第3章·圆的基本性质·期中复习·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第3章·圆的基本性质·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角等有关概念，能判断点与圆的位置关系并确定三角形的外接圆 · 掌握垂径定理及其推论，能结合勾股定理进行弦长、半径、弦心距的计算 · 掌握圆心角、弧、弦之间的关系，能在同圆或等圆中进行相互转化与角度计算 · 掌握圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质，能进行角度与线段的综合推理 · 了解正多边形和圆的关系，掌握弧长与扇形面积公式，能解决简单的实际与综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.圆的有关概念与点和圆的位置关系 圆：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，定点是圆心，定长是半径；圆既是轴对称图形又是中心对称图形 弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是圆中最长的弦 弧：圆上任意两点间的部分叫弧，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧；能够重合的两条弧叫等弧 点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆上⇔d=r，点在圆内⇔d<r，点在圆外⇔d>r 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆，圆心是三边垂直平分线的交点（外心），外心到三个顶点的距离相等 概念辨析例题：已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为OP=3，则点P在⊙O的____；若OP=5，则点P在____；若OP=7，则点P在____ 答案：圆内；圆上；圆外 解析：设半径r=5。OP=3<5，点P在圆内；OP=5=r，点P在圆上；OP=7>5，点P在圆外。比较点到圆心的距离d与半径r的大小即可判定位置关系。 ☆ 2.垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心 计算模型：过圆心作弦的垂线段（弦心距d），则半径r、弦长的一半、弦心距d构成直角三角形，满足r2=d2+()2 常用辅助线：见弦作弦心距，构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，用勾股定理求解 概念辨析例题：⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则弦AB的长为____ 答案：8 解析：过O作OC⊥AB于C，则AC=CB。在Rt△OAC中，OA=5，OC=3，由勾股定理得AC==4，所以AB=2AC=8。 ☆ 3.圆心角、弧、弦之间的关系 圆心角：顶点在圆心的角；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等 推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，其余各组量也分别相等 弧的度数：弧的度数等于它所对圆心角的度数；圆心角的度数与它所对弧的度数一致 解题时常利用半径相等得到等腰三角形，结合三角形内角和与等边对等角进行角度转化 概念辨析例题：在同圆中，若圆心角∠AOB=60°，则它所对的弦AB与劣弧AB的关系是：弦AB所对的圆心角为____度，劣弧AB的度数为____度 答案：60；60 解析：圆心角的度数等于它所对弧的度数。∠AOB=60°，它所对的劣弧AB的度数也是60°。 ☆ 4.圆周角定理与圆内接四边形 圆周角：顶点在圆上、两边都与圆相交的角；圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 圆内接四边形：四个顶点都在同一个圆上的四边形；圆内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角 概念辨析例题：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ABC=35°，则∠BAC=____ 答案：55° 解析：AB是直径，由直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=90°。在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=90°-35°=55°。 ☆ 5.正多边形和圆、弧长及扇形面积 正多边形和圆：把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 正多边形的有关概念：中心（外接圆圆心）、半径（外接圆半径）、中心角（每一边所对的圆心角）、边心距（中心到边的距离）；正n边形的中心角为 弧长公式：半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l= 扇形面积公式：S扇形==lR；弓形面积常用扇形面积与三角形面积的和或差来计算 概念辨析例题：一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为____，面积为____ 答案：2π；3π 解析：弧长l===2π；扇形面积S===3π，也可用S=lR=×2π×3=3π。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 点与圆位置 d>r在外；d=r在上；d<r在内 d是点到圆心的距离 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦及其所对弧 见弦作弦心距，构造直角三角形 垂径计算 r2=d2+()2 a为弦长，d为弦心距 圆心角弧弦 同圆等圆中一组相等其余对应相等 前提是同圆或等圆 圆周角定理 圆周角=同弧所对圆心角的一半 注意是同一条弧 直径所对圆周角 直径所对圆周角为90° 见直径想直角 圆内接四边形 对角互补，外角等于内对角 四点共圆的重要性质 弧长/扇形面积 l=；S= n为圆心角度数不带单位 ⚠️ 核心考点 【考点1】圆的有关概念与点和圆、三角形外接圆（第1-8题） · 判断点与圆的位置，只需比较点到圆心的距离d与半径r的大小，d<r在圆内、d=r在圆上、d>r在圆外 · 已知点的位置关系求半径时，要注意点在圆内、圆外两种情形可能产生两解，分类讨论不遗漏 · 三角形外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等；锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点 · 网格中确定外接圆圆心，作两边的垂直平分线找交点，再用勾股定理求半径 · 直径是最长的弦；等弧必须在同圆或等圆中能够完全重合，仅长度相等不一定是等弧 1．（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】C 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项． 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 2．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交于点，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、圆的基本概念辨析、三角形内角和定理的应用 【分析】先利用直角三角形的两锐角互余求出的度数，再利用圆的半径相等得到，从而利用等腰三角形的性质得到，最后根据三角形内角和定理求出圆心角的度数，即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 的度数为． 3．（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则________． 【答案】16 【知识点】已知外心的位置判断三角形的形状、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过________秒，点P在上 【答案】或 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分两种情况，列式计算即可得解，解题的关键是能够分类讨论． 【详解】解：当第一次点在圆上时，秒， 当第二次点在圆上时，秒， 综上所述，经过或秒，点P在上， 故答案为：或． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E．连接，，则的度数为________． 【答案】/65度 【知识点】等边对等角、圆的基本概念辨析、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）及圆的半径相等的性质，解题的关键是利用圆的半径相等构造等腰三角形，结合直角三角形内角和逐步推导相关角度． 先计算出的度数；由圆的半径相等得，求出的度数；进而求出的度数；再结合求出的度数． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点为上的三个点，连接，延长交于点，，若，求的度数． 【答案】 【知识点】等边对等角、圆的基本概念辨析、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆的基本概念，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握圆中求角度的方法是解决问题的关键．由，，得，，根据等边对等角得，从而，再利用等边对等角及三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解： ，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是______；外接圆半径为______； (3)该圆圆心到弦的距离为______． 【答案】(1) 如图，点O即为所求； (2)， (3) 【知识点】勾股定理与网格问题、判断三角形外接圆的圆心位置、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了作外接圆的圆心，网格与勾股定理，垂径定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据外接圆是垂直平分线的交点，故作出，的垂直平分线，它们的交点即为外接圆的圆心O，即可作答． （2）观察（1）中的图，得出点O的坐标为，结合网格与勾股定理的性质，得出外接圆的半径 （3）取的中点H，连接结合垂径定理，得，得该圆圆心到弦的距离为即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：观察（1）中的图，得出点O的坐标为，外接圆的半径 故答案为：，； （3）解：取的中点H，连接， ，， ， 该圆圆心到弦的距离为， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读下列材料： 平面上两点，之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，设是圆心坐标为、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：，我们称其为圆心为，半径为r的圆的标准方程．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题． (1)圆的标准方程，则它的圆心是________，半径是________． (2)圆心为，半径为2的圆的标准方程为：____________； (3)若已知的标准方程为：，圆心为C，请判断点与的位置关系并说明理由． 【答案】(1)，5 (2) (3)解：点A在的内部，理由： ∵的标准方程为：， ∴圆心坐标为，， ∵点，AC= ∴点A在的内部． 【知识点】已知两点坐标求两点距离、判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查两点距离公式，圆的标准方程，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键． （1）先设圆上任意一点的坐标，根据圆的标准方程公式求解即可； （2）先根据圆的标准方程求出圆心坐标，利用两点距离公式求出点A到圆心的距离d，然后与半径r相比较，，点在圆外，，点在圆上，，点在圆内，即可判断点A与圆的位置关系． 【详解】（1）∵圆的标准方程，其中为圆心，为半径。 ∴，圆心为，半径。 故答案为：，5 （2）解：设圆上任意一点的坐标为， ∵，半径为2 ∴， 故答案为； （3）略 【考点2】垂径定理及其应用（第9-16题） · 见到圆中弦的问题，常过圆心作弦的垂线段，把垂径定理与勾股定理结合 · 牢记核心关系r2=d2+()2，已知其中两个量可求第三个量 · 垂径定理的推论：平分非直径弦的直径垂直于弦；弦的垂直平分线必过圆心 · 实际问题（如拱桥、轮截面）要先抽象出圆的模型，画出半径、半弦、弦心距的直角三角形 · 多解题注意弦所对的弧有优弧、劣弧之分，位置不确定时分类讨论 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知这两个定理的用法是正确解答此题的关键． 根据垂径定理得出的长，根据勾股定理得，即可求解． 【详解】解： 的直径垂直弦于点E，且，， ， 在中，， ， 故答案为：B． 10．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【答案】D 【知识点】垂径定理的推论、利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 11．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，点O为平行四边形内一点，以点O为圆心，为半径作圆，恰好经过点B和点C，且，，，则的半径为_____． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，利用勾股定理建立方程求解． 延长交于点，连接，可得，由垂径定理得到，则，设，则，再在中运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴， ∴， 设，则， ∵， ， 解得， ∴的半径为， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A，B，C在上，顺次连结，，，且，， (1)求的度数； (2)若的半径为3．求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系，垂径定理以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据 即可求解； （2）求出的度数可得，过点作交于点连接，分别求出即可求解． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， 如图，过点作交于点连接， 则过， 由（1）可得． ∴， ∵的半径为3， ∴， ∴， ∴ 13．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，已知线段是的一条弦． (1)实践与操作：用尺规作图法作出圆心O；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：若弦，圆心O到的距离为4，求的半径． 【答案】(1)如图所示，点O即为所求； (2) 【知识点】确定圆心(尺规作图)、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了尺规作图—确定圆心，垂径定理，勾股定理： （1）如图所示，在圆上取一点C，连接，分别作的垂直平分线，二者交于点O，点O即为所求； （2）连接，由垂径定理得到，再由，即可利用勾股定理得到． 【详解】（1）解：在圆上取一点C，连接，分别作的垂直平分线，二者交于点O，点O即为所求； （2）解：如图所示，连接， ∵，，圆心O到的距离为4， ∴， ∴， ∴的半径为． 14．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，弦与半径垂直于点D，连接、．点E为的中点，连接． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边对等角、利用垂径定理求值 【分析】（1）根据垂径定理得到，则，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到的长； 14.利用等腰三角形的性质和三角形的内角和计算出，然后利用得到． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∵点E为的中点， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了直角三角形斜边上的中线性质． 15．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图1，，是的弦，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，，求的半径． 【答案】(1) 证明：， ， ，即， ； （也可通过证明三角形全等解决） (2)13 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关基本知识． （1）欲证明，只要证明即可； （2）过点O作于点E，交于点F，连接，根据 得出，在中利用勾股定理求出，设的半径为r，则，利用勾股定理求出r即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，， ，， 又，， ， ， 在中，， 设的半径为，中，， ， 解得，即的半径为13． 16．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为． (1)求桥拱的半径； (2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：不需要采取紧急措施，理由如下： 如图，连接， ， ， ， ， ， 不需要采取紧急措施． 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程． （1）设桥拱的半径是，由垂径定理求出，而，由勾股定理得到，求出； （2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长即可得解． 【详解】（1）解：如图半径，， 设桥拱的半径是， ， ， 拱高为， ， ， ， ， 桥拱的半径是； （2）略 【考点3】圆心角、圆周角定理与圆内接四边形（第17-28题） · 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，找准是哪一条弧所对的角是关键 · 见直径想直角：直径所对的圆周角是90°；反过来，90°的圆周角所对的弦是直径 · 同弧或等弧所对的圆周角相等，常用来进行角的等量代换，沟通不同三角形中的角 · 圆内接四边形对角互补，任一外角等于它的内对角；常与圆周角定理结合求角度 · 坐标与圆综合时，利用直径所对圆周角为直角或半径相等建立方程求解 17．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）下列图形中，线段是所在圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题主要考查了圆周角定理推论：度的圆周角所对的弦是直径，据此逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； B．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； C．图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，故选项符合题意； D．图中直角是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； 故选：C． 18．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，的两条弦，相交于点E，且，连接，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、圆周角定理 【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质，熟知圆周角定理是解答的关键． 先根据圆周角定理求得，再根据等边对等角求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 19．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是的直径，点、在上，．则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【详解】解：∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，现以三角形的一条边为直径作圆，圆与另外两条边所在的直线交于点D，E（D，E不与的顶点重合），则的长为（    ）    A．或 B．或 C．或2π D．或 【答案】A 【知识点】等边对等角、三线合一、求弧长、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的性质等，分两种情况讨论，作出图形，根据等腰三角形的性质，利用圆周角定理求得∠DOE的度数，然后求得圆O的半径，利用弧长公式求得即可． 【详解】解：如图1，以为直径作，交于D，交、的延长线于点D、E，连接、，    ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，O是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 如图2，以为直径作，交于D，交的延长线于E，连接、，    ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 综上，的长为或， 故选：A． 21．（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【知识点】坐标与图形、求四边形外接圆的直径、含30度角的直角三角形、圆周角定理 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 22．（2024·北京·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，以 O 为圆心作，点A 、C分别是 与y轴正半轴、x轴正半轴的交点，点B 、D在 上，那么的度数是 ______ ． 【答案】/135度 【知识点】坐标与图形、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】本题主要考查了坐标与图形，圆周角定理，利用“在同圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”求得；然后由圆内接四边形的对角互补来求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵点A、B、C、D共圆， ∴， ∴． 故答案是：． 23．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若内接于，则圆周角________． 【答案】50或130 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，以及圆内接四边形性质，根据内接于，分两种情况讨论，①当点C在优弧上时，②当点C在劣弧上时，在优弧上找点D，连接，根据以上两种情况画出图形进行分析求解，即可解题． 【详解】解：如图，①当点C在优弧上时， 则； 如图，②当点C在劣弧上时，在优弧上找点D，连接， 则可得， 根据圆的内接四边形的性质可得， ∴， ∴， ∴的度数是或． 故答案为：50或130． 24．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 【答案】 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度、三角形内角和定理的应用 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 25．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在半圆中，直径，半圆上一点，于点，若，则的长是________． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，连接，，证明，推出可得结论，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，连接，， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵ ， ∴， ， ∴， ∵， ， 故答案为：． 26．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，和都是等边三角形，，连结，，为直线，的交点，连结，当线段最长时，的值是______． 【答案】/ 【知识点】等边三角形的性质、求过圆内一点的最长弦、圆周角定理、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，圆中最长的弦相关问题，解直角三角形，掌握了以上知识是解答本题的关键； 本题先证明，得出、、、四点共圆，进而作的外接圆，当为直径时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、、、四点共圆， 如图： 作的外接圆，当为直径时，取得最大值， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的判定、半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）连接，先根据圆周角定理的推论得到，进而可知是的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质结合等边对等角即可求出的度数； （2）由题意可知四边形是的内接四边形，可得，根据等边对等角结合三角形内角和求出，最后根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：∵以为直径的分别交，于点D，E， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，垂直平分线的判定和性质，等边对等角，内接四边形的判定和性质，三角形内角和，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 28．（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形内接于，，过点C作，使得，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、已知圆内接四边形求角度、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、圆周角定理 【分析】（1）连接，根据，推出，根据，得到，根据圆内接四边形性质得到，得到，结合共用，推出，得到； （2）证明是的直径，得到，根据，得到．根据勾股定理得到，根据等腰直角三角形性质即得． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． ∵， ∴是的直径， ∴， 由（1）可得． ∵， ∴ ．在 中， ， 在中， ． 【点睛】本题主要考查圆有关性质．熟练掌握弧，弦，圆周角之间的关系，圆内接四边形的性质，等边对等角，勾股定理解直角三角形，圆周角定理及推论，全等三角形的性质与判定，作出辅助线构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键． 【考点4】弧、弦、圆心角之间的关系（第29-38题） · 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三者知其一相等可推出其余两组对应相等 · 证明弧、弦相等时，常通过证明它们所对的圆心角相等，或利用全等三角形 · 弧的度数等于它所对圆心角的度数，求弧的度数转化为求圆心角 · 半径相等常构造等腰三角形，结合等边对等角与三角形内角和进行角度计算 · 利用弧、弦关系证明线段或角相等时，注意先说明在同圆或等圆这一前提 29．（2024·广东茂名·一模）如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、 求圆弧的度数 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 由为的直径，得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的， ∴， ∴． ∴所对的圆心角度数为． 故选：C． 30．（2024·安徽亳州·二模）如图，是的两条直径，点是劣弧的中点．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】连接，如图所示，由对顶角性质、邻补角定义得到，再由同弧所对的圆心角相等及等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理求出角度即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示：    ， ， 点是劣弧的中点， ，则， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及对顶角性质、邻补角定义、同弧所对圆心角相等、圆的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和等知识，熟记相关几何性质，数形结合找准各个角度之间的关系是解决问题的关键． 31．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，则下列结论正确的有（   ）个． ①，②，③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质．根据圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质逐一判断即可． 【详解】解：在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 观察四个结论，只有③错误，其余3个正确； 故选：B． 32．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，在中，，，则______． 【答案】/30度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】由可得，再根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ， ， ， ∴． 33．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点 ，，， 在上． （）若，则 ________________； （）若，则 ________________． 【答案】 = = 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题题考查了圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等，即四者有一个相等，则其它三个都相等． 【详解】解：（1）∵， ∴． 故答案为：=； （2）∵， ∴． 故答案为：=． 34．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为___________． 【答案】/52度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、 求圆弧的度数 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． 连接，如图，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 35．（21-22九年级上·广东东莞·期中）如图，是的直径，，，则________． 【答案】/42度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题主要考查了圆心角和圆周角的关系，圆周角和弧的关系等知识点，解决此题的关键是合理的正确的计算，先根据等弧所对的圆周角相等得到，再求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴, 故答案为： 36．（2024·青海西宁·中考真题）如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则______． 【答案】/度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了已知圆内接四边形求角度，半圆（直径）所对的圆周角是直角，利用弧、弦、圆心角的关系求解，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 连接，根据圆内接四边形性质求得，结合弧、弦、圆心角的关系推出，进而得到，再利用半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：连接， 四边形内接于，， ， ， ， ， 为直径， ， ； 故答案为：． 37．（25-26九年级上·全国·阶段检测）如图，是的两条弦，点分别在弧、弧上，且是的中点．求证：． 【答案】 证明：是的中点， ， ， ， ， ． 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查了同圆中弧、弦的关系，掌握在同圆中等弦对等弧，等弧对等弦是解题的关键． 首先由是的中点，得出，再由根据等弦对等弧得出，然后由等式的性质和等弧对等弦证出结论． 【详解】略 38．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的弦（非直径），以A为圆心，为半径画弧，交于点C，以B为圆心，为半径画弧，交于点D，C，D位于的两侧，连接． (1)求证：． (2)连接，若，，求的长．（结果保留） 【答案】(1) 证明：连接， 由题可得， ∴，均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、求弧长 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，求弧长； （1）连接，由作图可知，均为等边三角形，进而得到，等角对等弧，得到，进而得到，即可得证； （2）求出，利用弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，即半径为5， ∴． 【考点5】正多边形和圆（第39-45题） · 正n边形的中心角为，已知中心角可反求边数n= · 正多边形的计算常转化为由半径、边心距、半边组成的直角三角形，用勾股定理或解直角三角形 · 正多边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴；偶数边正多边形又是中心对称图形 · 几个正多边形共用一个圆时，通过各自中心角占圆周的份数（即度数）建立关系 · 位似、相似与正多边形综合时，抓住对应边成比例、对应角相等 39．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形．若正六边形的半径为1，则这个正六边形的边长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查正多边形和圆，连接，得出是等边三角形，可得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵六边形是的内接正六边形， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴ 故选：A 40．（2026·广西柳州·一模）如图，正六边形内接于，半径为，若G为的中点，连接，则的长度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、圆周角定理 【分析】本题主要考查正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的判定与性质，圆周角定理知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 连接，根据正六边形的性质可得 为的直径，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而求出，根据为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接 正六边形内接于， ∴ 为的直径． 又， 是等边三角形， ． ∵是的直径， ∴,， ∴在中，， 是的中点， ， 在中， ． 故选：B． 41．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，正五边形的顶点在上，是优弧上的一点（不与点重合），连接，则的度数为______．    【答案】/54度 【知识点】正多边形和圆的综合、圆周角定理 【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理等知识点，理解圆周角定理是解题的关键． 先根据正多边形内角和定理求得再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵是优弧上的一点（不与点重合）， ∴． 故答案为：． 42．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ________．    【答案】/18度 【知识点】等边对等角、正多边形和圆的综合、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据正多边形和圆的性质求出中心角的度数，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可，掌握正多边形中心角的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提． 【详解】解：如图，连接、，    ∵五边形是的内接正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 43．（23-24九年级下·四川成都·开学考试）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为___________． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、求两个位似图形的相似比、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查位似图形的性质，正方形的性质，勾股定理，解题关键求出正方形的边长．根据正方形的边长为和位似比求出，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 正方形与四边形是位似图形， 四边形是正方形， ∴， 是四边形的外接圆直径， 正方形的边长为，， ， ∴， 四边形的外接圆半径为， 故答案为：． 44．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、线段中点的有关计算 【分析】（1）连接，，根据正六边形的性质可得，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而可求解． （2）连接，，由为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解． 【详解】（1）解：连接，，如图：   六边形是正六边形， ， 又 ，是的半径，且半径为， ， 是等边三角形， ． （2）连接，，如图：    则为的直径， ，， 由（1）得：， 在中，， ， G为的中点， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理及圆周角，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 45．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）综合与实践 某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．      【探究发现】 当周长为时，计算回答下列问题： （1）正方形的面积为________． （2）如图，正，该正三角形的面积为多少？请写出计算过程． （3）直接写出该周长下，正六边形和圆的面积．比较在同一周长下，、、、的大小关系．（参考数据：，）    【应用结论】 张强同学假期看望爷爷奶奶，发现爷爷准备在空地上围一个简易羊圈，用来给怀胎和产仔的的母羊单独喂食．爷爷买了的护栏网，若不计损耗，围成的简易羊圈场地面积，是否能达到，若能，该如何围？若不能，说明理由． 【答案】[探究发现]（1）；（2）或（3）； [应用结论]能， 护栏网围成圆时，面积能达到； 根据【探究发现】可知，围成圆时，面积最大， ∵的周长为， ∴半径为， ∴面积为； ∴尽量围成圆时，简易羊圈场地面积能达到． 【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理的应用； 【探究发现】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据等边三角形的性质，勾股定理求得高，进而根据面积公式，即可求解; （3）根据圆的面积公式，以及正六边形的性质分别求解，进而比较大小，即可求解； 【应用结论】根据【探究发现】可得圆面积最大，进而计算周长为的圆的面积，即可求解． 【详解】解：（1）∵正方形的周长为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故答案为：． （2）解：作于点， 是等边三角形，周长为，则， ， 在中，由勾股定理得：， ；    （3）∵的周长为， ∴半径为， ∴面积为； ∵正六边形的周长为，则边长为， ∴正六边形的面积为；    ∵、、、， ∴， 【应用结论】略 【考点6】弧长与扇形面积计算（第46-52题） · 弧长公式l=与扇形面积公式S=、S=lR要灵活选用 · 求不规则（阴影）图形面积，常通过割补、旋转、平移转化为规则图形的和或差 · 弓形面积：当弓形所含弧为劣弧时，S弓形=S扇形-S三角形；为优弧时则相加 · 点运动路径长问题，先判断轨迹是一段弧，再确定圆心角与半径，代入弧长公式 · 折叠问题抓住折叠前后对应边、对应角相等，结合扇形面积与勾股定理求解 46．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求弓形面积、等边三角形的判定和性质、求扇形面积 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 47．（2024·山西晋中·三模）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，且这条弧恰好也经过点，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、求其他不规则图形的面积、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了圆中不规则图形的面积求法，熟练掌握割补法、勾股定理、等边三角形的性质与判定是解题的关键．连接，先判定是等边三角形，得出有关三角形的角度，再利用勾股定理、直角三角形的性质进行边的求解，最后利用割补法求面积． 【详解】解：如图，连接， ∵以点为圆心，的长为半径画弧交于点， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧交于点，且这条弧恰好也经过点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为中点， ∴， ∴， 故选：D． 48．（2024·四川广元·二模）如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点落在弧的中点处．若折痕，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【知识点】折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长、求其他不规则图形的面积、求扇形面积 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，掌握正方形的判定方法和性质，不规则图形面积的计算方法是解题的关键． 根据折叠的性质可得，可得，，可得四边形是正方形，再根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵将扇形折叠，点落在弧的中点处， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴，， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为： ． 49．（21-22八年级下·四川德阳·阶段检测）如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是_____________． 【答案】 【知识点】求弓形面积、用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了弓形面积计算，阴影面积计算，勾股定理，设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为，得到；正确分割表示阴影的面积是解题的关键． 【详解】设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为， 根据题意，得，， ∴， ∵， ∴ ， ∵中，，， ∴， ． 故答案为：24． 50．（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 (1)画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． (2)在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 【答案】(1) 如图，即为所求,． (2) 【知识点】画旋转图形、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查旋转变换，弧长的计算，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． 根据旋转的性质作图即可； 利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴点B的运动路径长为 51．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是一段管道的示意图，已知，中心线的两条圆弧半径都为，求这段管道的长（中心虚线的长）．（结果精确到） 【答案】 【知识点】求弧长、求一个数的近似数 【分析】根据弧长公式，结合图形计算即可． 【详解】解：． 答：图中管道的展直长度约为． 52．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，在 5×5 的正方形网格中，点A，B，C 都在小正方形的顶点上， 一条圆弧经过A ，B ，C 三点． (1)请你确定这条圆弧所在圆的圆心 O；连接，则的度数为 ； (2)设最小正方形的边长为1，求的长（结果保留根号）． 【答案】(1) 图中点O即为所求． (2) 【知识点】确定圆心(尺规作图)、勾股定理与网格问题、线段垂直平分线的性质、求弧长 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、勾股定理、圆心的缺点等知识，正确确定圆心是解题的关键． （1）线段、线段的垂直平分线的交点即为圆心O．图中点O即为所求．易知，即可推出； （2）利用弧长公式计算即可解答． 【详解】（1）解：线段、线段的垂直平分线的交点即为圆心O． ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：． （2）解：在中， ∵， ∴的弧长． 💯 课后巩固 复习建议 · 圆的概念辨析要紧扣定义，点与圆位置关系由d与r的大小判定 · 垂径问题牢记作弦心距，用r2=d2+()2结合勾股定理 · 圆周角定理注意同弧所对，见直径想直角，圆内接四边形对角互补 · 弧、弦、圆心角的转化要在同圆或等圆中进行，半径相等构造等腰三角形 · 弧长与扇形面积先选对公式，阴影面积用割补法转化为规则图形 【作业1】．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【知识点】求正多边形的中心角、已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接，，    ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 【作业2】．（2025·山东东营·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算 【分析】本题主要考查了圆心角，圆的等分，根据八个方位将圆形八等分，求出相邻两个方位间所夹的圆心角度数即可． 【详解】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 【作业3】．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据等弧所对的圆心角相等得到，再由对顶角相等得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径，即点O是与的交点， ∴， ∴， 故选：D． 【作业4】．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知点A，B，且，画经过A，B两点且半径为2的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了圆的定义，掌握圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合成为解题的关键． 根据圆的定义可知：经过A、B两点的圆的圆心都在线段的垂直平分线上，结合的长可判断垂直平分线上点到点A和B的距离等于2的点有2个即可解答． 【详解】解：经过A、B两点的圆的圆心都在线段的垂直平分线上，而， ∴垂直平分线上点到点A和B的距离的点有2个， ∴经过A、B两点且半径为2的圆有2个． 故选：C． 【作业5】．（23-24九年级上·浙江·阶段检测）如图是唐代李皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线段为，轮子的吃水深度，则该桨轮船的轮子直径为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过点作交于点，交于点，根据垂径定理可知，根据题意知，用半径表示出，利用勾股定理即可求解，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点， 根据垂径定理可知，根据题意知， ， 在中，， ， 解得， ∴该桨轮船的轮子直径为， 故选：． 【作业6】．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为____________． 【答案】/60度 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质， 连接、，证明为等边三角形得到即可，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，    直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 【作业7】．（2024·浙江温州·三模）温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为______米． 【答案】20 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接，设半径为米，则米，由垂径定理可得米，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接， ， 设半径为米，则米， ∵跨度为24米，， ∴米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴这个弧形石拱桥设计的半径为米， 故答案为：． 【作业8】．（24-25九年级上·广东阳江·阶段检测）如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于______． 【答案】/72度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边对等角 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键。 由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆心角、弧、弦的关系求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【作业9】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知的半径为，若点到点的距离为，则点在______．（填“内”“外”或“上”） 【答案】内 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据点与圆的位置关系判断点的位置即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴的半径， ∵点到圆心的距离， ∴， ∴点在内． 【作业10】．（25-26九年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，四边形为圆内接四边形，为直径，连接，若，则_____． 【答案】/140度 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】根据圆周角定理，可求，再根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解： ， ， 四边形为 圆内接四边形， ． 【作业11】．（24-25九年级上·全国·单元测试）在同一平面内，的半径是8，点不在上，若点到上的点的最小距离是，则点到上的点最大距离是___________． 【答案】13或19 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴，， ∴， ∴最大距离是13； 当点在外，如图2， ∴，， ∴， ∴最大距离是19； 综上所述，的半径是13或19； 故答案为：13或19． 【作业12】．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）如图，多边形是正八边形，点M是延长线上一点，连接，则的度数为________． 【答案】/112.5度 【知识点】求正多边形的中心角、等边对等角、正多边形和圆的综合、三角形内角和定理的应用 【分析】设点O为正八边形的外接圆圆心，连接，则，求出正八边形中心角，再利用三角形内角和定理求出，最后再利用平角的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，设点O为正八边形的外接圆圆心，连接， 则， ∵， ∴， ∴． 【作业13】．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是的直径，弦于，若，，则的长为______． 【答案】13 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】利用垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【作业14】．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段检测）如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是_________． 【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．根据对顶角相等得到，，，得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业15】．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．，若，，求的半径． 【答案】的半径为． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理等；连接，设，可得 ，由线段和差得 ，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ， ， ， ， 为直径，， ， 在中， ， ， 解得：（舍去），， 故的半径为． 【作业16】．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 【答案】(1) 如图所示，点即为所求． (2) 【知识点】勾股定理与网格问题、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】本题考查了三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （2）连接计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 【作业17】．（24-25九年级下·河南新乡·开学考试）如图，切于A、B，若，半径为3，求阴影部分面积． 【答案】 【知识点】应用切线长定理求解、求其他不规则图形的面积 【分析】此题考查了切线长定理，直角三角形的性质，扇形面积公式等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．首先根据切线长定理，可求得的度数与，又由直角三角形的性质，可求得的长，然后求得与扇形的面积，由  则可求得结果． 【详解】解：连接与， ∵切于A、B，若， ∴，， ∴， ∵半径为3， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ∴阴影部分面积为：． 【作业18】．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，正六边形内接于，半径为4． (1)求点O到的距离； (2)求正六边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查的是正多边形与圆、锐角三角函数的应用． （1）连接、，作于H，先求出，再由三线合一定理得到，最后根据余弦的定义计算即可； （2）先解直角三角形得到，则，再根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算． 【详解】（1）解：连接、，作于H， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O到的距离为； （2）解：在中，， ∴， ∴正六边形的面积． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章·圆的基本性质·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角等有关概念，能判断点与圆的位置关系并确定三角形的外接圆 · 掌握垂径定理及其推论，能结合勾股定理进行弦长、半径、弦心距的计算 · 掌握圆心角、弧、弦之间的关系，能在同圆或等圆中进行相互转化与角度计算 · 掌握圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质，能进行角度与线段的综合推理 · 了解正多边形和圆的关系，掌握弧长与扇形面积公式，能解决简单的实际与综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.圆的有关概念与点和圆的位置关系 圆：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，定点是圆心，定长是半径；圆既是轴对称图形又是中心对称图形 弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是圆中最长的弦 弧：圆上任意两点间的部分叫弧，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧；能够重合的两条弧叫等弧 点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆上⇔d=r，点在圆内⇔d<r，点在圆外⇔d>r 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆，圆心是三边垂直平分线的交点（外心），外心到三个顶点的距离相等 概念辨析例题：已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为OP=3，则点P在⊙O的____；若OP=5，则点P在____；若OP=7，则点P在____ 答案：圆内；圆上；圆外 解析：设半径r=5。OP=3<5，点P在圆内；OP=5=r，点P在圆上；OP=7>5，点P在圆外。比较点到圆心的距离d与半径r的大小即可判定位置关系。 ☆ 2.垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心 计算模型：过圆心作弦的垂线段（弦心距d），则半径r、弦长的一半、弦心距d构成直角三角形，满足r2=d2+()2 常用辅助线：见弦作弦心距，构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，用勾股定理求解 概念辨析例题：⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则弦AB的长为____ 答案：8 解析：过O作OC⊥AB于C，则AC=CB。在Rt△OAC中，OA=5，OC=3，由勾股定理得AC==4，所以AB=2AC=8。 ☆ 3.圆心角、弧、弦之间的关系 圆心角：顶点在圆心的角；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等 推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，其余各组量也分别相等 弧的度数：弧的度数等于它所对圆心角的度数；圆心角的度数与它所对弧的度数一致 解题时常利用半径相等得到等腰三角形，结合三角形内角和与等边对等角进行角度转化 概念辨析例题：在同圆中，若圆心角∠AOB=60°，则它所对的弦AB与劣弧AB的关系是：弦AB所对的圆心角为____度，劣弧AB的度数为____度 答案：60；60 解析：圆心角的度数等于它所对弧的度数。∠AOB=60°，它所对的劣弧AB的度数也是60°。 ☆ 4.圆周角定理与圆内接四边形 圆周角：顶点在圆上、两边都与圆相交的角；圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 圆内接四边形：四个顶点都在同一个圆上的四边形；圆内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角 概念辨析例题：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ABC=35°，则∠BAC=____ 答案：55° 解析：AB是直径，由直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=90°。在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=90°-35°=55°。 ☆ 5.正多边形和圆、弧长及扇形面积 正多边形和圆：把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 正多边形的有关概念：中心（外接圆圆心）、半径（外接圆半径）、中心角（每一边所对的圆心角）、边心距（中心到边的距离）；正n边形的中心角为 弧长公式：半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l= 扇形面积公式：S扇形==lR；弓形面积常用扇形面积与三角形面积的和或差来计算 概念辨析例题：一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为____，面积为____ 答案：2π；3π 解析：弧长l===2π；扇形面积S===3π，也可用S=lR=×2π×3=3π。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 点与圆位置 d>r在外；d=r在上；d<r在内 d是点到圆心的距离 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦及其所对弧 见弦作弦心距，构造直角三角形 垂径计算 r2=d2+()2 a为弦长，d为弦心距 圆心角弧弦 同圆等圆中一组相等其余对应相等 前提是同圆或等圆 圆周角定理 圆周角=同弧所对圆心角的一半 注意是同一条弧 直径所对圆周角 直径所对圆周角为90° 见直径想直角 圆内接四边形 对角互补，外角等于内对角 四点共圆的重要性质 弧长/扇形面积 l=；S= n为圆心角度数不带单位 ⚠️ 核心考点 【考点1】圆的有关概念与点和圆、三角形外接圆（第1-8题） · 判断点与圆的位置，只需比较点到圆心的距离d与半径r的大小，d<r在圆内、d=r在圆上、d>r在圆外 · 已知点的位置关系求半径时，要注意点在圆内、圆外两种情形可能产生两解，分类讨论不遗漏 · 三角形外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等；锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点 · 网格中确定外接圆圆心，作两边的垂直平分线找交点，再用勾股定理求半径 · 直径是最长的弦；等弧必须在同圆或等圆中能够完全重合，仅长度相等不一定是等弧 1．（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 2．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交于点，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则________． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过________秒，点P在上 5．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E．连接，，则的度数为________． 6．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点为上的三个点，连接，延长交于点，，若，求的度数． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是______；外接圆半径为______； (3)该圆圆心到弦的距离为______． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读下列材料： 平面上两点，之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，设是圆心坐标为、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：，我们称其为圆心为，半径为r的圆的标准方程．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题． (1)圆的标准方程，则它的圆心是________，半径是________． (2)圆心为，半径为2的圆的标准方程为：____________； (3)若已知的标准方程为：，圆心为C，请判断点与的位置关系并说明理由． 【考点2】垂径定理及其应用（第9-16题） · 见到圆中弦的问题，常过圆心作弦的垂线段，把垂径定理与勾股定理结合 · 牢记核心关系r2=d2+()2，已知其中两个量可求第三个量 · 垂径定理的推论：平分非直径弦的直径垂直于弦；弦的垂直平分线必过圆心 · 实际问题（如拱桥、轮截面）要先抽象出圆的模型，画出半径、半弦、弦心距的直角三角形 · 多解题注意弦所对的弧有优弧、劣弧之分，位置不确定时分类讨论 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 11．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，点O为平行四边形内一点，以点O为圆心，为半径作圆，恰好经过点B和点C，且，，，则的半径为_____． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A，B，C在上，顺次连结，，，且，， (1)求的度数； (2)若的半径为3．求的面积． 13．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，已知线段是的一条弦． (1)实践与操作：用尺规作图法作出圆心O；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：若弦，圆心O到的距离为4，求的半径． 14．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，弦与半径垂直于点D，连接、．点E为的中点，连接． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 15．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图1，，是的弦，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，，求的半径． 16．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为． (1)求桥拱的半径； (2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 【考点3】圆心角、圆周角定理与圆内接四边形（第17-28题） · 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，找准是哪一条弧所对的角是关键 · 见直径想直角：直径所对的圆周角是90°；反过来，90°的圆周角所对的弦是直径 · 同弧或等弧所对的圆周角相等，常用来进行角的等量代换，沟通不同三角形中的角 · 圆内接四边形对角互补，任一外角等于它的内对角；常与圆周角定理结合求角度 · 坐标与圆综合时，利用直径所对圆周角为直角或半径相等建立方程求解 17．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）下列图形中，线段是所在圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，的两条弦，相交于点E，且，连接，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 19．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是的直径，点、在上，．则（     ） A． B． C． D． 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，现以三角形的一条边为直径作圆，圆与另外两条边所在的直线交于点D，E（D，E不与的顶点重合），则的长为（    ）    A．或 B．或 C．或2π D．或 21．（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 22．（2024·北京·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，以 O 为圆心作，点A 、C分别是 与y轴正半轴、x轴正半轴的交点，点B 、D在 上，那么的度数是 ______ ． 23．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若内接于，则圆周角________． 24．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 25．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在半圆中，直径，半圆上一点，于点，若，则的长是________． 26．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，和都是等边三角形，，连结，，为直线，的交点，连结，当线段最长时，的值是______． 27．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 28．（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形内接于，，过点C作，使得，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【考点4】弧、弦、圆心角之间的关系（第29-38题） · 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三者知其一相等可推出其余两组对应相等 · 证明弧、弦相等时，常通过证明它们所对的圆心角相等，或利用全等三角形 · 弧的度数等于它所对圆心角的度数，求弧的度数转化为求圆心角 · 半径相等常构造等腰三角形，结合等边对等角与三角形内角和进行角度计算 · 利用弧、弦关系证明线段或角相等时，注意先说明在同圆或等圆这一前提 29．（2024·广东茂名·一模）如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 30．（2024·安徽亳州·二模）如图，是的两条直径，点是劣弧的中点．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 31．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，则下列结论正确的有（   ）个． ①，②，③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 32．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，在中，，，则______． 33．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点 ，，， 在上． （）若，则 ________________； （）若，则 ________________． 34．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为___________． 35．（21-22九年级上·广东东莞·期中）如图，是的直径，，，则________． 36．（2024·青海西宁·中考真题）如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则______． 37．（25-26九年级上·全国·阶段检测）如图，是的两条弦，点分别在弧、弧上，且是的中点．求证：． 38．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的弦（非直径），以A为圆心，为半径画弧，交于点C，以B为圆心，为半径画弧，交于点D，C，D位于的两侧，连接． (1)求证：． (2)连接，若，，求的长．（结果保留） 【考点5】正多边形和圆（第39-45题） · 正n边形的中心角为，已知中心角可反求边数n= · 正多边形的计算常转化为由半径、边心距、半边组成的直角三角形，用勾股定理或解直角三角形 · 正多边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴；偶数边正多边形又是中心对称图形 · 几个正多边形共用一个圆时，通过各自中心角占圆周的份数（即度数）建立关系 · 位似、相似与正多边形综合时，抓住对应边成比例、对应角相等 39．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形．若正六边形的半径为1，则这个正六边形的边长为（   ） A．1 B． C． D． 40．（2026·广西柳州·一模）如图，正六边形内接于，半径为，若G为的中点，连接，则的长度为（   ）． A． B． C． D． 41．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，正五边形的顶点在上，是优弧上的一点（不与点重合），连接，则的度数为______．    42．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ________．    43．（23-24九年级下·四川成都·开学考试）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为___________． 44．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 45．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）综合与实践 某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．      【探究发现】 当周长为时，计算回答下列问题： （1）正方形的面积为________． （2）如图，正，该正三角形的面积为多少？请写出计算过程． （3）直接写出该周长下，正六边形和圆的面积．比较在同一周长下，、、、的大小关系．（参考数据：，）    【应用结论】 张强同学假期看望爷爷奶奶，发现爷爷准备在空地上围一个简易羊圈，用来给怀胎和产仔的的母羊单独喂食．爷爷买了的护栏网，若不计损耗，围成的简易羊圈场地面积，是否能达到，若能，该如何围？若不能，说明理由． 【考点6】弧长与扇形面积计算（第46-52题） · 弧长公式l=与扇形面积公式S=、S=lR要灵活选用 · 求不规则（阴影）图形面积，常通过割补、旋转、平移转化为规则图形的和或差 · 弓形面积：当弓形所含弧为劣弧时，S弓形=S扇形-S三角形；为优弧时则相加 · 点运动路径长问题，先判断轨迹是一段弧，再确定圆心角与半径，代入弧长公式 · 折叠问题抓住折叠前后对应边、对应角相等，结合扇形面积与勾股定理求解 46．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 47．（2024·山西晋中·三模）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，且这条弧恰好也经过点，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 48．（2024·四川广元·二模）如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点落在弧的中点处．若折痕，则图中阴影部分的面积为________． 49．（21-22八年级下·四川德阳·阶段检测）如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是_____________． 50．（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 (1)画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． (2)在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 51．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是一段管道的示意图，已知，中心线的两条圆弧半径都为，求这段管道的长（中心虚线的长）．（结果精确到） 52．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，在 5×5 的正方形网格中，点A，B，C 都在小正方形的顶点上， 一条圆弧经过A ，B ，C 三点． (1)请你确定这条圆弧所在圆的圆心 O；连接，则的度数为 ； (2)设最小正方形的边长为1，求的长（结果保留根号）． 💯 课后巩固 复习建议 · 圆的概念辨析要紧扣定义，点与圆位置关系由d与r的大小判定 · 垂径问题牢记作弦心距，用r2=d2+()2结合勾股定理 · 圆周角定理注意同弧所对，见直径想直角，圆内接四边形对角互补 · 弧、弦、圆心角的转化要在同圆或等圆中进行，半径相等构造等腰三角形 · 弧长与扇形面积先选对公式，阴影面积用割补法转化为规则图形 【作业1】．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【作业2】．（2025·山东东营·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知点A，B，且，画经过A，B两点且半径为2的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【作业5】．（23-24九年级上·浙江·阶段检测）如图是唐代李皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线段为，轮子的吃水深度，则该桨轮船的轮子直径为( ) A． B． C． D． 【作业6】．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为____________． 【作业7】．（2024·浙江温州·三模）温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为______米． 【作业8】．（24-25九年级上·广东阳江·阶段检测）如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于______． 【作业9】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知的半径为，若点到点的距离为，则点在______．（填“内”“外”或“上”） 【作业10】．（25-26九年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，四边形为圆内接四边形，为直径，连接，若，则_____． 【作业11】．（24-25九年级上·全国·单元测试）在同一平面内，的半径是8，点不在上，若点到上的点的最小距离是，则点到上的点最大距离是___________． 【作业12】．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）如图，多边形是正八边形，点M是延长线上一点，连接，则的度数为________． 【作业13】．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是的直径，弦于，若，，则的长为______． 【作业14】．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段检测）如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是_________． 【作业15】．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．，若，，求的半径． 【作业16】．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 【作业17】．（24-25九年级下·河南新乡·开学考试）如图，切于A、B，若，半径为3，求阴影部分面积． 【作业18】．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，正六边形内接于，半径为4． (1)求点O到的距离； (2)求正六边形的面积． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $