精品解析：陕西汉中市汉台中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

汉台中学2025级高二月考1-数学试题 （第Ⅰ卷 选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间两点间的距离公式计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 在平行六面体中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， 所以. 3. 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 4. 对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A. 若且，则 B. C. 若，且，则 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可判断A. 【详解】对于A，若，则且，不一定成立，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，若，且，则， 则，无法得出，故C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以与不一定相等，故D错误. 故选：B. 5. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是的中点，则 ． 6. 已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理分别判断，，，四组向量是否共线，即可得解. 【详解】若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， 若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， ， 若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， ， 所以， 又点为两向量的公共端点，所以三点共线. 故选：D. 7. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，，．则的值（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，两边平方得到，求出的长；，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【详解】，，，，，， ， ， ，，， ， ， ． 故选：A. 8. 如图1，在平行四边形中，，，如图2，沿将折起到的位置，使得点到点的距离为，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：设二面角的大小为，则，由结合空间向量数量积的运算性质可求得，即可得出的值，即为所求； 解法二：设二面角的大小为，则，求出的值，即可求出的值，即为所求. 【详解】解法一：翻折前，在平行四边形中，，，则， 翻折后，则有，， 由题意可得，，， 设二面角的大小为，则， 由， 得， 因为，所以， 解得，则， 故二面角的余弦值为. 解法二：翻折前，在平行四边形中，，，则， 则， 翻折后，则有，，， 设二面角的大小为，则， 由题意可得，，， 因为，故， 即，故， 因为， 所以． 故二面角的余弦值为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正方体的棱长为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由空间向量数量积的计算和向量的转化可得结果. 【详解】对A，由图可知，，A正确． 对B，，B正确． 对C，，C错误． 对 D，因为侧面，则易知，D错误． 故选：AB. 10. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据向量的夹角公式计算即可；对于BC，利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可；对于D，根据向量在向量上的投影向量为计算即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误，． 故选：BC. 11. 如图，正方体的棱长为是棱上的动点（含端点），则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 二面角的平面角的大小为 D. 存在某个点，使直线与平面所成角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.根据等体积法的等高等底即可判断；应用空间向量法计算得出线线垂直判断B，再应用空间向量法计算线面角的正弦范围得出线面角的最大值为判断D，再结合二面角空间向量法计算判断C. 【详解】对于选项A：三棱锥转化为三棱锥的底面积为定值， 因为平面平面，所以到平面高不变，体积为定值，故选项A正确； 对于选项B： 如图建系，设，则 因为，， 所以得，故选项B正确； 对于选项D：取平面的法向量为， 因为 ， 则设直线与平面ABCD所成角,则， 当时，，这时直线与平面ABCD所成角最大值为，故选项D不正确； 对于选项C：设平面法向量为，， 所以，所以 所以令，可得，设平面法向量为， 设二面角 为，则 所以二面角的大小为，故选项C正确. 故选：ABC. （第Ⅱ卷 非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，夹角为钝角，则m的取值范围为______； 【答案】且 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积及向量共线列式求出即得. 【详解】由向量与夹角为钝角，得，且与不共线， 则，解得且， 所以m的取值范围为且. 故答案为：且 13. 在直三棱柱中，，，M为BC的中点，则直线与所成角的余弦值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由直三棱柱的性质得 . 取 的中点 , 则 , 于是 与 所成角可转化为 与 的夹角, 再在 中用余弦定理求解. 【详解】取 的中点 , 连接 , . 因为 为 的中点, 所以 , 且 . 在直三棱柱中, , 因此直线 与 所成角等于直线 与 的夹角. 由 , , 得 , 所以 . 又 平面 , 故 , 从而 , 即 . 同样, , , 所以 , 即 . 在 中, 由余弦定理得 . 14. 如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】设，其中，用、、表示向量、、，利用共面向量的基本定理可知存在、使得，由空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得实数的方程组，即可解得实数的值. 【详解】设，其中， ， ，， 因为、、、四点共线，则向量、、共面， 由共面向量定理可知，存在、使得， 即 ， 所以，，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间向量. （1）求在上的投影向量； （2）若，求； （3）若，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）按照投影向量定义计算即可； （2）先根据算出，然后计算； （3）先根据算出，然后计算. 【小问1详解】 由投影向量的定义， 在上的投影向量为. 【小问2详解】 若，则，所以， 所以 【小问3详解】 若，则，所以，进而. 16. 已知． （1）求最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值； （3）若，，求． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解； （2）利用换元法，结合正弦函数性质求解； （3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； 【小问3详解】 若，，所以， 则，， 则. 17. 在中，，点在边上，的面积为，，． （1）求； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）33 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理求解； （2）先由正弦定理求得，再由三角形面积公式求得，利用割补法求面积即可. 【小问1详解】 ∵， ∴. ∵，∴为锐角， ∴. ∴在中，由余弦定理得， ∴. 【小问2详解】 由题可得， ∴在中，由正弦定理得， ∴. ∴， ∴. 18. 如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、，则， 易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值； （3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 解：，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 19. 如图，已知直三棱柱中，，，，分别是，的中点，点在线段上． （1）证明：； （2）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由． （3）求直线与平面所成角的正弦值的最小值． 【答案】（1）由题知，，，为等腰直角三角形，且. 建立如图所示的空间直角坐标系； 由题可得，点，点，点的坐标分别为，，. 因为点在线段上，设点的坐标为. ，，， ，. （2）存在点，且点为线段上靠近的四等分点. （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设点的坐标为，用向量法证明，然后证得. （2）用向量法求出平面与平面所成的二面角的余弦值，列出方程解即可得出答案. （3）用向量法求出直线与平面所成角的正弦值，构造函数，利用二次函数的性质即可求出其最小值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 如图所示； 由（1）知，. 平面 ，可设平面的法向量为. 设平面的法向量为.，， 令，，， . 设平面与平面所成的二面角的平面角为，由题知为锐角，由，. ，， ，（舍去）或. ，存在点，且点为线段上靠近的四等分点. 【小问3详解】 由（1）知，，，. 设平面的法向量为，，， 令，，， 设直线与平面所成角为，， ，， ， 令，. ，令， 函数的图像是开口向上，且对称轴为，函数在区间上单调递增. ，. 直线与平面所成角的正弦值的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉台中学2025级高二月考1-数学试题 （第Ⅰ卷 选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点，，则（ ） A. B. C. D. 3 2. 在平行六面体中，（ ） A. B. C. D. 3. 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A. 若且，则 B. C. 若，且，则 D. 5. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，，．则的值（ ）. A. B. C. D. 8. 如图1，在平行四边形中，，，如图2，沿将折起到的位置，使得点到点的距离为，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正方体的棱长为1，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 11. 如图，正方体的棱长为是棱上的动点（含端点），则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 二面角的平面角的大小为 D. 存在某个点，使直线与平面所成角为 （第Ⅱ卷 非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，夹角为钝角，则m的取值范围为______； 13. 在直三棱柱中，，，M为BC的中点，则直线与所成角的余弦值为____________． 14. 如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间向量. （1）求在上的投影向量； （2）若，求； （3）若，求的值. 16. 已知． （1）求最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值； （3）若，，求． 17. 在中，，点在边上，的面积为，，． （1）求； （2）求的面积． 18. 如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 如图，已知直三棱柱中，，，，分别是，的中点，点在线段上． （1）证明：； （2）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由． （3）求直线与平面所成角的正弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $