四川成都棠湖外国语学校2026-2027学年高二求实班上学期10月阶段检测数学试卷

2026～2027学年度棠外高2025级 高二上期求实班10月阶段检测 数学 命题人：陈汶秀 审题人：李巍巍 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束后，只将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列数据的中位数和众数分别是 ，，，，，， A. ， B. ， C. ， D. ， 2.某校开展“阅读经典”的调查研究，高一、高二、高三的人数比例为现采用按比例分配分层随机抽样的方法从各年级中抽取人员进行调研已知从高一抽取的人数为，则从高三抽取的人数为 A. B. C. D. 3.某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将个同学按，，，，进行编号，然后从随机数表第行第列的数开始向右读，则选出的第个个体是    A. B. C. D. 13 4.十项全能是由跑、跳、投等个田径项目组成的综合性男子比赛项目按照国际田径联合会制定的田径运动全能评分表计分，然后将各个单项的得分相加，总分多者为优胜下面是某次全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图．下列说法错误的是 A. 在米项目中，甲的得分比乙高 B. 在跳高和标枪项目中，甲、乙的得分基本相同 C. 甲的各项得分比乙更均衡 D. 从米、米、米、米栏四个项目的总得分来看，甲的得分高于乙的得分 5.如图所示，一个玩具盒是由半个圆柱与一个正四棱柱组合成的几何体，圆柱的底面直径与高均为，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为该玩具盒的表面积为 A. B. C. D. 6.已知空间四边形，其对角线为，，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，正确表示向量的是 A. B. C. D. 7.设，是互不重合的平面，，，是互不重合的直线，下列命题中正确的是 A. 若，，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 8.甲乙两人各有一枚质地均匀的硬币，甲抛掷次，乙抛掷次，事件“甲抛掷的两次中第一次正面朝上”，事件“甲抛掷的两次硬币朝上的面相同”，事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”，则下列说法正确的是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.下列关于空间向量的命题中，正确的为 A. 长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B. 平行且模相等的两个向量是相等向量 C. 只有零向量的模等于零 D. 若，则，是钝角 10.一个盒子中装有标号为，，，，的五个小球，从中有放回地随机选取两个小球，每次取一个．事件“第一次取到标号为或的小球”，事件“第二次取到标号为的小球”，事件“两个小球的标号之和为”则 A. 与对立 B. 与相互独立 C. D. 11.如图，在棱长为的正方体中，下列结论正确的是 A. 异面直线与所成的角为 B. 直线与平面所成角为 C. 二面角的正切值为 D. 四面体的外接球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知数据，，，，的平均数为，则该组数据的方差为         ． 13.已知空间向量和的夹角为，，，则            ． 14.在正三棱柱中，，动点在棱上，则点到平面的距离为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.分年月日至月日是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩单位：分，得分取正整数，满分为分作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图．   求图中的值；    估计这名学生这次竞赛成绩的中位数； 在这名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取名学生进行调查，求这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． 16.分如图，在长方体中，为的中点． 化简：① ② 设是棱上的点，且，若，试求实数、、的值． 17.分为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响． 求甲、乙两位同学恰有一个人答对此题的概率 若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对此题的概率为，求的值． 18.分某中学有初中学生人，高中学生人，为了解全校学生本学期开学以来的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了名学生进行问卷调查将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间单位：小时各分为组：，，，得其频率分布直方图如图所示． 