四川省成都市第七中学2026-2027学年高二上学期10月定时练习数学试题

高2028届高二上期10月份定时练习 数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.已知空间向量a=(0,2,0),=(1,0,-1),则(d+·=() A.2 B.-1 C.1 D.-2 2.空间中A(2,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,3)、D(1,-1,)四点共面，则1=() A.日 B.1 C.2 D.号 3.参加科技知识决赛的选手成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)， [40,60),[60,80),[80,100].估计参加决赛的选手成绩的第85百分位数是() ◆频率/组距 0.020… 0.015 0.010 0.005 020406080100成绩/分 A.93 B.90 C.95 D.85 4.已知空间向量d=√3，=5，且d.=-9,则d在6上的投影向量为() A.-号6 B.号6 c.号6 D.-号6 5.直线l的方程为c-ysin0+2=0,则直线l的倾斜角范围是() A.[,] B.[] C.[径)u受，平) D.[至)u(受，] 6已知A,B为两个相互独立的随机事件，若P(B)=号，且P(AB)=P(AB,则 P(AB)=() A.日 c.号 D. 7.在平行六面体ABCD-A'B'C"D'中，AB=2,AD=1,AA=2,∠BAD= ∠BAA'=∠DAA'=60°，则线段AC"的长为() A.√34 B.√22 C.√17 D.√43 8.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相 似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.已知余弦距离d(A,B)=1一cos(A,B),其中 cos(A,B)=cos(A0,AB)(O为原点).若点B为曲线x2+y2-x-=0上任意 点，点A(2,2),则d(A,B)的最大值为() A.② 15 2 8.号 C.7 D.7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知方程x2+y-ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的值可能为() A.-1 B.0 C.2 D.-2 10.己知直线l:mx+y-m-3=0与l2:x-my+m-3=0相交于点M,则点M与原点 O的距离|OM的最值() A.|OM的最小值为2 B.OM无最小值 C.OM无最大值 D.OM的最大值为3√② 11.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,下列说法正确的是（) A,若点Q为CC的中点，平面AD.Q与正方体的截面面积为号 B.若点Q为平面BCCB,上一点，直线4Q与直线CD所成角的正切值为5，则点Q在 3 △BCB,内的轨迹长度为吾。 C.若AACQ为等边三角形且QB⊥平面ABC,点M是线段QB上的点，且满足QM= 2MB,点S,T分别是平面ABC与平面QAC内的动点，则M5+ST的最小值为3 D.点Q为空间中一动点，若直线AQ与平面ADDA1所成角为号，直线QD:与平面 ADDA所成角为否，则三棱锥Q-AAD,体积的取值范围是6，Y61 L24’12」 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.经过A(1,2),B(3,3)两点的直线的方向向量为(1，a),则a= 13.在△ABC中，已知顶点A(3,-1),B(一6,1)，过点B的角平分线方程是x-4y+10= 0,则直线BC的方程为 14.直线1：（1-m2)x+2my=2+2√3m(m∈R),若满足条件的所有直线围成的封闭区 域边界记为G,线段AB在直线：x+y+号-V3=0上运动，点P为AB上任意一点，若G 上存在两点E,F,使得PE·PF≤0成立，则线段AB长度的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.己知两条直线l:(m+2)x+my-8=0与直线l2:mc+y-4=0,m∈R. (1)若l1∥2，求m的值；(6分) (2)若点P(1,m)在直线l2上，直线l过点P,且l在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方 程.(7分) 16.为庆祝中秋佳节，某校举办校园诗词大赛，参赛的学生成绩均在[50,100]内（单位：分）， 现随机抽取100名学生的成绩，整理后按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100] 分组，并绘制如图所示的频率分布直方图 (1)求a的值，并估计这100名学生成绩的中位数：(7分) (2)现从样本成绩在[70,80)与[80,90)两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，从 这5人中再随机选取2人.求这2人中恰有1人的成绩落在[70,80)内的概率.(8分) 频率 个组距 0.040 0.030 0.016 a-- 0.004 5060708090100成绩/分数 17.在空间直角坐标系Oxyz中，过点A(x0,y0,z),且法向量为元=(a,b,c)(a+b+c≠0) 的平面方程为a(xc-x)+b(y-y0)+c(z-z)=0,将其整理为方程ax+by+cz-d=0,其 中d=aco+by0+cz0: （1)若点F(1,0,0),G(2,1,1),H(0,2,0),求平面FGH的方程；(7分) (2)已知平行六面体ABCD-ABC1D1中，平面BCCB1经过点R(0,1,2),S(1,1,3), T(2,2,4),平面ABB1A1的方程为2x-y+2z+1=0,平面ACC1A1的方程为kx-3y+2kz -3=0,求平面ABB1A1与平面ACC1A1夹角的余弦值.(8分) 18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=4,AC=BC=2W5,E为棱AA1的中 点，F是棱AC上的异于端点的一个动点， (1)求证：A1C⊥EB:(8分) (2)记点A,C到平面ABF的距离分别为d1,d2,求d+d的最小值.(9分) C C F B A 19.如图，己知圆M:（c-2)2+（y-1)2=25,过坐标原点O作圆M的两条互相垂直的弦 AB,CD. (1)求证：AB+|CDP为定值；(8分) (2)当AC∥BD时，求直线AC的方程和直线BD的方程.(9分) B ●M 高2028届高二上期10月份定时练习参考答案 数学 一、选择题：1-8：ADBA BACC 8.【解】当x=0.y=0时，曲线表示原点当>0，y>0时，曲线C的方程为(。-3广十 (。一广-子，此时曲线表示以点（分，）为圆心，受为半径的圆在第一象限的部分：同 理，可在平面直角坐标系内作出曲线的完整图形（如图），曲线C上的点到原点距离的最大值 为10M=2,过点A做直线g-2=e-2)与圆C=(®-号+包+号户=号相切，： 2 △AOC≥△ABC,则∠OAC=∠BAC,sin∠CAB=BC 2 AC=34 ,则cos∠0AB=1-2in2∠CAB=当，则余弦距离d〔A,B)= 1-cosA,B-1-os<A0,正>=-1-告=是 二、选择题：9.ABC10.BD11.ACD 11.【解】 A过点Q做QK/AD交BCTK,则截面为等题梯形AKQD,.S=(浮+2)Y平-8 B.如图，：AB∥CD,tan∠QAB=5,QB=5,故Q的轨迹为以B为圆心，⑤为半径 3 3 的圆弧在ABCB内部分：BK=号6os∠K8N=器-9，∠KBN-30,所求苏长=语 C因为QB⊥平面ABC,且AB⊥BC,以B为原点，BC,BA,BQ为x轴，y轴，z轴建立空 间直角坐标系.因为QM=2B,M0,0,号)，所以作AM关于平面ABC的对称点M0,0, -号)，则SM=SM,ST+SM=ST+SM,即求M到平面QAC的最短距离平面QAC的 法向量元=(1,1，-1，M=(0,0,-专)，所以点Mr到平面QAC的距离d= M'Q 高-复如a则为号 D如图过点Q做QP1平面AD0,4,连按PD,PA,由强忘知：册=8点P的轨迹为 以(5.0)为圆心，32为半径的圆所以A∈[平，号]，6a 8 9AP∈[，] 三填空题：12.a=号3.7y-6c-43=014.四 2 14.【解】将直线方程转化为：m2+(2√-2y)m+(2-c)=0,点(1，√3)到直线距离 为d=1-m2+2/3m-2-23m=m=1,则该直线表示圆（红-1y+ √/1+m-2m2+4m2 m2+1 (g-V5=1的全体切线圆心C1,V)到直线：r+y+分-V3=0的距离d= 1+5+号- 3√2 √12+1 √2 >1,所以直线1与圆相离，点P在圆外.因为圆C 上存在两点E,F,使得P尼.PF≤0成立，所以∠EPF≥90°.所以从点P向圆C作两条 切线PG,PD,设切线夹角为0，则0≥90°.设切线与PC的夹角为a,则sina= PC.又 因为0=2a,所以a≥45°.所以sina= 元克≥in45=要则r0≤.所 以线段AB全部落在以C为圆心，半径为√2的圆内部或圆上.直线l被以C为圆心，半径 为5的圆截得的弦长为2V2-是= 2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【解】(1)因为(1∥l2,所以（m+2)·1-m2=0,解得m=-1或m=2, 当m=-1时，1：x-y-8=0,l2:-x+y-4=0,即x-y+4=0,此时l1∥l2,满足 题意；当m=2时，l1:4十2y-8=0,即2x十y-4=0,2:2x十y-4=0,此时l1,l2重合， 不满足题意.综上所述，m=-1. (2)因为点P(1,m)在直线1上，所以m+m-4=0,得m=2,则点P的坐标为(1,2)， 直线l过点P,且在两坐标轴上的截距之和为0，①当两截距均为0时，直线1的斜率为k= 20=2,则直线1的方程为y=2m,即2x-y=0:②当两截距不为0时，设直线1的方程为 1-0 吾+号-1a≠0，代入点P1,2,得日+。-1，解得a=-1,则直线1的方程为2+ a -a a y=1,即x-y+1=0.综上所述，直线l的方程为x-y+1=0或2x-y=0 16.【解】(1)由频率分布直方图的性质，10(0.016+0.030+0.040+a+0.004)=1,解得a= 0.010,设100名学生成绩中位数的估计结果为M。.记第i组的频率为f(按分数从低到高，i =1,…,5),则由频率分布直方图可得：f1=0.16,f=0.3,f3=0.4,f1=0.1,因为f1十f= 0.46<0.5,i+f+f=0.86>0.5,所以M∈[70,80).由比例关系，70 10 0.5-0.46,解得M。=71(分) 0.4 (2)由(1)得f=0.4,f=0.1.由分层抽样定义，在[70,80)分数段内抽取4人，在[80， 90)分数段内抽取1人.记[70,80)中选取的四人为a1,a2,a,a4,[80,90)中选取的一人 为b,则样本空间 {(a1,b),(a2,b),(ag,b),(a4,b),(a1,a),(a1,ag),(a,a4),(a,ag),(a2,a4,(ag,a, 设事件A=“这2人中恰有1人的成绩落在[70,80)内”，则{(a,b),(a2,b),(a,b),(a4,b)}, 所以PA=n(A=A=2 n(2)-10-5 17.【解】(1)FG=(1,1,1),F7=(-1,2,0),设元=(a,b,c)是平面FGH的-个 法向量，则元F=a1+b十c=0,令o4=2,得6，=1，c1=-3,所以元=2,1，-3. i·F7=-a1+2b1=0, 设点Ix,y,z)是平面FGH内任意一点，F=(x-1,y,z),由元⊥，得杭，立=2(x -1)+y-3z=0,所以平面FGH的方程为2x十y-3z-2=0. (2)由题意，平面ABBA1的方程为2x-y+2z十1=0，所以平面ABBA1的一个法向 量为g=（2,-1,2):平面ACC1A1的方程为kx-3y+2kz-3=0,所以平面ACC1A1的 个法向量为=(k,-3,2k.由已知得=(1,0,1)，7=(2,1,2)， RS市=i+r=0 设p=(i,j,r)为平面BCCB的一个法向量，则 RT.市=2i+j+2r=0 令i=1,得j=0,r=-1,所以=（1,0，-1) 设直线BB的一个方向向量为无=(，为，23)，则 元市=x-23=0, 元·g=2c3-+2z=0: 令c3=1,得3=4,3=1，所以t=(1,4,1). 因为BB1∥平面ACC1A1,所以平面ACCA1的一个法向量3=(k,-3,2k)与直线BB, 的方向向量t=（1,4,1)垂直，所以.无=k-12+2k=0,解得k=4,所以=(4，-3,8). 所以平面ABB,A:与平面ACC,A夹角的余弦值为 27 .-9w89 训 3×√89 89 18.【解】(1)取AB和A1B1的中点O和H,连接OC,OH,则OH∥AA1,因为AC=BC,可 得OC⊥AB,在直三棱柱ABC-ABC1中，可得AA1⊥底面ABC,且OCC底面ABC, 所以AA1⊥OC,所以AA1⊥OC,可得OH⊥OC,又因为AB=4,且AC=BC=2√5， 可得OC=√AC2-OA=4,以O为坐标原点，以OA,OH,OC所在直线分别为x,y,z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(2,0,0),B(-2,0,0) ,C(0,0,4),A1(2,4,0),B(-2,4,0),C1(0,4,4),因为E C 为AA1的中点，所以2,2,0)，所以A1C=(-2,-4,4),EB1 =(-4,2,0),可得AC·EB1=(-2)×(-4+(-4)×2+4×0 -c =0,所以A1C⊥EB1,所以A1C⊥EB. B (几何证法也可：例如取AB中点O,证明BE⊥面A1CO,从而 实现A1C⊥EB) E (2)因为F是棱AC上的异于端点的一点，令F=1AC,其 中0<1<1，由A(2,0,0),C0,0,4),可得AC=(-2,0,4),所以点F2-21,0,4n), 即平面ABF的三点为A1(2,4,0),B(-2,4,0),F(2-21,0,4),可得A1B1 (-4,0,0),A1F=（-21,-4,4n),设平面ABF的法向量为=(a,b,c),则 元·A1B1=-4a=0 ,取c=1,可得a=0,b=A,所以元=(0,1,1)，又由AA1=(0 元·AF=-21a-4b+4nc=0 AA1元 ,4,0),A1C=(-2,-4,4,则点A到平面ABF的距离为d1= 4,则 W2+1 ,点C到平面ABP的E离为山 A1C·元 -+4,则&=16221+1，所 份 √2+1 2+1 以明+5=6016-2A+11622+=16x2 1 =16× 2+1 2+1 2+1 21+1 4 22+1+226×2 ≥16×2 /2+1 =24-8√5，当21+1= --2 21时，即=6时，等号成立所以+的最小值为24一Sw5 2 19.【解】(1)证明：①当直线AB斜率不存在时，直线CD的斜率为0. 在方程(x-2)2+(y-1)2=25中，令x=0得y=1±√21，令y=0得c=2±2W6, ..AB=2V21,CD=4V6,.AB+CD=180. ②当直线AB斜率为0时，直线CD的斜率不存在，AB=46,lCD=2W2I,ABP+|CDP =1S0.®当直线AB斜率存在且不为0时，设AB:y=kx,则CD:y=名， 由/ysx 。-22+(g-1=25得，(k+1x-(2k+4x-20=0,设Aah,Bg,则，十 2k+4 212+4北+24，： k2+1 +1’AB=√1+V@+P-4=2 k2+1 IABP-16+6,CDP 84(-无+16(-)+06 84-16k+96k2 k2+1 (+1 k2+1 :AB+1CD=S4+16k+6+8416k+96_180C+1,综上得，ABf+1CDP为 k2+1 k2+1 k2+1 定值，定值为180 (2)由圆周角定理得，∠ACD=∠ABD.由AC∥BD得，∠CDB=∠ACD=∠ABD=∠BAC, AB⊥CD,∴.△OAC,△OBD为等腰直角三角形，.OA=OC,OB=OD,∴.AB= CD. AB+CD=180,..AB =CD =3V10. B 由(1)得，当直线AB斜率不存在或斜率为0时不合题意， 取BD中点E,连接ME,OE,则ME⊥BD,OE⊥BD, 枚0，M.,B三点共线，：kaw=日=分ka0=k0=之 易知45斜率大于0.由14=2√2+21-3w而得=3， k2+1 山+g-=256政日}02.04-1-3 AC方程为y+3=-2(x+1),即2x+y+5=0,BD方程为y-6=-2(x-2),即2x+y-10 =0.综上得，AC:2x十y+5=0,BD:2c+y-10=0