抛物线单元练习题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

抛物线练习题 一、单选题 1．抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B．1 C．3 D． 2．已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 4．若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C． D．3 5．已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．6 D．4 6．已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．已知点满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（   ）    A．4 B．3 C． D． 二、多选题 9．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，，垂足为，则（    ） A．准线的方程为 B．点到的距离为2 C．是等边三角形 D．直线的斜率为1 10．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于两点，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为16 D．为钝角 11．已知圆，抛物线的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（   ） A．存在点，使为等边三角形 B．若为上一点，则的最小值为1 C．若，则直线与圆相切 D．若以为直径的圆与圆外切，则 三、填空题 12．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则 . 13．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为 ． 14．已知抛物线的焦点为，为上的两个动点，且，，当的周长最大时，抛物线的标准方程为 ． 四、解答题 15．已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 16．如图，是抛物线型拱桥，当水面在时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米. (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？（计算结果保留至小数点后一位，参考数据：） 17．（1）已知正的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点，在抛物线上，求这个三角形的边长． （2）已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线的方程． 18．已知抛物线和圆的公共弦过抛物线的焦点，且弦长为． (1)求抛物线和圆的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在点处的切线与轴的交点为，求面积的最小值． 19．已知抛物线：经过，，，中的2个点，且焦点为，中的一个点. (1)求的方程； (2)判断是否存在定直线，过直线上任意一点P作的两条切线，切点分别为M，N，恒有且直线过的焦点?若存在，求出的方程，若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 抛物线练习题答案 一、单选题 1．抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B．1 C．3 D． 【详解】，抛物线的标准方程为， ，， 抛物线的焦点到准线的距离为. 故选：A. 2．已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】抛物线，其准线方程为：，因为，且点在上， 由抛物线定义可知，点到直线的距离为3， 因为与平行，且距离为2，所以点到直线的距离为5. 故选：C 3．已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【详解】依题意，焦点， 由，根据抛物线的定义，得，所以， 则，代入，得，又，解得. 故选：C 4．若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C． D．3 【详解】由抛物线，可得，则焦点，准线方程为， 因为点到其焦点的距离为， 根据抛物线的定义，可得点到准线的距离为，即，解得， 所以，因为，所以. 故选：C. 5．已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．6 D．4 【详解】由抛物线定义可知， 因为直线AF的倾斜角为，轴， ， 所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D. 6．已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【详解】对于直线，令，解得， 所以抛物线的焦点为,准线方程为． ，解得， 所以抛物线的方程为， 设的坐标为，则 ， ∴的坐标为，则，得，所以． 由抛物线的定义，得． 故选：C． 7．已知点满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为表示点到点的距离，表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立． 故选：B． 8．如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（   ）    A．4 B．3 C． D． 【详解】对抛物线，焦点，准线：. 如图：    过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以； 过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以. 所以，所以. 故选：B 二、多选题 9．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，，垂足为，则（    ） A．准线的方程为 B．点到的距离为2 C．是等边三角形 D．直线的斜率为1 【详解】由题意，准线的方程为，点到的距离为2，故错误，B正确． 因为，所以点的横坐标为3， 由，得，即， 记与轴交于点，则， 所以， 所以，所以是等边三角形，故C正确． 由C选项得：， 所以，直线的斜率为，故D错误． 故选：BC 10．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于两点，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为16 D．为钝角 【详解】如图： 对于A，抛物线的焦点，准线方程为，A错误； 对于B，，而，则，B正确； 显然直线不垂直于，设其方程为，由消去得， 则，，， 对于C，， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，则为钝角，D正确. 故选：BD 11．已知圆，抛物线的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（   ） A．存在点，使为等边三角形 B．若为上一点，则的最小值为1 C．若，则直线与圆相切 D．若以为直径的圆与圆外切，则 【详解】由题可得圆心，半径，抛物线的焦点为，    对于A，若为等边三角形，则，由对称性不妨设P在第一象限，则， 显然点P在抛物线上，所以存在点，使为等边三角形，故A正确； 对于B，设，则 ，故B错误； 对于C，由B得，令，所以， 由A可知为边长为4的等边三角形，圆心C到的距离为， 所以若，则直线与圆相切，故C正确； 对于D，设，若以为直径的圆与圆外切，设以为直径的圆圆心为G， 则，， 所以，化简并解得， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则 . 【详解】如图，设直线与准线交于点，分别过点作准线的垂线，垂足为，且准线与轴的交点为， 则由抛物线的定义可知，，， 则，即，得， 又，则，得. 故答案为： 13．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为 ． 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 点为抛物线上的点，且， 设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得， 将代入抛物线方程，解得， 由对称性不妨取，设， 则，， 因为，则，解得，即， 所以， 所以的面积， 故答案为：. 14．已知抛物线的焦点为，为上的两个动点，且，，当的周长最大时，抛物线的标准方程为 ． 【详解】设，，    在中，，由余弦定理得， 所以， 所以，所以，当且仅当时取等号， 即时，的周长最大， 此时不妨设点，所以，化简，解得（舍去）， 故抛物线的标准方程为． 故答案为： 四、解答题 15．已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 【详解】（1）抛物线关于轴对称，而点关于轴对称， 若点之一在抛物线上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意， 因此点必在抛物线上，，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，抛物线的焦点，显然直线都不垂直坐标轴， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由消去得，设， 则，线段的中点， 同理得线段的中点，当时，直线斜率， 直线方程为，整理得，直线过定点， 当时，或，直线过定点， 所以直线过定点.    16．如图，是抛物线型拱桥，当水面在时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米. (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？（计算结果保留至小数点后一位，参考数据：） 【详解】（1）如图建立平面直角坐标系，设抛物线型拱桥的方程为（） 由题意，可知抛物线经过点，代入抛物线方程可得，即得， 所以抛物线方程为. 当拱顶离水面2米时，即，代入抛物线方程可得，即水面宽为8米. （2）由于船体宽12米，则当船体恰好能通过时，令米， 代入抛物线方程中，则，解得米， 即拱顶与船顶的最近距离为4.5米. 又因船在水面上部分高为1.5米，故拱顶离水面6米. 在抛物线方程中，令，则， 故，所以水面宽度至少应为13.9米. 17．（1）已知正的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点，在抛物线上，求这个三角形的边长． （2）已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线的方程． 【详解】（1）如图所示，设，，则，． 又，所以，即， 整理得． 因为，，，所以，由此可得， 即线段关于轴对称，由此得， 所以，与联立，解得． 所以，即这个三角形的边长为． （2）由（1）知两点关于轴对称，如图，设点，点， 是的垂心，，， 即．， 又，． 直线的方程为． 18．已知抛物线和圆的公共弦过抛物线的焦点，且弦长为． (1)求抛物线和圆的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在点处的切线与轴的交点为，求面积的最小值． 【详解】（1）由抛物线与圆的对称性可得，，则， 故抛物线的方程为，则，当时，， 所以在圆上，则，故， 故圆的方程为. （2）依题意，设直线的方程为：，设， 联立，消可得，，易得， 则， 所以 ， 设直线方程：，联立，得， 令，即，解得 所以直线方程为，即， 令，可得，则， 所以点到直线的距离， 故， 又， 所以， 令，易得为偶函数， 当时，， 所以， 令，可得， 当，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，取得最小值， 故的最小值为. 19．已知抛物线：经过，，，中的2个点，且焦点为，中的一个点. (1)求的方程； (2)判断是否存在定直线，过直线上任意一点P作的两条切线，切点分别为M，N，恒有且直线过的焦点?若存在，求出的方程，若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由抛物线C关于x轴对称，可得，都在C上，或都不在C上， 若，都不在C上，则，都在C上， 得即矛盾， 所以，都在C上，，，焦点坐标为. 若C的焦点为，则，，可得C的方程为； 若C的焦点为，则，，不满足题意. 综上，C的方程为. （2）由（1）知C的焦点为，假设存在符合条件的直线， 由抛物线C关于x轴对称，可得直线也关于x轴对称， 设，，， 当轴时，由过，得，， 由对称性可知点P在x轴上，知. 又，所以，得， 此时，的方程分别为，， 与联立得， 因为，所以，与都相切，满足题意， 所以直线的方程为. 下面证明对直线上的任意一点，都有，且直线过点. 设直线，的斜率分别为， 则直线的方程为，与联立得：， 所以，整理得， 当时，，，即. 同理可得，. 所以，是关于的方程的两个根， 所以，即， 又，， 所以点，，共线，即直线过的焦点. 综上，存在定直线：，过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，，恒有且直线过的焦点. 学科网（北京）股份有限公司 $