专题07 圆的有关概念 期中复习讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题07圆的有关概念期中复习讲义 知识点 1：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 补充教师备课拓展 生活实例：车轮做成圆形，利用 “圆上各点到圆心距离相等”，保证行驶平稳；摩天轮、圆形餐盘都是圆的现实模型。 知识点 2：点与圆的三种位置关系（本章重难点，计算、大题高频） 设：⊙ O的半径为定值r，平面内任意一点P，点P到圆心O的距离为线段长度OP=d。 1.位置关系完整对照表（解题万能模板） 2.两类核心考法 · 基础判定：给出半径、线段长度，直接判断点的位置； 例：⊙O半径 4，OP=6，6>4，点P在圆外。 · 含参数综合题：已知点的位置，列不等式求参数取值范围； 例：⊙ O半径 5，点M(a,0)在圆内，圆心(0,0)，则OM<5，利用勾股定理<5，解得-5<a<5。 3.配套计算方法（坐标类题目必备） 4.高频易错提醒（教师课堂重点纠错） 1.d是线段长度，一定是非负数，距离不能为负； 2 区分 “圆上” 和 “圆内 / 外”，等于半径才在圆周上； 2.坐标题先算距离，不可直接拿横坐标、纵坐标和半径比较； 3.审题区分 “圆”（仅曲线，点d=r才算圆上）和 “圆面”dr都在圆面内）。 知识点 3：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） 配套推论（学生必背） 1.直径长度 = 2× 半径，d=2r，r=； 2.同一个圆内，直径是长度最大的弦，不存在更长的弦； 3.一条非直径弦对应 1 条劣弧、1 条优弧；直径对应两条相等半圆。 知识点 4 过点作圆 & 三角形外接圆、外心（本节拓展核心） 1. 过定点画圆规律 (1）过一个点：可画无数个圆，圆心为平面内任意一点； (2）过两个点：可画无数个圆，圆心在这两点连线的垂直平分线上； (3）过不在同一直线上的三个点：有且只有唯一一个圆； (4）若三点在同一条直线上：不存在能同时经过三点的圆。 2. 三角形外接圆、外心定义 (1）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆，叫做这个三角形的外接圆。 (2）三角形的外心：外接圆的圆心，是三角形三条边垂直平分线的交点。 (3）内接三角形：这个三角形叫做该圆的内接三角形。 3. 外心核心性质 ① 外心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离就是外接圆半径； ② 外心位置与三角形形状对应： 4. 关键易错点 (1）“外接” 是圆包住三角形，圆经过三角形三顶点；“内切” 是圆在三角形内部，和三边相切，本节只学外接圆； (2）任意三角形一定有且只有 1 个外接圆；一个圆有无数个内接三角形。 1、混淆弦与直径的从属关系 易错提醒：直径是经过圆心的弦，属于特殊的弦；但是一般的弦不一定经过圆心，因此弦不一定是直径。 2、混淆弧与半圆的从属关系 易错提醒：半圆是一条特殊的弧；但是弧不一定是半圆。大于半圆的弧为优弧，小于半圆的弧为劣弧。 3、仅凭弧长相等判定为等弧 易错提醒：等弧的定义是能够完全重合的两条弧。仅长度相等的两条弧，不一定是等弧；只有在同圆或者等圆中，才存在等弧。 4、点与圆的位置关系对应出错 易错提醒：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d：d=r，点在圆上；d<r，点在圆内；d>r，点在圆外，三组对应关系不可颠倒。 5、忽略三点作圆的限制条件 易错提醒：不在同一条直线上的三个点确定一个圆；若三点位于同一条直线上，则不存在经过这三点的圆。 6、混淆三角形外心与内心 易错提醒：三角形外接圆的圆心叫做外心，是三边垂直平分线的交点；不要和内心（三条角平分线的交点）发生概念混淆。 7、记错不同三角形外心的位置 易错提醒：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外部。 8、误解圆的构成范围 易错提醒：数学定义中的“圆”仅指圆周这条封闭曲线，不包含圆心和内部区域；圆心只起到确定位置的作用。 题型 考察方向 难度 题型一 圆的基本概念辨析 ★ 题型二 求圆中弦的条数 ★ 题型三 求过圆内一点的最长弦 ★ 题型四 圆的周长和面积问题 ★ 题型五 判断点与圆的位置关系 ★★ 题型六 利用点与圆的位置关系求半径 ★★ 题型七 点与圆上一点的最值问题 ★★★ 题型八 已知半径和圆上两点作圆 ★★ 题型九 三角形外接圆的概念辨析 ★ 题型十 求三角形外心坐标 ★★★ 题型十一 求特殊三角形外接圆的半径 ★★★ 题型十二 已知外心的位置判断三角形的形状 ★★ 题型十三 判断三角形外接圆的圆心位置 ★★ 题型十四 判断确定圆的条件 ★ 题型十五 确定圆心 ★★ 题型十六 求能确定的圆的个数 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 圆的基本概念辨析 1．下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径 【答案】C 【分析】根据圆中弦、直径、圆弧的定义逐一判断：弦是圆上两点的线段，直径是经过圆心的弦，所以直径属于弦，但弦不一定是直径；圆弧是圆上两点之间的曲线，不是线段；直径不仅要过圆心，两个端点还必须在圆上，由此判定只有C正确． 【详解】解：A选项，弦不一定过圆心，故弦不一定是直径，错误； B选项，圆弧是圆上两点间的曲线部分，不是线段，故该说法错误； C选项，直径是特殊的弦，故该说法正确； D选项，过圆心的线段端点不一定都在圆上，故不一定是直径，错误． 2．将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图像得出摩天轮离地面的最高高度和最低高度，利用直径等于最高高度减去最低高度求出直径，进而求出半径． 【详解】解：由函数图像可知，摩天轮上一点离地面的最大高度为，最小高度为 ， 摩天轮的直径等于最大高度与最小高度之差， 摩天轮的直径为， 摩天轮的半径为． 3．如图，，点在射线上，，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接．则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和等边对等角得到，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 题型二 求圆中弦的条数 4．经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【答案】 无数 直径 【分析】本题主要考查了弦的概念，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据连接圆上任意两点间的线段是弦，经过圆内一点可以作无数条直线与圆相交，从而形成无数条弦；根据圆中最长的弦是直径即可解答． 【详解】解：经过圆内一点可作圆的无数条弦，其中最长的弦是直径． 故答案为：无数；直径． 5．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 6．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】试题分析：弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答． 解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点， 图中的弦有AB、BC、CE，一共3条． 故选B． 考点：圆的认识． 题型三 求过圆内一点的最长弦 7．已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【详解】解：∵的半径是， ∴中最长弦长是． 故选：C． 8．、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解． 【详解】∵圆中最长的弦为直径， ∴． ∴故选D． 【点睛】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键． 9．在矩形中，，点是平面内一动点，且满足，分别为的中点，点运动过程中线段长度的最小值是 ___． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、三角形中位线定理以及点与圆的位置关系；解题的关键是利用三角形中位线定理得到与的关系，再根据点的运动轨迹，结合点与圆的位置关系求出的最小值，进而得到的最小值． 【详解】解：连接，如图： ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，点为定点， ∴点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆， ∴当三点共线，且点在线段上时，取得最小值，此时， 在矩形中，，根据勾股定理， ∴， ∴． 故答案为：. 题型四 圆的周长和面积问题 10．如图中圆环的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆的面积的计算，利用大圆的面积减去小圆的面积即可得到答案． 【详解】解：图中圆环的面积为：． 故选：D 11．如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知平行四边形的底是，那么圆形茶杯垫片的面积是_______．（ 取） 【答案】 【分析】先求出圆的直径，再根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，圆的直径为：， ∴圆的半径为， ∴圆形茶杯垫片的面积为． 12．在一张长为，宽为的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆： 方式：剪个大圆； 方式：剪个等圆． 设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为、，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算矩形面积，再分别求出两种剪法下剪出圆的总面积，进而得到剩余面积和，计算的取值范围即可． 【详解】矩形面积为； 方式：剪出个最大圆，圆的最大直径等于矩形的宽，可得半径，圆的面积为， ； 方式：剪出个等大的最大圆，两圆并排沿长摆放，可得单个圆最大直径为，半径，两个圆的总面积为， ； ， ， ， ，即， ，即， ， ， ，即， A选项符合题意． 题型五 判断点与圆的位置关系 13．已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】利用点在圆内的性质：点到圆心的距离小于圆的半径，判断各选项即可． 【详解】解：∵点P在⊙O内，⊙O的半径为4， ∴点P到圆心O的距离d满足； A选项，不符合要求； B选项，即，符合要求； C选项，不符合要求； D选项，不符合要求． 14．如图，以为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，由勾股定理可得，再由点与圆的位置关系即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意可得：的半径为， ∵， ∴点在圆外， 故选：B． 15．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有种，熟知设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再由点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵当点在内且点在外， ∴， ∴的值可能是． 故选：． 题型六 利用点与圆的位置关系求半径 16．已知的半径为2，若点在内，则的长可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵的半径为2，点在内， ∴， ∴的长可能为1． 故选：D 17．同一平面内，一个点到圆的最小距离为6，最大距离为8，则该圆的半径为______． 【答案】1或7 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解题的关键．点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，分此点在圆内和此点在圆外两种情况，分别求出半径即可． 【详解】解：设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，则此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大和最小距离． 可分两种情况讨论： ①当此点在圆内时，如图所示，    由题意可知，，， ∴半径； ②当此点在圆外时，如图所示，    由题意可知，， ∴半径． 综上所述，圆的半径为1或7． 故答案为：1或7． 18．如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是____________． 【答案】/ 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可． 【详解】解：如图，当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的， 因此交于点M，此时的值最大， 由题意得，，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型七 点与圆上一点的最值问题 19．在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据题意可知圆上的点到直线的最短距离为，最长距离为，据此判断即可，掌握直线与圆的位置与圆心到直线的距离之间的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，    由题意得，，， 当点在的延长线与的交点时，点到直线的距离最大， 此时，点到直线的最大距离是， 当点在与的交点时，点到直线的距离最小， 此时，点到直线的最小距离是， 点到直线的距离， 故点到直线的距离不可能是， 故选：． 20．如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意求出，得到，证明是的中位线，根据即可得到答案． 【详解】解：抛物线， 对称轴为，当时， ， ， 是线段的中点， 故是的中位线， ， 是以点为圆心，为半径的圆上的动点， ， 21．如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值 __ ． 【答案】2 【分析】取的中点D，连接、，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，进而可得点A、O、B、C在以为直径的上，可知当为的直径时取最大值． 【详解】解：取的中点D，连接、， ，， ， 点A、O、B、C在以为直径的上， 为的一条弦， 当为的直径时取最大值，最大值为2， 即点到点距离的最大值为2． 题型八 已知半径和圆上两点作圆 22．已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了确定圆心的位置，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，那么作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧，该弧与线段的垂直平分线的交点个数即为圆的个数，据此作图求解即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧， ∵， ∴该弧与线段的垂直平分线有两个交点， ∴经过两点且半径为3的圆有2个， 故选：C． 23．如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 【详解】解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 24．如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【详解】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 题型九 三角形外接圆的概念辨析 25．三角形的外心是三角形中（　　） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外心的定义． 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点作答即可． 【详解】三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点， 故选：D． 26．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴点是的外心， 故选：． 27．如图，填空： （1）是的______________三角形． （2）是的______________圆． （3）圆心O是的______________的交点． 【答案】 内接 外接 三边垂直平分线 【分析】直接根据三角形的外接圆与外心相关概念分别分析得出即可． 【详解】解：（1）由题意得，是的内接三角形； （2）由题意得，是的外接圆； （3）∵是的外接圆， ∴圆心O是的三边垂直平分线的交点． 题型十 求三角形外心坐标 28．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，解题的关键是掌握三角形的外心的定义．根据三角心的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，分别作、的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】解：如图，分别作、的垂直平分线交于点，点即为所求， 故选：C． 29．过三点，，的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点的确定方法解答． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴是直角三角形， ∴的中点O的坐标为， ∴过三点，，的圆的圆心坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，垂径定理，解决本题的关键是掌握直角三角形的外心． 30．如图，在平面直角坐标系中，，则的外心坐标为________ 【答案】． 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标；解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求． 【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求， 所以的外心坐标为 ， 故答案为：． 题型十一 求特殊三角形外接圆的半径 31．已知一个直角三角形两条直角边的长分别为6和8，它的外接圆的半径是（   ） A．5 B．4 C．5或 D．4或5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，外接圆．直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，因此先利用勾股定理求出斜边长，即可求出外接圆的半径． 【详解】解：∵直角三角形两条直角边长分别为6和8， ∴斜边， ∴外接圆半径， 因此，外接圆半径为5， 故选：A． 32．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的半径为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、两点间的距离公式，假设的外接圆的圆心为点，则点必在线段的垂直平分线上，即点的纵坐标为，设点，由三角形外接圆的性质得，得出，求出的值，即可得出答案． 【详解】解：假设的外接圆的圆心为点，则点必在线段的垂直平分线上，即点的纵坐标为， 设点， 由图可得：，， 由三角形外接圆的性质得， ， ， 解得：， ， ， 外接圆的半径为， 故答案为：． 33．如图，大和小分别是等边的外接圆和内切圆，笑笑随意向水平放置的大内部区域抛一个飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记与小相切于点，与小相切于点，连接，，，根据等边三角形的性质可知，，根据含角的直角三角形的性质可知，设，则，根据圆的面积公式求出阴影圆与大的面积比即为飞镖落在阴影区域的概率． 【详解】解：如下图所示，记与小相切于点，与小相切于点，连接，，， 为等边三角形， ， ，， ， 设，则， 飞镖落在阴影区域的概率为． 题型十二 已知外心的位置判断三角形的形状 34．若一个三角形的外心在这个三角形的外部，那么这个三角形的形状是________． 【答案】钝角三角形 【分析】根据三角形外心的性质“锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；钝角三角形的外心在三角形外”即可得． 【详解】解：由三角形外心的性质可得： 钝角三角形的外心在其外部， 故答案为：钝角三角形． 【点睛】本题考查了三角形外心的性质，熟记三角形外心的性质是解题关键． 35．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（   ） A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE 【答案】C 【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答； 【详解】∵外心为三角形三边中垂线的交点，且钝角三角形的外心在三角形的外部，∴点是的外心． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外接圆的圆心，准确分析判断是解题的关键． 36．如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（     ） A．72 B．96 C．120 D．144 【答案】B 【分析】连接AF，AD，AE，BE，CE，根据三角形外心的定义，可得PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，进而求得AF，DF，AD的长度，可知△ADF是直角三角形，即可求出△ABC的面积． 【详解】如图，连接AF，AD，AE，BE，CE， ∵点E是△ABC的外心， ∴AE=BE=CE， ∴△ABE，△ACE是等腰三角形， ∵点P、Q分别是AB、AC的中点， ∴PE⊥AB，QE⊥AC， ∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC， ∴AF=BF=10， AD=CD=8， 在△ADF中，∵， ∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°， ∴S△ABC= ， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形外心的定义，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是得到△ADF是直角三角形． 题型十三 判断三角形外接圆的圆心位置 37．如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外心，关键是熟练掌握三角形的外心的概念．根据三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，再结合图形进行判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三边的垂直平分线的交点， 三角形的外心到三个顶点的距离相等． 由图可知，设网格中每个小正方形的边长为， 则点到三个顶点的距离均为， 即点到三个顶点的距离相等， 的外心是点． 故选：C． 38．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，则能完全覆盖的最小圆的半径为______． 【答案】 【详解】解：以为直径的圆是能完全覆盖的最小圆 能完全覆盖的最小圆的半径为：， 故答案为：． 39．如图，在的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由图可知，故过A、B、C三点作圆O，直径为，圆心在的中点，然后根据网格的特点用勾股定理计算半径和点D、E、F三点到圆心的距离即可判定． 【详解】解：如图， ∵， ∴过A、B、C三点作圆O，直径为，圆心在的中点， ∴， ， ， ∴点F在圆O外，点D、E在圆O上， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点上，以及点与圆的位置关系，解题关键是关键网格的特点找到圆心的位置． 题型十四 判断确定圆的条件 40．不在同一条直线上的_____个点确定一个圆． 【答案】三 【解析】略 41．下列关于圆的说法，正确的是（    ） A．弦是直径，直径也是弦 B．半圆是圆中最长的弧 C．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴 D．过三点可以作一个圆 【答案】C 【分析】根据弧、弦的概念、对称轴的概念、过三点的圆的条件判断即可． 【详解】解：A、弦不一定是直径，但直径是弦，本选项说法错误，不符合题意； B、半圆小于优弧，半圆是圆中最长的弧说法错误，本选项不符合题意； C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，本选项说法正确，符合题意； D、过不在同一直线上的三点可以作一个圆，本选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的有关概念和性质，解题关键是熟练掌握这些性质，灵活运用它们解答． 42．如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值_________． 【答案】2 【分析】本题考查隐圆问题，直角三角形斜边中线的性质．取的中点D，连接、，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，进而可得点A、O、B、C在以为直径的上，可知当为的直径时取最大值． 【详解】解：取的中点D，连接、， ，， ， 点A、O、B、C在以为直径的上， 为的一条弦， 当为的直径时取最大值，最大值为2， 即点到点距离的最大值为2， 故答案为：2． 题型十五 确定圆心 43．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：A． 44．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是_____ 【答案】（﹣2，﹣1） 【分析】根据外心的定义作图即可． 【详解】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O， 则点O即是该圆弧所在圆的圆心． ∵点A的坐标为（﹣3，2），∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）． 【点睛】本题考查了三角形外心，熟练掌握外心的定义，准确求作线段的垂直平分线是解题的关键． 45．如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 【答案】D 【分析】根据三角形外心的定义对结论 Ⅰ 进行判断；利用点 D、 G有任意性可对结论 Ⅱ 进行判断． 【详解】解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故结论Ⅰ正确； 点，的位置不确定， 和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确． 故选：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的外心与内心，熟练掌握尺规作图和三角形外心的性质是解题的关键． 题型十六 求能确定的圆的个数 46．过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可． 【详解】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆， 若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆， 故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个． 故选：D． 47．如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】试题分析：根据题意得出：点D、A、B；点D、A、C；点D、B、C可以确定一个圆．故过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是3个．故选C． 考点：确定圆的条件． 48．已知线段，经过A，B两点作半径为的圆，这样的圆（　　） A．可作一个 B．可作两个 C．可作无数个 D．不能作出 【答案】B 【分析】本题考查确定圆的条件，两圆的位置关系；圆心需同时满足到A和B的距离均为，即是以A和B为圆心、半径的两圆的交点，根据两圆位置关系，当圆心距，半径时，两圆相交，有两个交点，故可作两个圆． 【详解】解：∵圆经过A、B两点且半径为， ∴圆心O满足，， ∴O点是以A为圆心、为半径的圆和以B为圆心、为半径的圆的交点， 又∵，且两圆半径均为， ∴两圆圆心距，半径和，半径差， ∴两圆相交，有两个交点， ∴这样的圆可作两个． 故选：B． 解答题 1．如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交 于点，交于点，连接．若，求的度数． 【答案】 【分析】由直角三角形两锐角互余求出，再由圆的基本性质得，最后根据等边对等角及三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴ ， ∵， ∴是等腰三角形， ， ∴ ． 2．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆的面积． 【答案】(1)如图所示，点即为所求． (2)外接圆的面积为 【分析】（1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心； （2）连接，利用勾股定理求得半径，再计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ， 故外接圆的面积为． 3．如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为___________； (2)这个圆的半径为___________； (3)直接判断点与的位置关系．点D在 ___________；(填“内”或“外”或“上”) (4)的长度为___________(结果保留π)． 【答案】(1) (2) (3)内 (4) 【分析】本题考查坐标与图形，圆的确定，点与圆的位置关系，求弧长，解题的关键是确定圆心的位置： （1）线段的中垂线的交点，即为圆心； （2）勾股定理求出的长即可； （3）求出的长进行判断即可； （4）根据弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求；由图可知：； （2）由勾股定理，得； 故圆的半径为； （3）∵，， ∴， ∵； ∴点D在内； （4）∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在中，． (1)请用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求此外接圆的半径． 【答案】(1) 解：如图，即为所求作． (2) 【分析】 本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）作线段，的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作即可； （2）证明是等边三角形，求出，即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交 于E，连接． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的外接圆的半径为． 5．图形的旋转是一种重要的图形变换，不仅能产生许多美丽的图案，还能帮助我们研究图形． (1)初步感知：如图1，将绕点A逆时针旋转得到对应的，连接，显然是等边三角形．若点P是边上任意一点，请用圆规和无刻度的直尺作出点P绕A点逆时针旋转后的对应点Q ，此时点Q （填“在”或“不在”）边上； (2)迁移运用：如图2，点P是内部一点，利用（1）中的研究和发现，尝试用圆规和无刻度的直尺作等边，其中点C在边上，点D在边上，并写出必要的文字说明； (3)继续思考：如图3，中，，，，点P在边上，，点D是线段上一动点，以P为旋转中心，将点D顺时针旋转得到点E，若点D在从点A运动到点B的过程中，点E只有一次落在上，则的半径r的取值范围是 ． 【答案】(1)作图见详解，在 (2)作图和文字说明见详解 (3)或 【分析】（1）根据题意作出对应的点Q，利用旋转的性质可得出点Q在边上； （2）根据题意作出对应的等边即可； （3）先确定点E的运动轨迹，利用旋转的性质，等边三角形的性质，解30度直角三角形的性质，矩形的判定与性质及勾股定理求出相关线段的长度，再分情况讨论：当过点时，与只有一个交点；当过点时，与有两个交点，且属于临界情况；当与相切时，与只有一个交点，求出不同情况下的半径，从而得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，点Q即为所求： ∵点P在边上，绕点A逆时针旋转得到， ∴， 将点P绕点A逆时针旋转后，则， ∴， ∴点Q在边上． （2）解：如图所示，等边即为所求： 文字说明： ①连接，分别以点O、P为圆心，长为半径画弧，两弧交于点Q，得等边； ②在的左侧作，交于点D； ③在上截取，连接，，； ④即为所画等边三角形． 证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形． （3）解：∵点D为线段上的动点，点D绕点P顺时针旋转得到点E， ∴当点D与点B重合时，点E在线段上，即点，，；此时是等边三角形， 当点D与点A重合时，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即点E的运动轨迹是与线段夹角为的线段， ∵， ∴， 如图，过点A作交于点N，过点作交于点K，过点P作交于点M， ∵，，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 同理可得，在中，，， ∴， 在中，， ∵是等边三角形， ∴， 在中，， ∴，则，，则， 在中，， ∴， 过点C作交于点H， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 当过点时，与只有一个交点， ∴， 在中，， ∴； 当过点时，与有两个交点，且属于临界情况， ∴， 在中，， ∴； 当与相切时，与只有一个交点， ∴， 综上所述，的半径r的取值范围是或． 6．在平面直角坐标系中，四边形为矩形，其中，，，．给出如下定义：平移线段得到线段，使得，均在矩形的边上（，分别为点P，Q的对应点），线段长度的最小值称为线段到矩形的“平移距离”． (1)如图，平移线段到线段和，连接线段和，则和的位置关系是________；在点，，，中，连接点P与点________的线段的长度等于线段到矩形的“平移距离”； (2)若点，都在直线上，，记线段到矩形的“平移距离”为，求的最小值； (3)在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，，，，若点M的坐标为，，线段平移后，使线段两个端点均在正方形上，记到正方形的“平移距离”为，直接写出的最小值为________，最大值为________． 【答案】(1)； (2) (3)； 【分析】（1）由平移的性质可得出和的位置关系，再结合“平移距离”的定义即可得出结果； （2）取，连接，根据“平移距离”的定义结合图象，利用矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可求出结果； （3）根据题意先得出点N的轨迹，根据“平移距离”的定义，利用正方形的性质并结合图象进行分析，从而得出的最大值和最小值． 【详解】（1）解：根据平移的性质：平移对应点连线平行，可得和的位置关系是； ∵线段长度的最小值称为线段到矩形的“平移距离”， ∴在点，，，中，与为点P平移后的对应点，且， ∴连接点P与点的线段的长度等于线段到矩形的“平移距离”． （2）解：如图，取，，连接，， ∴，， ∵，且点，均在直线上， ∴， ∵，， ∴在矩形内的平移范围为平行四边形， ∴， 由图象可知，线段到矩形的“平移距离”的最短距离即最小值为的长度， 过点D作，此时存在线段到矩形的“平移距离”，点L与点重合， ∴， 设直线与y轴的交点为P， 令，则， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴点N的轨迹是以点M为圆心，为半径的圆， 如图，过点作交于点Q， ∵，， ∴， 当点与点G重合时，此时， 要使定义成立，则点的轨迹在距离正方形端点距离的线段上， ∵四边形为正方形，，，，， 如图，当点M对应点落在点F处时， 此时， ∵正方形中心O与点M在直线上， 如图，当且仅当为矩形时，为最大的“平移距离”， 此时， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， 综上所述，的最小值为，最大值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题07圆的有关概念期中复习讲义 知识梳理 知识点1：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）· 1.动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运 动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母0表示： 线段定长：半径，用字母「表示： 关键限制：必须强调同一平面：空间旋转形成球面，不是平面圆。 2.静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O;定长：半径r: 几何记作：以0为圆心的圆，写作⊙O: 核心区分易错： ⊙O仅指圆周（外围曲线），不含内部： 圆面=圆周+圆内部所有区域：做题看清题干描述是“圆”还是 试卷第1页（共3页） “圆面”。 半径 直径d 0 圆心 补充教师备课拓展 生活实例：车轮做成圆形，利用“圆上各点到圆心距离相等”，保证行 驶平稳；摩天轮、圆形餐盘都是圆的现实模型。 知识点2：点与圆的三种位置关系（本章重难点，计算、大题高频） 点在圆内 0 < 点在圆上 = d=r 点在圆外 d>r P 设：⊙O的半径为定值「，平面内任意一点P,点P到圆心O的距离为线 段长度OP=d。 1.位置关系完整对照表（解题万能模板） 试卷第2页（共3页） 位置 距离与半径 图形直观特征 题型双向用法 分类 大小关系 点在 点落在圆周外侧，不在①已知点在圆外，直接写d>x;②已 d>r 圆外 圆上、圆内 知OP>r,判断点在圆外 点在 点刚好落在圆周曲线 ①圆上任意一点到圆心距离等于半 d=r 圆上 上 径；②证明点在圆上，只需证d=r 点在 点落在圆周包围的内 ①点在圆内，d<r;②距离小于半径， d<r 圆内 部区域 点在内部 2.两类核心考法 ·基础判定：给出半径、线段长度，直接判断点的位置： 例：⊙0半径4,0P=6,6>4,点P在圆外. 含参数综合题：已知点的位置，列不等式求参数取值范围： 例：⊙0半径5，点M(a,0)在圆内，圆心(0,0)，则OM<5,利用勾股定 理√a<5,解得-5<a<5。 3.配套计算方法（坐标类题目必备） 若圆心、点在平面直角坐标系中，两点距离公式： 圆心O(c0,o),点P(x,y),则 d=OP=V√(x-xo)2+(y-yo),算出d再和r比较。 4,高频易错提醒（教师课堂重点纠错） 1.d是线段长度，一定是非负数，距离不能为负：2区分“圆上”和 试卷第3页（共3页） “圆内/外”，等于半径才在圆周上： 2.坐标题先算距离，不可直接拿横坐标、纵坐标和半径比较： 3.审题区分“圆”（仅曲线，点d=r才算圆上）和“圆面”d≤r都在圆 面内)。 知识点3：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） 弦AB劣弧AB B 圆 B 半径 优弧ACB 圆面 半圆(AC) 圆心 直径AC 试卷第4页（共3页） 概念 标准文字定义 几何书写规范 核心性质&易混易错点 名称 确定圆位置的定 圆心定位置，半径定大小；两个圆 圆心 点0 点 半径相等为等圆 连接圆心与圆上 1.同一个圆中，所有半径长度相 半径 线段0A(A在⊙0上 任意一点的线段 等；2.无数条半径 连接圆上任意两 弦是线段，弧是曲线；圆内任意两 弦 弦AB 个点的线段 点连线都是弦 1. 直径是特殊弦；2.同圆中最长 直径 经过圆心的弦 直径AC 弦；3.直径d=2r;4.无数条直径 圆上两点之间的 条弦对应两条弧；直径对应两条 弧 劣弧：AB优：ACB 曲线部分 半圆 直径将圆分割出 半圆既不属于优弧，也不属于劣 半圆 AC(AC为直径) 的两条弧 弧，长度等于圆周长一半 只用两个大写字母表 劣孤小于半圆的弧 两点短弧，书写仅需两个点 不 必须三个大写字母表 两点长弧，只用两点会和劣弧混 优弧 大于半圆的弧 示 淆，中间加一个圆上点区分 配套推论（学生必背） 1.直径长度-2x半径，d-2,r号 2同一个圆内，直径是长度最大的弦，不存在更长的弦： 3.一条非直径弦对应1条劣弧、1条优弧；直径对应两条相等半圆。 知识点4过点作圆&三角形外接圆、外心（本节拓展核心） 试卷第5页（共3页） 1.过定点画圆规律 (1)过一个点：可画无数个圆，圆心为平面内任意一点： (2)过两个点：可画无数个圆，圆心在这两点连线的垂直平分线上： (3)过不在同一直线上的三个点：有且只有唯一一个圆： (4)若三点在同一条直线上：不存在能同时经过三点的圆。 2.三角形外接圆、外心定义 (1)三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆，叫做这个三角形的外 接圆。 (2)三角形的外心：外接圆的圆心，是三角形三条边垂直平分线的交 点。 (3)内接三角形：这个三角形叫做该圆的内接三角形。 3.外心核心性质 ①外心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离就是外接圆半径： ②外心位置与三角形形状对应： 试卷第6页（共3页） 三角形类型 外心位置 锐角三角形 三角形内部 直角三角形 斜边中点（外接圆直径=直角三角形斜边） 钝角三角形 三角形外部 4.关键易错点 (1)“外接”是圆包住三角形，圆经过三角形三顶点；“内切”是圆 在三角形内部，和三边相切，本节只学外接圆： (2)任意三角形一定有且只有1个外接圆：一个圆有无数个内接三角 形。 2 高频易错点 1、混淆弦与直径的从属关系 易错提醒：直径是经过圆心的弦，属于特殊的弦；但是一般的弦不一定 经过圆心，因此弦不一定是直径。 2、混淆弧与半圆的从属关系 易错提醒：半圆是一条特殊的弧；但是弧不一定是半圆。大于半圆的弧 为优弧，小于半圆的弧为劣弧。 3、仅凭弧长相等判定为等弧 易错提醒：等弧的定义是能够完全重合的两条弧。仅长度相等的两条 试卷第7页（共3页） 弧，不一定是等弧；只有在同圆或者等圆中，才存在等弧。 4、点与圆的位置关系对应出错 易错提醒：设圆的半径为1，点到圆心的距离为d:d口，点在圆上： d<,点在圆内：dI,点在圆外，三组对应关系不可颠倒。 5、忽略三点作圆的限制条件 易错提醒：不在同一条直线上的三个点确定一个圆：若三点位于同一条 直线上，则不存在经过这三点的圆。 6、混淆三角形外心与内心 易错提醒：三角形外接圆的圆心叫做外心，是三边垂直平分线的交点： 不要和内心（三条角平分线的交点）发生概念混淆。 7、记错不同三角形外心的位置 易错提醒：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边 的中点：钝角三角形的外心在三角形外部。 8、误解圆的构成范围 易错提醒：数学定义中的“圆”仅指圆周这条封闭曲线，不包含圆心和 内部区域：圆心只起到确定位置的作用。 题型通关 题型 考察方向 难度 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 试卷第8页（共3页） 题型三 求过圆内一点的最长弦 题型四 圆的周长和面积问题 ★★ 题型五 判断点与圆的位置关系 题型六 利用点与圆的位置关系求半径 题型七 点与圆上一点的最值问题 ★★ 题型八 已知半径和圆上两点作圆 题型九 三角形外接圆的概念辨析 ★★★ 题型十 求三角形外心坐标 ★★★ 题型十一 求特殊三角形外接圆的半径 ★ 题型十二 已知外心的位置判断三角形的形状 ★★ 题型十三 判断三角形外接圆的圆心位置 题型十四 判断确定圆的条件 题型十五 确定圆心 ★★ 题型十六 求能确定的圆的个数 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 分题型精讲 题型一圆的基本概念辨析 1.下列说法中，正确的是() 试卷第9页（共3页） A.弦是直径 B.圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C.直径是弦 D.过圆心的线段是直径 2.将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y(m)与旋转时间x(min)之间的 函数关系如图所示，则摩天轮的半径为() (m) 30 20 234681012x(mim) A.70m B.32.5m c.35m D.40m 3.如图，∠AOB=50°，点C在射线OB上，CD∥OA,以点C为圆心，OC长为半径画 弧，交射线CD于点E,连接OE.则∠AOE的大小为() D B A.50° B.25° C.130° D.100° 题型二求圆中弦的条数 4.经过圆内一点可作圆的一条弦，其中最长的弦是 5.如图，AB,C,E四点在⊙O上，点AO,B,点C,O,D,点B,D,E分别共线， 则图中弦的条数为() D 0 A.2 B.3 C.4 D.5 试卷第10页（共3页） 6.点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为() A.2 B.3 C.4 D.5 题型三求过圆内一点的最长弦 7.已知⊙0的半径是8cm,则⊙0中最长弦长是() A.6cm B.12cm C.16cm D.20cm 8.A、B是半径为5Cm的⊙0上两个不同的点，则弦AB的取值范围是() A.AB>0 B.0<AB<5 C.0<AB<10 D 0<AB≤10 9.在矩形ABCD中，AD=3,AB=4,点E是平面内一动点，且满足DE-2,M、N分别 为CECB的中点，点E运动过程中线段MN长度的最小值是一· B E M 题型四圆的周长和面积问题 10.如图中圆环的面积为() 8cm A.4π B.8π C.20元 D.80m 试卷第11页（共3页） 11.如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如 下图所示.己知平行四边形的底是15.7cm,那么圆形茶杯垫片的面积是一cm2.(元 取3.14) 沿线剪开 15.7cm 12.在一张长为8，宽为6的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆： 方式①：剪1个大圆； 方式②：剪2个等圆. 设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为心、S,若 ÷ S,,则9的取值范围是() A. 29<1 B.1<g<2 C.0<q< 2 D.g>2 题型五判断点与圆的位置关系 13.已知⊙0的半径为4，若点P在⊙0内，则点P到圆心0的距离可能为() A.4 B V13 C.5 D.7 14,如图，以1(2,0 为圆心，A0为半径画圆，则 P(0,2)与⊙4的位置关系是（) 0 A.点P在圆上 B.点P在圆外 C.点P在圆外 D,不能确定 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,BC=8.以点A为圆心，r为半径作 圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是() 试卷第12页（共3页） ch A.6 B.8 c.10 D.12 题型六利用点与圆的位置关系求半径 16.已知⊙0的半径为2，若点P在⊙0内，则OP的长可能为() A.4 B.3 C.2 D.1 17.同一平面内，一个点到圆的最小距离为6cm,最大距离为8cm,则该圆的半径为 18.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC,P为圆上一动点，M为AP 的中点，连接CM.若⊙O的半径为2，则CM长的最大值是 M 题型七点与圆上一点的最值问题 19.在同一平面内，已知⊙0的半径为4，圆心0到直线的距离为6，P为圆上的一个动 点，则点P到直线的距离不可能是() A.2 B.6 C.10 D.14 20.如图，抛物线y= 。2-l与x抽交于么B两点，D是以点0,4)为圆心·万为半径 16 的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE,BD,则线段OE的最小值是() 试卷第13页（共3页） B 3W2 5v2 A.2 B.2 C.2 D.3 21.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=2,Rt△ABC在直角坐标系xOy 中运动，其中，点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上运动，求点C到点O距离的最 大值一· B A 题型八已知半径和圆上两点作圆 22.已知线段AB,且AB<6,则经过A,B两点且半径为3的圆有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 1 23.如图，已知点A,B和线段a,a>2B.用直尺和圆规作O0,使⊙0过点A,B, 且半径为a,则这样的圆可以作() i La B A.1个 B.2个 C.4个 D.无数个 试卷第14页（共3页） M(2,0)N(0,4) 24.如图，点 ),以点M为圆心5为半径作OM交'轴于小B两点，点 C为OM上一动点，连接CN,取CN中点D,连接ADBD,则AD+BD的最大值为 题型九三角形外接圆的概念辨析 25.三角形的外心是三角形中() A.三条高的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点 26.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点AB,C,D,E,F,G在小正方形 的顶点上，则△ABC的外心是() A.点D B.点E C.点F D.点G 27.如图，填空： C 0 试卷第15页（共3页） (1)△ABC是⊙0的： 三角形. (2)⊙0是△ABC的 圆. (3)圆心O是△ABC的 的交点. 题型十求三角形外心坐标 28.如图，在平面直角坐标系中， A0,-2)B(2,0),C(2,2）.则△ABC的外心坐标为 () B -3-2 A.(0,0) B.（1,0) c.（4,) D.（2,) 29.过三点4(2,2)，B(6,2),C(2,4)的圆的圆心坐标为() A.(4,5) B.(4,3) C.(5,4) D.(5,3) 30.如图，在平面直角坐标系中，A(0,-2),B(2,0),C(2,2),则△ABC的外心坐标为 试卷第16页（共3页） y 4 3 1 B 345 2 题型十一求特殊三角形外接圆的半径 31.已知一个直角三角形两条直角边的长分别为6和8，它的外接圆的半径是(） A.5 B.4 C.5或v7 D.4或5 32.如图，在平面直角坐标系xO少中，△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC外接圆的 半径为 5 4 3 2 -10 1 2345 33.如图，大⊙0和小⊙O分别是等边△ABC的外接圆和内切圆，笑笑随意向水平放置的大 ⊙0 内部区域抛一个飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为() 1 1 A 2 C.4 D. 6 试卷第17页（共3页） 题型十二已知外心的位置判断三角形的形状 34.若一个三角形的外心在这个三角形的外部，那么这个三角形的形状是 35.九个相同的等边三角形如图所示，已知点0是一个三角形的外心，则这个三角形是( O A.△ABC B.△ABE C.△ABD D.△ACE 36.如图，已知E是△ABC的外心，P,2分别是AB,AC的中点，连接EP,EO,分 别交BC于点F,D.若BF=I0,DF=6,CD=8,则△ABC的面积为() A.72 B.96 C.120 D.144 题型十三判断三角形外接圆的圆心位置 37.如图，在4×4的网格中，点A,B,C,D,E,F,G均在格点上，则△ABC的外 心是() B A.点D B.点E C.点F D.点G 38.如图，在平面直角坐标系x0中，点A坐标为 0,点B坐标为 6, (4,1 ,点C坐标为 试卷第18页（共3页） (2,3) 则能完全覆盖△MBC的最小圆的半径为， B 39.如图，在5×5的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、D、E、 F,若过A、B、C三点作圆O,则点D、E、F三点中在圆O外的有()个 B A.0 B.1 C.2 D.3 题型十四判断确定圆的条件 40.不在同一条直线上的_个点确定一个圆. 41.下列关于圆的说法，正确的是() A.弦是直径，直径也是弦 B.半圆是圆中最长的弧 C.圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴 D.过三点可以作一个圆 试卷第19页（共3页) 42.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=2,Rt△ABC在直角坐标系xOy 中运动，其中，点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上运动，求点C到点O距离的最 大值 题型十五确定圆心 43.如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A,B,C,其中B点坐标为(4,4，则该圆弧 所在圆的圆心坐标为() A.(2,0) B.(2,) C.(2,2) D.(3,) 44.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C,在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标 为(-3,2)，则该圆弧所在圆心坐标是 、 45.如图，已知△ABC,用尺规按照下面步骤操作： ① 作线段 B的垂直平分线D: DE ② B 作线 BC的垂直平分线PG,交DE于 于点： 试卷第20页（共3页） ③0 OB 0 以为圆心， 长为半径作 结论：点O是△MB 的外心；结论"，BG=D 则对于结论I和结论亚，下列判断正确的是() G A.I和Ⅱ都对 B.I和亚都不对 C.I不对，Ⅱ对 D.I对，I不对 题型十六求能确定的圆的个数 46.过同一平面内A,B,C三个点作圆，可以作出的个数为（) A.0个 B.1个 C.2个 D.0个或1 个 47.如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个点中的任意三个 点，能画圆的个数为() P AB C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 48.已知线段AB=5cm,经过A,B两点作半径为4cm的圆，这样的圆() A.可作一个 B.可作两个 C.可作无数个 D.不能作出 试卷第21页（共3页） 解答题 1.如图，以Rt△ABC的直角顶点为圆心，以BA的长为半径的圆分别交AC于点D,交 BC于点E,连接BD.若∠C=28°，求∠ABD的度数. 2.在如图所示的方格纸中存在△ABC,其中，点A,B,C均在格点上. 1B (1)用直尺作出△ABC的外接圆圆心O (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求△ABC外接圆的面积. 3.如图，在平面直角坐标系中， A(1,6)B(5,6)C(7,4) VA A (I)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 (2)这个圆的半径为. (3)直接判断 D(6,-与OM的位置关系，点D在OM ;(填“内”或 “外”或“上”) ④C 的长度为 (结果保留). 试卷第22页（共3页） 4.如图，在△ABC中，AB=AC. B (I)请用尺规作图法作出△ABC的外接圆O(保留作图痕迹，不写作法)； (2)若BC=8，,∠C=30°，求此外接圆的半径. 5.图形的旋转是一种重要的图形变换，不仅能产生许多美丽的图案，还能帮助我们研究图 形 图1 图2 图3 (I)初步感知：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到对应的△ADE,连接CE, △ACE显然是等边三角形.若点P是AB边上任意一点，请用圆规和无刻度的直尺作出点 P绕A点逆时针旋转60°后的对应点Q,此时点Q_(填“在”或“不在”)边AD上； (2)迁移运用：如图2，点P是∠AOB内部一点，利用(1)中的研究和发现，尝试用圆规和 无刻度的直尺作等边△PCD,其中点C在边OA上，点D在边OB上，并写出必要的文字说 明； (3)继续思考：如图3，△ABC中，∠B=60°，BC=5,AB=7,点P在边BC上，BP=2, 点D是线段AB上一动点，以P为旋转中心，将点D顺时针旋转6O°得到点E,若点D在从 点A运动到点B的过程中，点E只有一次落在⊙C上，则⊙C的半径r的取值范围是· 6.在平面直角坐标系0中，四边形BCD为矩形，其中1(-2，，B(2,),C(2,-) D(-2,-1) 给出如下定义：平移线段P吧得到线段P'g,使得P,均在矩形4BCD的 边上(P',分别为点P,O的对应点)，线段PP长度的最小值称为线段P9到矩形 试卷第23页（共3页） ABCD的“平移距离”· 3 2 P 1 P -4-3-10 3 45X -4-3-2-1012345 -1 2 -3 备用图 Q咖如图，平移线段P0到线段0和B2,连技线段P9和20，则PR和0； 的位置关系是 .PP 22 ;在点， 中，连接点P与点 的线段的长度等于线段 到 矩形ABCD的“平移距离”； ②若点了，都在直线=x+45上.T石=25，记线段巧到矩形ABCD的“平移距 离”为，求的最小值 d ③)在平面直角坐标系O中，四边形EFGH为正方形，B(-,),F(),G,-) H(-),若点M的丝标为2），MW=V6,线段MW平移后，使线段两个端点均在正 方形BFGH上，记MW EFGH d 到正方形 的“平移距离”为，直接写出4的最小值为 一，最大值为 试卷第24页（共3页)