估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数是多少； 从课外阅读时间不足个小时的样本学生中随机抽取人，求至少有个初中生的概率； 国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时，若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？ 19.分如图，在三棱柱中，点为的中点，记，，． 用，，表示 若三棱锥是棱长为的正四面体，求 若三棱锥是正三棱锥，且异面直线与所成角的余弦值大于，求，的取值范围． 2026～2027学年度棠外高2025级 高二上期求实班10月阶段检测 参考答案与评分意见 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。每小题只有1个选项最符合题意。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D C A C B D 二、多项选择题：本题共3个小题，共18分。第9题答对一个得3分，两个得6分；第10、11题，答对一个得2分，两个得4分，三个得6分。只要答错一个，该题得0分。 题号 9 10 11 答案 AC BCD ACD 三、填空题：本题共3个小问，答对一个得5分，共15分。 题号 12 13 14 答案 4     8.【答案】 解：用表示甲第次抛掷的结果，那么甲抛掷两次的结果可以用表示，用表示正面向上，表示反面向上， 则样本空间，所以不是的子集，，所以AB错误；对于事件，方法一：借助表格列举如下， ，又，所以C错误，D正确． 方法二：设事件“甲得到的反面数比乙得到的反面数少”，则，下证事件与事件对立． 若事件与事件同时发生，那么甲的正面数和反面数都比乙的少，那么甲抛的次数至少比乙少两次，与题目矛盾； 若事件与事件都不发生，那么甲的正面数和反面数都不比乙的少，那么甲抛的次数不比乙少，与题目矛盾； 故事件与事件对立，所以， 因为，所以C错误，D正确，故选：． 11.【答案】  解：对于、在棱长为的正方体中，因为，所以直线与所成的角就是异面直线与所成的角，而是正三角形，因此直线与所成角为，即异面直线与所成的角为，因此A正确； 对于、在棱长为的正方体中，因为平面平面交于， 设，则，而平面，所以平面，因此连接，则是直线在平面内的射影，即为直线与平面所成角，而，所以，即直线与平面成角为，因此不正确； 对于、由知，在棱长为的正方体中，平面，而平面，因此，又，所以是二面角的平面角，因此， 即二面角的正切值为，因此C正确； 对于、因为四面体的外接球就是棱长为的正方体的外接球，而棱长为的正方体的外接球半径为，即四面体的外接球半径为， 所以四面体的外接球的体积为，因此D正确． 故选ACD． 14.【答案】  在正三棱柱中，，又平面，平面，所以平面， 因为动点在棱上，所以到平面的距离等于到平面的距离，由勾股定理可得，在等腰三角形中，底边上的高为，所以等腰三角形的面积为，连接，易得，到平面的距离为到的距离，为，设点到平面的距离为， 由，得，解得． 15.【答案】解：由频率分布直方图性质，各矩形面积和为，组距为， 得 2分 解得 1分 设中位数为， 1分 而 1分 中位数在内， 根据中位数的定义可得： 2分 解得 1分 估计这名学生这次竞赛成绩的中位数为． 的频率为： 的人数为：人 的频率为： 的人数为：人 内总人数为人 3分 分层抽样的比为 1分 这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为人 1分 16.【答案】解：由题意得 ①）=- 3分 ②， 4分 2分 2分 2分 2分  17.【答案】设事件为“甲答对”，为“乙答对” 1分 则，，， 1分 “甲、乙两位同学恰有一个人答对”的事件为，且与互斥 1分 因为三人答题互不影响，所以与相互独立，则与，与均相互独立 1分 则 所以甲、乙两位同学恰有一个人答对此题的概率为 3分 设事件为“丙答对”事件为“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对” 1分 则， 2分 则 1分 4分 解得所以的值为． 18.【答案】解：初中生中，阅读时间在小时内的频率 为 所有的初中生中，阅读时间在小时内的学生约有人 2分 同理，高中生中，阅读时间在小时内的频率 为， 学生人数约有人 2分 该校所有学生中，阅读时间在小时内的学生人数约有人 1分 由分层抽样知， 抽取的初中生有名，高中生有名 2分 记“从阅读时间不足个小时的样本学生中随机抽取人，至少抽到名初中生”为事件， 初中生中， 阅读时间不足个小时的学生频率为，样本人数为人； 高中生中， 阅读时间不足个小时的学生频率为，样本人数为人 记这名初中生为，这名高中生为 3分 则从阅读时间不足个小时的样本学生中随机抽取人，所有可能结果共种， 即：，，，，，，，，，； 而事件的结果有种 它们是：，，，，，，； 至少抽到名初中生的概率为 2分 天内，初中生平均每人阅读时间 为小时 2分 国家标准下天内初中生每人需阅读小时 2分 因为，该校需要增加初中学生课外阅读时间 1分 19.【答案】解：， 4分 因为三棱锥是棱长为的正四面体，所以， ． 1分 因为， 1分 所以． 3分 由三棱锥是正三棱锥，设，，则， 则，，， 则，． 1分 由正三棱锥可知，，则， 因为， 1分 所以 2分 2分 设异面直线与所成的角为， 则， 解得， 2分 所以，的取值范围是  1 学科网（北京）股份有限公司 $