四川省成都市石室中学2026-2027学年高二上学期10月定时练习数学试卷

成都石室中学2026~2027学年度上期高2028届定时练习 数学参考答案 1.B.2.A.3.C.4.B.5.C.6.D.7.C.8.B.9.ACD.10.BC.11.AC 12.10.1.a30.14.哈 15.解：(1)由题意可知AB=(2,-2,2),AC=(0,-1,2),(3分) 所以cos∠BAC=ABAC 6 |AB|ACL2W3.√55 .(6分) ,9分 (2)由(1)可知sim∠B4C=10 所以c到直线AB的距离等于1AC1,im∠B4C=5.0-5.(13分) 5 16.解：(1)样本中月用电量[300,500]的住户共有50×0.0012×100=6户.(2分) 将这6户居民记为4,4,4,44,4,4，其中4,4，分别代表甲乙两户.将选取的两户居民记为 (a,4)（i,j∈1,2,3,4,5,6)， 则样本空间2={(4,4，(4,4)，(q,a4),(4,4),(a,4),(a2,4),(4,a4),(a,4),(a,4), (43,a4,(a,4),(a,46),(a4,4),(a4,6),(a4,6)}.(4分) 记“甲乙两户至少有一户被选中”为事件A,则 A={(a,4),(a,4),(4,a4),(4,4),(a,4),(a,4),(a,a4),(4,4),(a42,46)}. 因些小碧名行分》 (2)由题意，50(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)=1,解得 x=0.0044.(10分) 因此可估计小区内每一户的平均用电量为50×(75×0.0024+125×0.0036+175×0.0060 +225×0.0044+275×0.0024+325×0.0012)=186(度).(13分) 因此整个小区每月的用电量的估计值为186×1000=186000（度）(15分) 17.解：(1)连接AC与BD交于点O,则O是AC的中 点.连接EO,由PC∥平面EBD有PC∥EO.(3分) 所以B是P4的中点，即PE=1.(6分) EA (2)由于AB⊥平面PAD,所以AB⊥PD.而 AF∩AB=A,所以PD⊥平面ABF.(9分) 如图建立空间直角坐标系A一BDP,设AB=1,则 AC=1,1,0),平面ABF的法向量为PD=(0,1,-2).(12 分) 又因为cos<AC,PD>= 1 V10 (14分) V2V1+(-2)210 B 所以AC与平面ABF所成的角的正弦值等于0 ,(15 0 分) 18.解：（1)设每一场比赛中甲战胜乙的概率为h,甲战胜丙的概率为)2，乙战胜丙的概 率为A子则自题查有A=古Q-AA背4分) 解利A专以子：即场比赛中甲成鞋乙的楼率为} 1 ·甲战生万的既率为·《8分 (2)总共比赛4场就结束的情况分为从第1场起甲连胜4场和乙连胜4场两种，总共比赛 5结束只会出现在第2场丙上场后连胜4场（无论第1场比赛的结果如何)情况.将这三种 情况依次记为事件A,B,C,显然A,B,C互斥.(10分) 11111 2.12.11 由1)的结果可知P④=3×X3×414P(B)=子×2×号×2)12分) PC=1xxx2x=9.(15分) 4242641 所以比赛总场数不超过5场的概率等于1十+9=14.(17分) 144”964576 19.解：(1)(i)由题意，AB⊥AC,AB⊥PC,而 AC∩PC=C,所以AB⊥平面PAC.而ABC平面 ABC,所以平面PAC⊥平面ABC.(3分) (ii)过A作AZ⊥平面ABC,建立空间直角坐标系 A-BCZ（如图)，则A(0,0,0),B1,0,0),C(0,1,0), 面心可知P0马.由于四面体-AC的外核 球球心O在平面ABC上的射影是△ABC的外心，(5 分) 于是可设0号0.自001，可得 片+-110，新=9从而球0的水经特打9行分) 44 2 (2)由1)可设P0m号0，其中m+心-，则忙=氵m,m(55且 4 4 2’2 ≠0.(9分) 由AC=(01,0),CP=(2四，BC=（-11,0),可取平面ACP的法向量乃=m,0-m, 平面BCP的法向量2，=(2n,2n,-2-1).(11分) 设二面角A-PC-B的大小为日，易知日∈(0,5，则 c0s6= |2n2+2m2+ (13分) Vm+2.8+(2+少V3:ya+m- 设3+m=u,则cos0= .(15分) 2 +u-3-- 17 ；V3√-2+4- 1 由于u>0,所以cos0= 因此当u=1,即m=2 时，二面角A-P℃-B的余弦值取最小，为5 .17分) 1．如图是某市某年10月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数不大于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染．若某人随机选择10月1日至14日中某一天到达该市，则到达之日空气严重污染的概率是 A．B．C．D． 答案：B． 解析：由于天中有两天空气质量为严重污染，所以所求概率为，故选B． 2． 将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字）连续抛掷两次，观察并记录，得到两次向下的面上的数字分别为，，则的概率为 A．B．C．D． 答案：A． 解析：记两次结果为，则样本空间为．记为事件，则．所以．故选A． 3．某高校名毕业生的起始月薪分别为（单位：元），，，，，，，，，，，，则第百分位数是 A．B．C．D． 答案：C． 解析：由于，所以第百分位数是由小到大的第个数，故选C． 4．为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，每个被调查者接受调查前会被告知自己的编号．调查人员向被调查者提出两个问题：（1）你的编号是奇数吗？（2）在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷质地均匀的一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．结果被调查的800人（编号从1至800）中有240人回答了“是”．由此可以估计这800人中闯过红灯的人数是 A．40人 B．80人 C．160人 D．200人 答案：B． 解析：由题意可以估计回答问题（1）的学生有人，其中有人回答“是”．因此回答问题（2）的人中有40人回答“是”．由此可以估计这人中有人闯过红灯，故选B． 5．如图，空间四边形中，和均与垂直．若，，，，则异面直线与所成的角等于 A．B．C．D． 答案：C． 解析：由题意，，平方可得．由题意，，因此，解得，从而，所以异面直线与所成的角等于，故选C． 6．已知随机事件，相互独立，，分别为，的对立事件．若，，则 A．B．C．D． 答案：D． 解析：由题意可知与，与，与均相互独立．从而，．从而，故选D． 7．已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为中点，点满足，点满足．若四点共面，则 A．B．C．D． 答案：C． 解析：由题意可知，即，整理得．由四点共面可知，解得，故选C． 8． 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为8，样本方差为，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 A．B．C．D． 答案：B． 解析：设这个班参加书法小组的人数从小到大依次为．记（），则，，且为互不相等的整数．显然，否则不符合题意．如果，则有且，只能有，矛盾．另一方面，由于，，，，所以，．但时上述各不等式等号成立，只能有，，，，与矛盾．因此，且，，，，时所有条件均满足．因此，故选B． 9．已知向量，，则 A．若，则B．若，则C．与一定不共线D．若，则 答案：ACD． 解析：对于A，由得，所以A正确．对于B，由得，所以B不正确．对于C，若存在使得，则，，不可能同时成立，所以C正确．对于D，由得，，所以D正确．故选ACD． 10．如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点，则满足的有 A． B． C． D． 答案：BC． 解析：不妨设正方体棱长为，建立空间直角坐标系可知对于A，，，，所以A不正确．对于B，，，，所以B正确．对于C，，，，所以C正确．对于D，，，，所以D不正确．故选BC． 11．设样本空间，每个样本点等可能出现．已知事件，，事件同时满足：①，②，则 A．事件可以为B．事件包含的样本点数可能是C．事件包含的样本点数可能是D．事件可能的情况是种 答案：AC． 解析：由题意可知，．对于A，当时，，，，满足题意，所以A正确．对于B，由①可知，即．由②可知，即．若，则，故．因此，不满足题意，所以B不正确．对于C，取，则， ，满足题意，所以C正确．对于D，由②可知，否则．由B可知是的倍数且，所以，从而．由①可知，所以．由②可知，所以．由此可知和有且只有一个属于，因此或．如果，则满足条件的可能是由中的个数和中的个数构成的集合，有，，，，，， ，共种可能；如果，则只可能由中的个数与中的个数及和构成的集合，有，，，，，，，共种可能．因此的可能情况有种，所以D不正确．故选AC． 12．已知某学校高一年级有人．现由按比例分配分层抽样的方法从该学校抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取了人，则该学校的学生总共有 人． 答案：． 解析：设该学校总共有人，则，解得． 13．空间直角坐标系中，向量，，，将向量表示为，则有序实数组等于 ． 答案：． 解析：由题意，，，，解得． 14．设，是两个随机事件，且，，则的取值范围是 ． 答案：． 解析：由于，当时等号成立．而，故，当为必然事件时等号成立．因此的取值范围是． 15．设，，是空间中的三个点． （1）求； （2）求点到直线的距离． 解：（1）由题意可知，，所以． （2）由（1）可知，所以到直线的距离等于． 16．某小区有户居民，从中随机抽取了户居民进行月用电量进行了调查．根据调查数据，绘制了如下的频率分布直方图．因保管不善，图中有一处数据受到污损，记为． （1）为了了解用电量较多的住户的实际情况，计划从样本中的户居民中月用电量在间的住户中随机抽取户作进一步调查．若样本中的甲、乙两户居民的月用电量在间，求这两户中至少有一户被选中的概率； （2）根据直方图估计该小区一个月的总用电量（各组数据以该组区间中点值作代表，不计小区的公共设施的用电量）． 解：（1）样本中月用电量的住户共有户．将这户居民记为，其中分别代表甲乙两户．将选取的两户居民记为（）， 则样本空间 ．记“甲乙两户至少有一户被选中”为事件，则． 因此． （2）由题意，，解得．因此可估计小区内每一户的平均用电量为 （度）．因此整个小区每月的用电量的估计值为（度） 17．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，且． （1）设是棱上一点，且平面，求的值； （2）过作于，求直线与平面所成的角的正弦值． 解：（1）连接与交于点，则是的中点．连接，由平面有．所以是的中点，即． （2）由于平面，所以．而，所以平面．如图建立空间直角坐标系，设，则，平面的法向量为．又因为，所以与平面所成的角的正弦值等于． 18．甲、乙、丙三人相互进行羽毛球比赛，假设任意两人进行的比赛相互胜率各场比赛均保持不变，且不同场次的比赛的胜率相互独立．已知甲两场比赛连续战胜乙和丙的概率是，乙两场比赛连续战胜甲和丙的概率是，而乙和丙相互之间的比赛两人胜率各为． （1）分别求一场比赛中甲战胜乙的概率和甲战胜丙的概率； （2）现规定比赛顺序：第一场甲对乙，第二场是第一场中的胜者对丙，第三场是第二场中的胜者对第一场中的败者，当时，第场比赛都是第场中的胜者对第场中的败者，约定某人连胜四场则比赛结束．求比赛结束时总共的场数不超过场的概率． （注：羽毛球比赛没有平局．） 解：（1）设每一场比赛中甲战胜乙的概率为，甲战胜丙的概率为，乙战胜丙的概率为，则由题意有，．解得，，即一场比赛中甲战胜乙的概率为，甲战胜丙的概率为． （2）总共比赛场就结束的情况分为从第场起甲连胜场和乙连胜场两种，总共比赛结束只会出现在第场丙上场后连胜场（无论第场比赛的结果如何）情况．将这三种情况依次记为事件，显然互斥．由（1）的结果可知，，．所以比赛总场数不超过场的概率等于． 19．如图，三棱锥的底面是等腰直角三角形，且，． （1）当时，设三棱锥的各个顶点都在球心为的球上． （i）证明：平面平面； （ii）求球的半径； （2）求二面角的余弦值的最小值． 解：（1）（i）由题意，，，而，所以平面．而平面，所以平面平面． （ii）过作平面，建立空间直角坐标系（如图），则，，，由（i）可知．由于四面体的外接球球心在平面上的射影是的外心，于是可设．由，可得，解得．从而球的半径等于． （2）由（1）可设，其中，则，且．由，，，可取平面的法向量，平面的法向量．设二面角的大小为，易知，则．设，则．由于，所以． 因此当，即时，二面角的余弦值取最小，为． 学科网（北京）股份有限公司 $1.如图是某市某年10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于100表示 空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.若某人随机选择10月1日至 14日中某一天到达该市，则到达之日空气严重污染的概率是 空 250 217 200 质量 160 160158 150 143 100 86 50 57 25 40 37 0日2日3拍4日5泊6由7右8右咱01由2n白4日→日期 答案：B 解析：由于14天中有两天空气质量为严重污染，所以所求概率为2_1 ,故选B 147 2.将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字1,2,3,4）连续抛掷两次，观察并 记录，得到两次向下的面上的数字分别为：，x,,则x1十x3=4的概率为 .iC. 8 答案：A. 解析：记两次结果为(x,x2),则样本空间为2={1,1)，4,2)，1,3)，1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)， (2,4),3,1),(3,2),(3,3),3,4),(4,1),(4,2),(4,3),4,4)}.记+x2=4为事件A,则 A={L,3,(2,2),6,1}.所以P4)=m4-3. 故选A. n(2)16 3.某高校12名毕业生的起始月薪分别为（单位：元）6710,6755,7050,7850， 8050,8755,9130,9325,9880,9920,10200,10500,则第80百分位数是 A.9325B.9880C.9920D.10200 答案：C 解析：由于12×80%=9.6，所以第80百分位数是由小到大的第10个数9920，故选C. 4.为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如 下的随机调查，每个被调查者接受调查前会被告知自己的编号.调查人员向被调查者提出 两个问题：(1)你的编号是奇数吗？(2)在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对 着调查人员抛掷质地均匀的一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第 二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不 是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答.结果被调查的 800人（编号从1至800）中有240人回答了“是”.由此可以估计这800人中闯过红灯的 人数是 A.40人 B.80人 C.160人 D.200人 答案：B. 解析：由题意可以估计回答问题(1)的学生有400人，其中有200人回答“是”.因此回 答问题(2)的400人中有40人回答“是”.由此可以估计这800人中有80人闯过红灯，故 选B. 5.如图，空间四边形ABCD中，BC和AD均与AB垂直.若AB=1, BC=2,AD=3,CD=2√2，则异面直线BC与AD所成的角等于 A.30°B.45°C.60°D.90° 答案：C. 解析：由题意，CD=CB+BA+AD,平方可得 CD=CB+BA+AD+2C元.BA+2BA.AD+2AD.CB.由题意， CB.BA=BA·AD=0,因此8=4+1+9+2AD.CB,解得AD.CB=-3,从而 Cos<AD,CB>=_1 ,所以异面直线BC与AD所成的角等于60°，故选C. 6.已知随机事件A,B相互独立，A,B分别为A,B的对立事件.若PaB)= 0 P(AB)=P(AB),则P(A)= .u.c.D. 1 3 答案：D 解析：由题意可知A与B,A与B,A与B均相互独立.从而Q-P41-P(B》=4 1-P(A)P(B)=P(4A-P(B).从而P④=P(B)=1，故选D. 7.己知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E为PA中点，点F满足 P原-号C,点Q满足PQ-PD.若B,且，卫Q四点共面，则k- 答案：C. 解析：由题意可知AC=AB+AD,即PC-PA=PB-PA+PD-PA,整理得 成=21+P心PD2P递+P丽0.由B,,P,Q四点共面可知2+21，解细 2 k k一子故选C 8.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级 参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为8，样本方差为4，且样本数据互相 不相同，则样本数据中的最大值为 A.10B.11C.12D.13 答案：B. 解析：设这5个班参加书法小组的人数从小到大依次为x,x,x3x4,为·记y=飞一8 (i=1,2,3,4,5),则为+y2+y3+y4+=0,42+y2+y32+y42+y2=20,且 ,乃，y4,y,为互不相等的整数.显然y,≤4，否则y2≥25不符合题意.如果以，=4， 则有片+%十为十y4=-4且y2+y2+32+y42=4,只能有片=为2=为=y4=-1,矛 盾.另一方面，由于y4≤”-1，为≤为-2，为≤y-3,4≤为-4，所以 5y-10≥0，y=2.但y=2时上述各不等式等号成立，只能有4=-2，=-1， 3=0,y4=1,与y2+为2+2+y42+y2=20矛盾.因此y=3,且4=-3， %=-1,y3=0,4=1,y=3时所有条件均满足.因此x=y+8=11,故选B. 9.已知向量a=(1-1,),b=(-2,m-1,2),则 A.若|a=2,则m=±√2B.若a⊥五，则m=-1C.a与b一定不共线D.若 a.b=-1,则a+b=(-1,-2,2) 答案：ACD 解析：对于A,由a=V2+(-)+m=4得m=士2，所以A正确.对于B,由 a.方=-2-m-1)+2m=0得m=1,所以B不正确.对于C,若存在keR使得b=ka, 则-2=k,m-1=-k,2=不可能同时成立，所以C正确.对于D,由 a.6=m-1=-1得m=0,a+方=(-1，-2,2)，所以D正确.故选ACD. 10.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方体的顶点， 则满足MN⊥OP的有 0 B M C 0 答案：BC 解析：不妨设正方体棱长为2，建立空间直角坐标系可知对于A,MN=(-2,2,0), OP=(-1,11),MN.OP=4,所以A不正确.对于B,M=(-2,0,2),OP=1,-1,1), MN.OP=0,所以B正确.对于C,M=(-2,0,-2),OP=(-1,-1,1),N.OP=0, 所以C正确.对于D,N=(0,-2,2),OP=1,0,2),M.OP=4,所以D不正确.故 选BC. 11.设样本空间2=L,2,3,4,5,6,7,8},每个样本点等可能出现.已知事件A={1,2,5,8}, B={2,3,5,7},事件C同时满足：①P(ABC)=P(A)P(B)P(C),②P(AC)≠P(A)P(C), 则 A.事件C可以为L,2,7,8}B.事件(ABC)包含的样本点数可能是2C.事件(AC)包含的样 本点数可能是1D.事件C可能的情况是8种 答案：AC 解析：由题意可知AB={2,5},P40=P(B)=.对于A,当C=2,7,8时，P(C)= 2 ABC=2,AC=1,28,PABC=。,P4CO)=3满足题意，所以A正确.对于B, ,即 由①可知ABC-1×Q，即nABC三1C).由②可知4C9≠xC9m 8228 82 8 MAC)≠C).若(1BC)=2,则m9=8,故C=2.因此AC=A,M1C)=4不满 足题意，所以B不正确，对于C,取C=2467》,则ABc=4C=,P9= 4BC=PAC9二3满足题意，所以C正确.对于D,由②可知C≠⊙， P(AC)=P(4)P(C)=0.由B可知n(C)是4的倍数且C≠2，所以n(C)=4,从而 Pg)号山0可知P4a)日所以M0)-1.由@可知4)二京所以 (AC)≠2.由此可知2和5有且只有一个属于C,因此n(AC)=1或3.如果n(AC)=1, 则满足条件的C可能是由{2,5}中的1个数和3,4,6,7}中的3个数构成的集合，有 {2,3,4,6,{2,3,4,7},{2,3,6,7},{2,4,6,7},3,4,5,6}，{3,4,5,7},{3,5,6,7), {4,5,6,7}共8种可能；如果(AC)=3,则C只可能由{2,5}中的1个数与{3,4,6,7}中的1个 数及1和8构成的集合，有{1,2,3,8}，{1,2,4,8}，{1,2,6,8}，{1,2,7,8}，{1,3,5,8}， 1,4,5,8},{L,5,6,8,{1,5,7,8}共8种可能.因此C的可能情况有16种，所以D不正 确.故选AC. 12.已知某学校高一年级有600人，现由按比例分配分层抽样的方法从该学校抽取一个容 量为200的样本，其中高一年级抽取了80人，则该学校的学生总共有人. 答案：1500 解析：设该学校总共有n人，则200-80，解得n=1500. n600 13.空间直角坐标系0-z中，向量=1,1,0)，b=1,0,1),c=(0,1,1),将向量 =(5,6,)表示为l=xa+yb+zc,则有序实数组(x,y,z)等于 答案：(2,3,4). 解析：由题意，x十y=5,x+z=6,y+z=7,解得(x,y,z)=(2,3,4). 14.设A,B是丙个随机率件，且P-子P)-子则P调的取值范围 是 答案： 合 解析：由于P心≤P)-子当ACB时等号成立.而 5 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)≤1，故P(AB)≥P(A)+P(B)-1= 12 当AUB为必然事 件时行号成立。因此4的取值范调是品 15.设A(0,2,0),B(2,0,2),C(0,1,2)是空间中的三个点. (1)求coS∠BAC; (2)求点C到直线AB的距离. 解：(1)由题意可知AB=(2,-2,2),AC=(0,-1,2),所以 Cos∠BAC=AB.AC 6V15 1AB11AC2W3.V5=5 (2)由(1)可知sin∠BAC=0 一，所以C到直线AB的距离等于 |AC1m∠BAC=5.=2. 5 16.某小区有1000户居民，从中随机抽取了100户居民进行月用电量进行了调查.根据调 查数据，绘制了如下的频率分布直方图.因保管不善，图中有一处数据受到污损，记为 x. (1)为了了解用电量较多的住户的实际情况，计划从样本中的100户居民中月用电量在 [300,350]间的住户中随机抽取2户作进一步调查.若样本中的甲、乙两户居民的月用电量 在[300,350]间，求这两户中至少有一户被选中的概率； (2)根据直方图估计该小区一个月的总用电量（各组数据以该组区间中点值作代表，不计 小区的公共设施的用电量). 频率小 组距 0.0060 0.0036 0.0024 0.0012 050100150200250300350月用电量/度 解：(1)样本中月用电量[300,500]的住户共有50×0.0012×100=6户.将这6户居民记为 4,4,马，4,4,4，其中4,42分别代表甲乙两户.将选取的两户居民记为(4,4) （i,j∈{1,2,3,4,5,6})， 则样本空间2={(a,☑)，(a,a),(a,a4,(a,4),(q,4),(a,4),(a,a4),(a4,4),(4,4), (4,a),(a,4),(a,4),(a4,4),(a4,4),(a,4)}.记“甲乙两户至少有一户被选中”为事件 A，则A={(a,a),(4,a),(4,44),(a,4),(a,a6),(a,4),(a,a4),(a,a),(a,4)}. 因此P(4)=4=9_3 (2)1551 (2)由题意，50(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)=1,解得x=0.0044.因 此可估计小区内每一户的平均用电量为50×(75×0.0024+125×0.0036+175×0.0060 +225×0.0044+275×0.0024+325×0.0012)=186(度).因此整个小区每月的用电量的估 计值为186×1000=186000（度） 17.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,且PA=2AB. (1D)设E是棱PA上一点，且PC∥平面BD,求的值： EA (2)过A作AF⊥PD于F,求直线AC与平面ABF所成的角的正弦值， 解：(1)连接AC与BD交于点O,则O是AC的中点.连 接EO,由PC∥平面EBD有PC∥EO.所以E是PA的中 点，即E-1. EA (2)由于AB⊥平面PAD,所以AB⊥PD.而 AF∩AB=A,所以PD⊥平面ABF.如图建立空间直角 坐标系A-BDP,设AB=1,则AC=1,1,O),平面ABF 的法向量为PD=(0,1,-2).又因为 cos <AC,PD>= 10 所以AC与平面 √21+(-2)2 10 ABF所成的角的正弦值等于0 10 18.甲、乙、丙三人相互进行羽毛球比赛，假设任意两人进行的比赛相互胜率各场比赛均 保持不变，且不同场次的比赛的胜率相互独立.己知甲两场比赛连续战胜乙和丙的概率是 立乙两场比赛连续战E甲和丙的离率是兮，面乙和丙相五之同的比赛两人隆率各为片 (1)分别求一场比赛中甲战胜乙的概率和甲战胜丙的概率： (2)现规定比赛顺序：第一场甲对乙，第二场是第一场中的胜者对丙，第三场是第二场中 的胜者对第一场中的败者，当n≥3时，第n场比赛都是第n-1场中的胜者对第n-2场中 的败者，约定某人连胜四场则比赛结束.求比赛结束时总共的场数不超过5场的概率. (注：羽毛球比赛没有平局.) 解：(1)设每一场比赛中甲战胜乙的概率为乃，甲战胜丙的概率为P,,乙战胜丙的概率为 么=片则由塑玄有BA=立Q-AA=背解得A=有A-牙即一场比赛中甲 1 战胜乙的概率为}，甲战胜丙的概率为} 3 4 (2)总共比赛4场就结束的情况分为从第1场起甲连胜4场和乙连胜4场两种，总共比赛 5结束只会出现在第2场丙上场后连胜4场（无论第1场比赛的结果如何）情况，将这三种 情况依次记为事件A,B,C,显然A,B,C互斥.由(1)的结果可 11111 P(A)=二xx二x= 21211 31x3×1-9.所 PB)=x-xx-=P(C)=1X-X-x-x- 32329 424264 以比赛总场数不超过5场的概率等于，1+1+9-149 于14+g+64=5761 19.如图，三棱锥P-ABC的底面ABC是等腰直角三 角形，且AB=AC=PC=1,∠APC=30°. (1)当PC⊥AB时，设三棱锥P-ABC的各个顶点都 在球心为O的球上. (i)证明：平面PAC⊥平面ABC: (i)求球O的半径： (2)求二面角A-PC-B的余弦值的最小值. 解：(1)(i)由题意，AB⊥AC,AB⊥PC,而 AC∩PC=C,所以AB⊥平面PAC.而ABC平面 ABC,所以平面PAC⊥平面ABC. (ii)过A作AZ⊥平面ABC,建立空间直角坐标系A-BCZ(如图)，则A(O,0,0), B0Q,0),c0.L0,由（①可知P0,2,Y5.由于四面体P-ABC的外接球球心O在平 面ABC上的射影是△4BC的外心，于是可设o),由A0HPO,可得 子++f-日+110-号，解得1源从面球0的半径签于 2 2》由《)可设子0，其中mi=子则务，m∈(5且 2’2 m≠0.由AC=Q10,C元-m子m,BC-(-1,1.0,可取平面ACP的法向量 =(n,0,-m),平面BCP的法向量=(21,2，-2-1).设二面角A-PC-B的大小为 0,易知6(0，则cos0= |2n+2m2+m 3十 一.设 +++DB好+m- )+m=4,则c0s8白 由于u>0,所以 7 V3.√-2+4u-2 2 2 1 1 c0S0= 2+4-15-2-+1 因当u=山，即m-时，三面角APC8的余弦值取最小，为9 3 成都石室中学2026～2027学年度上期高2028届定时练习 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号写在答题卷上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上的无效． 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．如图是某市某年10月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数不大于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染．若某人随机选择10月1日至14日中某一天到达该市，则到达之日空气严重污染的概率是 A． B． C． D． 2． 将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字）连续抛掷两次，观察并记录，得到两次向下的面上的数字分别为，，则的概率为 A． B． C． D． 3．某高校名毕业生的起始月薪分别为（单位：元），，，，，，，，，，，，则第百分位数是 A． B． C． D． 4．为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，每个被调查者接受调查前会被告知自己的编号．调查人员向被调查者提出两个问题：（1）你的编号是奇数吗？（2）在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷质地均匀的一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．结果被调查的800人（编号从1至800）中有240人回答了“是”．由此可以估计这800人中闯过红灯的人数是 A．40人 B．80人 C．160人 D．200人 5．如图，空间四边形中，和均与垂直．若，，，，则异面直线与所成的角等于 A． B． C． D． 6．已知随机事件，相互独立，，分别为，的对立事件．若，，则 A． B． C． D． 7．已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为中点，点满足，点满足．若四点共面，则 A． B． C． D． 8． 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为8，样本方差为，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 A． B． C． D． 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则 A．若，则 B．若，则 C．与一定不共线 D．若，则 10．如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点，则满足的有 A． B． C． D． 11．设样本空间，每个样本点等可能出现．已知事件，，事件同时满足：①，②，则 A．事件可以为 B．事件包含的样本点数可能是 C．事件包含的样本点数可能是 D．事件可能的情况数是种 第II卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．已知某学校高一年级有人．现由按比例分配分层抽样的方法从该学校抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取了人，则该学校的学生总共有 人． 13．空间直角坐标系中，向量，，，将向量表示为，则有序实数组等于 ． 14．设，是两个随机事件，且，，则的取值范围是 ． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）设，，是空间中的三个点． （1）求； （2）求点到直线的距离． 16．（本小题15分）某小区有户居民，从中随机抽取了户居民进行月用电量进行了调查．根据调查数据，绘制了如下的频率分布直方图．因保管不善，图中有一处数据受到污损，记为． （1）为了了解用电量较多的住户的实际情况，计划从样本中的户居民中月用电量在间的住户中随机抽取户作进一步调查．若样本中的甲、乙两户居民的月用电量在间，求这两户中至少有一户被选中的概率； （2）根据直方图估计该小区一个月的总用电量（各组数据以该组区间中点值作代表，不计小区的公共设施的用电量）． 17．（本小题15分）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，且． （1）设是棱上一点，且平面，求的值； （2）过作于，求直线与平面所成的角的正弦值． 18．（本小题17分）甲、乙、丙三人相互进行羽毛球比赛，假设任意两人进行的比赛相互胜率各场比赛均保持不变，且不同场次的比赛的胜率相互独立．已知甲两场比赛连续战胜乙和丙的概率是，乙两场比赛连续战胜甲和丙的概率是，而乙和丙相互之间的比赛两人胜率各为．（注：羽毛球比赛没有平局．） （1）分别求一场比赛中甲战胜乙的概率和甲战胜丙的概率； （2）现规定比赛顺序：第一场甲对乙，第二场是第一场中的胜者对丙，第三场是第二场中的胜者对第一场中的败者．当时，第场比赛都是第场中的胜者对第场中的败者，约定某人连胜四场则比赛结束．求比赛结束时总共的场数不超过场的概率． 19．（本小题17分）如图，三棱锥的底面是等腰直角三角形，且，． （1）当时，设三棱锥的各个顶点都在球心为的球上． （i）证明：平面平面； （ii）求球的半径； （2）求二面角的余弦值的最小值． 第1页 共4页 命题人：江泓、李高洁、李仕斌 审题人：张丹 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室中学2026～2027学年度上期高2028届定时练习 数学答题卡 ( 贴 条 形 码 区 （正面朝上切勿贴出虚线框外） )姓名 班级 考号 注 意 事 项 1.答题前先将姓名、班级、考号填写清楚。 2.选择题用2B铅笔将对应题目的答案标号涂黑。 3.非选择题使用黑色字迹签字笔书写，笔迹清楚。 4.保持卡面清洁，严禁折叠，严禁做标记。 填 涂 样 例 正确填涂 错误填涂 缺 考 （考生 禁填） 第Ⅰ卷 选择题 （共58分） 一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 5 2 6 3 7 4 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9 10 11 第Ⅱ卷 非选择题 （共92分） 二、填空题 （共15分） 12. 13. 14. 三、解答题 （共77分） 15.（13分） 15（续） 16（15分） 17（15分） 18（17分） 18（续） 19（17分） 19（续） 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 成都石室中学2026～2027学年度上期高2028届定时练习数学双向细目表 题号 题型 分值 难度预估 具体内容 能力层次 了解 理解 掌握 1 单项选择题 5 0.98 统计图表识别 √ 2 单项选择题 5 0.95 古典概型 √ 3 单项选择题 5 0.95 百分位数 √ 4 单项选择题 5 0.9 用样本估计总体 √ 5 单项选择题 5 0.85 异面直线所成的角 √ 6 单项选择题 5 0.8 事件的独立性 √ 7 单项选择题 5 0.7 空间向量基本定理 √ 8 单项选择题 5 0.6 平均数与方差 √ 9 多项选择题 6 0.9 空间向量的坐标运算 √ 10 多项选择题 6 0.85 直线与直线垂直 √ 11 多项选择题 6 0.5 随机事件的运算 √ 12 填空题 5 0.95 分层抽样 √ 13 填空题 5 0.7 空间向量的坐标运算 √ 14 填空题 5 0.5 概率的性质 √ 15（1） 解答题 6 0.95 空间向量的数量积 √ 15（2） 解答题 7 0.9 点到直线的距离 √ 16（1） 解答题 7 0.85 古典概型 √ 16（2） 解答题 8 0.7 用样本估计总体 √ 17（1） 解答题 6 0.8 直线与平面平行 √ 17（2） 解答题 9 0.7 直线与平面所成的角 √ 18（1） 解答题 8 0.8 事件的独立性 √ 18（2） 解答题 9 0.45 随机事件的概率 √ 19（1） 解答题 3 0.8 平面与平面垂直 √ 19（2） 解答题 4 0.6 三棱锥的外接球 √ 19（3） 解答题 10 0.3 二面角 √ Sheet2 $成都石室中学2026~2027学年度上期高2028届定时练习 数学试卷 (满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，只将答题卷交回) 注意事项： 1.答第I卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号写在答题卷上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上的无效 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的. 1.如图是某市某年10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于100表示 空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.若某人随机选择10月1日至 14日中某一天到达该市，则到达之日空气严重污染的概率是 250 空气质量指 220 200 160 160 150------ 143 100 86- 50 57 25 40 37 01日2日3拍4日5泊6由7有8白有01白2白4组产日期 A.1 B. 1 c.3 14 7 14 D月 2.将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字1,2,3,4）连续抛掷两次，观察并 记录，得到两次向下的面上的数字分别为：，x3,则x1十x3=4的概率为 A.3 16 B C. 5 D.3 16 8 3.某高校12名毕业生的起始月薪分别为（单位：元)6710,6755,7050,7850， 8050,8755,9130,9325,9880,9920,10200,10500,则第80百分位数是 A.9325 B.9880 C.9920 D.10200 4.为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如 下的随机调查，每个被调查者接受调查前会被告知自己的编号.调查人员向被调查者提出 两个问题：(1)你的编号是奇数吗？(2)在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对 着调查人员抛掷质地均匀的一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第 二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不 是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答.结果被调查的 800人（编号从1至800）中有240人回答了“是”.由此可以估计这800人中闯过红灯的 人数是 A.40人 B.80人 C.160人 D.200人 第1页共4页命题人：江泓、李高洁、李仕斌审题人：张丹 5.如图，空间四边形ABCD中，BC和AD均与AB垂直.若AB=I, BC=2,AD=3,CD=2√2，则异面直线BC与AD所成的角等于 A.309 B.459 C.60 D.909 6.已知随机事件A,B相互独立，A,B分别为A,B的对立事件.若 Pa)-青P(i=P(4),则PW- A.4 82 3 c. 9 D. 3 7.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E为PA中点，点F满足 Pi=PC,点2满足P2=kPD.若BB,R,Q四点共面，则k= 3 a月 B u月 8.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级 参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为8，样本方差为4，且样本数据互相 不相同，则样本数据中的最大值为 A.10 B.11 C.12 D.13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,-1,2),则 A.若|a=2,则m=士√2 B.若a⊥，则m=-1 c.a与b一定不共线 D.若a.b=-1,则a+b=(-1,-2,2) 10.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方体的顶点， 则满足MN⊥OP的有 B D. 11.设样本空间2={1,2,3,4,5,6,7,8}，每个样本点等可能出现.己知事件A=1,2,5,8}, B={2,3,5,7},事件C同时满足：①P(ABC)=P(A)P(B)P(C),②P(AC)≠P(A)P(C), 则 A.事件C可以为{1,2,7,8} B.事件(ABC)包含的样本点数可能是2 C.事件(AC)包含的样本点数可能是1D.事件C可能的情况数是8种 第2页共4页命题人：江泓、李高洁、李仕斌审题人：张丹 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12.己知某学校高一年级有600人，现由按比例分配分层抽样的方法从该学校抽取一个容 量为200的样本，其中高一年级抽取了80人，则该学校的学生总共有 人 13.空间直角坐标系0-z中，向量=1,1,0)，b=1,0,1),c=(0,1,1),将向量 u=(5,6,)表示为u=x1+yb+zC,则有序实数组(x,y,z)等于 14.设A,B是两个随机事件，且P(④=名，P(B)=3,则P(AB)的取值范围 2 是 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分)设A(0,2,0),B(2,0,2),C(0,1,2)是空间中的三个点 (1)求coS∠BAC; (2)求点C到直线AB的距离. 16.(本小题15分)某小区有1000户居民，从中随机抽取了100户居民进行月用电量进行 了调查.根据调查数据，绘制了如下的频率分布直方图.因保管不善，图中有一处数据受 到污损，记为x. (1)为了了解用电量较多的住户的实际情况，计划从样本中的100户居民中月用电量在 [300,350]间的住户中随机抽取2户作进一步调查.若样本中的甲、乙两户居民的月用电量 在[300,350]间，求这两户中至少有一户被选中的概率： (2)根据直方图估计该小区一个月的总用电量（各组数据以该组区间中点值作代表，不计 小区的公共设施的用电量). 频率 组距 0.0060 0.0036 0.0024 0.0012 050100150200250300350月用电量/度 第3页共4页命题人：江泓、李高洁、李仕斌审题人：张丹 17.(本小题15分)如图，四棱锥P一ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD, 且PA=2AB ①)设E是棱PA上一点，且PC/平面BD,求的 (2)过A作AF⊥PD于F,求直线AC与平面ABF所成的角的正弦值. 万 C 18.(本小题17分)甲、乙、丙三人相互进行羽毛球比赛，假设任意两人进行的比赛相互 胜率各场比赛均保持不变，且不同场次的比赛的胜率相互独立.己知甲两场比赛连续战胜 乙和丙的概率是}，乙两场比赛连续战胜甲和丙的概率是}，而乙和丙相互之间的比赛两 12 3 人胜率各为《注：羽毛球比赛设有平局.) (1)分别求一场比赛中甲战胜乙的概率和甲战胜丙的概率： (2)现规定比赛顺序：第一场甲对乙，第二场是第一场中的胜者对丙，第三场是第二场中 的胜者对第一场中的败者.当n≥3时，第n场比赛都是第n-1场中的胜者对第n-2场中 的败者，约定某人连胜四场则比赛结束.求比赛结束时总共的场数不超过5场的概率. 19.(本小题17分)如图，三棱锥P-ABC的底面ABC是等腰直角三角形，且 AB=AC=PC=1,∠APC=30°. (1)当PC⊥AB时，设三棱锥P-ABC的各个顶点都在球心为O的球上. (i)证明：平面PAC⊥平面ABC: (ii)求球O的半径； (2)求二面角A-PC-B的余弦值的最小值： 第4页共4页命题人：江泓、李高洁、李仕斌审题人：张丹 成都石室中学2026～2027学年度上期高2028届定时练习 数学参考答案 1．B．2．A．3．C．4．B．5．C．6．D．7．C．8．B．9．ACD．10．BC．11．AC． 12．．13．．14．． 15．解：（1）由题意可知，，（3分） 所以．（6分） （2）由（1）可知，（9分） 所以到直线的距离等于．（13分） 16．解：（1）样本中月用电量的住户共有户．（2分） 将这户居民记为，其中分别代表甲乙两户．将选取的两户居民记为（）， 则样本空间 ．（4分） 记“甲乙两户至少有一户被选中”为事件，则． 因此．（7分） （2）由题意，，解得．（10分） 因此可估计小区内每一户的平均用电量为 （度）．（13分） 因此整个小区每月的用电量的估计值为（度）（15分） 17．解：（1）连接与交于点，则是的中点．连接，由平面有．（3分） 所以是的中点，即．（6分） （2）由于平面，所以．而，所以平面．（9分） 如图建立空间直角坐标系，设，则，平面的法向量为．（12分） 又因为，（14分） 所以与平面所成的角的正弦值等于．（15分） 18．解：（1）设每一场比赛中甲战胜乙的概率为，甲战胜丙的概率为，乙战胜丙的概率为，则由题意有，．（4分） 解得，，即一场比赛中甲战胜乙的概率为，甲战胜丙的概率为．（8分） （2）总共比赛场就结束的情况分为从第场起甲连胜场和乙连胜场两种，总共比赛结束只会出现在第场丙上场后连胜场（无论第场比赛的结果如何）情况．将这三种情况依次记为事件，显然互斥．（10分） 由（1）的结果可知，，（12分）．（15分） 所以比赛总场数不超过场的概率等于．（17分） 19．解：（1）（i）由题意，，，而，所以平面．而平面，所以平面平面．（3分） （ii）过作平面，建立空间直角坐标系（如图），则，，，由（i）可知．由于四面体的外接球球心在平面上的射影是的外心，（5分） 于是可设．由，可得，解得．从而球的半径等于．（7分） （2）由（1）可设，其中，则，且．（9分） 由，，，可取平面的法向量，平面的法向量．（11分） 设二面角的大小为，易知，则．（13分） 设，则．（15分） 由于，所以． 因此当，即时，二面角的余弦值取最小，为．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $S0000959330 2026-2027学年度上期高2028届定时练习 数学答题卷 考号： 姓名： 缺考：【] 班级： 考场： 粘贴条形码区 (正面朝上切勿贴出虚线外，切勿倾斜。) 考号： 注意事项 正确填涂：□ 1.请将姓名等写在对应的区域。 错误填涂：M【●】 2.选择题用2B铅笔填涂，修改橡皮擦干净。 3.非选择题用黑色签字笔书写！ 4.区域内作答，答题卡虚线外禁止涂写。 一、单项选择题本小题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题自要求的。 1[A][B][c][D] 5A][B][c][D] 2[AJ[B][C][D] 6[AJ[B][c][D] 3[A][B][c][D] 7[A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][c][D] 二、多项选择题本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多符 合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9[A][B][C][D] 10[A][B][c][D] 11[A][B][c][D] 三、填空题（共15分） 12 13 14 四、解答题（共77分） 15(13分) 2026-2027学年度上期高2028届定时练习数学答题卷第1页（共2页） ■ 口 S0000959331 ■ 17(15分) ------------------------- ■ ! ■ 18(17分) 2026-2027学年度上期高2028届定时练习数学答题卷第2页（共2页） 19(17分) ■ ■