）能使这三个数作为三角形三边长的整数m共有___________个 28．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）阅读理解并解答： (1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ，． 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． (3)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． (4)若，，试比较、的大小，并说明理由． 29．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 30．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）在等腰三角形中，，的周长是20，底边的长为，腰长为． (1)求关于的函数表达式以及自变量的取值范围； (2)当腰时，求底边的长； (3)当底边时，求腰长． 31．（23-24八年级下·河北邢台·期中）已知一次函数． (1)当y随x的增大而增大，求m的取值范围； (2)若图象经过一、二、三象限，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的取值范围． 32．（25-26七年级上·全国·寒假作业）若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【考点5】一元一次不等式（组）的实际应用（第33-43题） · 审题抓住关键词：「至少、不超过、最多、不足」分别对应相应不等号 · 方案问题常先用二元一次方程组求出单价，再用不等式（组）确定所有可行方案 · 求最优方案时，在可行解中结合一次函数增减性或逐一比较各方案费用 · 结果必须检验是否为符合实际的非负整数、人数件数等合理数量 33．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 34．（23-24八年级上·浙江湖州·阶段检测）某学校食堂窗口销售烤肠、汉堡、可乐和盒饭四个品种的食品，每个品种的单价均为整数，其中，汉堡的单价比烤肠的单价多3元，可乐的单价比烤肠的单价高，盒饭的单价是汉堡单价的4倍与可乐单价的差．某日，烤肠和汉堡一共销售了120份，且烤肠的销售大于40份，盒饭与烤肠的销售量之和不超过400份，而可乐的销售量为60份．当日这四种食物的平均售价是汉堡单价的倍，则四种食物当日销售总量的最大值为（    ） A．504 B．506 C．534 D．536 35．（25-26八年级上·浙江台州·期末）小张准备用不超过35元买冰红茶和可乐共10瓶，已知冰红茶元/瓶，可乐3元/瓶，则小张最多能买__________瓶冰红茶． 36．（16-17七年级下·湖北·期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货物．现在租用这两种货车共10辆，要求一次运输货物不低于，则大货车至少租___________辆． 37．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）小益同学用100元钱去购买矿泉水和可乐共30瓶，已知矿泉水每瓶2元，可乐每瓶5元，则小益同学最多能买可乐______瓶． 38．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图为万达影城的价目表，某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买______盒爆米花． 39．（25-26八年级上·甘肃·期末）某校为开展“阳光体育”活动，计划购买一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需380元；购买4个篮球和1个足球共需440元． (1)求每个篮球和每个足球的售价； (2)若学校计划用不超过2600元的资金购买篮球和足球共30个，且篮球数量不少于足球数量的2倍，请问有哪几种购买方案？ 40．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 41．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）小敏到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法．并获得如下信息： 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． (1)求、的值． (2)若营业员小潮某月的总收入不低于3800元，那么小潮当月至少要卖服装多少件？ (3)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需392元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需288元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需______元．（直接写出答案） 42．（25-26八年级上·浙江金华·期末）西湖龙井是杭州名茶，杭州藕粉是当地传统小吃，现有两家供货公司给出不同的供货方案，具体如下： (1)该店先从甲公司试点进货，共购进150千克，按供货价计算总费用为2000元（未享受优惠），求购进西湖龙井和杭州藕粉各多少千克？ (2)试点结束后，该店计划正式进货150千克（杭州藕粉重量不高于西湖龙井的2倍），从成本控制角度出发，选择哪家公司进货更划算？请说明理由． 43．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 💯 课后巩固 复习建议 · 不等式两边乘除同一个负数时不等号必须变向，这是本章最易错的地方 · 解不等式组要先分别求解，再借助数轴和口诀取解集的公共部分 · 含参问题先解出范围，再借助数轴数整数解，特别注意边界能否取等 · 与方程、函数、几何的综合题，先把条件转化为不等式（组）再求解 · 实际应用问题解完要检验结果是否符合实际意义（非负整数、方案可行） 【作业1】．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段检测）小林在水果摊上买了苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的”如果设苹果的实际质量为，用不等式把意思表示出来是（ ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26八年级上·浙江金华·期末）若不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【作业3】．（23-24八年级下·全国·暑假作业）不等式的解的情况是（    ） A．有无数个解 B．有两个解 C．只有一个解 D．无解 【作业4】．（22-23八年级下·四川成都·期中）把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（  ） A． B． C． D． 【作业5】．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打（ ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 【作业6】．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：．如：，则不等式的最小整数解为______． 【作业7】．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知关于x的不等式有且只有4个负整数解，则a的取值范围是______． 【作业8】．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）一次函数的图象经过点，且不经过第四象限，则的取值范围是_______． 【作业9】．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知关于x的不等式有且只有1个负整数解，则a的取值范围是________． 【作业10】．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）现有150吨泥沙需要搬运，搬运的货车每辆的承载量为4吨，则至少需要______辆货车才能把这些泥沙一次性搬运完毕． 【作业11】．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）比较大小，用“”或“”填空：若，且，则_______． 【作业12】．（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知关于x的两个不等式：与． (1)若这两个不等式的解集完全相同，求m的值； (2)若不等式的所有解都能使不等式成立，求m的取值范围． 【作业13】．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如下表： 已知某同学体重67.5千克，身高1.5米． (1)通过计算，选择对该同学合适的身体描述； (2)若该同学想要达到“正常”的身体描述，在身高不变的前提下，请给出该同学合适的体重范围． 【作业14】．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）解不等式组：，并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上． 【作业15】．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章·一元一次不等式·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 深刻理解不等式的三条基本性质，能对含字母的不等式变形做出准确判断与比较大小 · 熟练解一元一次不等式（组），并能在数轴上直观表示解集，处理含参与整数解问题 · 掌握含参不等式（组）的求解策略，能根据整数解个数、解集情况反推参数取值范围 · 能将不等式（组）与方程、一次函数、几何图形等知识综合运用，解决压轴综合题 · 能列一元一次不等式（组）解决实际方案选择与最优决策问题，体会建模与分类思想 📚 知识梳理 ☆ 1.不等式的概念与基本性质 不等式：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子；使不等式成立的未知数的值叫解，所有解的集合叫解集 性质1：两边加（或减）同一个数（或式），不等号方向不变；若a＞b，则a±c＞b±c 性质2：两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；若a＞b，c＞0，则ac＞bc 性质3：两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变；若a＞b，c＜0，则ac＜bc 传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；比较大小常用作差法，差大于0则被减式大 概念辨析例题：已知a＜b，下列不等式变形：①a+2＜b+2；②−5a＞−5b；③ac²＜bc²；④am²+1＜bm²+1。其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 解析：①两边加2，不等号方向不变，正确；②两边乘−5（负数），不等号方向改变，正确；③中c²可能为0，当c=0时ac²=bc²，不一定成立；④中m²+1≥1＞0，两边除以正数方向不变，正确。故①②④正确，选C。 ☆ 2.一元一次不等式（组）的解法 一元一次不等式解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 去分母时不要漏乘不含分母的项；系数化为1时若乘除负数，不等号方向必须改变 一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式组成；解集是各不等式解集的公共部分 解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解） 数轴表示：大于向右画，小于向左画；含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈 概念辨析例题：解不等式组：5+2x≤3x+2，＜，并把解集在数轴上表示出来 答案：x≥3 解析：解第一个不等式：5+2x≤3x+2，移项得x≥3；解第二个不等式：去分母得3(x−1)＜2x，去括号得3x−3＜2x，解得x＜3。两个解集x≥3与x＜3无公共部分，故不等式组无解。 ☆ 3.含参不等式（组）与整数解 含参问题：先把参数看作常数解出解集，再根据整数解个数、有解无解、解集为某范围等条件倒推参数 已知整数解个数时，借助数轴在解集中「数格子」，确定参数的上界与下界 边界能否取等是高频易错点，应单独把端点值代入验证是否满足题意 不等式组无解即「大大小小」，也就是两个解集没有公共部分 新定义运算问题：先根据定义求出表达式，再转化为常规不等式（组）求解 概念辨析例题：已知关于x的不等式3x−a＞1有且只有1个负整数解，则a的取值范围是________ 答案：−4≤a＜−1 解析：解不等式得x＞。有且只有1个负整数解，说明该负整数解为−1，即−2≤＜−1，解得−6≤a+1＜−3，即−7≤a＜−4。验证：当a=−4时x＞−1，无负整数解；当a=−7时x＞−2，只有x=−1一个负整数解。 ☆ 4.不等式（组）与方程、函数、几何的综合 与方程组结合：先解方程组用参数表示x、y，再代入题给不等关系求参数范围 与一次函数结合：由图象经过的象限确定k、b的符号，列出不等式（组） 与几何结合：利用三角形三边关系、点所在象限、等腰三角形性质等列出不等式（组） 与完全平方公式结合：利用平方非负性求代数式最值，再比较大小 阅读理解题：先读懂材料给出的方法（如作差比较、取整函数），再迁移运用 概念辨析例题：在等腰三角形ABC中，AB=AC，周长为20，底边BC=y，腰长为x。求x的取值范围 答案：5＜x＜10 解析：由周长得2x+y=20，即y=20−2x。由三角形三边关系：两边之和大于第三边，即x+x＞y，也即2x＞20−2x，解得x＞5；又y＞0，即20−2x＞0，解得x＜10。故5＜x＜10。 ☆ 5.一元一次不等式（组）的实际应用 列不等式解应用题步骤：审题设未知数→抓住关键词找不等关系→列不等式（组）→求解→检验是否符合实际 常见关键词：「至少、不低于、不少于」对应≥，「至多、不超过、不足」对应≤ 方案设计问题常先用二元一次方程组求出单价，再用不等式（组）确定可行方案，必要时比较选出最优方案 最优方案：在可行解中结合一次函数增减性或逐一比较各方案费用 实际问题的结果必须是符合题意的非负整数或合理数量 概念辨析例题：某校计划购买篮球和足球共30个，购买资金不超过3600元，且篮球数量不少于排球数量的2倍。已知篮球每个120元，排球每个80元。求购买方案 答案：篮球20个、排球10个；或篮球21个、排球9个 解析：设篮球x个，则排球(30−x)个。由题意得：120x+80(30−x)≤3600，且x≥2(30−x)。化简第一个不等式得40x≤1200，即x≤30；第二个不等式得x≥20。故20≤x≤30，又x为整数且x≥2(30−x)即x≥20。可行方案：x=20时排球10个；x=21时排球9个。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 不等式性质2 两边乘除同一个正数，不等号方向不变 c＞0时同号同向 不等式性质3 两边乘除同一个负数，不等号方向改变 最易错，必须变号 一元一次不等式 一个未知数、次数为1的不等式 去分母勿漏乘常数项 不等式组解集 各不等式解集的公共部分 口诀：同大取大、同小取小 数轴表示 界点实心/空心，方向左小右大 含等号实心，不含空心 含参整数解 先求解集再在其中取整数 借数轴判断边界能否取等 实际应用 找不等关系列不等式（组） 结果须为合理非负整数 ⚠️ 核心考点 【考点1】不等式的性质与变形（第1-10题） · 紧扣三条性质判断变形：加减不变向，乘除正数不变向，乘除负数必变向 · 判断某式是否一定成立时常用举反例法，特别注意所乘除字母的正负 · 不等式两边乘除含字母的式子前，必须先判断该式为正还是为负（如c²≥0可能为0） · 比较两个式子的大小可作差：差大于0则被减式大，差小于0则减式大 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知，下列不等式变形，正确的个数有（    ） ①        ②        ③        ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，根据不等式性质判断：①两边加相同数，不等号方向不变；②两边乘负数，不等号方向改变；③中可能为零，导致不等式不成立；④分母恒为正，除以正数不等号方向不变．进一步可得答案． 【详解】解：∵， ① 两边加2，不等号方向不变， ∴，正确． ② 两边乘（负数），不等号方向改变， ∴，正确． ③ 当时，，则；但时，，则， 不等式不成立， ∴ 不一定正确． ④ ∵ ，两边除以正数，不等号方向不变， ∴，正确． ∴ 正确的有①、②、④，共3个． 故选：B 2．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， A、∵，∴，故此选项错误，不符合题意； B、∵ ，∴，∴，故此选项错误，不符合题意； C、∵，当时，，∴；当时，；∴，故此选项正确，符合题意； D、当时，分母无意义，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、实数与数轴、不等式的性质 【分析】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 根据所给数轴，得出及，再对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由所给数轴可知， 且，所以故A选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； ，故C选项不符合题意； 由，且得，，即故D选项符合题意． 故选：D． 4．（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【知识点】不等式的性质、等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的性质及完全平方公式，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，代入， 得， ∴，故A错误，不符合题意； B．若，则， ∴，故B正确，符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由得不出，故D错误，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式的变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：A、若，则，故不符合题意； B、若，则，故不符合题意； C、若，则，故不符合题意； D、若，则， 若，则，与矛盾， 故，所以，符合题意． 故选：D． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）当a______时，不等式的解集是． 【答案】 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 解需不等式两边同除以，由题目所给解集可知不等号方向改变，因此，计算可得答案． 【详解】解：解，需不等式两边同除以， ∵解集为，不等号方向改变， ∴， 解得． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知a，b为有理数，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④，，则；⑤若，则．其中正确的是______．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【知识点】倒数、有理数的乘方运算、不等式的性质 【分析】本题考查了有理数的性质、平方运算、倒数关系、绝对值比较及不等式性质的综合应用，解题的关键是通过举反例或逻辑推导验证每个结论的正确性，尤其要注意符号对运算结果的影响． 通过对每个结论逐一分析：①利用平方相等的两数关系判断；②由分式等式推导出两数关系验证；③通过举正负不同的有理数反例判断；④结合两数大小和和的符号分析绝对值关系；⑤根据给定的、范围，利用不等式性质比较各代数式大小． 【详解】解：①由，根据平方性质，互为相反数的两数平方相等，故，①正确； ②由得（），故，②正确； ③若，，满足，但，故③错误； ④因且，若，则，矛盾，故，④正确； ⑤由，得，；，即；，即；， 故，⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 8．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）知识链接： ①对于任意两个实数，如果，那么；如果，那么；如果，那么． ②任意实数的平方都是非负数，即． 知识运用： (1)直接写出与的大小关系； (2)已知a为实数，且，，你能比较A与B的大小关系吗？请写出比较过程． (3)已知m、n都是正实数，请直接写出与之间的大小关系． 【答案】(1) (2) ，证明如下： ，， ， ， ， ，即 (3) 【知识点】实数的大小比较、整式的混合运算、异分母分式加减法、不等式的性质 【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质，整式的混合运算，乘法公式，熟练掌握作差法比较大小是解题关键． （1）将与作差，根据无理数的估算以及不等式的性质，即可求解； （2）将与作差，根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开合并，再根据平方的非负性即可求解； （3）将与作差，通分化简，根据已知条件可得，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解： ， m、n都是正实数， ，， ， ，即． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①，∵，∴，∴代数式有最小值； ②，∵，∴，∴代数式有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)2； (2) (3)18 【知识点】完全平方公式分解因式、不等式的性质 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，不等式的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式分解因式得到，，再仿照题意求解即可； （2）利用完全平方公式分解因式得到，据此求解即可； （3）根据，可得，设，则，则可得到，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为2； ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为； （2）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：∵， ∴ ， 设，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为18． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变 (2) ∵， ∴． ∴． 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟记不等式的性质是解本题的关键． （1）由题意，不等式两边乘以负数，不等号方向要发生改变，由此可进行判断； （2）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第一步开始出现错误；错误的原因是：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：一，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． （2）略 【考点2】一元一次不等式（组）的解法与数轴表示（第11-18题） · 解不等式按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1五步进行，乘除负数要变号 · 解不等式组先分别解出每个不等式，再用口诀取公共部分 · 数轴表示：大于向右、小于向左，含等号用实心点，不含等号用空心圈 · 新定义运算题先根据定义化简为常规不等式再求解 11．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）如果关于的不等式至少有4个正整数解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了求不等式的解集．根据正整数解的个数确定关于的不等式是解题的关键． 求出不等式的解集，根据不等式至少有4个正整数解即可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式得：， 又不等式至少有4个正整数解， 个正整数解肯定包括1、2、3、4， ， 解不等式得：， 故选：C． 12．（23-24七年级下·天津·期末）在直角坐标系中，点在第四象限，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点的坐标，一元一次不等式的求解，根据四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，求解x的取值范围即可． 【详解】解：点在第四象限， ，， ， 故选：A． 13．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）若点坐标可表示为，其中为任意实数，点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查判断点所在象限，求出点在各个象限内时，的范围进行判断即可． 【详解】解：点的坐标为 ． 第一象限要求且，即且，解得，有解； 第二象限要求且，即且，解得，有解； 第三象限要求且，即且，即且，无解； 第四象限要求且，即且，解得，有解． 点不可能在第三象限． 故选：C． 14．（23-24九年级·全国·一轮复习）定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：，， （1）如果，那么a的取值范围是__________． （2）如果，满足条件的所有正整数x为__________． 【答案】 5，6 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了新定义，求不等式组的解集，理解新定义的含义是解答本题的关键． （1）根据定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数，即可解答； （2）根据定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数，先求出x的取值范围，然后在其范围内找出满足条件的所有正整数即可． 【详解】解：（1）∵， ∴a的取值范围是：， 故答案为：； （2）由题意得： ， 解得：， ∴满足条件的所有正整数x为：5，6， 故答案为：5，6． 15．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过x的最大整数． 例如：，． 则下列结论：①；②；③若，则x的取值范围是； 其中正确的结论有_________（写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了高斯函数的概念及其性质，解题的关键在于准确理解高斯函数的定义．根据高斯函数的定义，逐一分析各结论的正确性即可． 【详解】解：①，正确； ②取反例验证： 当时，，，和为； 当时，，，和为； 当时，，，和为． 因此结论②不总成立，错误． ③若，则， 解得，即，正确． 综上所述，①③正确， 故答案为：①③． 16．（25-26八年级上·浙江·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：________． (2)若，则的取值范围是________． (3)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用，解题的关键是根据新运算定义准确判断运算双方的大小关系，选择对应运算公式，第三问需分情况讨论并合并解集． （1）比较与的大小，选用计算； （2）由等式右边运算形式确定，解不等式； （3）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，求解后取并集． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：． （2）解：， ， 解得， 故答案为：． （3）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 17．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：    第一步         第二步         第三步         第四步         第五步 任务一： 填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据______（填运算律）进行变形的； ②第______步开始出错，这一步错误的原因是______； 任务二： 请直接写出该不等式的解集______并把它的解集在数轴上表示出来．    【答案】任务一： ①乘法分配律； ②五，系数化1时，不等式两边同除同一个负数，不等式号的方向没有变； 任务二：， 数轴表示解集如图：    【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示出解集，熟练掌握解不等式的步骤，是解题的关键： 任务一：①根据乘法分配律变形；②第五步，系数化1时，不等式号的方向没有变； 任务二：求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：任务一：①小明解不等式过程中，第二步是依据乘法分配律进行变形的； ②第五步开始出错，原因是系数化1时，不等式两边同除同一个负数，不等式号的方向没有变； 任务二： 解： ； 18．（24-25七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、解|x|≥a型的不等式 【分析】本题主要考查了绝对值、数轴与不等式． （1）根据绝对值的意义及数轴求解； （2）根据绝对值的意义及数轴求解； （3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：法①：在数轴上到2的距离大于或等于3的点对应的数小于或等于或者大于或等于5， 不等式的解集为或； 法②：不等式可化为或， 解得：或； 不等式的解集为或； （3）解：不等式可化为， ， 所以原不等式的解集为：． 【考点3】含参不等式（组）与整数解（第19-21题） · 先把参数看作常数解出解集，再根据整数解个数、有解无解等条件倒推参数 · 已知整数解个数时，借助数轴在解集中「数格子」，确定参数的上界与下界 · 边界能否取等是高频易错点，应单独把端点值代入验证是否满足题意 19．（21-22七年级下·四川内江·期中）已知不等式组的解集为，则（　　） A．2016 B． C． D．1 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查不等式的解，能够通过不等式的解集得到参数的取值范围是解题关键． 先解不等式组，得到解集的范围，再根据给定的解集求出参数的值，最后计算幂． 【详解】解：解不等式组： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 不等式组的解集为 ． 给定解集为 ， ∴ ， 解得 ， 代入得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 20．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是________． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次方程以及一元一次不等式，解题的关键是解一元一次不等式． 先解方程求x的值，然后根据解是正数，求出m的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ， 关于x的方程的解是正数， ， 解得：． 故答案为：． 21．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；④若不等式组有解，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解求参数等．根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵它的解集是，即， 解得：，故①正确， ∵当时，，此时不等式组的解集为， ∴不等式组无解，故②错误， ∵它的整数解仅有3个， ∴， ∴a的取值范围是，故③正确， ∵若不等式组有解，即， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有①③④． 故选：B． 【考点4】不等式与方程、函数、几何的综合（第22-32题） · 与方程组结合：先解方程组用参数表示x、y，再代入题给不等关系求参数范围 · 与一次函数结合：由图象经过的象限确定k、b的符号，列出不等式（组） · 与几何结合：利用三角形三边关系、点所在象限、等腰三角形性质等列出不等式（组） · 与完全平方公式结合：利用平方非负性求代数式最值，再比较大小 22．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【知识点】加减消元法、不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式组的求解，解题的关键是掌握相关的计算法则和步骤． 先求出方程组的解，然后列出不等式组进行求解即可． 【详解】解： 解方程组得， 根据题意得， 解得， ∴整数的最小值为1， 故选：C． 23．（2024·河南郑州·二模）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，7，点C在线段上且不与端点重合，若线段能围成三角形，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数与数轴、求不等式组的解集、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了实数与数轴，三角形三边的关系，解不等式组，先根据题意得到，由三角形三边关系定理得：，得到不等式组的解集是，即可得到答案． 【详解】解：由点在数轴上的位置得：， ∵线段能围成三角形， ∴由三角形三边关系定理得：， 不等式①恒成立， 由不等式②得：， 由不等式③得：， ∴不等式组的解集是， 故选：C． 24．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键，将方程组的两个方程相加，求得，再根据列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围． 【详解】解：， 由得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴ 的取值范围是 ， 故选：B 25．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）对x，y定义一种新运算※，规定：（其中a，b均为非零常数）．已知，，的解集为，则m的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】构造二元一次方程组求解、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式以及一元一次不等式的解． 首先利用已知条件建立二元一次方程组求出a和b的值，再代入不等式条件解出m． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∵： ∴根据定义得：， 解得： 由解集得：， 解得：， 故选：B． 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知三角形的三边长为3，5，，则化简的结果为________． 【答案】8 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、求不等式组的解集、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，此类求范围的问题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可得a的取值范围，进而得到化简结果． 【详解】解：由三角形三边关系定理得， 解得． ∴． 故答案为：8 27．（24-25八年级上·浙江·期末）能使这三个数作为三角形三边长的整数m共有___________个 【答案】2 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系及不等式组的应用，理解题意，列出不等式是解题关键． 根据两边之和大于第三边，列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 解不等式③得：， 解不等式④得： 解不等式⑤得： 解不等式⑥得： ∴， ∴整数m有3，4共2个， 故答案为：2 28．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）阅读理解并解答： (1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ，． 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． (3)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． (4)若，，试比较、的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)最大值，相应的的值为 (3) (4) 解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、不等式的性质、确定第三边的取值范围 【分析】（1）根据题意可直接写出代数式的最小值，通过解一元一次方程即可求出此时相应的的值； （2）利用完全平方公式可将代数式变形为，进而利用不等式的性质可得，于是可知其最大值是，再通过解一元一次方程即可求出此时相应的的值； （3）利用完全平方公式可将已知条件变形为，于是可得，，通过解一元一次方程即可求出、的值，利用三角形三边之间的关系可得，即，再结合是中最长的边，即可求出的取值范围是； （4）根据已知条件可得，利用完全平方公式可将其变形为，利用不等式的性质可得，于是可得结论． 【详解】（1）解：根据题意可得： 当代数式取得其最小值时，， 解得：， 代数式的最小值是，这时相应的的值是， 故答案为：，； （2）解： ， ， ， ， 当代数式取得其最大值时，， 解得：， 代数式的最大值是，这时相应的的值为； （3）解：，，是的三边长，且满足， ， ， ， ， ， ，， 解得：，， ， ， 是中最长的边， ， 的取值范围是； （4）略 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，不等式的性质，解一元一次方程，等式的性质，三角形三边之间的关系，整式的加减运算，有理数大小比较等知识点，利用完全平方公式对代数式或等式进行适当变形是解题的关键． 29．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、几何问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论． （1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解； （2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）根据当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）解： ，， 点整个运动过程中，路程为， 点整个运动过程中，所需时间为秒， 故 答 案 为：； （2）当在上运动时，， 解 得：， 当在上运动时，， 解得：， 综上可得的值为或； （3）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上可得：． 30．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）在等腰三角形中，，的周长是20，底边的长为，腰长为． (1)求关于的函数表达式以及自变量的取值范围； (2)当腰时，求底边的长； (3)当底边时，求腰长． 【答案】(1)， (2) (3)腰长为7.5 【知识点】求一元一次不等式的解集、求自变量的值或函数值、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了列函数关系式、等腰三角形的定义、三角形三边关系、求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形的周长公式求出关于的函数表达式，再根据三角形三边关系以及边长大于0即可求出自变量的取值范围； （2）代入到（1）中的函数表达式，即可求解； （3）代入到（1）中的函数表达式，即可求解． 【详解】（1）解：∵等腰的周长是20，底边的长为，腰长为， ∴， ∴， 由题意得，，即， 解得； ∴关于的函数表达式为，自变量的取值范围为； （2）解：代入到，则， ∴底边的长为4； （3）解：代入，得， 解得， ∴腰长为7.5． 31．（23-24八年级下·河北邢台·期中）已知一次函数． (1)当y随x的增大而增大，求m的取值范围； (2)若图象经过一、二、三象限，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求不等式组的解集、求一次函数自变量或函数值、已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式（组）； （1）依题意，，解不等式，即可求解； （2）根据函数图像经过第一、二、三象限，得出，解不等式组，即可求解； （3）依题意，函数解析式为：，根据，随的增大而增大，分别求得时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：； （2）解：∵函数图像经过第一、二、三象限， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴函数解析式为：， ，随的增大而增大 当时，，当时，， ∴当时，． 32．（25-26七年级上·全国·寒假作业）若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 根据设有条船，又根据“每条船坐人，则人无船坐”可得学生有人，再根据“每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满”列出不等式组即可． 【详解】解：∵设有条船，若每条船坐人，则人无船可坐， ∴学生总人数为人． ∵每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满， ∴使用条船，其中坐满的船数为条， ∴最后一条船的人数为人． ∵最后一条船不空也不满， ∴最后一条船的人数大于人，小于人， 即：， 不等式组为． 故选：C． 【考点5】一元一次不等式（组）的实际应用（第33-43题） · 审题抓住关键词：「至少、不超过、最多、不足」分别对应相应不等号 · 方案问题常先用二元一次方程组求出单价，再用不等式（组）确定所有可行方案 · 求最优方案时，在可行解中结合一次函数增减性或逐一比较各方案费用 · 结果必须检验是否为符合实际的非负整数、人数件数等合理数量 33．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了不等式的应用． 根据总人数不变，结合42座客车的乘坐情况（少租一辆，有一辆没坐满但超过30人），列出关于x的不等关系，对应选项判断即可． 【详解】解：设租36座的车x辆， 由题意得， 故选：D． 34．（23-24八年级上·浙江湖州·阶段检测）某学校食堂窗口销售烤肠、汉堡、可乐和盒饭四个品种的食品，每个品种的单价均为整数，其中，汉堡的单价比烤肠的单价多3元，可乐的单价比烤肠的单价高，盒饭的单价是汉堡单价的4倍与可乐单价的差．某日，烤肠和汉堡一共销售了120份，且烤肠的销售大于40份，盒饭与烤肠的销售量之和不超过400份，而可乐的销售量为60份．当日这四种食物的平均售价是汉堡单价的倍，则四种食物当日销售总量的最大值为（    ） A．504 B．506 C．534 D．536 【答案】D 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了不等式组的应用，设烤肠单价为元，则汉堡单价为元，可乐为元，盒饭为元，从而得出日这四种食物的平均售价为元，设总销售量为份，其中烤肠份，从而表示出，再由得出，即，推出，再代入值进行计算即可，正确列出不等式进行计算是解此题的关键． 【详解】解：设烤肠单价为元，则汉堡单价为元，可乐为元，盒饭为元， 当日这四种食物的平均售价是汉堡单价的倍， 当日这四种食物的平均售价为元， 设总销售量为份，其中烤肠份， 由题意可得： ， 整理得：， ，可知，当不变时，随的增大而增大， ， ， ，即， ∵， ∴, ，，为整数，且是的倍数， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 综上所述，销售量最大为， 故选：D． 35．（25-26八年级上·浙江台州·期末）小张准备用不超过35元买冰红茶和可乐共10瓶，已知冰红茶元/瓶，可乐3元/瓶，则小张最多能买__________瓶冰红茶． 【答案】3 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用． 设冰红茶购买x瓶，则可乐购买瓶，根据总费用不超过35元建立不等式，求解x的范围并取最大整数解即可． 【详解】解：设小张能买x瓶冰红茶，则可乐买瓶， 由题意得：， 即， ， ， 解得， ∵x为整数， ∴x最大为3． 故答案为：3． 36．（16-17七年级下·湖北·期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货物．现在租用这两种货车共10辆，要求一次运输货物不低于，则大货车至少租___________辆． 【答案】4 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，设每辆大货车可以运货，每辆小货车可以运货，根据2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货物列出方程组，解方程组可求出每辆大货车可以运货，每辆小货车可以运货；设租用大货车m辆，则租用小货车辆，根据一次运输货物不低于列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设每辆大货车可以运货，每辆小货车可以运货， 由题意得， 解得， ∴每辆大货车可以运货，每辆小货车可以运货； 设租用大货车m辆，则租用小货车辆， 由题意得， 解得， ∵m为整数， ∴m的最小值为4， ∴大货车至少租4辆， 故答案为：4． 37．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）小益同学用100元钱去购买矿泉水和可乐共30瓶，已知矿泉水每瓶2元，可乐每瓶5元，则小益同学最多能买可乐______瓶． 【答案】13 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，设小益买了瓶可乐，则买了瓶矿泉水，根据总价单价购买数量结合总价不超过100元，即可得出关于的一元一次不等式．根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设可乐瓶，矿泉水为瓶，则根据题意得： 根据题意得：． 解得：， 小益同学最多能买可乐瓶 故答案为：13． 38．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图为万达影城的价目表，某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买______盒爆米花． 【答案】4 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】先确定电影票的固定花费，再根据饮料和爆米花的优惠方式，设出爆米花数量，结合总奖金限制列不等式，通过求解不等式得出爆米花的最大数量． 【详解】解：设可买盒爆米花， 由题意得，， 解得：， ∴x最大为4． 39．（25-26八年级上·甘肃·期末）某校为开展“阳光体育”活动，计划购买一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需380元；购买4个篮球和1个足球共需440元． (1)求每个篮球和每个足球的售价； (2)若学校计划用不超过2600元的资金购买篮球和足球共30个，且篮球数量不少于足球数量的2倍，请问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每个篮球元，每个足球元 (2)三种方案：篮球20个、足球10个；篮球21个、足球9个；篮球22个、足球8个 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的方案选择问题 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意，建立方程组或不等式组是解题的关键． （1）设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，根据“已知购买2个篮球和3个足球共需380元；购买4个篮球和1个足球共需440元”建立二元一次方程组求解； （2）设购买足球个，则篮球为个，根据总价款和两种球的数量关系列出关于的一元一次不等式组，求解不等式组的整数解，即可得出符合条件的购买方案． 【详解】（1）解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元， 由题意得，， 解得， 答：每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元 （2）解：设购买足球个，则篮球个， 由题意得，， 解得，， ∵为正整数， ∴取8或9或10， ∴有三种购买方案： 即篮球20个、足球10个；篮球21个、足球9个；篮球22个、足球8个． 40．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元 (2) 共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩． 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的方案选择问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该小区新建个地上充电桩需要万元，个地下充电桩需要万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元， 根据题意得：， 解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又m为正整数， m可以为18，19，20． 41．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）小敏到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法．并获得如下信息： 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． (1)求、的值． (2)若营业员小潮某月的总收入不低于3800元，那么小潮当月至少要卖服装多少件？ (3)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需392元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需288元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需______元．（直接写出答案） 【答案】(1)x的值为2800，y的值为3 (2)至少要卖334件 (3)170元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、三元一次方程组的应用、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和三元一次方程组的实际应用，找到等量关系和不等关系是解题的关键． （1）根据“月总收入基本工资计件奖金”列出二元一次方程组，即可求解； （2）设小潮当月卖服装m件，根据“小潮某月的总收入不低于3800元”列出一元一次不等式，再根据m实际意义，即可求解； （3）设甲单价为a元，乙单价为b元，丙单价为c元，列出方程组，整理得出，即为所求解． 【详解】（1）根据题意得：， 解得， 则x的值为2800，y的值为3； （2）设小潮当月卖服装m件， 根据题意得：， 解得， 又 为正整数， 的最小值为334， 则小潮当月至少要卖服装334件； （3）设甲单价为a元，乙单价为b元，丙单价为c元， 根据题意得：， 整理得， 即购买甲、乙、丙各一件共需170元． 故答案为170． 42．（25-26八年级上·浙江金华·期末）西湖龙井是杭州名茶，杭州藕粉是当地传统小吃，现有两家供货公司给出不同的供货方案，具体如下： (1)该店先从甲公司试点进货，共购进150千克，按供货价计算总费用为2000元（未享受优惠），求购进西湖龙井和杭州藕粉各多少千克？ (2)试点结束后，该店计划正式进货150千克（杭州藕粉重量不高于西湖龙井的2倍），从成本控制角度出发，选择哪家公司进货更划算？请说明理由． 【答案】(1)购进西湖龙井50千克，杭州藕粉100千克 (2) 解：当时，选择甲公司进货更划算；当时，选择两家公司进货一样划算；当时，选择乙公司进货更划算，理由如下： 设购进西湖龙井千克，则购进杭州藕粉千克， 由题意得 ∴， 甲公司成本：元， 乙公司成本：元， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 答：当时，选择甲公司进货更划算；当时，选择两家公司进货一样划算；当时，选择乙公司进货更划算． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、不等式组的方案选择问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组和一元一次不等式的应用，正确理解题意列出方程组，不等式组和不等式是解题的关键． （1）设购进西湖龙井千克，杭州藕粉千克，根据一共购进150千克花费2000元建立方程组求解即可； （2）设购进西湖龙井千克，则购进杭州藕粉千克，根据杭州藕粉重量不高于西湖龙井的2倍以及购进的重量非负列出不等式组求出x的取值范围，再用含x的式子分别表示出两家公司的费用，再建立不等式和方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进西湖龙井千克，杭州藕粉千克， 由题意得 解得 答：购进西湖龙井50千克，杭州藕粉100千克． （2）略 43．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 【答案】(1)每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元 (2)有三种购买方案： 方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出1350元；方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出1420元；方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出1490元，总支出最小值为1350元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的经济问题 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键： （1）设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，根据题意，列出不等式组，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得： 解得：； 答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元． （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱 由题意得： 解得： 又为整数， 可取5，6，7， 有三种购买方案： 方案1：购买15个型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出（元）； 方案2：购买14个型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出（元）； 方案3：购买13个型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出（元）； ， 总支出最小值为1350元． 💯 课后巩固 复习建议 · 不等式两边乘除同一个负数时不等号必须变向，这是本章最易错的地方 · 解不等式组要先分别求解，再借助数轴和口诀取解集的公共部分 · 含参问题先解出范围，再借助数轴数整数解，特别注意边界能否取等 · 与方程、函数、几何的综合题，先把条件转化为不等式（组）再求解 · 实际应用问题解完要检验结果是否符合实际意义（非负整数、方案可行） 【作业1】．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段检测）小林在水果摊上买了苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的”如果设苹果的实际质量为，用不等式把意思表示出来是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了不等式的知识和生活常识，根据生活常识，“秤高高的”通常指称量时显示的数值超过目标值，即实际质量大于显示的数值，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据不等式的知识和生活常识，进行作答，即可求解； 【详解】由题意可知，摊主称量苹果时显示为，并称“秤高高的”，这表示实际质量超过显示的，因此，用不等式表示为，对应选项C， 故选：C； 【作业2】．（25-26八年级上·浙江金华·期末）若不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集确定，需根据不等式组解集的取法原则，结合已知解集反推参数的取值范围． 【详解】解：∵不等式组的解集为． ∴要使两个不等式的公共解集为，需的所有解都满足． ∴需满足 当时，不等式组的解集为，不符合题意，故舍去 因此 两边同乘，不等号方向改变，得． 故选：A． 【作业3】．（23-24八年级下·全国·暑假作业）不等式的解的情况是（    ） A．有无数个解 B．有两个解 C．只有一个解 D．无解 【答案】A 【知识点】不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解不等式、不等式的解集等知识点，正确求得不等式的解集成为解题的关键. 先求出不等式的解集，然后根据解集即可解答. 【详解】解：解不等式可得其解集为：，即有无数个解. 故选A. 【作业4】．（22-23八年级下·四川成都·期中）把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】根据不等式的基本性质求得不等式的解集为，从而可求解． 本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【详解】解：， ， ． 在数轴上表示为： ． 故选：． 【作业5】．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打（ ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 【答案】B 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】设最多可打x折，根据题意，得，求整数解即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，打折问题，正确理解，列出不等式解答是关键． 【详解】解：设最多可打x折， 根据题意，得， 解得． 故最多打7折， 故选B． 【作业6】．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：．如：，则不等式的最小整数解为______． 【答案】2 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，新定义运算，解题的关键是理解题意．列出不等式，然后求出不等式的最小整数解即可． 【详解】解：∵, ∴， 不等式即为：， 解得：， ∴不等式的最小整数解是2． 故答案为： 2． 【作业7】．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知关于x的不等式有且只有4个负整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了解不等式，根据不等式解集求参数． 通过解不等式得到，根据有且只有4个负整数解（即），确定的取值范围，进而求出的范围． 【详解】解：解不等式， 得， 由于不等式有且只有4个负整数解，这些解为， 因此必须满足， 两边同时乘以4（正数，不等号方向不变），得． 故答案为：． 【作业8】．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）一次函数的图象经过点，且不经过第四象限，则的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、解一元一次不等式组，由题意可得，推出，由一次函数不经过第四象限得出，求出，结合，求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【作业9】．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知关于x的不等式有且只有1个负整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解． 根据关于x的一元一次不等式的1个负整数解只能是，得出，求出a的取值范围即可． 【详解】解：解得， ∵关于x的不等式只有1个负整数解， ∴关于x的一元一次不等式的1个负整数解只能是：， ∴， ∴解得：． 故答案为：． 【作业10】．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）现有150吨泥沙需要搬运，搬运的货车每辆的承载量为4吨，则至少需要______辆货车才能把这些泥沙一次性搬运完毕． 【答案】38 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】假设至少需要辆货车才能把这些泥沙一次性搬运完毕，可列不等式，由于是正整数，所以可求得答案．本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，将实际问题转化为数学问题是解题的关键． 【详解】解：设至少需要辆货车才能把这些泥沙一次性搬运完毕． 则由题意得． 解得． 由于应为正整数． 所以． 故答案为38． 【作业11】．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）比较大小，用“”或“”填空：若，且，则_______． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的运算性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的性质分析出即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴ ∴ 故答案为：． 【作业12】．（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知关于x的两个不等式：与． (1)若这两个不等式的解集完全相同，求m的值； (2)若不等式的所有解都能使不等式成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式及不等式解集的定义，熟记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”是解题的关键． （1）分别解出两个不等式，再根据解相同列方程求解即可； （2）根据题意列出关于m的不等式，即可得解． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得， 两个不等式的解集完全相同， ， ． （2）解：不等式的所有解都能使不等式成立， ， 解得． 【作业13】．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如下表： 已知某同学体重67.5千克，身高1.5米． (1)通过计算，选择对该同学合适的身体描述； (2)若该同学想要达到“正常”的身体描述，在身高不变的前提下，请给出该同学合适的体重范围． 【答案】(1)该同学的身体描述为肥胖 (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了不等式的应用． （1）先根据计算公式计算出，再根据表格得出结论即可； （2）设在身高1.5米的前提下，设体重x千克后身体达到正常，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵体重67.5千克，身高1.5米， ∴， ∴该同学的身体描述为肥胖； （2）解：设在身高1.5米的前提下，设体重x千克后身体达到正常， 则， ∴解得， ∴该同学应该减轻体重的范围为． 【作业14】．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）解不等式组：，并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，不等式组的解集表示在数轴上如下， 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式解集在数轴上的表示，先分别解不等式组里的两个不等式，再取公共部分的解集，最后将所求解集表示在数轴上即可． 【详解】解：由不等式①，得， 由不等式②，得． ∴原不等式组的解集为：， 【作业15】．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 1 学科网（北京）股份有限公司 $