精品解析：四川省成都市某中学2026-2027学年高二上学期10月学业质量检测数学试题

高2025级高二上数学学科10月学业质量检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 3个都是篮球 B. 至少有1个是排球 C. 3个都是排球 D. 至少有1个是篮球 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由随机事件的定义分析选项，综合即可得答案． 【详解】根据题意，从6个篮球、2个排球中任选3个球， 3个都是篮球，至少有1个是排球是随机事件， 3个都是排球是不可能事件，至少有1个是篮球是必然事件； 故选：D． 2. 样本数据8，3，12，5，9，15，6的上四分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【详解】这组数据从小到大排序为3，5，6，8，9，12，15， 由知上四分位数为第6个数，即12． 3. 某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A. 623 B. 328 C. 072 D. 457 【答案】A 【解析】 【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可 【详解】从第5行第6列开始向右读取数据， 第一个数为253，第二个数是313， 第三个数是457，下一个数是860，不符合要求， 下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复， 第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确. 故选：A. 4. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A选项，成立，故不能构成空间的另一个基底； 对于B选项，不存在实数，，使得，故能构成空间的另一个基底； 对于C选项，，故不能构成空间的另一个基底； 对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底． 5. 2024年进入8月后，成都市持续高温，气象局一般会提前发布高温红色预警信号（高温红色预警标准为24小时内最高气温将升至以上），在8月22日后的3天中，每一天最高气温在以上的概率为.用计算机生成了10组随机数，结果如下： 298 244 618 624 061 547 257 098 474 561 若用0，1，2，3表示非高温红色预警，用4，5，6，7，8，9表示高温红色预警，则8月22日后的3天中恰有2天发布高温红色预警信号的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】解：由题意可知，表示8月22日后的3天中恰有2天发布高温红色预警信号的随机数有：298，244，618，624，257，098，561共7个， 8月22日后的3天中恰有2天发布高温红色预警信号的概率为， 故选:B. 6. 已知某样本的容量为，平均数为，方差为．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将记录为，另一个错将记录为．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据样本平均数与方差公式直接计算可得解. 【详解】不妨设记录错误的两个数据分别为，， 改正后的数据为，， 由已知可得， 则， 所以改正后的平均数， 又， 则， 所以改正后的方差， 故选：A. 7. 已知事件，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则， B. 若与互斥，则， C. 若与相互独立，则， D. 若与相互独立，则， 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的基本性质和乘法公式计算即可. 【详解】若，则，，故A错； 若与互斥，则，，故B错； 若与相互独立，则，，故C错，D正确. 故选：D. 8. 在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，得到，，结合向量的数量积的运算公式化，即可求解. 【详解】如图所示，在正三棱锥中，， 可得， 因为点分别是棱的中点， 可得，， 所以 ． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知甲､乙两位同学在高一年级六次考试中的数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 若甲､乙两组数据的平均数分别为，则 B. 若甲､乙两组数据的方差分别为，则 C. 甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数 D. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 【答案】ACD 【解析】 【分析】对四个选项一一判断：根据散点图直接判断选项A、B、D；分析甲、乙的中位数特点，即可判断C. 【详解】由散点图的点的分布可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学, 其他次考试成绩都高于乙同学,所以，故选项A正确； 由散点图点的分步变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,由方差的意义可得.故选项B错误； 因为统计了6次数学成绩，故将一组数据从小到大排序后，第三个和第四个数据的平均数为该组数据的中位数， 由散点图知，甲同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以上， 而乙同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以下，故甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数. 故选项C正确； 因为极差为数据样本的最大值与最小值的差,所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故选项D正确. 故选：ACD. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若，则向量，的夹角是锐角 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若对空间中任意一点O，有，则四点共面 D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例判断A，利用空间向量共面定理判断B，利用空间向量的线性运算判断C，利用空间向量的平移性质判断D即可. 【详解】对于A，当，的夹角为时，，故A错误， 对于B，由空间向量共面定理得，对于空间中的三个向量， 若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确， 对于C，因为， 所以， 所以四点共面，故C正确， 对于D，由向量平移性质可得，空间中任意两个向量一定共面，故D错误. 故选：BC 11. 盒中有个大小、质地均相同的小球，其中三个红球上分别写有，两个白球上分别写有．从中不放回地随机取出两个小球，记事件为“取出的两个球颜色不同”，事件为“取出的两个球上的数字相同”，事件为“取出的两个球上的数字之和小于”，那么（ ） A. B. C. D. 事件与相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】先计算不放回抽取个球的总基本事件数，再分别计算各事件对应的基本事件数，结合古典概型公式、事件包含关系、独立事件判定规则逐一分析选项. 【详解】根据题意，所有可能的组合为：(红1,红2),(红1,红3),(红1,白1),(红1,白2),(红2,红3),(红2,白1),(红2,白2),(红3,白1),(红3,白2),(白1,白2)，共种， 对于A，事件为两球颜色不同，对应共种组合，，故A正确； 对于B，事件为两球数字相同，仅(红1,白1),(红2,白2)种情况，且均满足颜色不同，即，故，，故B正确； 对于C，事件为数字之和小于，对应共种组合，，故C错误； 对于D，事件为两球颜色不同且数字和小于，对应共种组合，，而， 满足独立事件判定条件，故事件与相互独立，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中的A型号产品有15件，那么样本容量n为________． 【答案】70 【解析】 【分析】利用分层抽样的定义得到方程，求出. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：70 13. 从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率为_________． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】先求出基本事件的总数15，再由列举法求出包含的基本事件的个数，由此能求出的概率． 【详解】从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为， 基本事件的总数， 则包含的基本事件有：，共3个， ∴的概率是. 故答案为：． 14. 在四面体中，平面与平面互相垂直，，，为等腰三角形，且，，则异面直线与夹角的余弦值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点构造垂直关系，将向量分解简化运算，结合已知条件求解向量模长与数量积，最终计算夹角余弦值. 【详解】如图，取BD的中点O，连接OA，OC，则由题易得，，， 又因为平面平面CBD，平面平面，平面BCD， 所以平面ABD，所以，所以． ， 因为，所以， 设，由题意得 则，所以， 则，则． 设AC与BD夹角为，则． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 袋中有形状、大小都相同的个小球，标号分别为. （1）从袋中一次随机摸出个球，求标号和为奇数的概率; （2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由. 【答案】（1） （2） 试验的样本空间，共有16个， 设标号和为奇数为事件C，事件C包含的样本点为，，，，，，，，共8个, 故所求概率为,即甲胜的概率为，则乙胜的概率为, 所以甲、乙获胜的概率是公平的. 【解析】 【分析】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求解; （2）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解. 【小问1详解】 试验的样本空间，共6个样本点，设标号和为奇数为事件 B，则 B包含的样本点为，，，，共4个，所以 【小问2详解】 略 16. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若. （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据空间向量数量积的运算律求出，即可得解； （3）根据夹角公式结合数量积的运算律求解即可. 【小问1详解】 如图，连接， 因为， 在中，根据向量减法法则可得， 因为底面是平行四边形， 所以， 因为且， 所以， 又因为为线段的中点， 所以， 在中，； 【小问2详解】 因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是， 所以， ， ， 由（1）可知， 所以在平行四边形中，， ， 所以，故对角线的长为； 【小问3详解】 因为， 所以 . 17. 某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，……，，统计结果如图所示： （1）试估计这100名学生得分的众数、中位数；（中位数保留小数点后2位） （2）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （3）现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求至少有一人在的概率. 【答案】（1）众数75；中位数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用众数与中位数的定义结合频率分步直方图即可得到这100名学生得分的众数、中位数估计值； （2）利用平均数定义结合频率分步直方图即可得到这100名学生得分的平均数估计值. （3）利用古典概型概率求法即可求得从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会且至少有一人在的概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，第4组频率最大，估计众数为：75； 在内频率之和为， 设中位数为，由图可知中位数在， 由，得中位数 【小问2详解】 由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数： 【小问3详解】 在和两组中的人数分别为： 人和人， 所以在分组中抽取的人数为人，记为a，b，c， 在分组中抽取的人数为2人，记为1，2， 所以这5人中随机抽取2人的情况有： ， 共10种取法，至少有一人得分在的情况有7种， 所以所求概率为. 18. 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下: 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空:每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛甲轮空. （1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率； （2）求只需四场比赛就决出冠军的概率； （3）求甲最终获胜的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）前三场比赛结束后，丙被淘汰的情况有2种①乙胜丙、乙胜甲、乙胜丙②乙胜丙、甲胜乙、甲胜丙，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案. （2）首先分析出只需四场比赛就决出冠军的情况，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案. （3）首先分析出甲最终获胜的情况，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案. 【小问1详解】 记事件A为甲胜乙，则，， 事件B为甲胜丙，则，， 事件C为乙胜丙，则，， 前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为 . 【小问2详解】 只需四场比赛就决出冠军的概率为： . 【小问3详解】 由于甲胜乙和甲胜丙的概率均为，且乙胜丙和丙胜乙的概率也相等，均为， 第一场比赛甲当裁判，以后的比赛相对于甲，可视乙丙为同一人， 设甲胜为事件D，甲当裁判为事件E， 所以甲最终获胜的概率 . 19. 如图，平行六面体的底面是菱形，，，． （1）当，，时，求的长； （2）当，平面时， ①求的长； ②当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） （2）①1 ；② 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的数量积、数量积运算律及向量的模求解即可. （2）①根据垂直关系的向量表示、空间向量的数量积、数量积运算律求解即可. ②根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 如图，连接BD，， 设，，，由题易得，， 依题意，，，， 而． 所以 ，即． 【小问2详解】 ①由（1）知，令， 因为， 所以，，， 易知，，， 因为平面，平面，所以，， 即． 整理得， 而，解得，所以的长为1． ②当时，由①得，， ，则，， ， 而为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则 ， 而，即，则， ，即， 所以直线与平面所成的角的正弦值的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2025级高二上数学学科10月学业质量检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 3个都是篮球 B. 至少有1个是排球 C. 3个都是排球 D. 至少有1个是篮球 2. 样本数据8，3，12，5，9，15，6的上四分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 15 3. 某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A. 623 B. 328 C. 072 D. 457 4. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 5. 2024年进入8月后，成都市持续高温，气象局一般会提前发布高温红色预警信号（高温红色预警标准为24小时内最高气温将升至以上），在8月22日后的3天中，每一天最高气温在以上的概率为.用计算机生成了10组随机数，结果如下： 298 244 618 624 061 547 257 098 474 561 若用0，1，2，3表示非高温红色预警，用4，5，6，7，8，9表示高温红色预警，则8月22日后的3天中恰有2天发布高温红色预警信号的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某样本的容量为，平均数为，方差为．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将记录为，另一个错将记录为．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知事件，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则， B. 若与互斥，则， C. 若与相互独立，则， D. 若与相互独立，则， 8. 在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知甲､乙两位同学在高一年级六次考试中的数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 若甲､乙两组数据的平均数分别为，则 B. 若甲､乙两组数据的方差分别为，则 C. 甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数 D. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若，则向量，的夹角是锐角 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若对空间中任意一点O，有，则四点共面 D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 11. 盒中有个大小、质地均相同的小球，其中三个红球上分别写有，两个白球上分别写有．从中不放回地随机取出两个小球，记事件为“取出的两个球颜色不同”，事件为“取出的两个球上的数字相同”，事件为“取出的两个球上的数字之和小于”，那么（ ） A. B. C. D. 事件与相互独立 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中的A型号产品有15件，那么样本容量n为________． 13. 从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率为_________． 14. 在四面体中，平面与平面互相垂直，，，为等腰三角形，且，，则异面直线与夹角的余弦值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 袋中有形状、大小都相同的个小球，标号分别为. （1）从袋中一次随机摸出个球，求标号和为奇数的概率; （2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由. 16. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若. （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求. 17. 某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，……，，统计结果如图所示： （1）试估计这100名学生得分的众数、中位数；（中位数保留小数点后2位） （2）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （3）现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求至少有一人在的概率. 18. 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下: 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空:每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛甲轮空. （1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率； （2）求只需四场比赛就决出冠军的概率； （3）求甲最终获胜的概率. 19. 如图，平行六面体的底面是菱形，，，． （1）当，，时，求的长； （2）当，平面时， ①求的长； ②当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $