精品解析：江苏省华罗庚中学2026-2027学年高一上学期阶段性练习（重点班）数学试卷

华罗庚中学高一年级数学阶段性练习（重点班） 2026.10 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题：，则命题为（ ） A. B. C. D. 3. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 5. 若“”是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是方程的两个根，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 设集合，或，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设全集，集合，，若，，，则（ ） A. B. C. 真子集的个数31 D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“”的否定是“” C. 的充要条件是 D. 若，则至少有一个大于1 11. 已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 牛栏山一中高一年级某班有学生人，其中音乐爱好者人，体育爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有______人． 13. 已知p：x＞m＋3或x＜m，q：－4＜x＜1，且p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是________________________． 14. 已知，且，则的最小值为_________． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知命题：对,都有成立；命题：关于的方程有实数根. （1）若命题为真，求实数的取值范围； （2）若与有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 17. 某地为助力乡村振兴，把特色养殖确定为特色主导产业，现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为x米，如下图所示． （1）用x表示两个养殖池的总面积y，并求出x的取值范围； （2）当温室的边长x取何值时，总面积y最大？最大值是多少？ 18. （1）已知正数a，b满足 （i）求ab的最大值； （ii）求的最小值. （2）若关于的方程有两个正实数根，求的最小值. 19. 设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）已知函数，，解关于的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华罗庚中学高一年级数学阶段性练习（重点班） 2026.10 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义可得正确的选项. 【详解】， 故选：D. 2. 若命题：，则命题为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，写出结论即可. 【详解】命题是一个存在性命题，说明存在使的正数， 则它的否定是：不存在使的正数， 即对任意的正数都不能成立， 由以上的分析，可得为：， 故选：C. 3. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个选项推导或举反例判断即可. 【详解】对A，若，，则，故A错误； 对B，若，则，但，故B错误； 对C，若，则，但，故C错误； 对D，若，则，故，即，故D正确. 故选：D 4. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 【答案】D 【解析】 【分析】若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a＝0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围． 【详解】解：由题意可得，集合A为单元素集， （1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，， （2）当a≠0时 则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1， 当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，， 当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，． 综上所述，a的取值为﹣1，0，1． 故选：D． 5. 若“”是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把命题进行否定，根据题意命题的否定为真命题，再分两种情况讨论即可. 【详解】是假命题，那么它的否定是真命题， 当时，恒成立； 当时，对任意，恒成立，则开口向上且判别式，即，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：. 6. 已知是方程的两个根，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用韦达定理得到，结合，即可求解. 【详解】因为是方程的两个根，可得， 则. 故选：A. 7. 设集合，或，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件按集合A是否为空集两类列式计算得解. 【详解】因集合， 若，有，解得，此时，于是得， 若，因或，则由得：，解得：， 综上得：， 所以实数的取值范围为. 故选：A 8. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案. 【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”. 所以，即实数a的最小值为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设全集，集合，，若，，，则（ ） A. B. C. 真子集的个数31 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，作出韦恩图，结合图形可得集合A、B，根据真子集的定义和并集的定义与运算即可判断CD. 【详解】由题意知， 作出韦恩图，如图， 由图可知，故A正确，B错误； 所以集合的真子集个数为个，故C正确； ，故，故D正确. 故选：ACD 10. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“”的否定是“” C. 的充要条件是 D. 若，则至少有一个大于1 【答案】BD 【解析】 【分析】根据必要条件与充分条件的概念、全称量词的否定、不等式的性质依次判定即可. 【详解】对于A选项，若则得不到，故不是充分条件； 对于B选项，由全称量词的否定可判断其正确； 对于C选项，若则得不到，故不是充要条件，C选项错误； 对于D选项，若均不大于1，则，故至少有一个大于1，故D选项正确； 故选：BD. 11. 已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】依题意可得和为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到，即可得到，从而判断A；再利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以和为关于的方程的两根且， 所以，所以，所以，故A正确； 又，所以，解得，当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C正确； 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 牛栏山一中高一年级某班有学生人，其中音乐爱好者人，体育爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有______人． 【答案】 【解析】 【分析】运用集合间关系即可得出结果. 【详解】 由题意作出Venn图，从而求解人数， 设这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有人， 则可得，，解得，， 即这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有人， 故答案为：. 13. 已知p：x＞m＋3或x＜m，q：－4＜x＜1，且p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是________________________． 【答案】 【解析】 【分析】由命题q中变量的取值集合是命题p中变量的取值集合的真子集，再根据集合关系求解即可 【详解】因为p是q的必要而不充分条件， 所以命题q中变量的取值集合是命题p中变量的取值集合的真子集， 即或， 故或 故答案为：或 14. 已知，且，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，当时，写出集合，利用补集和交集的定义可得出集合； （2）由题意可得，分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，则或， 当时，， 此时或. 【小问2详解】 因为，则. 当时，，解得； 当时，，解得， 由可得，解得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知命题：对,都有成立；命题：关于的方程有实数根. （1）若命题为真，求实数的取值范围； （2）若与有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或或. 【解析】 【分析】（1）分讨论求出命题为真命题参数的范围； （2）命题， 一真一假，再分真且假，和真且假两种情况分别求出参数的范围，再综合得到答案. 【小问1详解】 命题为真命题：对任意实数都有恒成立， 当时，恒成立，当时，则，即，解得， 综上的取值范围为. 【小问2详解】 若为真命题，则，解得或， 若真假，则，则， 若假真，则，则或， 综上，或或. 17. 某地为助力乡村振兴，把特色养殖确定为特色主导产业，现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为x米，如下图所示． （1）用x表示两个养殖池的总面积y，并求出x的取值范围； （2）当温室的边长x取何值时，总面积y最大？最大值是多少？ 【答案】（1）， （2）30米， 1215平方米． 【解析】 【分析】（1）根据题意求出矩形养殖场的长和宽，即可求得面积的表达式，继而求得x的取值范围； （2）结合y的表达式，利用基本不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 依题意设温室的一边长度为x米，得温室的另一边长为米， 则矩形养殖池长为米，宽为米， 因此养殖池的总面积， 因为， 所以，所以取值范围为． 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时上式等号成立， 当温室的边长为30米时，总面积取最大值为1215平方米． 18. （1）已知正数a，b满足 （i）求ab的最大值； （ii）求的最小值. （2）若关于的方程有两个正实数根，求的最小值. 【答案】（1）（i）2；（ii）；（2）6. 【解析】 【分析】（1）（i）（ii）根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用求出最值. （2）根据给定条件，利用韦达定理及根的判别式求得，再将用表示出，并利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）（i）正数满足，则，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值2. （ii）， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. （2）由方程有两个正实根， 得， 解得， ，当，即时取等号， 所以当时，取得最小值6. 19. 设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）已知函数，，解关于的不等式． 【答案】（1） （2） （3）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【小问1详解】 由题意得，，即恒成立， 当时，得，不恒成立； 当时，有，解得. 【小问2详解】 由（1）得，令，， ， 由基本不等式得，，当且仅当，，即时等号成立， 最小值为4. 【小问3详解】 由题意得， ，整理得，即 当时，，解得； 当时，有两根：， 当，，解得或； 当， 时，，解得； 时，无解； 时，，解得； 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $