第2章·随机事件的概率·期中复习讲义·2026-2027学年浙教版九年级数学上册

参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 深刻理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，能准确判断三类事件并比较可能性大小 · 熟练掌握等可能事件的概率公式P(A)=，能进行简单的概率计算 · 掌握列举法、列表法与画树状图法求等可能事件的概率，能有条理地列举所有等可能结果 · 理解频率与概率的关系，会用大量重复试验中频率的稳定值估计概率，并由概率估计总体数量 · 能判断游戏的公平性，运用概率知识解决转盘、摸球、比赛等实际压轴问题 📚 知识梳理 ☆ 1.事件的分类与可能性大小 必然事件：一定发生的事件；不可能事件：一定不发生的事件，两者统称确定事件 随机事件：可能发生也可能不发生的事件，随机事件发生的可能性有大小之分 可能性越大的事件概率越接近1，可能性越小的事件概率越接近0 判断事件类型要紧扣「在一定条件下」，可结合成语、生活实例还原 概念辨析例题：「守株待兔」「拔苗助长」「水涨船高」「刻舟求剑」四个成语中，属于必然事件的是____ 答案：水涨船高 解析：水涨船高一定发生，是必然事件；守株待兔可能发生也可能不发生，是随机事件；拔苗助长、刻舟求剑一定不会成功，是不可能事件。 ☆ 2.概率的意义与等可能事件 概率：事件A发生的可能性大小的数值，记作P(A)，0≤P(A)≤1 必然事件P(A)=1，不可能事件P(A)=0，随机事件满足0<P(A)<1 等可能事件：一次试验中各种结果出现的可能性大小相等；若共有n种等可能结果，事件A包含m种，则P(A)= 公式中m是事件A包含的结果数，n是所有等可能结果的总数，且0≤m≤n 概念辨析例题：一个不透明袋子中有3个红球和5个黄球，从中任意摸出1个球，求摸到红球的概率 答案： 解析：袋中共有8个球即8种等可能结果，其中摸到红球有3种，所以P(摸到红球)=。 ☆ 3.列举法、列表法与树状图法 列举法：一步试验直接列举所有等可能结果，再用P(A)=计算 列表法：两步试验时用表格横竖列出所有等可能结果，做到清晰、不重不漏 树状图法：两步及以上试验时画树状图，自上而下逐层分叉列举所有结果 求概率前先确认每种结果等可能，再数准事件A包含的结果数m与总数n 概念辨析例题：同时抛掷两枚均匀硬币，求两枚都正面朝上的概率 答案： 解析：画树状图列举所有等可能结果：(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)共4种，两枚都正面朝上只有1种，所以P=。 ☆ 4.用频率估计概率与几何概率 频率：在n次重复试验中事件A发生m次，则该事件发生的频率为 大量重复试验时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率 试验次数越多，频率越接近概率；可由频率估计概率，再用概率估计总体数量 几何概率：事件A的概率等于A所占区域面积与总区域面积之比 概念辨析例题：某射击运动员在相同条件下射击，随着射击次数增加，射中9环以上的频率稳定在0.9附近，估计他射击一次射中9环以上的概率 答案：约0.9 解析：大量重复试验中频率稳定在0.9附近，由频率估计概率可知他射击一次射中9环以上的概率约为0.9。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 必然事件/不可能事件 一定发生/一定不发生 统称确定事件，P=1或0 随机事件 可能发生也可能不发生 满足0<P(A)<1 概率 等可能时P(A)= 0≤P(A)≤1 列表法 两步试验列表列举 结果要不重不漏 树状图法 多步试验画树状图 末端分支数即总数n 频率估计概率 频率稳定值即概率 试验次数要足够大 游戏公平性 双方获胜概率相等 概率不等则不公平 ⚠️ 核心考点 【考点1】事件的分类与概率的意义（第1题） · 紧扣定义判断：一定发生是必然事件，一定不发生是不可能事件，可能发生也可能不发生是随机事件 · 必然事件与不可能事件都是确定事件，二者合起来与随机事件相对 · 结合成语、生活实例判断时，要还原成「在一定条件下」是否一定发生 1．（25-26七年级下·山东威海·期末）下列说法正确的是（    ） A．不太可能发生的事，可以看作不可能事件 B．投掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为质数的概率是 C．买一张彩票的中奖概率为，说明买一张彩票中奖的可能性很小 D．如果摸到红球的概率是，那么摸球5次，一定有2次会摸到红球 【答案】C 【知识点】事件的分类、判断事件发生的可能性的大小、概率的意义理解、根据概率公式计算概率 【详解】解：对于选项A，∵不太可能发生的事是概率很小的随机事件，不可能事件是一定不发生的事件，二者概念不同，∴A错误． 对于选项B，∵投掷质地均匀的骰子共6种等可能结果，点数中质数为2，3，5共3种，∴掷出点数为质数的概率为，∴B错误． 对于选项C，∵中奖概率为，概率值很小，说明中奖的可能性很小，符合概率的意义，∴C正确． 对于选项D，∵概率表示事件发生的可能性大小，不代表多次试验中一定会发生对应次数，∴摸5次不一定有2次摸到红球，∴D错误． 【考点2】用频率估计概率与已知概率求数量（第2-18题） · 大量重复试验时频率稳定在某个常数附近，用这个稳定值估计概率 · 试验次数越多频率越接近概率，单次或少量试验的频率不能直接当作概率 · 已知概率求数量：用概率乘总数估计某类数量，或列方程求未知数量 · 由频率折线图判断：折线趋于平缓时对应的纵轴值即估计概率 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【知识点】根据概率公式计算概率、关于频率与概率关系说法的正误、由频率估计概率 【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 【详解】解：由题意知，试验的频率约为， A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符； B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符； C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有  1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致； D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符． 故选：C． 3．（2024·浙江温州·二模）在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 【答案】D 【知识点】由频率估计概率 【分析】此题考查了频率估计概率，根据“频率频数总次数”计算求解即可估算概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据某种颜色的球出现的频率如图约为， 摸到红球出现的频率， 摸到黄球出现的频率， 摸到蓝球出现的频率， 摸到绿球出现的频率， ∴该球的颜色最有可能是绿球， 故选：． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）篮球是陕西省中考体育统一考试（现场测试）中“项目四·球类技能”的选项之一、如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由频率估计概率 【分析】由图知小强投篮命中的频率是，得到现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为． 【详解】解：由图知小强投篮命中的频率是， ∴现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为． 5．（2025·河南郑州·三模）在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在左右，则m的值大约为（   ） A．20 B．40 C．60 D．100 【答案】C 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查了利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，在同样条件下，大量重复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到黄球的频率稳定在左右得到比例关系，列出方程求解即可，解题的关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 故选：C． 6．（2026·浙江杭州·一模）某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（   ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 【答案】A 【知识点】求某事件的频率 【分析】根据题意，先确定所有满足观看次数5次以上的类别，再根据完播率公式计算每个符合条件类别的完播率，然后比较大小后即可解答． 【详解】解：算法要求观看次数达到5次以上才会计算完播率并推荐，四个类别的观看次数分别为18，10，14，18，均大于5，全部符合计算条件． 分别计算各类别完播率如下： 航空航天：； 科学实验：； 电影评论：； 排球技巧：； ∵， ∴航空航天类完播率最高，即平台会重点推荐航空航天类视频． 7．（25-26九年级下·四川达州·期中）一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 【答案】3 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、已知概率求数量 【分析】根据概率公式，利用摸到白球的概率为建立关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：盒子中球的总个数为， 根据题意得， 交叉相乘得， 移项合并得， 解得， 经检验，是原方程的解． 故m的值为3． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个袋子中装有5个白球和若干个红球（袋中每个球除颜色外其余都相同）．某活动小组想估计袋子中红球的个数，分20个组进行摸球试验．每一组做400次试验，汇总后，摸到红球的次数为6000次．估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是_______． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、由频率估计概率 【分析】本题主要考查利用频率估计概率的知识，根据红球的次数除以试验总次数即可得到答案． 【详解】解：由题意知，红球的概率为：， 故答案为：． 9．（2024·山西大同·二模）第十四届全国冬季运动会于2024年2月17日至27日在内蒙古自治区举办，吉祥物是蒙古彩娃——安达和赛努．数学组的同学将若干印有不同吉祥物图案的卡片（除图案不同外，其余都相同），放在一个不透明的盒子里，搅后随机摸出一张卡片，记下图案后放回，搅匀后再摸……如此重复．若重复1000次“摸卡”试验后，发现其中有250次摸到安达，则第251次摸到赛努的概率为______． 【答案】/ 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．首先得到摸到安达的频率为，估计摸到安达的概率为，进而求解即可． 【详解】∵重复1000次“摸卡”试验后，发现其中有250次摸到安达， ∴摸到安达的频率为 ∴估计摸到安达的概率为 ∴摸到赛努的概率为 ∴第251次摸到赛努的概率为． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段检测）在一个不透明的盒子里装5个白球和15个黑球，这些球除颜色外都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中搅匀． (1)小明做摸球试验20次，其中摸出白球6次，则这20次摸球试验中，摸出白球的频率是_____； (2)求摸到黑球的概率； (3)在盒子中球的总个数不变的情况下，请通过改变盒子中黑球和白球的数量，使摸到白球的概率为． 【答案】(1) (2) (3)往盒子中放入3个白球，取出3个黑球，使摸到白球的概率为 【知识点】根据概率公式计算概率、已知概率求数量、求某事件的频率 【分析】此题考查概率公式，解答的关键是掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）利用频率计算公式直接求出答案； （2）利用概率计算公式直接求出答案； （3）通过计算可得盒子中白球的数量变为8，由此得出往盒子中放入3个白球，取出3个黑球即可． 【详解】（1）解：试验20次，摸出白球6次，则摸出白球的频率， 故答案为：． （2）解：袋子中有黑球15个，总球数为个， 则摸到黑球的概率为． 答：摸到黑球的概率为． （3）解：盒子中白球的数量变为（个）， （个）． 答：往盒子中放入3个白球，取出3个黑球，使摸到白球的概率为． 11．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）在一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，且只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据 (1)上表中的________． (2)摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.1）． (3)请问：若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，此时摸到白球的概率又是多少呢？ 【答案】(1)0.58 (2)0.6 (3) 【知识点】根据概率公式计算概率、已知概率求数量、求某事件的频率、由频率估计概率 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式． （1）用摸到白球的次数除以摸球的次数即可； （2）根据表格数据，用频率估计概率； （3）利用概率公式求解． 【详解】（1）解：表中， 故答案为：0.58； （2）解：根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6， 所以摸到白球的概率的估计值是0.6， 故答案为：0.6； （3）解：（2）中情况下，白球的个数为：（个）， 添加4个黑球后，摸到白球的概率为：， 即此时摸到白球的概率是． 12．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 【答案】(1)，； (2)； (3)次 【知识点】求某事件的频率、由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】根据表格中数据求出、的值即可； 根据频率估计概率即可； 根据抽到“闪电”的概率，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，从而得出抽到“凌云”概率，再用乘以抽到“凌云”的概率即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由表可知抽到“闪电”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）解：∵抽到“闪电”的概率为，抽到其他三种徽章的概率相同， ∴抽到“凌云”的概率为， ∴抽到“凌云”的次数为（次）． 13．（23-24九年级上·陕西西安·期中）为美化校园环境，特考察了一批牡丹移植的成活率，对本市牡丹移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．    (1)牡丹成活的频率稳定在________附近，估计成活概率为________（精确到0.01） (2)该校规划共需成活190株牡丹，估计购买多少株？ 【答案】(1)0.95，0.95 (2)200 【知识点】由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键． （1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）利用需成活的株数除以成活的概率即可． 【详解】（1）解：由图可知，牡丹成活的频率稳定在0.95附近，估计成活概率为0.95． 故答案为：0.95，0.95； （2）（株）， 答：估计购买200株． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）某校九年级（）班位同学每人一组，每人做次抛掷两枚硬币的试验，想看看“出现两个正面”的频率是否会逐渐稳定下来，得到了下面个试验结果． (1)学号为的同学在次试验中，“出现两个正面”成功了几次？成功率是多少？他是他所在小组同学中成功率最高的人吗？ (2)学号为和的两位同学在次试验中的成功率一样吗？如果他们两人再分别做次试验，成功率还会出现类似的情况吗？ (3)如何计算一组同学的成功率？哪一组的成功率最高？ (4)逐步累计所有同学的试验结果，完成下面的数据统计表，如果把这张表画成相应的折线图，你会看到什么？ 【答案】(1)成功了次，成功率是，不是他所在小组成功率最高的人 (2)两位同学的成功率一样；再做次试验，成功率不一定出现类似的情况 (3)一组同学的成功率为该组出现两个正面的总次数除以该组试验的总次数；第一组的成功率最高 (4)完成各抛掷次数对应的频数与频率数据统计表如下： 根据统计表画成的折线图如图所示， 根据折线图会看到：随着抛掷次数的增加，出现两个正面的频率逐渐稳定在附近 【知识点】根据数据描述求频数、根据数据描述求频率、根据数据填写频数、频率统计表、判断事件发生的可能性的大小、求某事件的频率、由频率估计概率 【分析】（1）在表格找到学号同学的成功次数，代入公式：成功率（频率）成功次数试验总次数，查看同组所有人成功次数，找出最大值对比，判断是否最高，即可得到答案． （2）在表格找到学号为和的两位同学的成功次数进行对比，即可得到答案；根据随机试验的特点：抛掷硬币是随机事件，重复再做一组试验，结果具有随机性，即可得到答案． （3）根据成功率的公式计算，即可得到答案；根据每组人，每人次，得到每组总的试验次数为次，分别算出各组的成功率，比较个百分数，选出最大的一组即可． （4）统计抛掷次至次出现两个正面的频数，根据频率频数累计抛掷次数，得到频率，画出折线图：横轴抛掷总次数，纵轴频率，并根据折线图总结出规律即可． 【详解】（1）解：由表格数据可得：学号为的同学在次试验中，成功了次， ∴成功率是， ∵根据该组中号的同学在次试验中，成功了次，， ∴学号为的同学在次试验中不是他所在小组同学中成功率最高的人； （2）解：∵学号为和的两位同学在次试验中，成功的次数相同，都是次， ∴成功率是一样的， ∵试验的结果是随机的，不确定的， ∴如果他们两人再做次试验，成功率不一定出现类似的情况； （3）解：∵一组同学的成功率为：成功的总次数试验的总次数， ∴一组同学的成功率为该组出现两个正面的总次数除以该组试验的总次数， ∴第一组的成功率为：， 第二组的成功率为：， 第三组的成功率为：， 第四组的成功率为：， ∵， ∴第一组的成功率最高； （4）略． 15．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． 【答案】(1) (2) (3)③④ 【知识点】求某事件的频率、由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）由表中的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】（1）解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； （2）解：根据题意得：（个）， 故答案为：； （3）解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”的概率为，故此选项不符合题意； 从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； 在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：③④． 16．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）在一个不透明的布袋中装有黑、白两种颜色的球共15个，这些球除颜色外其余均相同．现进行摸球试验，每次摸出1个球，并记录它的颜色，放回并摇匀，再次摸球．获得如下数据： (1)黑色球的个数可能是_____个． (2)在（1）的条件下，再放进去这两种颜色的球共9个，摇匀后再次进行大量重复的摸球试验，如果摸出黑球的概率与摸出白球的概率相等，求放进去的这9个球中黑球和白球的数量分别是多少个？ 【答案】(1)5 (2)黑球7个，白球2个 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，熟知概率公式是解题的关键． （1）大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，根据表格中的数据可估计摸出黑球的概率为0.33，再由概率公式求解即可； （2）设放进去黑球x个，根据题意可知摸出黑球的概率为二分之一，据此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，随着试验次数的增加，摸出黑球的频率稳定在0.33附近，故估计摸出黑球的概率为0.33， ∴黑色球的个数可能是个； （2）解：设放进去黑球x个， 由题意得，， 解得， 则， 答：放进去黑球7个，白球2个． 17．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． (1)求出表中a=_______，b=_______； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是_____（精确到0.01）； (3)如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 【答案】(1)，； (2)； (3)该厂估计要生产50000顶头盔 【知识点】求某事件的频率、由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为； （3）用样本数据估计总体即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动， 所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是； （3）解：（顶）． 答：该厂估计要生产顶头盔． 18．（23-24七年级下·河南郑州·期末）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据： (1)补全表格中的数据：______，______． (2)请估计：当次数足够大时，摸到红球频率将会接近______．（精确到） (3)小明、小亮做游戏，游戏规则是：从盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明胜，摸到黑球小亮胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，说明理由：若不公平，怎样调整，使得游戏公平． 【答案】(1)， (2) (3) 你认为这个游戏不公平， 调整：应该在盒子里分别装上个红球和黑球，这样摸到红球和黑球的概率相等都是，从而使得游戏公平． 【知识点】游戏的公平性、由频率估计概率 【分析】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）根据频率、频数与总数之间的关系即可求解； （2）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的概率逐渐靠近于，即可求解； （3）根据摸到摸到红球和黑球的概率相等则游戏公平求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）当次数足够大时，摸到红球频率将会接近， 故答案为：； （3）略 【考点3】概率公式与列举法求简单概率（第19-23题） · 先确认每种结果等可能，再数总数n和事件A包含的结果数m · 直接列举法适合一步试验，按顺序列举避免遗漏 · 概率公式P(A)=，结果要约成最简分数 19．（2026·山东东营·模拟预测）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、列举法求概率 【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到方程有实数根的条件，再列举出所有等可能的选取结果，统计满足条件的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，若方程有实数根，则判别式 ，化简得 从1，2，3中随机选取两个不同的数记为，所有等可能的结果为：，共6种， 其中满足的结果有，共4种， 所求概率． 20．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 【答案】二 【知识点】列举法求概率 【分析】先列举得到方案一和方案二的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【详解】解：设不能正常工作时表示为，， 方案一，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有1种，所以方案一中电路系统正常工作的概率为， 方案二，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案二中电路系统正常工作的概率为， 方案二更稳定可靠． 故答案为：二． 21．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）为了解锦绣育才集团学校九年级男生的身高情况，随机抽取了集团学校100名九年级男生，他们的身高x（）统计如下： 根据以上结果，任意抽查集团学校一名九年级男生，他的身高不小于的概率是_____． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了求概率．根据概率公式解答即可． 【详解】解：因为身高不小于的人数为，总人数为100， 所以概率为． 故答案为． 22．（26-27九年级上·全国·课后作业）小明有红色、白色、黄色、黑色四件衬衫，又有米色、蓝色两条长裤．如果他最喜欢的搭配是白色衬衫配蓝色长裤，那么黑暗中他随机拿出衬衫一件、长裤一条，正好是他最喜欢的搭配的概率是多少？如果他不喜欢红色衬衫配蓝色长裤或者黑色衬衫配蓝色长裤，那么，黑暗中他随机拿出的衬衫与长裤正好是他不喜欢的搭配的概率又是多少？ 【答案】； 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】根据题意先列出树状图，再依据树状图求概率． 【详解】解：衬衫与长裤的搭配情况如图所示： 由树状图可知，衬衫与长裤的搭配共有8种机会均等的情况，其中白色衬衫配蓝色长裤只有1种情况，红色衬衫配蓝色长裤与黑色衬衫配蓝色长裤分别各有1种情况，记“小明最喜欢的搭配”为事件，“小明不喜欢的搭配”为事件， ， ． 23．（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列举法求概率、概率在比赛中的应用 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 【考点4】列表法与树状图法求概率（第24-31题） · 两步或两步以上试验用列表法或画树状图法，列举要不重不漏 · 树状图从上到下逐层分叉，末端分支总数即所有等可能结果数n · 摸球、抽卡片问题要区分「放回」与「不放回」对总数n的影响 24．（2026·湖北武汉·中考真题）乘坐地铁已经成为市民出行的主要方式．小美和小好约定在某地铁站内会面，该地铁站有个入口，他们各自随机选择一个入口进站，两人刚好从同一个入口进站的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】使用画树状图法计算概率即可． 【详解】解：设字母A、B、C分别表示三个入口， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两人刚好从同一个入口进站的情况有种， ∴两人刚好从同一个入口进站的概率为． 25．（2024·内蒙古包头·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【知识点】列表法或树状图法求概率、概率的其他应用 【分析】本题考查树状图法与列表法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过两次传球后，球回到甲、乙、丙、丁手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．解题的关键是掌握知识点：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图得：    ∵共有种等可能的结果，经过次传球后，球回到甲手中的有种情况，回到乙手中的有种情况，回到丙手中的有种情况，回到丁手中的有种情况， ∴经过次传球后，球回到甲手中的概率是， 球回到乙手中的概率是， 球回到丙手中的概率是， 球回到丁手中的概率是， ∵， ∴第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是甲． 故选：A． 26．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限、列表法或树状图法求概率 【分析】列表得出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 由表可知，共有12种等可能的结果，其中点落在直角坐标系第二象限的有2种，所以点落在直角坐标系第二象限的概率是． 27．（2026·河南·中考真题）在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从，，，四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为_______． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】先画出树状图，然后求出概率． 【详解】解：画树状图如下： 等可能出现的情况共12种，符合题意的情况有6种， ∴发出的声音构成二度音程的概率为． 28．（2026·安徽芜湖·三模）天平左右两端分别放置、物品后倾斜如图所示，现从、、、四件物品中随机选取两件放在左端托盘，天平恢复平衡的概率为_______． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】根据题意可知，需要在天平左端放置的物品，天平才会恢复平衡，使用画树状图法计算概率即可． 【详解】解：， ∴需要在天平左端放置的物品，天平才会恢复平衡， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中和为的情况有种， ∴天平恢复平衡的概率为． 29．（23-24九年级上·山西长治·期末）我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： (1)本次被调查的学生有______名；补全条形统计图； (2)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______； (3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同时被选中的概率． 【答案】(1)；补全条形统计图如下： (2) (3) 【知识点】画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图以及概率公式的综合运用，读懂统计图是解题的关键． （1）根据条形统计图和扇形统计图，先用篮球的人数算出总人数再补全即可； （2）根据“排球”人数占总人数的比例求出圆心角度数； （3）通过树状图列出所有可能的组合，从而得到概率． 【详解】（1）被调查的学生有（名）， 足球人数：（名）， （2）， 故答案为：． （3） 共有种等可能的结果，甲和乙同时被选中的结果有种， 甲和乙同时被选中的概率． 30．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张． (1)直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； (2)小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 【答案】(1)小丽取出的卡片恰好是的概率为 (2) 解：小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下： ∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种， ∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率， ∵， ∴这个游戏不公平，对小明有利． 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查概率与游戏公平性的判断． （1）根据概率公式求解即可； （2）采用列表法可得小丽获胜的概率和小明获胜的概率，比较大小，判断公平性即可． 【详解】（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为． （2）略 31．（2024·甘肃陇南·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种， ∴乙获胜的概率为， ∵， ∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率， ∴这个游戏规则对甲乙双方不公平． 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性： （1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概率计算公式求解即可； （2）同（1）求出乙获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：画树状图如下：    由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种， ∴甲获胜的概率为； （2）略 【考点5】几何概率（第32-36题） · 几何概率：事件A的概率等于A所占区域面积与总区域面积之比 · 不规则图形面积：用向区域内投点的频率估计面积占比，再求面积 · 转盘问题：把转盘等分成若干扇形，指针落在某区域的概率等于该扇形面积占比 32．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，在边长为且有内角为的菱形内部有一圆（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，利用计算机进行模拟实验，通过计算机在菱形区域随机投放一个点，并计算该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．由此估计阴影部分面积（各图形的边界均忽略不计）约为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求线段长、几何概率、由频率估计概率 【分析】先利用菱形性质及角求出菱形面积，再根据图2得出点落在圆内的频率，最后利用几何概率公式估算阴影部分面积． 【详解】解：如图， 过点B作于点E， ∴， ∵菱形边长为，且有一个内角为， ∴，， ∴， ∴菱形的面积， 由图2可知，随着实验次数增加，点落在圆中的频率稳定在左右， ∴阴影部分面积约为． 33．（25-26七年级下·四川成都·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 【答案】 【知识点】用七巧板拼图形、几何概率 【分析】设七巧板拼成的正方形总面积为，根据七巧板的结构特征确定各块板的面积占比，识别图2中黑色部分对应的板件，计算黑色部分面积与总面积的比值即可． 【详解】解：如图所示， 设七巧板拼成的正方形总面积为，七巧板由2个大等腰直角三角形（A），1个中等腰三角形（B），2个小等腰直角三角形（C），1个正方形（D），1个平行四边形（E）构成， ∴1个大等腰直角三角形A的面积为， 中等腰直角三角形B的面积为， 正方形D的面积为， 平行四边形E的面积均为， 1个小等腰直角三角形C的面积均为， ∵“天鹅”作品黑色部分为1个大等腰直角三角形和1个正方形， ， “天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是． 34．（26-27九年级上·全国·课前预习）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是________． 【答案】 【知识点】几何概率、列表法或树状图法求概率 【分析】根据题意和图形可知，第一个图形转到红色，同时第二个图形转到蓝色或第一个图形转到蓝色，同时第二个图形转到红色，可配成紫色，画出树状图，从而可以求得可配成紫色的概率． 【详解】解：∵第一个转盘红色占， ∴第一个转盘可以分为1份红色，3份蓝色， ∵第二个转盘红色的圆心角为，占， ∴第二个转盘可以分为1份红色，2份蓝色， ∴画树状图为 由图可知，共有12种等可能的结果数，其中一个转出红色，另一个转出蓝色的占5种， ∴可配成紫色的概率是． 35．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为______． 【答案】 【知识点】几何概率、由频率估计概率 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率． 首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式，小球落在不规则图案的概率为：， 当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为， 综上有：， 解得． 故答案为：． 36．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）近年来，无人机航拍被广泛应用于地理测绘．在一次测算某湿地公园中天然湖泊面积的活动中，测绘人员用无人机航拍了一张面积为25平方千米的区域俯视图．为了估算湖泊的面积，他们在航拍图上随机选取了大量的点，经过大量重复试验，发现点落在湖泊区域的频率稳定在左右．据此估计，该湖泊的面积约为_________平方千米． 【答案】 【知识点】几何概率、由频率估计概率 【分析】利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率，湖泊面积等于航拍区域总面积乘以点落入湖泊区域的概率． 【详解】解：∵大量重复试验后，点落在湖泊区域的频率稳定在， ∴估计点落在湖泊区域的概率为， ∵航拍区域总面积为平方千米， ∴该湖泊的面积约为平方千米． 【考点6】游戏公平性与概率综合应用（第37-40题） · 游戏公平性：分别计算双方获胜概率，概率相等则公平，否则不公平 · 判断出游戏不公平后，能通过修改规则使双方获胜概率相等 · 比赛问题（三局两胜等）要列出所有可能的比赛结果再算概率 37．（2024·浙江·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 【答案】C 【知识点】游戏的公平性 【分析】本题考查了随机事件，列举法等知识，利用排除法求解即可． 【详解】解：假设两人第一次都摸到红球，若第二次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第二次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故A、B都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小金先摸球，则小金先摸到2个红球，所以一定是小金获胜， 故C正确； 若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第四次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故D不正确． 故选：C． 38．（2026·安徽·模拟预测）某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 【答案】 【知识点】列举法求概率、概率在比赛中的应用 【分析】先列出乙队所有等可能的出场顺序，再找出乙队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可． 【详解】解：甲队出场顺序固定为快、中、慢，对乙队出场顺序进行排列，所有等可能的结果共种，分别为快中慢、快慢中、中快慢、中慢快、慢快中、慢中快． 根据比赛规则，乙队要获得三局两胜，必须满足：乙队慢速舟对甲队快速舟（输一局），乙队快速舟对甲队中速舟（赢一局），乙队中速舟对甲队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，因此乙队获胜的概率为． 39．（25-26八年级上·广东茂名·开学考试）用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】游戏的公平性 【分析】本题考查判断游戏是否公平，解题的关键是看游戏中双方赢的概率是否相等．根据题中图片，逐个分析即可求解． 【详解】第一个图片：箱子里有4个黑球，4个白球，任意摸出一个球，摸到黑球和白球的可能性相同，所以用摸球的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第二个图片：转盘中乙队的区域比甲队的区域大，则转到乙队的可能性大，乙队获胜的可能性比甲队大，所以用转盘的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，不公平； 第三个图片：硬币只有正、反两面，抛一次硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以用抛硬币的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第四个图片：1～6中，奇数有1、3、5，有3个；偶数有2、4、6，有3个；奇数与偶数的个数相等，则掷出奇数、偶数的可能性相同，所以用掷骰子的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 综上所述，公平的方式有3种； 故选C． 40．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． (1)任意掷这枚骰子，掷出面标有“6”的概率是 ； (2)任意掷这枚骰子，掷出面标有“3的倍数”的概率是 ； (3)小明和小颖利用这个正二十面体形状的骰子做游戏，任意掷这枚骰子，掷出“奇数”朝上小明获胜，掷出“偶数”朝上小颖获胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：∵标有“6”的面数为5面，2个面标有“2”，4个而标有“4”， 故奇数的个数个，偶数个数为个， ∴掷出“偶数”的概率是，掷出“奇数”的概率是； ∵， ∴掷出“偶数”的概率较大， 故本游戏规则不公平． 【知识点】根据概率公式计算概率、游戏的公平性 【分析】（1）先计算标数字6的面数为：，总面数为20 ，根据简单的概率公式计算解答即可； （2）先计算3的倍数的数有个，根据简单的概率公式计算解答即可； （3）计算奇数的个数个，偶数个数为个，计算概率，比大小解答即可． 本题考查了简单的概率公式计算概率，游戏的公平性，熟练掌握概率计算，正确掌握判断游戏公平性的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵骰子有20个面，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6” ∴标有“6”的面数为面， ∴掷出“6”的概率是， 故答案为：． （2）解：∵标有“6”的面数为5面，标有“3”的面数为3面， 故3的倍数的数的面有个， ∴掷出“3的倍数”的概率是， 故答案为：． （3）略 💯 课后巩固 复习建议 · 事件分类紧扣定义，必然事件与不可能事件是确定事件，随机事件可能发生也可能不发生 · 概率公式P(A)=要先确认等可能，数准m与n再代入计算 · 两步试验用列表法，多步试验画树状图，列举结果要不重不漏 · 用频率估计概率需要大量重复试验，频率的稳定值才是概率 · 游戏公平性看双方概率是否相等，转盘摸球问题注意等可能与放回条件 【作业1】．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是（     ） A．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 B．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 C．钉尖着地的频率是0.4 D．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 【答案】A 【知识点】关于频率与概率关系说法的正误、由频率估计概率 【分析】大量重复试验中，频率稳定在某个常数附近，但少量试验的结果是随机的，不一定符合整体频率的比例． 据此逐一判断选项即可． 【详解】解：频率是大量试验的统计结果，少量试验的结果具有随机性， ∴前次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是次，A选项说法错误，符合题意． 前次试验结束后，结果具有随机性，钉尖着地的次数不一定是次，因此B选项说法正确，不符合题意． 大量重复试验后，钉尖着地次数占总次数的，可得，∴C选项钉尖着地的频率是，说法正确，不符合题意． 根据用频率估计概率的性质，随着试验次数增加，钉尖着地的频率会逐渐稳定在一个常数附近， ∴D选项说法正确，不符合题意． 【作业2】．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）成语“守株待兔”表示（   ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件 【答案】A 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“必然事件发生的可能性为1”、不可能事件“不可能事件的发生的可能性为0”，熟练掌握各定义是解题关键．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义求解即可得． 【详解】解：“守株待兔”可能发生，也可能不发生，是随机事件， 故选：A． 【作业3】．（25-26七年级下·辽宁·期中）下列说法正确的是（     ） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“汽车累计行驶10000 km，从未出现故障”是随机事件 C．“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 D．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 【答案】B 【知识点】事件的分类、概率的意义理解 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，结合概率的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：A，中奖率为的奖券10张，仍有可能不中奖，“中奖”是随机事件，不是必然事件，故A错误，不符合题意； B，汽车累计行驶，可能从未出现故障，也可能出现故障，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，故B正确，符合题意； C，200件产品中只有5件次品，任意抽取6件，最多有5件次品，因此至少1件正品一定发生，是必然事件，不是不可能事件，故C错误，不符合题意； D，明天降水概率为，指明天降水的可能性为，不是的时间下雨，故D错误，不符合题意． 【作业4】．（2026·四川成都·一模）如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（   ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 【答案】B 【知识点】折线统计图、根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、由频率估计概率 【分析】本题考查了用频率估计概率，折线统计图，画树状图求概率，掌握知识点的应用是解题的关键．分别求出每项的概率，然后比较即可． 【详解】解：、抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意； 、掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的概率为，符合题意； 、一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的概率为，不符合题意； 、准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，画树状图如下， 一共有种等可能的结果，两张牌的牌面数字之和等于的结果有种， 所以两张牌的牌面数字之和等于的概率为，不符合题意； 故选：． 【作业5】．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为______． 【答案】126 【知识点】概率的其他应用 【分析】此题考查了排列组合的实际应用，理解题意，转化思路是解题的关键． 根据题意转化为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间，得到共有9个位置，进而求解即可． 【详解】解：∵路上有12盏路灯，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭， ∴可以理解为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间 ∴共有9个位置 ∴（盏）． ∴不同的关灯方案种数为126盏． 故答案为：126． 【作业6】．（23-24八年级下·全国·单元测试）某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是________． 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了概率，重复试验次数越多，其频率越能估计概率，求出射击1000次时的频率即可，解题的关键在于明确频率估计概率时要在重复试验次数尽可能多的情况下． 【详解】解：根据题意可知，射击1000次时，运动员射击一次时射中“9环以上”的频率为： ， ∴用频率估计概率为：， 故答案为：． 【作业7】．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： (1)填空：__________，__________． (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1） (3)在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.705，0.701 (2)0.7 (3) 【知识点】求扇形统计图的圆心角、由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据频率的算法，频率频数÷总数，可得各个频率；填空即可； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率； （3）利用频率估计概率结合概率的意义可得表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是，再计算即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：0.705，0.701； （2）解：当n很大时，频率将会接近， 故获得“橙汁”的概率大约是， 故答案为：0.7； （3）解：∵获得“橙汁”的概率大约是； ∴获得“可乐”的概率大约是； 在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是． 【作业8】．（26-27九年级上·全国·课后作业）某次抽奖活动，中奖率为，请你通过试验估计： (1)抽奖10次，至少有一次中奖的概率； (2)抽奖10次，才第一次中奖的概率． 【答案】(1) 约为（或） (2) 约为（或） 【知识点】概率的意义理解、根据概率公式计算概率、概率在转盘抽奖中的应用 【分析】（1）利用对立事件，先求全部不中奖的概率，再用减去该概率求解； （2）明确“10次才第一次中奖”为前次未中奖、第次中奖，计算求解． 【详解】（1）解：∵单次抽奖活动中奖率为， ∴ 单次抽奖活动不中奖率为， ∴抽奖次，都不中奖的概率为， ∵至少有一次中奖与次全部不中奖互为对立事件， ∴至少有一次中奖的概率为； （2）解： ∵“抽奖次才第一次中奖”即前次均不中奖，第次中奖， ∴该事件的概率为． 【作业9】．（2025·北京海淀·三模）咖啡店自制了300袋黄油饼干，从中随机抽取了10袋检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：47，46，a，50，49，49，48，50，52，49，这组数据的众数只有一个，恰好是a．则从这300袋饼干中随机抽取一袋，抽到质量为_____g的可能性最大，并估计这批饼干中质量超过的饼干有_____袋． 【答案】 49 90 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求众数、判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了众数的定义，事件发生的可能性大小，样本估计总体，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据众数的定义即可得到，根据众数的定义即可得到抽到质量为的可能性最大，再用样本估计总体的方法求解这批饼干中质量超过的饼干的数量． 【详解】解：数据46有1个；数据47有1个；数据48有1个；数据49有3个；数据50有2个；数据52有1个， ∵数据的众数只有一个，恰好是a， ∴； ∵众数为49， ∴抽到质量为的可能性最大， 则这批饼干中质量超过的饼干有：（袋）， 故答案为：49；90． 【作业10】．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）小明、小红、小刚三人在课间做“石头、剪刀、布”游戏．规则如下：由小明和小红两人来做“石头、剪刀、布”的游戏，两人出三种手势的可能性相同，如果他们两人所出的手势相同，那么小刚胜出，如果手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小红的获胜者为游戏的获胜者．以下说法正确的是（    ） A．这个游戏小刚获胜的可能性最大 B．这个游戏小刚获胜的可能性最小 C．这个游戏小明和小红获胜的可能性一样，都比小刚获胜的可能性大 D．这个游戏对三人是公平的 【答案】D 【知识点】游戏的公平性 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数以及小刚获胜的结果数、小明获胜的结果数、小红获胜的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果， 其中小刚获胜的结果有：（石头，石头），（剪刀，剪刀），（布，布），共3种，小明获胜的结果有：（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），共3种，小红获胜的结果有：（石头，布），（剪刀，石头），（布，剪刀），共3种， ∴小刚获胜的概率为，小明获胜的概率为，小红获胜的概率为． ∴小刚、小红、小明获胜的概率一样大， 故选：D． 【作业11】．（2026·全国·二模）年，长沙市中小学全面实施“活力课间15分钟”行动，鼓励学生走出教室参与体育锻炼．某校在课间开设了花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目．甲、乙两位同学各自从这三项中随机选择一项参加，且两人选择相互独立．则他们恰好都选择花样跳绳的概率是________． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】先用列表法得出甲、乙选择运动项目所有等可能的结果总数，再找出两人恰好都选择花样跳绳的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：令花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目分别为A、B、C， 根据表格可得共有9种等可能的结果，其中两人恰好都选择花样跳绳的结果只有1种， 根据概率公式可得：． 【作业12】．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 【答案】(1) 画树状图为：    ，，，，，，，，，，， (2) 公平，理由：点M的坐标为，，，，，时，x、y若满足， 小明胜的概率为：，小红胜的概率为：， 这个游戏公平． 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查列表或画树状图法求概率，概率的计算． （1）画树状图列出所有等可能的结果，根据x，y对应的值写出坐标即可； （2）根据概率公式计算出小明、小红获胜的概率，即可求解． 【详解】（1）解：共12种等可能的结果， 点M可能的坐标为：，，，，，，，，，，，． （2）略 【作业13】．（25-26九年级上·浙江台州·期末）在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（   ） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 【答案】D 【知识点】根据概率公式计算概率、游戏的公平性 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键． 计算四人依次不放回摸球时每人摸到红球的概率，据此解答即可． 【详解】解：总球数4个，红球1个， 则小丁摸到红球的概率为， 小王摸到红球的概率为， 小林摸到红球的概率为 小陈摸到红球的概率为 因此，每人摸到红球概率均为，小王与小丁的说法正确， 故选：D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章·随机事件的概率·期中复习·满分压轴讲义 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 深刻理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，能准确判断三类事件并比较可能性大小 · 熟练掌握等可能事件的概率公式P(A)=，能进行简单的概率计算 · 掌握列举法、列表法与画树状图法求等可能事件的概率，能有条理地列举所有等可能结果 · 理解频率与概率的关系，会用大量重复试验中频率的稳定值估计概率，并由概率估计总体数量 · 能判断游戏的公平性，运用概率知识解决转盘、摸球、比赛等实际压轴问题 📚 知识梳理 ☆ 1.事件的分类与可能性大小 必然事件：一定发生的事件；不可能事件：一定不发生的事件，两者统称确定事件 随机事件：可能发生也可能不发生的事件，随机事件发生的可能性有大小之分 可能性越大的事件概率越接近1，可能性越小的事件概率越接近0 判断事件类型要紧扣「在一定条件下」，可结合成语、生活实例还原 概念辨析例题：「守株待兔」「拔苗助长」「水涨船高」「刻舟求剑」四个成语中，属于必然事件的是____ 答案：水涨船高 解析：水涨船高一定发生，是必然事件；守株待兔可能发生也可能不发生，是随机事件；拔苗助长、刻舟求剑一定不会成功，是不可能事件。 ☆ 2.概率的意义与等可能事件 概率：事件A发生的可能性大小的数值，记作P(A)，0≤P(A)≤1 必然事件P(A)=1，不可能事件P(A)=0，随机事件满足0<P(A)<1 等可能事件：一次试验中各种结果出现的可能性大小相等；若共有n种等可能结果，事件A包含m种，则P(A)= 公式中m是事件A包含的结果数，n是所有等可能结果的总数，且0≤m≤n 概念辨析例题：一个不透明袋子中有3个红球和5个黄球，从中任意摸出1个球，求摸到红球的概率 答案： 解析：袋中共有8个球即8种等可能结果，其中摸到红球有3种，所以P(摸到红球)=。 ☆ 3.列举法、列表法与树状图法 列举法：一步试验直接列举所有等可能结果，再用P(A)=计算 列表法：两步试验时用表格横竖列出所有等可能结果，做到清晰、不重不漏 树状图法：两步及以上试验时画树状图，自上而下逐层分叉列举所有结果 求概率前先确认每种结果等可能，再数准事件A包含的结果数m与总数n 概念辨析例题：同时抛掷两枚均匀硬币，求两枚都正面朝上的概率 答案： 解析：画树状图列举所有等可能结果：(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)共4种，两枚都正面朝上只有1种，所以P=。 ☆ 4.用频率估计概率与几何概率 频率：在n次重复试验中事件A发生m次，则该事件发生的频率为 大量重复试验时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率 试验次数越多，频率越接近概率；可由频率估计概率，再用概率估计总体数量 几何概率：事件A的概率等于A所占区域面积与总区域面积之比 概念辨析例题：某射击运动员在相同条件下射击，随着射击次数增加，射中9环以上的频率稳定在0.9附近，估计他射击一次射中9环以上的概率 答案：约0.9 解析：大量重复试验中频率稳定在0.9附近，由频率估计概率可知他射击一次射中9环以上的概率约为0.9。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 必然事件/不可能事件 一定发生/一定不发生 统称确定事件，P=1或0 随机事件 可能发生也可能不发生 满足0<P(A)<1 概率 等可能时P(A)= 0≤P(A)≤1 列表法 两步试验列表列举 结果要不重不漏 树状图法 多步试验画树状图 末端分支数即总数n 频率估计概率 频率稳定值即概率 试验次数要足够大 游戏公平性 双方获胜概率相等 概率不等则不公平 ⚠️ 核心考点 【考点1】事件的分类与概率的意义（第1题） · 紧扣定义判断：一定发生是必然事件，一定不发生是不可能事件，可能发生也可能不发生是随机事件 · 必然事件与不可能事件都是确定事件，二者合起来与随机事件相对 · 结合成语、生活实例判断时，要还原成「在一定条件下」是否一定发生 1．（25-26七年级下·山东威海·期末）下列说法正确的是（    ） A．不太可能发生的事，可以看作不可能事件 B．投掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为质数的概率是 C．买一张彩票的中奖概率为，说明买一张彩票中奖的可能性很小 D．如果摸到红球的概率是，那么摸球5次，一定有2次会摸到红球 【考点2】用频率估计概率与已知概率求数量（第2-18题） · 大量重复试验时频率稳定在某个常数附近，用这个稳定值估计概率 · 试验次数越多频率越接近概率，单次或少量试验的频率不能直接当作概率 · 已知概率求数量：用概率乘总数估计某类数量，或列方程求未知数量 · 由频率折线图判断：折线趋于平缓时对应的纵轴值即估计概率 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 3．（2024·浙江温州·二模）在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）篮球是陕西省中考体育统一考试（现场测试）中“项目四·球类技能”的选项之一、如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率为（     ） A． B． C． D． 5．（2025·河南郑州·三模）在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在左右，则m的值大约为（   ） A．20 B．40 C．60 D．100 6．（2026·浙江杭州·一模）某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（   ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 7．（25-26九年级下·四川达州·期中）一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个袋子中装有5个白球和若干个红球（袋中每个球除颜色外其余都相同）．某活动小组想估计袋子中红球的个数，分20个组进行摸球试验．每一组做400次试验，汇总后，摸到红球的次数为6000次．估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是_______． 9．（2024·山西大同·二模）第十四届全国冬季运动会于2024年2月17日至27日在内蒙古自治区举办，吉祥物是蒙古彩娃——安达和赛努．数学组的同学将若干印有不同吉祥物图案的卡片（除图案不同外，其余都相同），放在一个不透明的盒子里，搅后随机摸出一张卡片，记下图案后放回，搅匀后再摸……如此重复．若重复1000次“摸卡”试验后，发现其中有250次摸到安达，则第251次摸到赛努的概率为______． 10．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段检测）在一个不透明的盒子里装5个白球和15个黑球，这些球除颜色外都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中搅匀． (1)小明做摸球试验20次，其中摸出白球6次，则这20次摸球试验中，摸出白球的频率是_____； (2)求摸到黑球的概率； (3)在盒子中球的总个数不变的情况下，请通过改变盒子中黑球和白球的数量，使摸到白球的概率为． 11．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）在一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，且只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据 (1)上表中的________． (2)摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.1）． (3)请问：若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，此时摸到白球的概率又是多少呢？ 12．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 13．（23-24九年级上·陕西西安·期中）为美化校园环境，特考察了一批牡丹移植的成活率，对本市牡丹移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．    (1)牡丹成活的频率稳定在________附近，估计成活概率为________（精确到0.01） (2)该校规划共需成活190株牡丹，估计购买多少株？ 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）某校九年级（）班位同学每人一组，每人做次抛掷两枚硬币的试验，想看看“出现两个正面”的频率是否会逐渐稳定下来，得到了下面个试验结果． (1)学号为的同学在次试验中，“出现两个正面”成功了几次？成功率是多少？他是他所在小组同学中成功率最高的人吗？ (2)学号为和的两位同学在次试验中的成功率一样吗？如果他们两人再分别做次试验，成功率还会出现类似的情况吗？ (3)如何计算一组同学的成功率？哪一组的成功率最高？ (4)逐步累计所有同学的试验结果，完成下面的数据统计表，如果把这张表画成相应的折线图，你会看到什么？ 15．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． 16．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）在一个不透明的布袋中装有黑、白两种颜色的球共15个，这些球除颜色外其余均相同．现进行摸球试验，每次摸出1个球，并记录它的颜色，放回并摇匀，再次摸球．获得如下数据： (1)黑色球的个数可能是_____个． (2)在（1）的条件下，再放进去这两种颜色的球共9个，摇匀后再次进行大量重复的摸球试验，如果摸出黑球的概率与摸出白球的概率相等，求放进去的这9个球中黑球和白球的数量分别是多少个？ 17．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． (1)求出表中a=_______，b=_______； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是_____（精确到0.01）； (3)如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 18．（23-24七年级下·河南郑州·期末）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据： (1)补全表格中的数据：______，______． (2)请估计：当次数足够大时，摸到红球频率将会接近______．（精确到） (3)小明、小亮做游戏，游戏规则是：从盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明胜，摸到黑球小亮胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，说明理由：若不公平，怎样调整，使得游戏公平． 【考点3】概率公式与列举法求简单概率（第19-23题） · 先确认每种结果等可能，再数总数n和事件A包含的结果数m · 直接列举法适合一步试验，按顺序列举避免遗漏 · 概率公式P(A)=，结果要约成最简分数 19．（2026·山东东营·模拟预测）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 21．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）为了解锦绣育才集团学校九年级男生的身高情况，随机抽取了集团学校100名九年级男生，他们的身高x（）统计如下： 根据以上结果，任意抽查集团学校一名九年级男生，他的身高不小于的概率是_____． 22．（26-27九年级上·全国·课后作业）小明有红色、白色、黄色、黑色四件衬衫，又有米色、蓝色两条长裤．如果他最喜欢的搭配是白色衬衫配蓝色长裤，那么黑暗中他随机拿出衬衫一件、长裤一条，正好是他最喜欢的搭配的概率是多少？如果他不喜欢红色衬衫配蓝色长裤或者黑色衬衫配蓝色长裤，那么，黑暗中他随机拿出的衬衫与长裤正好是他不喜欢的搭配的概率又是多少？ 23．（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【考点4】列表法与树状图法求概率（第24-31题） · 两步或两步以上试验用列表法或画树状图法，列举要不重不漏 · 树状图从上到下逐层分叉，末端分支总数即所有等可能结果数n · 摸球、抽卡片问题要区分「放回」与「不放回」对总数n的影响 24．（2026·湖北武汉·中考真题）乘坐地铁已经成为市民出行的主要方式．小美和小好约定在某地铁站内会面，该地铁站有个入口，他们各自随机选择一个入口进站，两人刚好从同一个入口进站的概率是（     ） A． B． C． D． 25．（2024·内蒙古包头·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 26．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（     ） A． B． C． D． 27．（2026·河南·中考真题）在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从，，，四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为_______． 28．（2026·安徽芜湖·三模）天平左右两端分别放置、物品后倾斜如图所示，现从、、、四件物品中随机选取两件放在左端托盘，天平恢复平衡的概率为_______． 29．（23-24九年级上·山西长治·期末）我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： (1)本次被调查的学生有______名；补全条形统计图； (2)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______； (3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同时被选中的概率． 30．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张． (1)直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； (2)小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． ∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种， ∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率， 31．（2024·甘肃陇南·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 【考点5】几何概率（第32-36题） · 几何概率：事件A的概率等于A所占区域面积与总区域面积之比 · 不规则图形面积：用向区域内投点的频率估计面积占比，再求面积 · 转盘问题：把转盘等分成若干扇形，指针落在某区域的概率等于该扇形面积占比 32．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，在边长为且有内角为的菱形内部有一圆（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，利用计算机进行模拟实验，通过计算机在菱形区域随机投放一个点，并计算该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．由此估计阴影部分面积（各图形的边界均忽略不计）约为（     ） A． B． C． D． 33．（25-26七年级下·四川成都·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 34．（26-27九年级上·全国·课前预习）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是________． 35．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为______． 36．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）近年来，无人机航拍被广泛应用于地理测绘．在一次测算某湿地公园中天然湖泊面积的活动中，测绘人员用无人机航拍了一张面积为25平方千米的区域俯视图．为了估算湖泊的面积，他们在航拍图上随机选取了大量的点，经过大量重复试验，发现点落在湖泊区域的频率稳定在左右．据此估计，该湖泊的面积约为_________平方千米． 【考点6】游戏公平性与概率综合应用（第37-40题） · 游戏公平性：分别计算双方获胜概率，概率相等则公平，否则不公平 · 判断出游戏不公平后，能通过修改规则使双方获胜概率相等 · 比赛问题（三局两胜等）要列出所有可能的比赛结果再算概率 37．（2024·浙江·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 38．（2026·安徽·模拟预测）某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 39．（25-26八年级上·广东茂名·开学考试）用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 40．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． (1)任意掷这枚骰子，掷出面标有“6”的概率是 ； (2)任意掷这枚骰子，掷出面标有“3的倍数”的概率是 ； (3)小明和小颖利用这个正二十面体形状的骰子做游戏，任意掷这枚骰子，掷出“奇数”朝上小明获胜，掷出“偶数”朝上小颖获胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 💯 课后巩固 复习建议 · 事件分类紧扣定义，必然事件与不可能事件是确定事件，随机事件可能发生也可能不发生 · 概率公式P(A)=要先确认等可能，数准m与n再代入计算 · 两步试验用列表法，多步试验画树状图，列举结果要不重不漏 · 用频率估计概率需要大量重复试验，频率的稳定值才是概率 · 游戏公平性看双方概率是否相等，转盘摸球问题注意等可能与放回条件 【作业1】．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是（     ） A．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 B．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 C．钉尖着地的频率是0.4 D．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 【作业2】．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）成语“守株待兔”表示（   ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件 【作业3】．（25-26七年级下·辽宁·期中）下列说法正确的是（     ） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“汽车累计行驶10000 km，从未出现故障”是随机事件 C．“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 D．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 【作业4】．（2026·四川成都·一模）如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（   ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 【作业5】．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为______． 【作业6】．（23-24八年级下·全国·单元测试）某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是________． 【作业7】．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： (1)填空：__________，__________． (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1） (3)在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 【作业8】．（26-27九年级上·全国·课后作业）某次抽奖活动，中奖率为，请你通过试验估计： (1)抽奖10次，至少有一次中奖的概率； (2)抽奖10次，才第一次中奖的概率． 【作业9】．（2025·北京海淀·三模）咖啡店自制了300袋黄油饼干，从中随机抽取了10袋检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：47，46，a，50，49，49，48，50，52，49，这组数据的众数只有一个，恰好是a．则从这300袋饼干中随机抽取一袋，抽到质量为_____g的可能性最大，并估计这批饼干中质量超过的饼干有_____袋． 【作业10】．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）小明、小红、小刚三人在课间做“石头、剪刀、布”游戏．规则如下：由小明和小红两人来做“石头、剪刀、布”的游戏，两人出三种手势的可能性相同，如果他们两人所出的手势相同，那么小刚胜出，如果手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小红的获胜者为游戏的获胜者．以下说法正确的是（    ） A．这个游戏小刚获胜的可能性最大 B．这个游戏小刚获胜的可能性最小 C．这个游戏小明和小红获胜的可能性一样，都比小刚获胜的可能性大 D．这个游戏对三人是公平的 【作业11】．（2026·全国·二模）年，长沙市中小学全面实施“活力课间15分钟”行动，鼓励学生走出教室参与体育锻炼．某校在课间开设了花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目．甲、乙两位同学各自从这三项中随机选择一项参加，且两人选择相互独立．则他们恰好都选择花样跳绳的概率是________． 【作业12】．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 【作业13】．（25-26九年级上·浙江台州·期末）在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（   ） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 1 学科网（北京）股份有限公司 $