精品解析：上海市南洋模范中学2026-2027学年高三上学期10月阶段诊断与反馈数学试卷

2026学年第一学期南模中学高三年级阶段诊断与反馈 数学学科 （本次考试时间120分钟，满分150分） 一、填空题（本大题共有12题，4’*6+5’*6=54’） 1. 底面半径为1、高为2的圆柱的侧面积为__________． 2. 若，的值________． 3. 不等式的解集是______. 4. 某校有教职工200人，男学生1000人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从教职工中抽取的人数为10，则___________． 5. 中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．在如图所示的堑堵中，，则堑堵的外接球的体积是__________． 6. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则_______． 7. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值为_______. 8. 的展开式合并幂指数相同的项后，含项的系数为__________． 9. 若函数在上是严格增函数，则的取值范围是__________． 10. 已知椭圆的左、右顶点分别为是椭圆上不同于、的一点，直线、的倾斜角分别为、，则________. 11. 一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有座塔，依山势自上而下排成行，将第行中塔的座数记为（，，…，），其中，，，且，，…，是一个首项为，公差为的等差数列．将，，…，分为组，每组个数，使得每组的个数之和可构成一个项数为且公差为的等差数列，则________________． 12. 激活函数在神经网络中的核心作用是引入非线性变换，使得神经网络可以学习和模拟复杂函数关系，从而解决线性模型无法处理的非线性问题．一个常见的激活函数为.如果，则的最小值为___________． 二、选择题（本大题共有4题，4’*2+5’*2=18’） 13. “”是“为第一或第三象限角”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，以下选项中的两个事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）． A. 至少有1个白球和2个都是白球 B. 至少有1个白球和至少有1个红球 C. 恰有1个白球和恰有2个白球 D. 至少有1个白球和2个都是红球 15. 设是平面内互不平行的三个向量，，有下列命题： ①方程不可能有两个实数根； ②方程有实数解的充要条件是； ③方程有唯一的实数解； ④方程没有实数解，其中真命题个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 16. 已知四棱锥的底面为矩形，平面ABCD，点Q为侧棱PA（不含端点的线段）上动点，则点Q在平面上的射影在（ ） A. 棱PB上 B. 内部 C. 外部 D. 不确定 三、简答题（本大题共有5题，14’*3+18’*2=78’） 17. 在中，为钝角，． （1）求； （2）若，的面积为，求的值． 18. 如图所示正四棱台，其中，. （1）当时，求和平面所成角； （2）证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 19. 为检验一批电子元件的寿命，从这批元件中抽取一批元件同时做寿命值试验． （1）若随机抽取了10个元件，得到各个元件寿命数据如下，求这10个元件寿命的均值与方差； 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 （2）记这批元件的总体寿命为X，随机变量X服从均值为的指数分布，且X的概率密度函数为，X取值不超过x的概率为，其中是自然对数的底数．现抽取10个元件，让所有元件同时开始工作，10个单位时间后停止试验，得到失效元件寿命数据为5.3、6.0、6.7．假设每个元件的寿命相互独立． （ⅰ）只考虑未失效的7个元件，记7个元件的寿命均超过10个单位时间的概率为，求； （ⅱ）记，求的极大值点． 20. 设复数（x，）与复平面上点对应．设复数满足条件、动点的轨迹为椭圆．椭圆的短轴端点分别为A，B（如图）．直线，分别与椭圆交于E，F两点，其中点满足，且． （1）求椭圆的方程； （2）证明直线与轴的交点N的位置与无关，并求出点N的坐标； （3）若面积是面积的5倍，求的值． 21. 已知函数的定义域为区间D，若对于给定的非零实数m，存在，使得，则称函数在区间D上具有性质. （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求n的取值范围； （3）已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期南模中学高三年级阶段诊断与反馈 数学学科 （本次考试时间120分钟，满分150分） 一、填空题（本大题共有12题，4’*6+5’*6=54’） 1. 底面半径为1、高为2的圆柱的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【详解】根据圆柱侧面积公式为， 代入，得： . 2. 若，的值________． 【答案】 【解析】 【详解】，， 所以， 所以. 3. 不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】两边同乘以,变为一元二次不等式解出解集即可. 【详解】解:因为,所以,两边同时乘以可得: ,解得或,所以解集为: 故答案为: 4. 某校有教职工200人，男学生1000人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从教职工中抽取的人数为10，则___________． 【答案】120 【解析】 【分析】由分层抽样的定义即可求得 【详解】由教职工200人，男学生1000人，女学生1200人得抽取人数比例为，从教职工中抽取的人数为10，故 故答案为：120 5. 中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．在如图所示的堑堵中，，则堑堵的外接球的体积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将该堑堵补充成长方体，求长方体外接球体积即可. 【详解】将该堑堵补充为一个长方体，如图， 则该堑堵的外接球即为长方体的外接球， 设长方体的体对角线为，则， 所以，所以外接球的体积为， 故答案为: . 6. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆的定义即可求解 【详解】 已知椭圆，则，， 由椭圆的定义得，， 由于，所以， 则. 7. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值为_______. 【答案】8 【解析】 【分析】由直线与曲线相切，得，然后利用基本不等式，即可求得本题答案. 【详解】设切点为， 因为，所以，得， 所以，即， 所以，， 当且仅当，即时，取最小值， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 8. 的展开式合并幂指数相同的项后，含项的系数为__________． 【答案】 【解析】 【详解】的展开式第项为，， 的展开式的第项为,， 令得，或， 所以的系数为. 9. 若函数在上是严格增函数，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，得对于恒成立，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】由题意，得对于恒成立， 当时，对于恒成立，满足题意； 当时，函数在上是严格增函数， 则，即，解得（舍去）或. 综上所述，的取值范围是. 10. 已知椭圆的左、右顶点分别为是椭圆上不同于、的一点，直线、的倾斜角分别为、，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点在椭圆上可得，也就是，再利用两角和、差的余弦和同角的三角函数的基本关系式得到后代入前者可得所求之值. 【详解】设，则， 所以， 又，填. 【点睛】一般地，椭圆的左右顶点分别为，对于椭圆上任意异于的点 ，都有，椭圆中不少定点定值问题都和它有关. 11. 一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有座塔，依山势自上而下排成行，将第行中塔的座数记为（，，…，），其中，，，且，，…，是一个首项为，公差为的等差数列．将，，…，分为组，每组个数，使得每组的个数之和可构成一个项数为且公差为的等差数列，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件求出数列的前项的和，设新数列为，设其公差为，由条件可得，通过分析与的奇偶性、取值范围推导的可能取值并加以验证即可. 【详解】由已知，，，，， 所以， 设新数列为，， 由已知数列为等差数列，设其公差为，， 又的前项都为奇数，所有项都为偶数， 由已知为正偶数，为正偶数， 则，故， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，此时可取，，， ，，，满足要求. 12. 激活函数在神经网络中的核心作用是引入非线性变换，使得神经网络可以学习和模拟复杂函数关系，从而解决线性模型无法处理的非线性问题．一个常见的激活函数为.如果，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件判断的单调性，转化条件，再结合建立等式，通过变形和对数运算求出的表达式，最后根据函数单调性求出其最小值. 【详解】已知，将其变形为：， 由于在R上单调递增，故在R上单调递减， 则在R上单调递增， 不妨设，则， 则，即，， 因为，所以， 化简得，进一步变形为， 整理得：， 令（），则，变形为， 因为，所以，即， ， 令，对其求导：， 令，即，解得或（舍去）， 当时，，单调递减；当时，单调递增， 所以当时，取得最小值，， 则， 因此，. 二、选择题（本大题共有4题，4’*2+5’*2=18’） 13. “”是“为第一或第三象限角”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系化简，根据三角函数在各象限的符号，结合充分条件、必要条件即可得解. 【详解】因为时，则， 所以为第一或第三象限角， 反之，当为第一或第三象限角时，，所以， 综上，“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件， 故选：C 14. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，以下选项中的两个事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）． A. 至少有1个白球和2个都是白球 B. 至少有1个白球和至少有1个红球 C. 恰有1个白球和恰有2个白球 D. 至少有1个白球和2个都是红球 【答案】C 【解析】 【分析】由互斥事件和对立事件的概念逐项判断即可. 【详解】从2红2白中取2个球，所有可能的结果为：2个红球，1红1白，2个白球； 选项A：“至少有1个白球”包含“1红1白”和“2个白球”，和“2个都是白球”可以同时发生，不是互斥事件，排除； 选项B：“至少1个白球”和“至少1个红球”都包含“1红1白”，可以同时发生，不是互斥事件，排除， 选项C：“恰有1个白球”（即1红1白）和“恰有2个白球”不能同时发生，是互斥事件； 且存在“2个都是红球”的情况，两个事件都不发生，因此不是对立事件，符合要求， 选项D： “至少有1个白球”包含“1红1白”和“2个白球”，和“2个都是红球”不能同时发生， 且涵盖了所有可能的结果，必有一个发生，是对立事件，不符合要求. 15. 设是平面内互不平行的三个向量，，有下列命题： ①方程不可能有两个实数根； ②方程有实数解的充要条件是； ③方程有唯一的实数解； ④方程没有实数解，其中真命题个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】将①中方程化为，根据平面向量基本定理分析可知①正确； ②中方程为关于向量的方程，无法用实系数方程的方式来判定有无解，知②错误； ③④中方程为实系数方程，通过可知③④正误. 【详解】对于①，原方程可变形为：， 由平面向量基本定理可知：存在唯一的有序实对，使得， ，原方程最多有一个实数解，①正确； 对于②，原方程是关于向量的方程，不能按照实系数方程有解的条件来进行判断，②错误； 对于③④，， 不平行，，即， 原方程没有实数解，③错误，④正确. 故选：B. 16. 已知四棱锥的底面为矩形，平面ABCD，点Q为侧棱PA（不含端点的线段）上动点，则点Q在平面上的射影在（ ） A. 棱PB上 B. 内部 C. 外部 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】将四棱锥补形为长方体，作出辅助线，证明线面垂直，进而得到点的投影落在上，得到答案. 【详解】四棱锥的底面为矩形，平面ABCD， 将四棱锥补形为长方体，如下， 过点作⊥于点， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 因为，平面，故⊥平面，故点在平面的投影为， 连接，则当点Q为侧棱PA（不含端点的线段）上运动时，点的投影落在上， 由图知：点Q在平面上的射影在外部. 故选：C 三、简答题（本大题共有5题，14’*3+18’*2=78’） 17. 在中，为钝角，． （1）求； （2）若，的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，由正弦定理， ， 又， 代入化简得. 因为， 所以，又， 故. 【小问2详解】 由面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入得， 即， 将代入得，故， ，解得或， 因为 为钝角，故 ，因此. 18. 如图所示正四棱台，其中，. （1）当时，求和平面所成角； （2）证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 【答案】（1） （2） 连接、交于,连接、交于, 如图,上下底面为正方形,由正棱台性质,可得,且, 所以四边形为平行四边形,所以， 因为平面,平面，所以平面. 体积为 【解析】 【分析】（1）作到下底面的垂线，确定线面角的平面角，再通过边长计算该角的大小. （2）连接上下底面对角线的交点，利用正棱台性质证得线线平行，进而证明线面平行；利用线面垂直将三棱锥拆分为两个小棱锥，结合棱台的高计算其体积. 【小问1详解】 过作平面ABCD于,连接， 过分别作于于,连接, 如图为在平面上的投影, 由于平面，所以， 由于平面， 所以平面.由于平面，所以. 所以,同理,,四边形为正方形, 所以，为在平面上的投影, 又因平面平面, 所以和平面所成角即，, 故和平面所成角为. 【小问2详解】 由正棱台性质,与上下底面均垂直,则， 因为，平面， 所以平面,所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和, 即: 19. 为检验一批电子元件的寿命，从这批元件中抽取一批元件同时做寿命值试验． （1）若随机抽取了10个元件，得到各个元件寿命数据如下，求这10个元件寿命的均值与方差； 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 （2）记这批元件的总体寿命为X，随机变量X服从均值为的指数分布，且X的概率密度函数为，X取值不超过x的概率为，其中是自然对数的底数．现抽取10个元件，让所有元件同时开始工作，10个单位时间后停止试验，得到失效元件寿命数据为5.3、6.0、6.7．假设每个元件的寿命相互独立． （ⅰ）只考虑未失效的7个元件，记7个元件的寿命均超过10个单位时间的概率为，求； （ⅱ）记，求的极大值点． 【答案】（1）均值为10，方差为0.036 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据均值和方差的公式求解即可； （2）（ⅰ）先根据题意得到单个元件寿命超过10个单位时间的概率，再根据相互独立事件的概率公式求解即可； （ⅱ）先求出，求导，分析函数的单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 这10个元件寿命的均值为， 方差为. 【小问2详解】 由题意，单个元件寿命超过10个单位时间的概率为， 由于每个元件的寿命相互独立， 则. 由题意， ，， 则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值点为，即. 20. 设复数（x，）与复平面上点对应．设复数满足条件、动点的轨迹为椭圆．椭圆的短轴端点分别为A，B（如图）．直线，分别与椭圆交于E，F两点，其中点满足，且． （1）求椭圆的方程； （2）证明直线与轴的交点N的位置与无关，并求出点N的坐标； （3）若面积是面积的5倍，求的值． 【答案】（1） （2）因为，，，且， ∴直线的斜率为，直线的斜率为， ∴直线的方程为，直线的方程为， 由，得， ∴（舍去）或， 此时，， ∴， 由，得， ∴（舍去）或，此时， ∴； 据已知，， ∴直线的斜率， ∴直线的方程为， 令，得，即. ∴与轴交点的位置与无关. 点N的坐标为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的几何意义及椭圆的定义求出即可得解； （2）求出与轴交点，根据直线与椭圆交点得，，再根据两点式求直线的方程，最后令，得， （3）先将面积比转化为对应边的比，再根据弦长公式将对应边的比转化为对应坐标的比，解得. 【小问1详解】 由题意，动点到点的距离之和为定值，且, 所以动点的轨迹为椭圆，且， 故， 所以所求椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，，， ，∴，∴， ∴， ∵， ∴整理方程得，即， 又有，∴，∴，∴为所求． 21. 已知函数的定义域为区间D，若对于给定的非零实数m，存在，使得，则称函数在区间D上具有性质. （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求n的取值范围； （3）已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质. 【答案】（1） 函数在上具有性质. 若，则， 因为，且， 所以函数在上具有性质. （2） （3） 设，. 则有，，，， ，，. 以上各式相加得 即， （ⅰ）当、、、、、中有一个为0时，不妨设，，即，即，， 所以函数在区间上具有性质. （ⅱ）当、、、、、中均不为0时，由于其和为0， 则其中必存在正数和负数，不妨设，， 其中，. 由于函数的图像是连续不断的曲线，所以当时，至少存在一个实数（当时，至少存在一个实数），其中，使得，即， 即存在，使得， 所以函数在区间上也具有性质. 综上，函数在区间上具有性质. 【解析】 【分析】（1）由题可得，则，结合条件即得； （2）由，解得，，可得，即得； （3）设，，可得，当、、、、、中有一个为0时，可得，，即证；当、、、、、中均不为0时，由于其和为0，则其中必存在正数和负数，不妨设，，结合条件可知，存在，，即证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法1：由题意，存在，使得， 得（舍）或， 则得. 因为，所以. 又因为且， 所以，即所求的取值范围是. 解法2：当时，函数，是增函数， 所以不符合题意； 当时，因为直线是函数的一条对称轴， 而函数在区间上具有性质， 所以， 解得，即所求的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $