专题05 随机事件及简单随机概率 期中复习讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题05随机事件及简单随机概率期中复习讲义 知识点01:事件的分类 核心结论：事件分确定事件和随机事件，确定事件又分 2 种，判断关键看 “结果是否可预判” 补充：确定性事件 = 必然事件 + 不可能事件，考试选择常考概念辨析。 知识点 02 条件对事件类型的影响 事件的属性不能脱离试验条件单独判断，条件发生改变，事件所属类别会变化。 举例： “纯水沸腾”：常温环境下是不可能事件；标准大气压、100℃环境下是必然事件； “摸出黑球”：全红袋子是不可能事件；装有黑白混合球袋子是随机事件。 知识点 03 随机事件发生可能性大小 1.不同随机事件，发生可能性存在明显大小差异； 2.判定规律：同等等可能试验中，符合事件要求的结果数量越多，发生可能性越大，概率数值越靠近 1；符合条件结果越少，可能性越小，数值越靠近 0； 3.作用：搭建直观感受与概率数值之间的桥梁，为概率定量计算做铺垫。 例：袋内 5 红 1 白共 6 个相同小球，摸到红球可能性远大于白球。 知识点 04 频数、频率基础概念与计算公式 频数：相同条件下重复试验，某随机事件实际发生的次数，记作字母m； 总试验次数：完整开展试验的总次数，记作字母n； 频率计算公式：频率=； 补充：频率是一个比值，取值范围0频率1。 知识点 05 频率稳定性定理 + 频率与概率区分对照表 1. 频率稳定性核心内容 少量重复试验时，频率数值波动幅度大，每次试验算出的频率不固定；当试验重复次数持续大量增加，随机事件的频率会逐步稳定在某一个固定常数附近，这个稳定常数就是该事件的理论概率。 2. 频率、概率对比表格 知识点 06 等可能试验判定标准（两个条件缺一不可） 想要使用古典概率公式计算概率，试验必须同时满足以下两条要求： 条件①：一次试验所有可能出现的结果总数是有限个； 条件②：每一种结果出现的可能性大小完全相等。 知识点 07等可能、非等可能试验分类表格 知识点08:简单随机事件概率计算（核心考点） 1. 通用计算公式 若一次试验共有n种等可能的结果，事件A包含其中m种结果，则： P(A)=： n所有等可能结果总数；m：事件A包含的结果数mn 2. 常用列举方法（解答题必考） 解题规范要求 先说明 “所有等可能结果” 总数； 再找出目标事件包含的结果数； 代入公式计算概率，书写格式统一。 知识点09：几何概率 1. 几何概型适用条件（三大条件，缺一不可） ① 试验结果有无限多个； ② 每个结果出现的可能性均等； ③ 所有结果可以用线段长度、平面图形面积、立体体积等几何度量表示。 2. 几何概率通用计算公式 P(A)= 3. 几何概率三大常见类型表格 4. 几何概率标准解题步骤 ① 判断试验属于几何概型 ② 确定整体图形总度量（总长 / 总面积）； ③ 求出符合事件要求区域的度量； ④ 代入公式约分计算； ⑤ 写出文字结论。 1、混淆必然事件、不可能事件、随机事件 易错提醒：必然事件是一定发生的事件；不可能事件是一定不会发生的事件；随机事件是可能发生、也可能不发生的事件。判断事件类型要依据客观条件，不能依靠主观想象。 2、过度拓展概率为0的概念 易错提醒：在初中的有限等可能模型中，不可能事件的概率是0；考试不作无限情景的考查，做题时不需要额外考虑无限情形，避免概念混淆。 3、依靠主观直觉判断可能性大小 易错提醒：随机事件可能性的大小，由符合条件的结果个数决定；不能凭个人感觉去判定概率的大小。 4、忽略古典概型的等可能前提 易错提醒：运用公式P(A)=，必须满足两个条件：所有结果总数有限、每一个结果发生的可能性相等。不满足等可能性，不能套用此公式。 5、颠倒概率公式的分子与分母 易错提醒：公式中分母n是全部等可能的结果总数，分子m是满足题意的结果数；分子、分母不可写颠倒，也不可纳入无关的结果。 6、抽取问题不分放回与不放回 易错提醒：遇到抽取类问题，仔细阅读题干，区分放回抽取和不放回抽取；两种情形对应的总结果数量不同，不可混用。 7、将概率大小等同于是否一定发生 易错提醒：概率大仅表示发生的可能性高，不是必然发生；概率小仅表示发生的可能性低，不是必然不发生。 8、颠倒事件类型与概率的逻辑关系 易错提醒：先依据定义判定事件的类型，再去计算概率；不能用概率数值的大小，反过来判定事件的种类。 题型 考察方向 难度 题型一 事件的分类 ★ 题型二 判断事件发生的可能性的大小 ★ 题型三 改变条件使事件发生的可能性相同 ★★ 题型四 概率的意义理解 ★ 题型五 判断几个事件概率的大小关系 ★ 题型六 列举随机实验的所有可能结果 ★★ 题型七 判断实验所得结果是否是等可能的 ★★ 题型八 根据概率公式计算概率 ★★ 题型九 根据概率作判断 ★★ 题型十 已知概率求数量 ★★ 题型十一 几何概率 ★★★ 题型十二 列举法求概率 ★★ 题型十三 列表法或树状图法求概率 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 事件的分类 1．下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．打开电视，正在播放新闻 C．射击运动员射击一次，命中环 D．在一个只装有红球的袋中，摸出红球 2．下列说法不正确的是（    ） A．李明的投篮命中率是，表明他投篮次，一定会中次 B．期末考试考满分是随机事件 C．正数大于是必然事件 D．三角形任意两边之和小于第三边是不可能事件 3．小木筒内装有四根相同的竹签，竹签上分别标有数字1，2，3，4．从小木筒中随机抽取一根竹签后，再从剩余的竹签里抽取一根，则下列事件为随机事件的是（      ） A．两根竹签的数字之和小于3 B．两根竹签的数字之和等于3 C．两根竹签的数字之和等于8 D．两根竹签的数字之和大于8 题型二 判断事件发生的可能性的大小 4．下列事件中，发生的概率最大的是（     ） A．朝霞不出门，晚霞行千里 B．种瓜得瓜，种豆得豆 C．乌云脚底白，定有大雨来 D．大雁不过九月九，小燕不过三月三 5．有一个正方体，其中一面涂上红色，两面涂上绿色，三面涂上黄色，小明向上抛出正方体，落下后向上一面的颜色为（     ） A．红色 B．绿色 C．黄色 D．无法确定 6．某超市开展“迎藏历新年”大酬宾活动，凡购物满200元者，可参与一次转盘抽奖（如图1）．德吉购买了220元的物品，她最有可能抽中（    ） A．一等奖 B．二等奖 C．三等奖 D．谢谢惠顾 题型三 改变条件使事件发生的可能性相同 7．有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 8．一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______． 9．袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 题型四 概率的意义理解 10．抛掷一枚质地均匀的硬币，前面100次抛掷有53次正面朝上，第101次抛掷正面朝上的概率是______． 11．一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都_____，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率_____．特别地，当为必然事件时，；当为不可能事件时，． 12．下列说法，正确的是（    ） A．“用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是随机事件 B．概率很大的事件一定会发生 C．掷两枚均匀的硬币一次，共有四种等可能的结果 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖次就有次中奖 题型五 判断几个事件概率的大小关系 13．抛一枚均匀的骰子，下列事件中，发生可能性最大的是（　 　） A．点数是奇数 B．点数是3的倍数 C．点数大于5 D．点数小于5 14．下列事件，是必然事件的是（    ） A．任意一个三角形的内角和为 B．任意一个三角形的外角和为 C．366人中至少有两个人生日在同一天 D．车辆达到路口遇到红灯 15．在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（    ） A．4个 B．5个 C．不足4个 D．6个或6个以上 题型六 列举随机实验的所有可能结果 16．某一公园有4个入口和3个出口，小明从进入公园到走出公园，一共有___种不同出入路线的可能． 17．浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去，问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（    ） A．12 B．6 C．5 D．2 18．袋子里3个白球、2个黑球和1个绿球，每次摸一个球出来，第一回摸球，直到摸到黑球后将所有摸出的球放回袋中，第二回摸球，直到摸到白球后将所有摸出的球放回袋中，两回一共最多摸出______个球． 题型七 判断实验所得结果是否是等可能的 19．下列关于概率的描述属于“等可能性事件”的是（　　） A．交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，它们发生的概率 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下”的概率 C．小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率 D．小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，则A、B、C被选中的概率 20．在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 21．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 题型八 根据概率公式计算概率 22．现有一个质地均匀的正方体，六个面分别标有图案“●”“▲”“▲”“★”“★”“★”．卓玛投掷一次正方体，出现“★”的概率是（     ） A． B． C． D． 23．一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为__________． 24．中华民族有种折纸玩具“东南西北”，每每想起都会带给我们美好的童年回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．如图1是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图2所示：则转动一次获得奖励“图书”的概率为______． 题型九 根据概率作判断 25．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者，其主要原因是（  ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．让比赛更有挑战性 26．下列四个袋子中，都装有除颜色外无其他差别的10个小球，从这四个袋子中分别随机摸出一个球，摸到红球可能性最小的是（　　　） A． B． C． D． 27．向阳中学门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如表所示，小王抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是_____． 内容 时间/秒 日期 5 星期 3 时间 9 天气 4 题型十 已知概率求数量 28．一个不透明的布袋中共有个球，它们除颜色外其余均相同．已知从中随机摸出个球，摸到红球的概率为，则布袋中红球的个数是________． 29．掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有“你”“我”“他”中的一个字），若向上一面出现“你”的概率为，出现“我”的概率为，则该木块六个面上的字分别是______． 30．桌面上放有六张卡片，卡片上分别写着0，1，2中的一个数字，这些卡片除数字外无其他差别，若随机翻开写着数字“1”的卡片的概率是，写着数字“2”的卡片的概率是，则写着数字“0”的卡片有（     ）张 A．4 B．3 C．2 D．1 题型十一 几何概率 31．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针指在阴影部分内（指针指在分界线上时重转）的概率为（     ） A． B． C． D． 32．汉末三国初数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，且每个直角三角形的两条直角边的比都为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 33．某同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是（     ） A． B． C． D． 题型十二 列举法求概率 34．某市女生体育中考的国测项目，要从“50米”“立定跳远”“坐位体前屈”“仰卧起坐”四个项目中，随机抽取两项，则抽到“50米”与“坐位体前屈”两个项目的概率是（     ） A． B． C． D． 35．“冰裂纹”“云头纹”“方胜纹”“浪花纹”是中国传统建筑常见的吉祥装饰纹样，寓意绵延不断、祥瑞圆满．现有工匠需要为一座亭子的栏杆雕刻纹饰，计划从这四种纹样中随机选用两种，其中包含“方胜纹”的概率为__________． 36．为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形试验田分成A，B，C，D四部分给学生种白菜，茄子，辣椒，毛豆四种蔬菜（如表所示），每部分试验田只能种一种蔬菜，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（     ） A B C D A． B． C． D． 题型十三 列表法或树状图法求概率 37．某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“智能机器人”的概率是（     ） A． B． C． D． 38．用如图所示的转盘进行配紫色游戏（红色和蓝色在一起配成了紫色），已知转盘被分成面积相等的三部分，若转动转盘两次，则转盘上两次显示的颜色可以配成紫色的概率为________． 第一次       第二次 红 蓝 白    红 （红，红） （红，蓝） （红，白） 蓝 （蓝，红） （蓝，蓝） （蓝，白） 白 （白，红） （白，蓝） （白，白） 39．已知金属的活动性顺序为：镁（）铝（）（氢）铜（）银（），其中，排在氢前面的金属能与盐酸反应生成氢气，排在氢后面的金属则不能与盐酸反应生成氢气．小明从镁、铝、铜、银这四种金属中随机选取两种，则选取的两种金属均能与盐酸反应生成氢气的概率为（     ） A． B． C． D． 解答题 1．请将下列事件发生的概率标在图中： (1)当室外温度低于时，将一碗清水放在室外，半小时后水会结冰； (2)任意掷两枚质地均匀的骰子，掷出的点数之和为1； (3)自由转动如图所示的转盘（转盘被等分成6个扇形），当它停止时，指针落在红色区域． 2．酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性或中性溶液均不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4瓶溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D氢氧化钙溶液（呈碱性）． (1)小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液，结果变红的概率是 ． (2)小明从上述4瓶溶液中向挑选的2瓶溶液分别滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求小明所选的两瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 3．一个袋中装有3个红球和5个白球，每个球除颜色外都相同． (1)从中任意摸出一个球，求摸到红球的概率； (2)若先从袋中取出个红球，再从中任意摸出一个球，此时“摸到白球”为必然事件，则________； (3)若往袋中再加入个红球，使摸到白球的概率为，求的值． 4．英国数学家弗朗西斯·格思里（Francis Guthrie）1852年提出了四色猜想：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域的颜色不同．该猜想于1976年由美国数学家阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明；而在1959年，德国数学家格罗茨提出并证明了三色猜想：任何不含三角形的平面图，都可以用三种颜色进行正常着色（即相邻顶点颜色不同）如图，在平行四边形中，现要为其四个顶点着色，并使得在同一线段上的两顶点颜色不同，则至少需要两种颜色． (1)若连接，则至少需要____________种不同的颜色； (2)现有红、黄、蓝3种颜色可供选择，且点处未着蓝色，请用列表或画树状图的方法，计算点处着黄色的概率． 5．准备三张大小一样的纸片，上面印有不同的图案（如照片、自己画的图片等），把每张纸片都对折，剪成大小一样的两张图片（如图所示）．将这六张小纸片有图案的一面朝下，然后混合，让你的同伴随机抽出两张小纸片．你认为抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的机会大吗？猜一猜，大概平均几次里会有一次成功呢？收集拼图片活动的试验数据，检验恰好拼成原图的频率是否随试验次数的增加而趋于稳定． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05随机事件及简单随机概率期中复习讲义 知识点01:事件的分类 核心结论：事件分确定事件和随机事件，确定事件又分 2 种，判断关键看 “结果是否可预判” 补充：确定性事件 = 必然事件 + 不可能事件，考试选择常考概念辨析。 知识点 02 条件对事件类型的影响 事件的属性不能脱离试验条件单独判断，条件发生改变，事件所属类别会变化。 举例： “纯水沸腾”：常温环境下是不可能事件；标准大气压、100℃环境下是必然事件； “摸出黑球”：全红袋子是不可能事件；装有黑白混合球袋子是随机事件。 知识点 03 随机事件发生可能性大小 1.不同随机事件，发生可能性存在明显大小差异； 2.判定规律：同等等可能试验中，符合事件要求的结果数量越多，发生可能性越大，概率数值越靠近 1；符合条件结果越少，可能性越小，数值越靠近 0； 3.作用：搭建直观感受与概率数值之间的桥梁，为概率定量计算做铺垫。 例：袋内 5 红 1 白共 6 个相同小球，摸到红球可能性远大于白球。 知识点 04 频数、频率基础概念与计算公式 频数：相同条件下重复试验，某随机事件实际发生的次数，记作字母m； 总试验次数：完整开展试验的总次数，记作字母n； 频率计算公式：频率=； 补充：频率是一个比值，取值范围0频率1。 知识点 05 频率稳定性定理 + 频率与概率区分对照表 1. 频率稳定性核心内容 少量重复试验时，频率数值波动幅度大，每次试验算出的频率不固定；当试验重复次数持续大量增加，随机事件的频率会逐步稳定在某一个固定常数附近，这个稳定常数就是该事件的理论概率。 2. 频率、概率对比表格 知识点 06 等可能试验判定标准（两个条件缺一不可） 想要使用古典概率公式计算概率，试验必须同时满足以下两条要求： 条件①：一次试验所有可能出现的结果总数是有限个； 条件②：每一种结果出现的可能性大小完全相等。 知识点 07等可能、非等可能试验分类表格 知识点08:简单随机事件概率计算（核心考点） 1. 通用计算公式 若一次试验共有n种等可能的结果，事件A包含其中m种结果，则： P(A)=： n所有等可能结果总数；m：事件A包含的结果数mn 2. 常用列举方法（解答题必考） 解题规范要求 先说明 “所有等可能结果” 总数； 再找出目标事件包含的结果数； 代入公式计算概率，书写格式统一。 知识点09：几何概率 1. 几何概型适用条件（三大条件，缺一不可） ① 试验结果有无限多个； ② 每个结果出现的可能性均等； ③ 所有结果可以用线段长度、平面图形面积、立体体积等几何度量表示。 2. 几何概率通用计算公式 P(A)= 3. 几何概率三大常见类型表格 4. 几何概率标准解题步骤 ① 判断试验属于几何概型 ② 确定整体图形总度量（总长 / 总面积）； ③ 求出符合事件要求区域的度量； ④ 代入公式约分计算； ⑤ 写出文字结论。 1、混淆必然事件、不可能事件、随机事件 易错提醒：必然事件是一定发生的事件；不可能事件是一定不会发生的事件；随机事件是可能发生、也可能不发生的事件。判断事件类型要依据客观条件，不能依靠主观想象。 2、过度拓展概率为0的概念 易错提醒：在初中的有限等可能模型中，不可能事件的概率是0；考试不作无限情景的考查，做题时不需要额外考虑无限情形，避免概念混淆。 3、依靠主观直觉判断可能性大小 易错提醒：随机事件可能性的大小，由符合条件的结果个数决定；不能凭个人感觉去判定概率的大小。 4、忽略古典概型的等可能前提 易错提醒：运用公式P(A)=，必须满足两个条件：所有结果总数有限、每一个结果发生的可能性相等。不满足等可能性，不能套用此公式。 5、颠倒概率公式的分子与分母 易错提醒：公式中分母n是全部等可能的结果总数，分子m是满足题意的结果数；分子、分母不可写颠倒，也不可纳入无关的结果。 6、抽取问题不分放回与不放回 易错提醒：遇到抽取类问题，仔细阅读题干，区分放回抽取和不放回抽取；两种情形对应的总结果数量不同，不可混用。 7、将概率大小等同于是否一定发生 易错提醒：概率大仅表示发生的可能性高，不是必然发生；概率小仅表示发生的可能性低，不是必然不发生。 8、颠倒事件类型与概率的逻辑关系 易错提醒：先依据定义判定事件的类型，再去计算概率；不能用概率数值的大小，反过来判定事件的种类。 题型 考察方向 难度 题型一 事件的分类 ★ 题型二 判断事件发生的可能性的大小 ★ 题型三 改变条件使事件发生的可能性相同 ★★ 题型四 概率的意义理解 ★ 题型五 判断几个事件概率的大小关系 ★ 题型六 列举随机实验的所有可能结果 ★★ 题型七 判断实验所得结果是否是等可能的 ★★ 题型八 根据概率公式计算概率 ★★ 题型九 根据概率作判断 ★★ 题型十 已知概率求数量 ★★ 题型十一 几何概率 ★★★ 题型十二 列举法求概率 ★★ 题型十三 列表法或树状图法求概率 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 事件的分类 1．下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．打开电视，正在播放新闻 C．射击运动员射击一次，命中环 D．在一个只装有红球的袋中，摸出红球 【答案】D 【分析】根据必然事件的定义，就是一定发生的事件，即可判断，解决本题需要正确理解必然事件，不可能事件，随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：选项的事件均可能发生，也可能不发生，属于随机事件， 选项中，袋内只装有红球，摸出红球一定会发生，属于必然事件． 2．下列说法不正确的是（    ） A．李明的投篮命中率是，表明他投篮次，一定会中次 B．期末考试考满分是随机事件 C．正数大于是必然事件 D．三角形任意两边之和小于第三边是不可能事件 【答案】A 【详解】解：A、投篮命中率反映命中的可能性，不是必然结果，故投篮次不一定命中次，A说法错误，符合题意； B、期末考试考满分可能发生也可能不发生，故是随机事件，B说法正确，不符合题意； C、正数一定大于，故是必然事件，C说法正确，不符合题意； D、三角形任意两边之和大于第三边，故三角形任意两边之和小于第三边是不可能事件，D说法正确，不符合题意． 3．小木筒内装有四根相同的竹签，竹签上分别标有数字1，2，3，4．从小木筒中随机抽取一根竹签后，再从剩余的竹签里抽取一根，则下列事件为随机事件的是（      ） A．两根竹签的数字之和小于3 B．两根竹签的数字之和等于3 C．两根竹签的数字之和等于8 D．两根竹签的数字之和大于8 【答案】B 【分析】先计算不放回抽取两根竹签的数字和的取值范围，再根据随机事件的定义判断各选项． 【详解】解：不放回抽取两根竹签，数字和的最小值为，最大值为， ∵ 数字和小于3一定不发生， ∴ A是不可能事件，故A不符合题意； ∵ 数字和等于3可能发生，也可能不发生， ∴ B是随机事件，故B符合题意； ∵ 数字和等于8、大于8均一定不发生， ∴ C、D是不可能事件，故C、D不符合题意． 题型二 判断事件发生的可能性的大小 4．下列事件中，发生的概率最大的是（     ） A．朝霞不出门，晚霞行千里 B．种瓜得瓜，种豆得豆 C．乌云脚底白，定有大雨来 D．大雁不过九月九，小燕不过三月三 【答案】B 【分析】结合生活常识和规律，比较各事件发生的可能性大小即可得到结果． 【详解】解：A、“朝霞不出门，晚霞行千里”，是气象经验总结，并不一定每次都应验，发生概率小于1； B、“种瓜得瓜，种豆得豆”由生物遗传规律决定，种下瓜必然收获瓜，种下豆必然收获豆，是必然发生的事件，概率为1； C、“乌云脚底白，定有大雨来”， 是气象经验总结，并不一定每次都应验，发生概率小于1； D、“大雁不过九月九，小燕不过三月三”是对候鸟迁徙规律的总结，受气候变化等因素影响，并非每次都严格应验，发生概率也小于1； 故发生的概率最大的是B． 5．有一个正方体，其中一面涂上红色，两面涂上绿色，三面涂上黄色，小明向上抛出正方体，落下后向上一面的颜色为（     ） A．红色 B．绿色 C．黄色 D．无法确定 【答案】D 【分析】随机事件的结果具有不确定性，可能性大不代表必然发生． 【详解】解：正方体六个面中，红色面、绿色面、黄色面，抛出后落下时向上一面的颜色是随机事件， 落下后向上一面三种颜色均有可能出现， 无法确定具体结果． 6．某超市开展“迎藏历新年”大酬宾活动，凡购物满200元者，可参与一次转盘抽奖（如图1）．德吉购买了220元的物品，她最有可能抽中（    ） A．一等奖 B．二等奖 C．三等奖 D．谢谢惠顾 【答案】C 【分析】本题主要考查可能性的大小，理解面积大的转到的可能性就大是解题的关键．根据图示发现三等奖所占面积最大即可得到答案． 【详解】解：根据图示发现三等奖所占面积最大， 故她最有可能抽中三等奖． 故选C． 题型三 改变条件使事件发生的可能性相同 7．有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 【答案】D 【分析】需使不可能事件与必然事件的数量相等，从而概率相同. 【详解】解：原卡片中不可能事件有3个（水中捞月、一步登天、刻舟求剑），必然事件有2个（水满则溢、水涨船高），增加一张卡片后总数为6张；若新增卡片为必然事件，则必然事件数量变为3，与不可能事件数量3相等，此时两者的概率均为； 选项D“瓮中捉鳖”是必然事件，满足条件； 故选：D. 8．一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______． 【答案】2 【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解． 【详解】解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大， ∴n的最小值等于3+1-2=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了可能性的大小，本题可以通过比较白球和红球的个数求解． 9．袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据概率公式求出白球的取值范围即可得出结论． 【详解】解：若要使取到白球的概率较大，则白球的个数＞红球的个数 由各选项可知，只有D选项符合 故选D． 【点睛】此题考查的是比较概率的大小，掌握概率公式是解决此题的关键． 题型四 概率的意义理解 10．抛掷一枚质地均匀的硬币，前面100次抛掷有53次正面朝上，第101次抛掷正面朝上的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查了概率的定义．根据概率的意义可知，每一次正面朝上的概率都为，据此即可求解． 【详解】解：每一次正面朝上的概率都为， 第101次抛掷该硬币出现正面朝上的概率是． 故答案为：． 11．一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都_____，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率_____．特别地，当为必然事件时，；当为不可能事件时，． 【答案】 相等 【分析】此题考查了概率的定义，根据概率的定义求解即可． 【详解】解：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率． 故答案为：相等，． 12．下列说法，正确的是（    ） A．“用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是随机事件 B．概率很大的事件一定会发生 C．掷两枚均匀的硬币一次，共有四种等可能的结果 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖次就有次中奖 【答案】C 【分析】本题考查了事件的概率，事件的分类，理解概率、事件分类的概念是解题的关键．根据概率、事件分类的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A、圆是轴对称图形，故“用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是必然事件，不是随机事件，故选项说法错误，不符合题意； B、概率很大的事件不一定发生，故选项说法错误，不符合题意； C、掷两枚均匀的硬币一次，每枚硬币有正反两种可能，且相互独立，故共有种等可能结果：正正、正反、反正、反反，故选项说法正确，符合题意； D、中奖概率为表示每次抽奖中奖的可能性是，但抽奖次不一定恰好中奖次，可能中奖次或多次，故选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型五 判断几个事件概率的大小关系 13．抛一枚均匀的骰子，下列事件中，发生可能性最大的是（　 　） A．点数是奇数 B．点数是3的倍数 C．点数大于5 D．点数小于5 【答案】D 【分析】分别计算各自概率后判断即可． 【详解】A．∵奇数有1，3，5共3个，∴点数是奇数的概率为； B．∵3的倍数的数有3，6，∴点数是3的倍数的概率为； C．∵点数大于5的数有6共1个，∴点数大于5的概率为； D．∵点数小于5的数有1，2，3，4共4个，∴点数小于5的概率为； ∵， ∴发生可能性最大的是点数小于5． 故选D． 【点睛】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 14．下列事件，是必然事件的是（    ） A．任意一个三角形的内角和为 B．任意一个三角形的外角和为 C．366人中至少有两个人生日在同一天 D．车辆达到路口遇到红灯 【答案】C 【分析】直接根据必然事件的概念逐项判断即可． 【详解】解：A. 任意一个三角形的内角和为是不可能事件．故该选项错误； B. 任意一个三角形的外角和为是不可能事件．故该选项错误； C. 366人中至少有两个人生日在同一天是必然事件．故该选项正确； D. 车辆达到路口遇到红灯是随机事件．故该选项错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查必然事件的概念，正确理解概念是解题关键． 15．在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（    ） A．4个 B．5个 C．不足4个 D．6个或6个以上 【答案】D 【分析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案． 【详解】解：∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大， ∴红球的个数比白球个数多， ∴红球个数满足6个或6个以上， 故选D． 【点睛】本题主要考查可能性大小，只要在总情况数目相同的情况下，比较其包含的情况总数即可． 题型六 列举随机实验的所有可能结果 16．某一公园有4个入口和3个出口，小明从进入公园到走出公园，一共有___种不同出入路线的可能． 【答案】12 【分析】利用树状图表示方法列举出所有的可能即可． 【详解】解：用A、B、C、D表示入口，A1、B1、C1表示出口，如图所示： 小明从进入公园到走出公园，一共有3×4=12种不同出入路线的可能． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了树状图法应用，列举出所有可能是解题关键． 17．浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去，问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（    ） A．12 B．6 C．5 D．2 【答案】B 【分析】分析两道门各自的可能性情况，再进行组合即可得解． 【详解】解：∵第一道门有A、B、C三个出口， ∴出第一道门有三种选择， 又∵第二道门有两个出口， 故出第二道门有D、E两种选择， ∴小松鼠走出笼子的路线有6种选择， 分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE， 故选B． 【点睛】本题考查了概率的知识，解题的关键是通过列举法列出所有可能性的路径． 18．袋子里3个白球、2个黑球和1个绿球，每次摸一个球出来，第一回摸球，直到摸到黑球后将所有摸出的球放回袋中，第二回摸球，直到摸到白球后将所有摸出的球放回袋中，两回一共最多摸出______个球． 【答案】9 【分析】根据要使两回一共摸出的球最多，那么第一次要把除黑球外的其它球摸完才能摸到黑球，第二次要把除白球外的其它球摸完才能摸到白球，再结合题目情境即可得答案． 【详解】解：要使两回一共摸出的球最多，那么第一次要把除黑球外的其它球摸完才能摸到黑球，第二次要把除白球外的其它球摸完才能摸到白球， ∴第一次摸到3个白球、1个绿球，摸了4个，第5个一定能摸到黑球，第二次先摸到2个黑球和1个绿球，摸了3个，第4个一定能摸到白球， ∴两回一共摸出的球最多为：（个）， ∴两回一共最多摸出9个球． 题型七 判断实验所得结果是否是等可能的 19．下列关于概率的描述属于“等可能性事件”的是（　　） A．交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，它们发生的概率 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下”的概率 C．小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率 D．小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，则A、B、C被选中的概率 【答案】D 【分析】A：交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，但是红黄绿灯发生的时间一般不相同，所以它们发生的概率不相同，不属于“等可能性事件”，据此判断即可． B：因为图钉上下不一样，所以钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同，所以掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下”的概率不相同，不属于“等可能性事件”，据此判断即可． C：因为“直角三角形”三边的长度不相同，所以小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率不相同，不属于“等可能性事件”，据此判断即可． D：小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，则A、B、C被选中的相同，属于“等可能性事件”，据此判断即可． 【详解】∵交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，但是红黄绿灯发生的时间一般不相同， ∴它们发生的概率不相同， ∴它不属于“等可能性事件”， ∴选项A不正确； ∵图钉上下不一样， ∴钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同， ∴它不属于“等可能性事件”， ∴选项B不正确； ∵“直角三角形”三边的长度不相同， ∴小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率不相同， ∴它不属于“等可能性事件”， ∴选项C不正确； ∵小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，A、B、C被选中的相同， ∴它属于“等可能性事件”， ∴选项D正确． 故选D． 【点睛】本题考查概率的意义，解题的关键是知道“等可能性事件”. 20．在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 【答案】D 【分析】替代物需要满足和原抛硬币试验一致，即能产生两种概率相等的结果，据此判断各选项即可． 【详解】原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为，替代物需满足两种结果发生概率相等． 选项A，均匀正方体骰子，点数为奇数、偶数的结果各3种，概率均为，可分别对应硬币正反，能用作替代物； 选项B，两张不同扑克，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项C，两张不同卡片，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项D，抛掷图钉时，钉尖朝上与钉帽朝上的概率不相等，不满足两种结果等可能的要求，因此不能作为替代物． 21．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【点睛】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键， 题型八 根据概率公式计算概率 22．现有一个质地均匀的正方体，六个面分别标有图案“●”“▲”“▲”“★”“★”“★”．卓玛投掷一次正方体，出现“★”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用出现“★”的结果数与总等可能结果数的比值计算概率． 【详解】解：投掷一次正方体，共有6种等可能的结果，其中出现“★”的结果有3种， ∴所求概率为． 23．一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为__________． 【答案】 【分析】先计算袋子中球的总数量，确定红球的数量，再根据概率的定义计算结果． 【详解】解：袋子中球的总个数为，其中红球的个数为，因此摸到红球的概率为． 24．中华民族有种折纸玩具“东南西北”，每每想起都会带给我们美好的童年回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．如图1是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图2所示：则转动一次获得奖励“图书”的概率为______． 【答案】 【分析】观察图2确定总区域数和“图书”区域数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：由图2可知，该“东南西北”玩具展开后共有8个面积相等的区域，即所有等可能的结果数为8 其中写有“图书”的区域有2个，即获得奖励“图书”的结果数为2 根据概率公式，转动一次获得奖励“图书”的概率为． 题型九 根据概率作判断 25．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者，其主要原因是（  ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．让比赛更有挑战性 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，如果一个事件的发生有n种可能，而且这些事件发生的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=.抛掷一枚硬币，可出现正面朝上或反面朝上，两种结果发生的可能性相同，从而可得答案. 【详解】解：其主要原因是体现比赛的公平性．因为抛掷一枚硬币， 正面向上的概率和反面向上的概率各为， 所以采用这种方法确定哪一队首先开球是公平的， 故选：C． 26．下列四个袋子中，都装有除颜色外无其他差别的10个小球，从这四个袋子中分别随机摸出一个球，摸到红球可能性最小的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出每个袋子摸到红球的可能性，比较大小即可． 【详解】解：第一个袋子摸到红球的可能性=； 第二个袋子摸到红球的可能性=； 第三个袋子摸到红球的可能性=； 第四个袋子摸到红球的可能性=． 故选：A． 【点睛】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法． 27．向阳中学门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如表所示，小王抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是_____． 内容 时间/秒 日期 5 星期 3 时间 9 天气 4 【答案】时间 【分析】分别计算出看到各内容的概率，比较概率大小，概率最大的即为最大可能看到的内容. 【详解】解：由题意可得，一个滚动周期的总时间为秒； ，，，， ， 看到时间的概率最大，即最大可能看到的内容是时间. 题型十 已知概率求数量 28．一个不透明的布袋中共有个球，它们除颜色外其余均相同．已知从中随机摸出个球，摸到红球的概率为，则布袋中红球的个数是________． 【答案】5 【分析】根据概率计算公式，摸到红球的概率等于红球个数除以球的总个数，代入已知条件即可计算出红球个数． 【详解】解：设布袋中红球的个数为， 由题意得，球的总个数为，摸到红球的概率为 根据概率公式可得，解得 ∴布袋中红球的个数是． 29．掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有“你”“我”“他”中的一个字），若向上一面出现“你”的概率为，出现“我”的概率为，则该木块六个面上的字分别是______． 【答案】三个“你”，两个“我”，一个“他” 【分析】根据概率公式，结合总面数为6，分别计算出“你”“我”“他”三个字的数量，即可得到结果． 【详解】解：质地均匀的正方体木块共有6个面， 根据概率公式可得，“你”字的个数为， “我”字的个数为， “他”字的个数为． 30．桌面上放有六张卡片，卡片上分别写着0，1，2中的一个数字，这些卡片除数字外无其他差别，若随机翻开写着数字“1”的卡片的概率是，写着数字“2”的卡片的概率是，则写着数字“0”的卡片有（     ）张 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先求出数字1和数字2的卡片张数，再用总卡片数减去二者的张数，即可得到数字0的卡片张数． 【详解】解：∵共有6张卡片，随机翻开数字“1”卡片的概率为， ∴数字“1”的卡片张数为； ∵随机翻开数字“2”卡片的概率为， ∴数字“2”的卡片张数为； ∴数字“0”的卡片张数为． 题型十一 几何概率 31．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针指在阴影部分内（指针指在分界线上时重转）的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知：指针指在阴影部分内（指针指在分界线上时重转）的概率为． 32．汉末三国初数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，且每个直角三角形的两条直角边的比都为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 【答案】/ 【分析】设两直角边分别为，，表示出大正方形的面积和小正方形面积，根据针尖落在阴影区域的概率就是小正方形的面积与大正方形面积的比求解． 【详解】解：∵四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为， ∴设两直角边分别为，， ∴大正方形的面积为，小正方形的边长为， ∴小正方形面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为． 33．某同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】小球停留在某区域的概率 阴影区域的面积 大正方形的总面积． 【详解】解： 根据七巧板的构造规律，对整个大正方形面积拆分后可得： 图中阴影平行四边形的面积，占整个大正方形面积的， 因此小球最终停留在阴影区域的概率是． 题型十二 列举法求概率 34．某市女生体育中考的国测项目，要从“50米”“立定跳远”“坐位体前屈”“仰卧起坐”四个项目中，随机抽取两项，则抽到“50米”与“坐位体前屈”两个项目的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先列出从四个项目中抽取两项的所有等可能结果，再数出满足要求的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：将四个项目“50米”“立定跳远”“坐位体前屈”“仰卧起坐”四个项目依次记为A、B、C、D， ∵从四个项目中随机抽取两项，所有等可能的结果为、、、、、，共种 其中抽到“50米”与“坐位体前屈”的结果只有种 ∴所求概率． 35．“冰裂纹”“云头纹”“方胜纹”“浪花纹”是中国传统建筑常见的吉祥装饰纹样，寓意绵延不断、祥瑞圆满．现有工匠需要为一座亭子的栏杆雕刻纹饰，计划从这四种纹样中随机选用两种，其中包含“方胜纹”的概率为__________． 【答案】 /0.5 【分析】首先列举出从四种纹样中随机选用两种的所有等可能结果，再找出其中包含“方胜纹”的结果数，最后利用概率公式计算即可. 【详解】解：设“冰裂纹”为，“云头纹”为，“方胜纹”为，“浪花纹”为.从这四种纹样中随机选用两种，所有可能出现的结果如下：，，，，，.共有种等可能的结果.其中包含“方胜纹”的结果有，，，共种， 包含“方胜纹”的概率． 36．为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形试验田分成A，B，C，D四部分给学生种白菜，茄子，辣椒，毛豆四种蔬菜（如表所示），每部分试验田只能种一种蔬菜，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（     ） A B C D A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定所有等可能的安排结果数，再确定白菜与辣椒不相邻的结果数，代入概率公式求解． 【详解】解：所有可能的种植情况如下表： 种植方案 A B C D 1 白菜 茄子 辣椒 毛豆 2 白菜 茄子 毛豆 辣椒 3 白菜 辣椒 茄子 毛豆 4 白菜 辣椒 毛豆 茄子 5 白菜 毛豆 茄子 辣椒 6 白菜 毛豆 辣椒 茄子 7 茄子 白菜 辣椒 毛豆 8 茄子 白菜 毛豆 辣椒 9 茄子 辣椒 白菜 毛豆 10 茄子 辣椒 毛豆 白菜 11 茄子 毛豆 白菜 辣椒 12 茄子 毛豆 辣椒 白菜 13 辣椒 白菜 茄子 毛豆 14 辣椒 白菜 毛豆 茄子 15 辣椒 茄子 白菜 毛豆 16 辣椒 茄子 毛豆 白菜 17 辣椒 毛豆 白菜 茄子 18 辣椒 毛豆 茄子 白菜 19 毛豆 白菜 茄子 辣椒 20 毛豆 白菜 辣椒 茄子 21 毛豆 茄子 白菜 辣椒 22 毛豆 茄子 辣椒 白菜 23 毛豆 辣椒 白菜 茄子 24 毛豆 辣椒 茄子 白菜 由表可得，总共有24种等可能的种植方案，其中白菜与辣椒不相邻的结果数有8种（方案2，5，7，9，16，18，20，23），所以白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率． 题型十三 列表法或树状图法求概率 37．某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“智能机器人”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过画树状图或列表的方法求解即可． 【详解】解：设“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”分别记为A，B，C． 根据题意，画树状图如下∶ 由图可得，共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时抽到“智能机器人”（A）的结果有1种， 所以甲、乙两位同学同时抽到“智能机器人”的概率是． 38．用如图所示的转盘进行配紫色游戏（红色和蓝色在一起配成了紫色），已知转盘被分成面积相等的三部分，若转动转盘两次，则转盘上两次显示的颜色可以配成紫色的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查利用列表法或树状图法求概率．解题的关键在于准确列出转动转盘两次所有等可能的结果，并从中筛选出能配成紫色(即一次为红色，一次为蓝色)的结果数，最后利用概率公式进行计算． 【详解】由列举法可得： 第一次       第二次 红 蓝 白    红 （红，红） （红，蓝） （红，白） 蓝 （蓝，红） （蓝，蓝） （蓝，白） 白 （白，红） （白，蓝） （白，白） 由表可知，转动转盘两次，共有种等可能结果， 因为红色和蓝色在一起才能配成紫色，观察以上表格满足条件的结果为（蓝，红）和（红，蓝）共2种情况， 所以，转动转盘两次，转盘显示的颜色可以配成紫色的概率为． 39．已知金属的活动性顺序为：镁（）铝（）（氢）铜（）银（），其中，排在氢前面的金属能与盐酸反应生成氢气，排在氢后面的金属则不能与盐酸反应生成氢气．小明从镁、铝、铜、银这四种金属中随机选取两种，则选取的两种金属均能与盐酸反应生成氢气的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据金属活动性确定能与盐酸反应的金属，再根据列表法列举出所有选取两种金属的等可能结果，找出符合条件的结果数，代入概率公式计算即可； 【详解】解：根据题意，四种金属中，能与盐酸反应生成氢气的是镁和铝， 从四种金属中随机选取两种，列表如下： 共有12种等可能的结果，其中选取的两种金属均能与盐酸反应生成氢气有2种结果， ∴选取的两种金属均能与盐酸反应生成氢气的概率为． 解答题 1．请将下列事件发生的概率标在图中： (1)当室外温度低于时，将一碗清水放在室外，半小时后水会结冰； (2)任意掷两枚质地均匀的骰子，掷出的点数之和为1； (3)自由转动如图所示的转盘（转盘被等分成6个扇形），当它停止时，指针落在红色区域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据概率公式分别计算即可． 【详解】（1）解：当室外温度低于时，将一碗清水放在室外，半小时后水会结冰是必然事件，因此发生的概率为1； （2）解：任意掷两枚质地均匀的骰子，掷出的点数之和为1是不可能事件，因此发生的概率为0； （3）解：当它停止时，指针落在红色区域的概率为：． 2．酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性或中性溶液均不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4瓶溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D氢氧化钙溶液（呈碱性）． (1)小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液，结果变红的概率是 ． (2)小明从上述4瓶溶液中向挑选的2瓶溶液分别滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求小明所选的两瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色， 小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液里，盐酸（呈酸性）和 硝酸钾溶液（呈中性）不变色，氢氧化钠溶液（呈碱性）和氢氧化钙溶液（呈碱性）变红， ∴结果变红的概率：； （2）根据题意：列表如下： A B C D A B C D 由表知，共有12种可能出现的结果，其中1瓶变红、1瓶不变色有，，，，，，，共8种结果， 1瓶变红、1瓶不变色的概率为：． 3．一个袋中装有3个红球和5个白球，每个球除颜色外都相同． (1)从中任意摸出一个球，求摸到红球的概率； (2)若先从袋中取出个红球，再从中任意摸出一个球，此时“摸到白球”为必然事件，则________； (3)若往袋中再加入个红球，使摸到白球的概率为，求的值． 【答案】(1) (2)3 (3)17 【分析】（1）根据概率的定义进行分析，即可作答． （2）结合必然事件以及一个袋中装有3个红球和5个白球，进行分析，即可作答． （3）结合频数除以频率等于总数，再结合总球数为个，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：一共个球， ∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为； （2）解：“摸到白球”为必然事件说明袋中没有红球，只有白球， ∵一个袋中装有3个红球和5个白球， ∴， 即先从袋中取出个红球，再从中任意摸出一个球，此时“摸到白球”为必然事件； （3）解：∵往袋中再加入个红球，使摸到白球的概率为， ∴， 解得． 4．英国数学家弗朗西斯·格思里（Francis Guthrie）1852年提出了四色猜想：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域的颜色不同．该猜想于1976年由美国数学家阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明；而在1959年，德国数学家格罗茨提出并证明了三色猜想：任何不含三角形的平面图，都可以用三种颜色进行正常着色（即相邻顶点颜色不同）如图，在平行四边形中，现要为其四个顶点着色，并使得在同一线段上的两顶点颜色不同，则至少需要两种颜色． (1)若连接，则至少需要____________种不同的颜色； (2)现有红、黄、蓝3种颜色可供选择，且点处未着蓝色，请用列表或画树状图的方法，计算点处着黄色的概率． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查求概率，正确分析几何图形和列表是解答本题的关键． （1）平行四边形中，连接后，A，B，D三个顶点两两相邻共有三种情况，这三个顶点中两顶点颜色不同，则至少需要三种颜色． （2）列出所有有效组合即可解答． 【详解】（1）解：平行四边形中，连接后，A，B，D三个顶点两两相邻共有三种情况，这三个顶点中两顶点颜色不同，则至少需要三种颜色． 故答案为：3； （2）解：列表如下： A B D C 黄 红 蓝 黄 黄 蓝 红 黄 红 蓝 黄 红 红 黄 蓝 红 从表中可得有效组合共有4种，点处着黄色有1种， 所以，点处着黄色的概率为． 5．准备三张大小一样的纸片，上面印有不同的图案（如照片、自己画的图片等），把每张纸片都对折，剪成大小一样的两张图片（如图所示）．将这六张小纸片有图案的一面朝下，然后混合，让你的同伴随机抽出两张小纸片．你认为抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的机会大吗？猜一猜，大概平均几次里会有一次成功呢？收集拼图片活动的试验数据，检验恰好拼成原图的频率是否随试验次数的增加而趋于稳定． 【答案】猜测：抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的机会不大，若尝试20次，大概平均次里会有一次成功； 收集拼图片活动的试验数据如下： 实验者 试验次数（） 成功次数（） 成功的频率（） 同学A 20 4 0.20 同学B 20 5 0.25 同学C 20 3 0.15 同学D 20 4 0.20 同学E 20 6 0.25 同学F 20 2 0.10 合计 120 24 0.20 检验发现：少量试验时，各组的频率会出现波动（0.20、0.25、0.15、0.10各不相同）；把多组试验合并，总试验次数变多，总频率就接近理论值 0.2，即大量重复试验时，拼成原图的频率会逐渐稳定在 0.2 附近 【详解】略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $