精品解析：内蒙古自治区赤峰市元宝山区民族中学2026-2027学年九年级数学上学期第一次学情自测卷

2026－2027九年级数学上学期第一次月考卷 （满分100分 时间90分钟） 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项中，当时，方程二次项系数为0，不是一元二次方程； B选项中，方程分母含未知数，是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程； C选项中，展开等式右边得，化简后为，是一元一次方程； D选项中，是只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，符合一元二次方程的定义． 2. 用配方法解方程时．变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先给方程两边同除2，然后再根据完全平方公式和等式的性质配方即可． 【详解】解： ． 故选A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把方程整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 3. 如果关于的一元二次方程的一个根是0，那么的值为（ ） A. 0 B. 3 C. －3 D. 3或－3 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程，即可求出的值，然后利用一元二次方程满足的条件即可求出的正确值． 【详解】解：是一元二次方程的根， 将代入方程，得， 解得或． 一元二次方程的二次项系数不为0， ，即， ． 4. 把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质． 利用函数图象平移的性质逐步进行求解即可． 【详解】解：抛物线先向上平移2个单位得到，再向右平移3个单位得到， 故选：D． 5. 下列有关函数的说法不正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 抛物线与轴交点为 C. 函数图象中，当时，随增大而减小 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【详解】解：函数解析式为，开口向上，顶点坐标为， A、对称轴为直线，说法正确； B、令，代入得，即抛物线与轴交点为，说法错误； C、抛物线的开口向上，对称轴为直线， 时，随增大而减小； 在范围内， 当时，随增大而减小，说法正确； D、当时， 对称轴在区间内， 时取最小值， 当时，， ，且开口向上， ，即，说法正确； 故选：B． 6. 已知点，，都是抛物线（为常数）的点，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线顶点式确定开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ， ． 7. 如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点……，前行的点数和不能是以下哪个结果（ ） A. 55 B. 78 C. 96 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】通过观察图形找出前行的点数之和的公式，再通过解一元二次方程求出值，即可判断前行的点数和不可能的结果． 【详解】解：由题意得前行的点数之和为， A、点数之和为55，则，解得或（舍去），不符合题意． B、点数之和为78，则，解得或（舍去），不符合题意． C、点数之和为96，则，解得或，不是整数，符合题意． D、点数之和为120，则，解得或（舍去），不符合题意． 8. 在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象确定m的取值范围，再由此判断同一坐标系中的二次函数图象是否符合； 对于选项A，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项A是否符合题意；对于选项Ｂ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｂ是否符合题意；对于选项Ｃ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项Ｃ是否符合题意；对于选项Ｄ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｄ是否符合题意．问题即可解答． 【详解】解：A、由函数的图象可知， 则函数的图象应该开口向上，故A选项错误； B、由函数的图象可知， 则函数图象的对称轴为， 则对称轴应在y轴左侧，故B选项错误； C、由函数的图象可知， 则函数的图象应该开口向下，故C选项错误； D、由函数的图象可知， 则函数图象的对称轴为， 则对称轴应在y轴左侧，故D选项正确． 二、填空题：（本题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 一元二次方程（，，为常数，）根的判别式．若此方程的一个根，则抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根的判别式说明一元二次方程有两个相等的实根，抛物线与轴只有一个交点，该交点就是抛物线的顶点，结合已知根即可求出顶点坐标． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴该方程有两个相等的实数根， ∵已知方程的一个根， ∴方程的两个根都为， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∵抛物线与轴只有一个交点时，该交点就是抛物线的顶点， ∴抛物线的顶点坐标为． 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据是方程的根得到，根据根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 即， ∴ ． 11. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为________．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题通过设每天“遗忘”的百分比为，依据“两天不练丢一半”这一条件建立一元二次方程，求解方程并结合实际意义确定的值．本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据等量关系列一元二次方程并求解是解题的关键． 【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为，由题意得 ． 解得，（，不符合题意，舍去 ）． ∵ ， ∴ 每天“遗忘”的百分比约为． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 抛物线、为常数）与线段交于、两点，且， 设点的坐标为，则点的坐标为，， 抛物线， 解得，． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 三、解答题：（共6道题，64分） 13. 用适当的方法解下列一元二次方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，； 【小问3详解】 解： 解得，； 【小问4详解】 解： 解得，． 14. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， ； ∴此方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程， (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，掌握以上知识是解题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， 解得， ∵此方程恰有一个根小于， ∴， 解得． 15. 阅读理解： 材料一：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， ， 当时，代数式有最小值1． 材料二：我们定义：若两个关于的多项式的和为常数，则称这两个多项式互为“和常多项式”，该常数称为它们的“和常值”．例如：，，，则和互为“和常多项式”，“和常值”为5． （1）判断多项式与是否互为“和常多项式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出它们的“和常值”； （2）已知多项式，（，为常数），且和互为“和常多项式”．若的最小值为2，求和的“和常值”． 【答案】（1）多项式与互为“和常多项式”，和常值为． 证明： 的结果为常数， 与互为“和常多项式”，和常值为． （2）和的“和常值”为． 【解析】 【分析】（1）明确“和常多项式”的判定规则，计算，首先将多项式D展开，然后计算的和，根据结果即可作出判断． （2）先计算的和，根据“和常多项式”的定义可知x的系数为0，求出m的值；用配方法求N的最小值，计算出n的值；将m、n的值代入的代数式中计算和常值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，∵，， ∴ ∵和互为“和常多项式”， ∴ ∴． ∵， ∴当时，取得最小值为． 又∵的最小值为2， ∴ ∴． ∴和的“和常值”为． 16. 如图，学校准备在围墙边用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），用于修建自行车棚，若所用栅栏的总长度为34米，墙的最大可用长度为18米，为了出入方便，在垂直于墙的一边留了一个2米宽的门（门用其他材料），设栅栏的长为x米，解答下列问题： （1）________米．（用含x的代数式表示） （2）若围成的自行车棚的面积为平方米，求栅栏的长． （3）围成的自行车棚的面积能为平方米吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）栅栏的长为14米 （3） 解：不能，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ， 方程没有实数根， 自行车棚的面积不能为平方米． 【解析】 【分析】（1）根据题意，可知且有，整理即可得出用含的代数式表示矩形的长的式子； （2）根据矩形场地面积为平方米列出方程，解出此时的值然后求出栅栏的长即可； （3）根据矩形场地面积为平方米列出方程，再根据一元二次方程的根的判别式即可得出答案． 【小问1详解】 解：依题意得：，， 米， 故答案为：； 【小问2详解】 解： 根据图形，可列方程：， 解得：，， 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 栅栏的长为14米； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 17. 如图，点在轴正半轴上，点、在二次函数的图象上，四边形是菱形，， （1）求的坐标和菱形的面积． （2）将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度．写出平移后的解析式，若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是 ． 【答案】（1）点的坐标为，菱形的面积为 （2）平移后的解析式为，的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）连接，与交于点，由菱形的性质可得对角线平分，且，求出，设，则，从而可得点的坐标为，将点的坐标代入抛物线解析式计算即可得出结果，求出，，再由菱形的面积公式计算即可得出结果； （2）根据二次函数图象的平移法则，左加右减，上加下减；得出平移后的解析式为，从而可得平移后的抛物线开口向上，对称轴为直线，根据题意并结合二次函数的性质计算即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：如图，连接，与交于点， ∵四边形是菱形，， ∴对角线平分，且， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为， ∴，， ∴菱形的面积为； 【小问2详解】 解：∵原抛物线的解析式为， ∴将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的解析式为， ∴平移后的抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，是抛物线上的两点，且， ∴， 解得或， ∴的取值范围是或． 18. 篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是，小石站在距篮圈中心水平距离处的点练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是（单位：）时，球心距离地面的竖直高度是（单位：）．在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： （1）第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 竖直高度 ①由表中数据可知，小张第一次练习投篮的出手高度是______，球运行过程中的最高高度是______． ②结合表中数据，求与满足的函数解析式； ③小石第一次投篮练习能否投进，请说明理由； （2）第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次最高点的正上方．如果小石在进行第二次训练时，在他正前方米处的教练准备起跳拦截，教练起跳后伸直手臂手尖离地的最大高度是米，那么教练能否成功拦截小石这次投篮？请说明理由．（篮球半径忽略不计） 【答案】（1）①；； ②或； ③答：不能投进，理由如下： 当时， ， ∴小石第一次投篮练习不能投进； （2）答：教练不能成功拦截小石这次投篮，理由如下： 由题意得：第二次训练的抛物线形状与第一次相同，对称轴相同， 设第二次训练的抛物线解析式为：， 当时， ， 解得：， 即：第二次训练的抛物线解析式为：， 当时， ， ∴教练不能成功拦截小石这次投篮. 【解析】 【分析】（1）①根据表格即可得出结论； ②根据表格数据用待定系数法求出解析式即可； ③把代入解析式求出值，然后再与比较即可得出结论； （2）由题意得：第二次训练的抛物线形状与第一次相同，对称轴相同，用待定系数法求解析式，把代入求出值，然后再与比较即可得出结论. 【小问1详解】 ①解：由表格可知：当时，；的最大值是， ∴小石第一次练习投篮的出手高度是，球运行过程中的最高高度是． ②由表格可知：抛物线的顶点， 设与满足的函数解析式为：， ∵在抛物线上， ∴，解得：， 即：； ③见答案（略） 【小问2详解】 见答案（略） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027九年级数学上学期第一次月考卷 （满分100分 时间90分钟） 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时．变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果关于的一元二次方程的一个根是0，那么的值为（ ） A. 0 B. 3 C. －3 D. 3或－3 4. 把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　　） A. B. C. D. 5. 下列有关函数的说法不正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 抛物线与轴交点为 C. 函数图象中，当时，随增大而减小 D. 当时， 6. 已知点，，都是抛物线（为常数）的点，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点……，前行的点数和不能是以下哪个结果（ ） A. 55 B. 78 C. 96 D. 120 8. 在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 一元二次方程（，，为常数，）根的判别式．若此方程的一个根，则抛物线的顶点坐标为________． 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 11. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为________．（参考数据：） 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________． 三、解答题：（共6道题，64分） 13. 用适当的方法解下列一元二次方程 （1） （2） （3） （4） 14. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 15. 阅读理解： 材料一：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， ， 当时，代数式有最小值1． 材料二：我们定义：若两个关于的多项式的和为常数，则称这两个多项式互为“和常多项式”，该常数称为它们的“和常值”．例如：，，，则和互为“和常多项式”，“和常值”为5． （1）判断多项式与是否互为“和常多项式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出它们的“和常值”； （2）已知多项式，（，为常数），且和互为“和常多项式”．若的最小值为2，求和的“和常值”． 16. 如图，学校准备在围墙边用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），用于修建自行车棚，若所用栅栏的总长度为34米，墙的最大可用长度为18米，为了出入方便，在垂直于墙的一边留了一个2米宽的门（门用其他材料），设栅栏的长为x米，解答下列问题： （1）________米．（用含x的代数式表示） （2）若围成的自行车棚的面积为平方米，求栅栏的长． （3）围成的自行车棚的面积能为平方米吗？请说明理由． 17. 如图，点在轴正半轴上，点、在二次函数的图象上，四边形是菱形，， （1）求的坐标和菱形的面积． （2）将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度．写出平移后的解析式，若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是 ． 18. 篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是，小石站在距篮圈中心水平距离处的点练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是（单位：）时，球心距离地面的竖直高度是（单位：）．在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： （1）第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 竖直高度 ①由表中数据可知，小张第一次练习投篮的出手高度是______，球运行过程中的最高高度是______． ②结合表中数据，求与满足的函数解析式； ③小石第一次投篮练习能否投进，请说明理由； （2）第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次最高点的正上方．如果小石在进行第二次训练时，在他正前方米处的教练准备起跳拦截，教练起跳后伸直手臂手尖离地的最大高度是米，那么教练能否成功拦截小石这次投篮？请说明理由．（篮球半径忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $