精品解析：内蒙古大学附属中学2026-2027学年九年级上学期数学阶段学情自测

内大附中初三年级月考数学试卷 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的意义是解题的关键．能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将已知根代入方程即可求出m的值. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为1， ∴将代入方程得：， 即， 整理得：， 解得：， 故选：A． 2. 的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．利用因式分解法解方程即可得出答案． 【详解】解：， ， 或， ，． 故选：C． 3. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意可知：且， 且 5. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数的函数值的大小，根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，再求出、、到对称轴的距离，进行比较即可得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，，，， ， 故选：D． 6. 生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，设每个支干分出个小分支，根据题意列出方程并求解即可，读懂题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每个支干分出个小分支， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 故选：． 7. 如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可． 【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确； ②∵抛物线的顶点为P（1，m） ∴，b=-2a ∵a＜0 ∴b＞0 ∵抛物线与y轴的交点在正半轴 ∴c＞0 ∴abc＜0，故②错误； ③∵抛物线经过点A（2，1） ∴1＝a·22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确； ④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下 ∴x>1时，y随x的增大而减小，即④正确； ⑤∵a＜0 ∴at2+bt-（a+b） = at2-2at-a+2a = at2-2at+a =a（t2-2t+1） = a（t-1）2≤0 ∴at2+bt≤a+b，则⑤正确 综上，正确的共有4个． 故答案为C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键． 8. 已知函数，当时，，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围． 【详解】解：函数， 该函数图象开口向上，当是，该函数取得最小值，当时，，， 当时，， 解得， 故选：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 若关于x的一元二次方程一个根为2，则m的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】将2代入即可求出m的值． 【详解】解：由条件可知：， ， 解得：． 10. 若实数满足 ，则的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键．设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，然后确定的值． 【详解】解：设，则， ，即， 解得：， ， ． 故答案为：1． 11. 设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得，，把代入原方程可得，将代入得，进行整理计算即可． 【详解】解：，n分别为一元二次方程的两个实数根， ， 把代入原方程得，， ， ． 12. 如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，即可． 【详解】解：观察图象得：当或时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方， ∴当时，x的取值范围是或 故答案为：或 13. 把抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后抛物线的表达式是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先确定的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后抛物线的表达式． 【详解】抛物线的顶点坐标为，点向右平移个单位，再向上平移个单位所得对应点的坐标为， ∴平移后抛物线的表达式为． 故答案为：． 14. 已知点在抛物线上，当时，总有成立，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将P点代入抛物线可得：，根据已知条件，画出函数图像，如图所示. 【详解】根据题目可得，a＜0，然后根据图像可得：≥－1，将m＝代入可得：n＝≤1，综上所述,解得．故答案为. 【点睛】本题考查对二次函数图像的性质的了解以及结合二次函数图像来解决问题，解题的关键点在于根据已知条件能画出函数图像，再根据函数图像来解决问题. 三、解答题（共5小题，满分58分） 15. 解方程 （1）（公式法） （2）（配方法）； （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用公式法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ， ∴ 【小问3详解】 或 ∴． 16. 已知关于的一元二次方程：． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求另一个根及k值． 【答案】（1） 证明：， ， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）另一个根为，k的值为1 【解析】 【分析】本题考查二次方程根的判别式，二次方程根和系数的关系． （1）根据一元二次方程，即可判断该方程有两个不相等的实数根； （2）设的另一个根为x，根据根与系数的关系列方程计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的另一个根为x， 则，， 解得：，， ∴方程的另一个根为，k的值为1． 17. 如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，共余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米． （1）若围成的花圃面积为40平方米时，求的长； （2）如图2，若计划在花圃中间再用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）10米 （2）不能成功围成花圃，理由： 设米，则米， 由题意得：， 整理，得：， ∵， ∴原方程无解， ∴不能成功围成花圃． 【解析】 【分析】（1）设米，则米，由题意可列出关于x的一元一次不等式和一元二次方程，解出不等式的解集和方程的解，即得出答案； （2）设米，则米，由题意可列出关于y的一元二次方程，由方程无解，即得出不能成功围成花圃． 【小问1详解】 解：设米，则米， ∵墙可利用的最大长度为15米， ∴， 解得：． ∵围成的花圃面积为40平方米， ∴， 解得：（舍）， ∴的长为10米． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． 18. 如图，在小明的一次投篮中，球出手时离地面高2米，与篮筐中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米．篮球运行的轨迹为抛物线，篮筐中心距离地面3米，通过计算说明此球能否投至篮筐中心．（不考虑篮球大小和篮球的反弹） 探究一：若出手的角度、力度和高度都不变，则小明朝着篮球架再向前移动多少米后投篮能将篮球投至篮筐中心？ 探究二：若出手的角度、力度和高度都发生改变，但是抛物线的顶点位置及球出手时与篮筐中心的水平距离不变，则小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投至篮筐中心？ 【答案】此球不能投中；探究一：向前平移米，可投中篮筐；探究二：小明出手的高度要增加米，可将篮球投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． 根据题意列出解析式，再将数据代入求值判断即可; 探究一：设向前平移h米，由题意可得，代入点，据此即可求解； 探究二：设解析式为，据此计算即可求解． 【详解】解：因为抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为， ∵过点， ∴， ∴，即， 当时，．所以此球不能投中； 探究一：设向前平移h米，由题意可得， 代入点， 得求得， 根据实际情况， 即向前平移米，可投中篮筐； 探究二：设， 因为投中篮筐，即代入得， 解得，即， 当时，，, 即小明出手的高度要增加米，可将篮球投中． 19. 如图，直线与抛物线相交于和，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点C （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求为直角三角形时点P的坐标 【答案】（1）；（2）存在，；（3）或 【解析】 【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，通过待定系数法即可求得解析式； （2）设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，可得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，再化成顶点式即可； （3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解即可． 【详解】（1）∵在直线上， ∴， ∴， ∵、在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）设动点P得坐标为，则C点得坐标为， ∴， ∵， ∴当时，线段PC最大且为． （3）∵为直角三角形， ①若点A为直角顶点，．由题意易知，，，因为此种情形不存在； ②若点A为直角顶点，则． 如图1，过点作于点N，则，．过点A作，交x轴于点M，则由题意易知，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 设直线AM得解析式为，则：，解得，所以直线AM得解析式为： 又抛物线得解析式为：② 联立①②式，解得：或（与点A重合，舍去） ∴，即点C、M点重合．当时，， ∴；③若点C为直角顶点，则． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 如图2，作点关于对称轴得对称点C，则点C在抛物线上，且，当时，． ∵点、均在线段AB上， ∴综上所述，为直角三角形时，点P得坐标为或． 【点睛】考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内大附中初三年级月考数学试卷 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 的解为（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（ ） A. B. C. D. 或 7. 如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 已知函数，当时，，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 若关于x的一元二次方程一个根为2，则m的值为________． 10. 若实数满足 ，则的值为____． 11. 设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则________． 12. 如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是______． 13. 把抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后抛物线的表达式是______ ． 14. 已知点在抛物线上，当时，总有成立，则的取值范围是________． 三、解答题（共5小题，满分58分） 15. 解方程 （1）（公式法） （2）（配方法）； （3） 16. 已知关于的一元二次方程：． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求另一个根及k值． 17. 如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，共余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米． （1）若围成的花圃面积为40平方米时，求的长； （2）如图2，若计划在花圃中间再用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 18. 如图，在小明的一次投篮中，球出手时离地面高2米，与篮筐中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米．篮球运行的轨迹为抛物线，篮筐中心距离地面3米，通过计算说明此球能否投至篮筐中心．（不考虑篮球大小和篮球的反弹） 探究一：若出手的角度、力度和高度都不变，则小明朝着篮球架再向前移动多少米后投篮能将篮球投至篮筐中心？ 探究二：若出手的角度、力度和高度都发生改变，但是抛物线的顶点位置及球出手时与篮筐中心的水平距离不变，则小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投至篮筐中心？ 19. 如图，直线与抛物线相交于和，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点C （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求为直角三角形时点P的坐标 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $