精品解析：四川省成都市石室中学2026-2027学年高二上学期10月定时练习数学试卷

成都石室中学2026～2027学年度上期高2028届定时练习 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号写在答题卷上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上的无效． 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 如图是某市某年10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染．若某人随机选择10月1日至14日中某一天到达该市，则到达之日空气重度污染的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由图可知，第5日和第8日的空气质量指数大于， 则天中有两天空气质量为重度污染， 所以所求概率为． 2. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字）连续抛掷两次，观察并记录，得到两次向下的面上的数字分别为，，则的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】记两次结果为，则样本空间为 ， 记为事件，则， 所以． 3. 某高校名毕业生的起始月薪分别为（单位：元），，，，，，，，，，，，则第百分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于，所以第百分位数是由小到大的第个数． 4. 为了解某中学生遵守《中华人民共和国道路交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，每个被调查者接受调查前会被告知自己的编号．调查人员向被调查者提出两个问题：（1）你的编号是奇数吗？（2）在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷质地均匀的一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．结果被调查的800人（编号从1至800）中有240人回答了“是”．由此可以估计这800人中闯过红灯的人数是（ ） A. 40人 B. 80人 C. 160人 D. 200人 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可以估计回答问题（1）的学生有人，其中有人回答“是”． 因此回答问题（2）的人中有40人回答“是”．由此可以估计这人中有人闯过红灯． 5. 如图，空间四边形中，和均与垂直．若，，，，则异面直线与所成的角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，，左右两边同时平方得，根据和均与垂直可得，，结合向量的数量积的定义和异面直线夹角的取值范围代入数据计算即可得出答案. 【详解】由题可得，， 左右两边同时平方得． 因为和均与垂直，所以，且， 所以， 把，，，代入得 , 解得，所以， 因为异面直线与所成的角的取值范围为， 所以异面直线与所成的角为， 即异面直线与所成的角为. 6. 已知随机事件，相互独立，，分别为，的对立事件．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设 ，，利用独立事件的乘法公式，由 建立一个方程；由 建立另一个方程，联立两式解出 . 【详解】设 ，，其中 ，. 由于 ， 相互独立，由独立事件的乘法公式得 . 由条件 ，得 由条件 ，得 展开得 ，化简得 . 将 代入 ，得 . 解得 或 ，因 ，舍去后者，得 . 7. 已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为中点，点满足，点满足．若四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得到，整理得，根据题意，将转化为，由四点共面得，解方程即可得出答案. 【详解】由题意可知，，整理得． 因为为平行四边形，点为中点，所以， 又因为点满足，点满足，所以 由四点共面可知，解得． 8. 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为8，样本方差为，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的运算公式和性质、平均数的公式，运用分类讨论思想进行求解即可. 【详解】设这个班参加书法小组的人数从小到大依次为． 记（），则， ，且为互不相等的整数． 显然，否则不符合题意． 如果，则有且， 只能有，矛盾． 另一方面，由于，，，， 所以，即．若时上述各不等式等号成立， 只能有，，，，与矛盾． 因此，且，，，，时所有条件均满足． 因此． 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 与一定不共线 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由，得，所以A正确； 对于B，由，得，所以B不正确； 对于C，若存在使得，则，则，，， 又，，不可能同时成立，所以与一定不共线，所以C正确； 对于D，由得，所以，所以D正确． 10. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误. 【详解】设正方体的棱长为， 对于A，如图（1）所示，连接，则， 故（或其补角）为异面直线所成的角， 在直角三角形，，，故， 故不成立，故A错误. 对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，， 由正方体可得平面，而平面， 故，而，故平面， 又平面，，而， 所以平面，而平面，故，故B正确. 对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得， 故，故C正确. 对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接， 则， 因为，故，故， 所以或其补角为异面直线所成的角， 因为正方体的棱长为2，故，， ，，故不是直角， 故不垂直，故D错误. 故选：BC. 11. 设样本空间，每个样本点等可能出现．已知事件，，事件同时满足：①，②，则（ ） A. 事件可以为 B. 事件包含的样本点数可能是 C. 事件包含的样本点数可能是 D. 事件可能的情况数是种 【答案】AC 【解析】 【分析】代入集合 C 验算，两个条件均满足，A 正确；若 ABC 含 2 个样本点，会与条件②矛盾，B 错误；可构造合适集合 C，使 AC 仅有 1 个样本点，C 正确；满足条件的 C 共 16 种，不是 8 种，D 错误. 【详解】由题意可知，． 对于A，当时，，，，满足题意，所以A正确． 对于B，由①可知，即．由②可知，即． 若，则，故．因此，不满足题意，所以B不正确． 对于C，取，则， ，满足题意，所以C正确． 对于D，由②可知，否则．由B可知是的倍数且， 所以，从而． 由①可知，所以． 由②可知，所以．由此可知和有且只有一个属于，因此或． 如果，则满足条件的可能是由中的个数和中的个数构成的集合， 有，，，，，， ，共种可能； 如果，则只可能由中的个数与中的个数及和构成的集合， 有，，，，，，，共种可能． 因此的可能情况有种，所以D不正确． 第II卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知某学校高一年级有人．现由按比例分配分层抽样的方法从该学校抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取了人，则该学校的学生总共有________人． 【答案】1500 【解析】 【详解】设该学校总共有人，则，解得． 13. 空间直角坐标系中，向量，，，将向量表示为，则有序实数组等于__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，， 则，，，解得． 14. 设，是两个随机事件，且，，则的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【详解】由于，当时等号成立． 而，故，当为必然事件时等号成立． 因此的取值范围是． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设，，是空间中的三个点． （1）求； （2）求点到直线的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的夹角公式求得； （2）由（1）可得，利用可求点到直线的距离． 【小问1详解】 由题意可知，， 所以， ，； 所以． 【小问2详解】 由（1）可知， 所以到直线的距离等于． 16. 某小区有户居民，从中随机抽取了户居民月用电量进行了调查．根据调查数据，绘制了如下的频率分布直方图．因保管不善，图中有一处数据受到污损，记为． （1）为了了解用电量较多的住户的实际情况，计划从样本中的户居民中月用电量在间的住户中随机抽取户作进一步调查．若样本中的甲、乙两户居民的月用电量在间，求这两户中至少有一户被选中的概率； （2）根据直方图估计该小区一个月的总用电量（各组数据以该组区间中点值作代表，不计小区的公共设施的用电量）． 【答案】（1） （2）186000（度） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式可求这两户中至少有一户被选中的概率； （2）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为，得到方程，即可求出，再根据平均数公式计算可得结论． 【小问1详解】 样本中月用电量的住户共有户． 将这户居民记为，其中分别代表甲乙两户． 将选取的两户居民记为（）， 则样本空间， ． 记“甲乙两户至少有一户被选中”为事件， 则． 因此． 【小问2详解】 由题意，，解得． 因此可估计小区内每一户的平均用电量为 （度）． 因此整个小区每月的用电量的估计值为（度）. 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，且． （1）设是棱上一点，且平面，求的值； （2）过作于，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质定理得到，结合三角形中位线，推出是的中点，比值等于1． （2）先证明平面，将作为平面的法向量，直接代入线面角公式算出正弦值为． 【小问1详解】 解：连接与交于点，连接， 因为四边形是正方形 所以是的中点． 平面，平面平面，平面, 由线面平行性质定理得． 所以是的中点，即． 【小问2详解】 解：在正方形中，， 已知平面，平面， 则， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以． 又，，平面，平面， 所以平面． 以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ， 则， 平面的法向量为． 设线面角为， ， 所以与平面所成的角的正弦值等于． 18. 甲、乙、丙三人相互进行羽毛球比赛，假设任意两人进行比赛的相互胜率在各场比赛中均保持不变，且不同场次的比赛的胜率相互独立．已知甲两场比赛连续战胜乙和丙的概率是，乙两场比赛连续战胜甲和丙的概率是，而乙和丙相互之间的比赛两人胜率各为．（注：羽毛球比赛没有平局．） （1）分别求一场比赛中甲战胜乙的概率和甲战胜丙的概率； （2）现规定比赛顺序：第一场甲对乙，第二场是第一场中的胜者对丙，第三场是第二场中的胜者对第一场中的败者．当时，第场比赛都是第场中的胜者对第场中的败者，约定某人连胜四场则比赛结束．求比赛结束时总共的场数不超过场的概率． 【答案】（1）甲战胜乙的概率为，甲战胜丙的概率为 （2） 【解析】 【分析】（1）设每一场比赛中甲战胜乙的概率为，甲战胜丙的概率为，由题意得，，且，解方程即可求解； （2）利用互斥事件的概率加法公式求解即可. 【小问1详解】 设每一场比赛中甲战胜乙的概率为，甲战胜丙的概率为，乙战胜丙的概率为， 则由题意有，．解得，， 即一场比赛中甲战胜乙的概率为，甲战胜丙的概率为． 【小问2详解】 总共比赛场就结束的情况分为从第场起甲连胜场和乙连胜场两种， 总共比赛场结束只会出现在第场丙上场后连胜场（无论第场比赛的结果如何）的情况． 将这三种情况依次记为事件，显然互斥． 由（1）的结果可知，，． 所以比赛总场数不超过场的概率等于． 19. 如图，三棱锥的底面是等腰直角三角形，且，． （1）当时，设三棱锥的各个顶点都在球心为的球上． （i）证明：平面平面； （ii）求球的半径； （2）求二面角的余弦值的最小值． 【答案】（1）（i）由题意，，， 而，平面， 所以平面．而平面，所以平面平面． （ii）． （2）． 【解析】 【分析】（1）（i）通过证明平面，证得平面平面；（ii）建立空间直角坐标系，设，由，求得球心，进而可求球的半径； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，进而求得其最小值. 【小问1详解】 （i）略 （ii）过作平面，建立空间直角坐标系（如图）， 则，，，由（i）可知． 由于四面体的外接球球心在平面上的射影是的外心， 于是可设．由，可得，解得． 从而球的半径等于． 【小问2详解】 由（1）可设，其中，则，且． 由，，， 设平面的法向量，平面的法向量 ，, 可取平面的法向量，平面的法向量． 设二面角的大小为，易知， 则． 设，则． 由于，所以． 因此当，即时，二面角的余弦值取最小，为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室中学2026～2027学年度上期高2028届定时练习 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号写在答题卷上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上的无效． 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 如图是某市某年10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染．若某人随机选择10月1日至14日中某一天到达该市，则到达之日空气重度污染的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字）连续抛掷两次，观察并记录，得到两次向下的面上的数字分别为，，则的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 某高校名毕业生的起始月薪分别为（单位：元），，，，，，，，，，，，则第百分位数是（ ） A. B. C. D. 4. 为了解某中学生遵守《中华人民共和国道路交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，每个被调查者接受调查前会被告知自己的编号．调查人员向被调查者提出两个问题：（1）你的编号是奇数吗？（2）在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷质地均匀的一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．结果被调查的800人（编号从1至800）中有240人回答了“是”．由此可以估计这800人中闯过红灯的人数是（ ） A. 40人 B. 80人 C. 160人 D. 200人 5. 如图，空间四边形中，和均与垂直．若，，，，则异面直线与所成的角等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机事件，相互独立，，分别为，的对立事件．若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为中点，点满足，点满足．若四点共面，则（ ） A. B. C. D. 8. 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为8，样本方差为，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 与一定不共线 D. 若，则 10. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ） A. B. C. D. 11. 设样本空间，每个样本点等可能出现．已知事件，，事件同时满足：①，②，则（ ） A. 事件可以为 B. 事件包含的样本点数可能是 C. 事件包含的样本点数可能是 D. 事件可能的情况数是种 第II卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知某学校高一年级有人．现由按比例分配分层抽样的方法从该学校抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取了人，则该学校的学生总共有________人． 13. 空间直角坐标系中，向量，，，将向量表示为，则有序实数组等于__________． 14. 设，是两个随机事件，且，，则的取值范围是__________ 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设，，是空间中的三个点． （1）求； （2）求点到直线的距离． 16. 某小区有户居民，从中随机抽取了户居民月用电量进行了调查．根据调查数据，绘制了如下的频率分布直方图．因保管不善，图中有一处数据受到污损，记为． （1）为了了解用电量较多的住户的实际情况，计划从样本中的户居民中月用电量在间的住户中随机抽取户作进一步调查．若样本中的甲、乙两户居民的月用电量在间，求这两户中至少有一户被选中的概率； （2）根据直方图估计该小区一个月的总用电量（各组数据以该组区间中点值作代表，不计小区的公共设施的用电量）． 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，且． （1）设是棱上一点，且平面，求的值； （2）过作于，求直线与平面所成的角的正弦值． 18. 甲、乙、丙三人相互进行羽毛球比赛，假设任意两人进行比赛的相互胜率在各场比赛中均保持不变，且不同场次的比赛的胜率相互独立．已知甲两场比赛连续战胜乙和丙的概率是，乙两场比赛连续战胜甲和丙的概率是，而乙和丙相互之间的比赛两人胜率各为．（注：羽毛球比赛没有平局．） （1）分别求一场比赛中甲战胜乙的概率和甲战胜丙的概率； （2）现规定比赛顺序：第一场甲对乙，第二场是第一场中的胜者对丙，第三场是第二场中的胜者对第一场中的败者．当时，第场比赛都是第场中的胜者对第场中的败者，约定某人连胜四场则比赛结束．求比赛结束时总共的场数不超过场的概率． 19. 如图，三棱锥的底面是等腰直角三角形，且，． （1）当时，设三棱锥的各个顶点都在球心为的球上． （i）证明：平面平面； （ii）求球的半径； （2）求二面角的余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $