四川省渠县中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

四川省达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列说法不正确的是（　　） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．菱形的对角线互相垂直 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 2．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+2x＝x2﹣1 C．x＝2 D．（x﹣1）（x﹣3）＝0 3．已知m，n，p，q是成比例线段，其中m＝2cm，p＝5cm，q＝10cm，则n的值为（　　） A．4cm B． C．5cm D． 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝2，若AB＝2，则BD的长为（　　） A． B． C．2 D．4 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，AB＝9，则线段AD长为（　　） A．2 B． C．3 D． 6．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，若AB＝10，AE＝3，则ED的长度为（　　） A．7 B．2 C． D． 7．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程x2+8x＝48为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4×22＝64，则该方程的正数解为8﹣2×2＝4．小美尝试用此方法解关于x的方程x2+12x+c＝0，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程x2+12x+c＝0的正数解是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B均在x轴上，点D在y轴上，点C在第一象限，已知点A坐标为（﹣3，0），点D坐标为（0，4），点P是直线BD上一动点，则AP+OP的最小值为（　　） A． B． C． D．5 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若，则　　 ． 10．若关于x的方程（x﹣1）2＝k没有实数根，则k的取值范围为　 ． 11．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AB于点E，F是线段AD的中点，连接OF．若OA＝4，，则DE的长为　　 ． 12．设a，b是方程x2+x﹣2036＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为　　 ． 13．如图，四边形ABCD是边长为3的菱形，对角线AC+BD＝8，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD中点，顺次连接E，F，G，H．则四边形EFGH的面积为 　　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）解方程：（1）x2﹣6x+5＝0． （2）2x2＝3（2x+1）． 15．（8分）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，若DE＝AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）若BC＝5，AB＝3，求▱ABCD的面积． 16．（10分）某网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售192袋，三、四月份该商品十分畅销，销售量持续增长，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋． （1）求该网店三、四两个月销售量的月平均增长率． （2）已知该农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元．该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销售量的基础上，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加20袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利3250元？ 17．（10分）【问题情境】已知四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一动点（不与点A，C重合），连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，CG恰好垂直于AC． （1）【基础探究】如图1，求证：矩形DEFG是正方形； （2）【拓展迁移】如图2，已知正方形ABCD的边长为，当∠ADE＝30°时，求CG的长． 18．（12分）【问题情境】已知在四边形ABCD中，E为边AD上一点（不与点A，D重合），连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，点A的对应点为点F． （1）【问题解决】如图1，若四边形ABCD是正方形，点F落在对角线BD上，连接AF并延长交CD于点G．求∠DGA的度数； （2）【拓展变式】如图2，若四边形ABCD是矩形，点F恰好落在AB的垂直平分线MN上，MN与BE交于点O．求证：FO＝2MO； （3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB＝8，∠ABC＝60°，点F落在线段BC上，连接AC，DF，DH，AC与BE交于点H，AC与DF交于点G，求HD的长度． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为10cm，四个黄金分割点组成的正方形的边长为_________-． 20．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是 　　 ． 21．已知a，b是关于x的一元二次方程x2+（4k+1）x+k2+1＝0的两个实数根，且满足﹣a﹣b＝ab，则k＝　　 ． 22．如图，在▱ABCD中，点E是AD边上一点，AE：ED＝1：2，连接AC、BE交于点F．若S△AEF＝1，则S四边形CDEF＝　　 ． 23．如图，长方形ABCD中，AD＝3，AB＝5，点E是射线DC上一动点（不与C、D重合），将△DAE沿着AE所在的直线折叠得到△FAE，连接FB．当△ABF是直角三角形时，DE的长为　　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长分别是此方程的两个实数根，第三边BC长为2，当△ABC是等腰三角形时，求m的值． 25．（10分）如图，在矩形ABCD中，E点在AD边上，连接BE，CE，且∠BEC＝90°． （1）求证：△ABE∽△DEC； （2）F为BE延长线上一点，满足，连接CF交AD于点G．若AB＝2，AE＝1，求矩形ABCD面积和GD的长． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6与直线y＝2x相交于点A，与x轴交于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）点P在直线AB上，是否存在平面内一点Q，使得以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标； （3）平面内一动点C（m，n）满足n＝﹣m2+am+1（a为常数），过AC两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求a的值． 参考答案 四川省达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列说法不正确的是（　　） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．菱形的对角线互相垂直 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【解答】解：A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误，符合题意； B．菱形的对角线互相垂直，故B正确，不符合题意； C．矩形的对角线相等，故C正确，不符合题意； D．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确，不符合题意． 故选：A． 2．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+2x＝x2﹣1 C．x＝2 D．（x﹣1）（x﹣3）＝0 【解答】解：A、a＝0时是一元一次方程，故A错误； B、是一元一次方程，故B错误； C、是分式方程，故C错误； D、是一元二次方程，故D正确． 故选：D． 3．已知m，n，p，q是成比例线段，其中m＝2cm，p＝5cm，q＝10cm，则n的值为（　　） A．4cm B． C．5cm D． 【解答】解：∵m＝2cm，p＝5cm，q＝10cm， ∴， ∴n＝4cm． 故选：A． 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝2，若AB＝2，则BD的长为（　　） A． B． C．2 D．4 【解答】解：∵四边形ABCD菱形， ∴AC⊥BD， ∵AC＝AB＝2， ∴△ABC是正三角形， ∴∠BAD＝120°， ∴BO＝•AC， ∴BD＝2． 故选：C． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，AB＝9，则线段AD长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD＝∠A+∠B＝90°， ∴∠ACD＝∠B，且∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∴，且， ∴， 故选：A． 6．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，若AB＝10，AE＝3，则ED的长度为（　　） A．7 B．2 C． D． 【解答】解：如图，连接BE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝∠DAC＝45°，AB＝AD， ∵AE＝AE， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE， ∵EF⊥AB于点F，AE＝3， ∴AF＝EF＝3， ∵AB＝10， ∴BF＝7， ∴BE， ∴ED． 解法二：如图，延长GE交AD于点M． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC＝AB＝10，AD∥BC， ∵EG⊥CB， ∴EM⊥AD， ∵EF⊥AB， ∴∠EFA＝∠EMA＝∠AMN＝90°， ∴四边形AFEM是矩形， ∵∠EAF＝∠EAM＝45°， ∴EF＝EM， ∴四边形AFEM是正方形， ∵AE＝3， ∴AM＝EM＝3， ∴DM＝AB﹣AM＝7， ∴DE， 故选：C． 7．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程x2+8x＝48为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4×22＝64，则该方程的正数解为8﹣2×2＝4．小美尝试用此方法解关于x的方程x2+12x+c＝0，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程x2+12x+c＝0的正数解是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：如图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为3x的矩形， ∴四个小正方形的边长为3， 由条件可知大正方形的边长为， ∴方程的正数解是10﹣2×3＝4． 故选：A． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B均在x轴上，点D在y轴上，点C在第一象限，已知点A坐标为（﹣3，0），点D坐标为（0，4），点P是直线BD上一动点，则AP+OP的最小值为（　　） A． B． C． D．5 【解答】解：∵A（﹣3，0），D（0，4）， ∴OA＝3，OD＝4， 在直角三角形AOD中，由勾股定理得：AD5， 连接AC，交BD于点E，连接OC交BD于点F，连接AF，过C作CH⊥x轴于点H， ∴∠OHC＝∠HOD＝∠ODC＝90°， ∴四边形ODCH是矩形， ∴OD＝CH＝4，OH＝DC＝AD＝5， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝BC＝CD＝5，BD垂直平分AC， ∴AF＝FC， ∴当点P与F重合，即O、F、C三点共线时AP+OP的最小值为OC， 在Rt△OCH中，由勾股定理得：OC， ∴AP+OP的最小值为， 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若，则　　 ． 【解答】解：∵， ∴11． 故答案为：． 10．若关于x的方程（x﹣1）2＝k没有实数根，则k的取值范围为k＜0　 ． 【解答】解：（x﹣1）2＝k， x2﹣2x+1﹣k＝0， 由条件可知Δ＝（﹣2）2﹣4（1﹣k）＜0， 解得k＜0． 故答案为：k＜0． 11．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AB于点E，F是线段AD的中点，连接OF．若OA＝4，，则DE的长为　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，OA＝4， ∴AC⊥BD，AC＝2OA＝8，BD＝2OD，AB＝AD， ∵F是线段AD的中点，， ∴AD＝2OF＝5， ∴AB＝AD＝5， ∴， ∴BD＝2OD＝2×3＝6， ∵DE⊥AB， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．设a，b是方程x2+x﹣2036＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为　2035　 ． 【解答】解：由题意，∵a、b是方程x2+x﹣2036＝0的两个实数根， ∴a2+a﹣2036＝0，a+b＝﹣1， ∴a2+a＝2036， ∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2036+（﹣1）＝2035． 故答案为：2035． 13．如图，四边形ABCD是边长为3的菱形，对角线AC+BD＝8，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD中点，顺次连接E，F，G，H．则四边形EFGH的面积为 　3.5　 ． 【解答】解：设菱形ABCD的对角线的交点为O， ∴，，AC⊥BD， ∴，即AC2+BD2＝36， ∵AC+BD＝8， ∴AC2+BD2+2AC×BD＝64， ∴AC×BD＝14， ∵点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD中点， ∴，EH∥BD，，EF∥AC， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴EF⊥EH， ∴四边形EFGH为矩形， ∴四边形EFGH的面积为， 故答案为：3.5． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）解方程：（1）x2﹣6x+5＝0． （2）2x2＝3（2x+1）． 【解答】解：（1）x2﹣6x+5＝0， x2﹣6x＝﹣5， x2﹣6x+32＝﹣5+32， （x﹣3）2＝4， ∴x﹣3＝±2， ∴x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2， ∴x1＝5，x2＝1． （2）2x2＝3（2x+1）， 整理得：2x2﹣6x﹣3＝0， ∵b2﹣4ac＝36﹣4×2×（﹣3）＝60＞0 ∴． ∴，． 15．（8分）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，若DE＝AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）若BC＝5，AB＝3，求▱ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，AB＝CD，AB∥CD， ∵BE＝AB， ∴BE＝CD， ∵BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∵DE＝AD， ∴DE＝BC， ∴平行四边形BECD是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形BECD是矩形， ∴∠DBE＝90°，即BD⊥AB， ∵AB＝3，AD＝BC＝5， ∴， ∴平行四边形ABCD的面积＝3×4＝12． 16．（10分）某网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售192袋，三、四月份该商品十分畅销，销售量持续增长，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋． （1）求该网店三、四两个月销售量的月平均增长率． （2）已知该农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元．该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销售量的基础上，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加20袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利3250元？ 【解答】解：（1）设该网店三、四两个月销售量的月平均增长率为x， 由题意得：192（1+x）2＝300， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为25%； （2）设当农产品每袋降价m元时，该网店五月份获利3250元， 由题意得：， 解得：m1＝5，m2＝﹣50（舍去）， 答：当农产品每袋降价5元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利3250元． 17．（10分）【问题情境】已知四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一动点（不与点A，C重合），连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，CG恰好垂直于AC． （1）【基础探究】如图1，求证：矩形DEFG是正方形； （2）【拓展迁移】如图2，已知正方形ABCD的边长为，当∠ADE＝30°时，求CG的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°． ∵四边形DEFG为矩形， ∴∠EDG＝90°． ∴∠ADC＝∠EDG＝90°． ∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC， 即∠ADE＝∠CDG． ∵CG⊥AC， ∴∠DCG＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE， ∴△DAE≌△DCG（ASA）， ∴DE＝DG， ∴矩形DEFG为正方形； （2）解：如图2，过点G作GH⊥CD于点H． ∵∠DCG＝45°， ∴△CHG是等腰直角三角形， ∴CH＝GH． 设CH＝GH＝x， 由（1）可得，△DAE≌△DCG， ∴∠ADE＝∠CDG＝30°， ∴DG＝2x，， ∴， 解得：x＝1， ∴CH＝GH＝1， ∴． 18．（12分）【问题情境】已知在四边形ABCD中，E为边AD上一点（不与点A，D重合），连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，点A的对应点为点F． （1）【问题解决】如图1，若四边形ABCD是正方形，点F落在对角线BD上，连接AF并延长交CD于点G．求∠DGA的度数； （2）【拓展变式】如图2，若四边形ABCD是矩形，点F恰好落在AB的垂直平分线MN上，MN与BE交于点O．求证：FO＝2MO； （3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB＝8，∠ABC＝60°，点F落在线段BC上，连接AC，DF，DH，AC与BE交于点H，AC与DF交于点G，求HD的长度． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，点F落在对角线BD上， ∴AB∥CD，∠ABC＝90°， ∴． ∵将△ABE沿BE折叠得到△FBE，点A的对应点为点F， ∴AB＝BF， ∴． ∵AB∥CD， ∴∠DGA＝∠BAG＝67.5°； （2）证明：如图2，MN垂直平分线段AB，连接AF， ∴，MN⊥AB，AF＝BF， 由折叠的性质可得：AB＝BF， ∴AB＝BF＝AF， ∴△ABF是等边三角形， ∴∠ABF＝∠AFB＝60°． 由折叠的性质可得：． ∵AM＝MB，AF＝FB， ∴， ∴∠FBE＝∠BFM＝30°， ∴BO＝OF． 在Rt△MBO中，∠MBO＝30°， ∴BO＝2MO， ∴FO＝2MO； （3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB＝8， ∴AD∥BC，AD＝BC＝8，CD＝AB＝4， ∴∠AEB＝∠FBE． 如图3，连接AF，HF，过点H作HI⊥FD于点I， ∵将△ABE沿BE折叠得到△FBE， ∴∠ABE＝∠FBE，AB＝BF，AE＝EF， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴AB＝AE， ∴BF＝AB＝AE＝EF＝4， ∴四边形ABFE为菱形， ∴AF与BE互相垂直平分， ∴HA＝HF， ∴∠AFH＝∠CAF． ∵∠ABC＝60°， ∴△ABF为等边三角形， ∴∠AFB＝∠BAF＝60°，AF＝BF＝AB＝4， ∴AE＝BF＝AF＝AB＝EF＝4． ∵DE＝AD﹣AE＝8﹣4＝4，CF＝BC﹣BF＝8﹣4＝4， ∴AF＝CF，DE＝BF， ∴∠ACF＝∠CAF． ∵∠AFB＝∠ACF+∠CAF＝60°， ∴∠ACF＝∠CAF＝30°， ∴∠AFH＝∠CAF＝30°． ∵AD∥BC， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∴BE∥FD． ∵AF⊥BE， ∴AF⊥FD， ∴∠AFD＝90°， ∴∠AGF＝90°﹣∠CAF＝60°，∠HFG＝90°﹣∠AFH＝60°， ∴∠AGF＝∠HFG＝60°， ∴HF＝HG， ∴△HFG为等腰三角形， 又∵∠HFG＝60°， ∴△HFG为等边三角形， ∴HF＝HG＝FG，∠FHG＝60°． ∵∠CFG＝180°﹣∠AFB﹣∠AFD＝180°﹣60°﹣90°＝30°， ∴∠ACF＝∠CFG＝30°， ∴GF＝GC， ∴． 在直角三角形ABC中，∠BAC＝∠BAF+∠CAF＝60°+30°＝90°， 由勾股定理得：， ∴． ∵HI⊥ID， ∴∠HIF＝∠HID＝90°，∠HFG＝60°， ∴∠FHI＝90°﹣∠HFG＝30°， ∴， 在直角三角形FHI中，由勾股定理得：． 在直角三角形ADF中，∠AFD＝90°， 由勾股定理得：， ∴， 在直角三角形IDH中，由勾股定理得：． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为10cm，四个黄金分割点组成的正方形的边长为　（1020）cm ． 【解答】解：如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点， ∵AB＝10cm， ∴AC＝BD5（1）cm， ∴CD＝2BD﹣AB， ∴CD＝10（1）﹣10＝（1020）cm， ∴四个黄金分割点组成的正方形的边长为（1020）cm． 故答案为：（1020）cm． 20．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是 　13　 ． 【解答】解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，BC＝8， ∴在Rt△BCE中，EMBC＝4， 在Rt△BCF中，FMBC＝4， 又∵EF＝5， ∴△EFM的周长＝EM+FM+EF＝4+4+5＝13． 21．已知a，b是关于x的一元二次方程x2+（4k+1）x+k2+1＝0的两个实数根，且满足﹣a﹣b＝ab，则k＝　4　 ． 【解答】解：∵a，b是方程x2+（4k+1）x+k2+1＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣（4k+1），ab＝k2+1， Δ＝（4k+1）2﹣4（k2+1）＝12k2+8k﹣3≥0， ∵﹣a﹣b＝ab，即﹣（a+b）＝ab， ∴4k+1＝k2+1， 解得：k＝0或k＝4， 当k＝0时，Δ＝﹣3＜0，不存在两个实数根，舍去， 当k＝4时，Δ＝221＞0，符合条件， 因此k＝4， 故答案为：4． 22．如图，在▱ABCD中，点E是AD边上一点，AE：ED＝1：2，连接AC、BE交于点F．若S△AEF＝1，则S四边形CDEF＝　11　 ． 【解答】解：∵AE：ED＝1：2， ∴AE：AD＝1：3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∴（）2， ∴S△CBF＝9×1＝9， ∵， ∴S△AFB＝3×1＝3， ∴S△ABC＝S△ADC＝3+9＝12， ∴S四边形CDEF＝S△ADC﹣S△AEF＝12﹣1＝11， 故答案为：11． 23．如图，长方形ABCD中，AD＝3，AB＝5，点E是射线DC上一动点（不与C、D重合），将△DAE沿着AE所在的直线折叠得到△FAE，连接FB．当△ABF是直角三角形时，DE的长为　1或9　 ． 【解答】解：当点E在DC的延长线上时， 如图所示：∵∠AFB＝∠BCE＝90°，AF＝AD＝BC＝3，AB＝CD＝5， ∴BF＝4， 设CE＝x，则EF＝DE＝x+5， ∴BE＝EF﹣BF＝x+1， ∵CE2+BC2＝BE2， ∴x2+32＝（x+1）2， 解得x＝4， ∴CE＝4， ∴DE＝CD+CE＝5+4＝9， 当点E在线段DC上时， 如图所示：∵∠EFA＝∠D＝∠AFB＝90°， ∴B，F，E三点共线， ∵， ∴BE＝AB＝5， ∵， ∴DE＝EF＝BE﹣BF＝5﹣4＝1； 综上所述，DE的值为1或9． 故答案为：1或9． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长分别是此方程的两个实数根，第三边BC长为2，当△ABC是等腰三角形时，求m的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×2m＝4m2﹣4m+1＝（2m﹣1）2≥0， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）解：对于一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0， 因式分解，得（x﹣2m）（x﹣1）＝0， 所以x﹣2m＝0或x﹣1＝0， 解得x＝2m或x＝1， 即AB，AC的长分别为2m，1． 分两种情况讨论： ①若AB＝BC，则2m＝2，解得m＝1， 此时三角形的三边长分别为2，2，1，满足三角形三边关系，符合题意． ②若AB＝AC，则2m＝1，解得， 此时三角形的三边长分别为1，1，2， 由于1+1＝2，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去． 综上所述，m＝1． 25．（10分）如图，在矩形ABCD中，E点在AD边上，连接BE，CE，且∠BEC＝90°． （1）求证：△ABE∽△DEC； （2）F为BE延长线上一点，满足，连接CF交AD于点G．若AB＝2，AE＝1，求矩形ABCD面积和GD的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝90°， ∵∠BEC＝90°， ∴∠DEC+∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝∠DEC， ∴△ABE∽△DEC． （2）解：∵△ABE∽△DEC，AB＝DC＝2，AE＝1， ∴， ∴DE＝2AB＝2×2＝4， ∴BC＝AD＝AE+DE＝1+4＝5， ∴S矩形ABCD＝AB•BC＝2×5＝10， ∵EFBE（BF﹣EF）， ∴EFBF， ∵EG∥BC， ∴△EFG∽△BFC， ∴， ∴EGBC5， ∴GD＝DE﹣EG＝4， ∴矩形ABCD的面积为10，GD的长为． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6与直线y＝2x相交于点A，与x轴交于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）点P在直线AB上，是否存在平面内一点Q，使得以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标； （3）平面内一动点C（m，n）满足n＝﹣m2+am+1（a为常数），过AC两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求a的值． 【解答】解：（1）直线y＝﹣x+6与直线y＝2x相交于点A， 联立得：， 解得：， ∴A（2，4）； 直线y＝﹣x+6与x轴交于点B， 当y＝0时，得：0＝﹣x+6， 解得：x＝6， ∴B（6，0）； （2）存在平面内一点Q，使得以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为（﹣5，5）或或或（6，6）；理由如下： 设P（t，﹣t+6），Q（p，q）， ①若PQ，OA为对角线，则PQ，OA的中点重合，且PA＝PO，如图1， ∴， 解得：， ∴Q（﹣5，5）； ②若PO，QA为对角线，则PO，QA的中点重合，且PA＝AO，如图2， ∴， 解得：或， ∴或； ③若PA，OQ为对角线，则PA，OQ的中点重合，且PO＝AO，如图3， ∴， 解得：（此时P，A重合，舍去）或， ∴Q（6，6）． 综上所述，存在平面内一点Q，使得以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为（﹣5，5）或或或（6，6）； （3）如图4，设点D（x，0）（x＜0），则E（﹣x，0）， ∵△ABD与△ABE相似，则点E只能在点B左侧， ∴∠ABE＝∠DBA， 可知△ABD∽△EBA，则， ∴AB2＝BE•BD， ∴（2﹣6）2+（4﹣0）2＝（6+x）（6﹣x）， ∴x2＝4， 解得：x＝±2． ∵x＜0， ∴x＝﹣2， ∴D（﹣2，0）． 设直线AC的表达式为y＝kx+b（k≠0），将点A，点D的坐标分别代入，得： ， 解得：， ∴直线AC的表达式为y＝x+2， 把C（m，﹣m2+am+1）代入y＝x+2，得：﹣m2+am+1＝m+2， ∴m2+（1﹣a）m+1＝0． ∵有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似， ∴方程m2+（1﹣a）m+1＝0有且只有一个实数根，即该方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（1﹣a）2﹣4＝0， 解得：a＝3或a＝﹣1， ∴满足条件的a值为3或﹣1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $