精品解析：广东江门市棠下中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年高二年级第一学期10月份考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 产品质量指数是衡量产品质量水平的综合指标.某厂质检员从一批产品中随机抽取10件，测量它们的产品质量指数，得到的数据分别为76，90，80，82，72，87，83，85，89，92，则这组数据的第70百分位数是（ ） A. 83 B. 84 C. 87 D. 88 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第70百分位数定义求解. 【详解】将这组数据从小到大排列为72，76，80，82，83，85，87，89，90，92， 而，所以这组数据的第70百分位数是. 故选：D 2. 某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在频率分布直方图中，中位数左右两边面积相等，平均数受极端值影响，偏向长尾方向. 直方图左偏（左边拖尾长，右边集中）,如D选项→平均数中位数； 直方图右偏（右边拖尾长，左边集中），如B选项→平均数中位数； 直方图对称，如AC选项→平均数≈中位数. 故此题选D. 3. 在某样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间1个长方形的面积等于其他4个长方形面积之和的，若样本容量是100，则中间一组的频数为（ ） A. 20 B. 30 C. 25 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】由频率分布直方图中各小矩形表示的意义，求出中间一组的频率即可得解. 【详解】设中间1个长方形的面积为，则其他4个长方形的面积之和为．由得，所以中间一组的频数为． 故选：C. 4. 如图，在四面体OABC中，，，，点在线段上，且，为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的加法与减法可得出关于、、的表达式. 【详解】 . 故选：D. 5. 某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同学了解其艺术特长．设事件“选中的同学精通乐器”，“选中的同学擅长舞蹈”，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求，然后由概率性质计算可得. 【详解】由题知，， 因为， 所以，即，解得. 故选：C 6. 某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方图，下列结论中不正确的是（ ） A. 所抽取的学生中有25人在2小时至小时之间完成作业 B. 该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为 C. 估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过小时 D. 估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间 【答案】D 【解析】 【分析】对A，利用直方图中2小时至小时之间的频率判断A; 对B，计算超过3小时的频率可判断B; 对C，根据直方图中平均数的公式计算，可判断C; 对D，计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断D. 【详解】对A，直方图中2小时至小时之间的频率为，故所抽取的学生中有25人在2小时至小时之间完成作业，故A正确； 对B，由直方图得超过3小时的频率为,所以B正确； 对C，直方图可计算学生做作业的时间的平均数为：，所以C正确； 对D，做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为，所以D错误. 故选:D． 7. 年月某市星级酒店经营数据统计分析如下图（“同比”指与去年同期相比）： 下列说法错误的是（ ） A. 整体来看，年月该市星级酒店平均房价相对上一年有所提高 B. 年月该市星级酒店平均房价的平均数超过元 C. 年月这个月中，该市星级酒店在月份的平均房价创下个月来的最高纪录 D. 年月该市星级酒店平均房价约为元 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线统计图和条形统计图逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，由图可知，仅有月同比增速为，其余个月同比增速均为正数，故A正确； 对于B选项，由图可知个数据的平均数为 ，故B正确； 对于C选项，由图可知这个月的数据中，第个月的最大，故C正确； 对于D选项，由，得年月该市星级酒店平均房价大于元，故D错误． 故选：D. 8. 对于随机事件A，B，若，，则下列说法中错误的是（ ） A. 当A，B互斥时， B. 当时， C. 当时，A，B相互独立 D. 当时，A，B互为对立事件 【答案】D 【解析】 【分析】利用概率的加法公式，结合互斥、包含、独立与对立事件的定义，逐一代入已知条件验证各个选项. 【详解】对于A，若A，B互斥，所以， 解得，故A正确， 对于B，当时，，故B正确， 对于C，， 解得，故A，B相互独立，C正确， 对于D，对立事件要求，与的条件不符，故D错误. 二、选择题：本题共有3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本数据1，2，2，2，4，4的众数是2 B. 甲、乙两人在5次射击训练中，射击成绩的平均数相等，方差分别为3.6和1.4，则这5次射击训练成绩较稳定的人是甲 C. 若甲、乙、丙三种产品的数量比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取丙产品15个，则样本容量为30 D. 若一组数据，，，的极差为6，方差为3，则数据，，，的极差和方差均为12 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据众数的定义判断A，根据方差的性质判断B；根据分层抽样的定义判断C；根据极差和方差的定义计算判断D. 【详解】对于A，样本数据1，2，2，2，4，4的众数是2，故A正确； 对于B，因为， 所以射击成绩的平均数相等，方差分别为3.6和1.4，则这5次射击训练成绩较稳定的人是乙，故B错误； 对于C，设样本容量为，则，解得，故C正确； 对于D，设一组数据，，，的最大的数为，最小的数为，， 则数据，，，的最大数为，最小数为， 由题意可知，所以， 若一组数据，，，的方差为3，则数据，，，的方差为， 所以一组数据，，，的极差为6，方差为3，则数据，，，的极差和方差均为12，故D正确. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间向量可以比较大小； B. 若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面； C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角； D. 若已知空间向量和，则在上的投影向量为. 【答案】BD 【解析】 【分析】A项，由空间向量的定义可知；B项，由系数和为即可判断；C项，由两向量共线且反向情况可判断；D项，由投影向量的定义可得. 【详解】A项，空间向量不能比较大小，故A错误； B项，由，可得，故四点共面，故B正确； C项，若与为两非零向量，共线且反向时，， 此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误； D项，由投影向量的定义知在上的投影向量为，故D正确. 故选： BD. 11. 抛掷一红一白的两枚骰子，用表示红色骰子朝上的点数，用表示白色骰子朝上的点数，用表示一次实验结果．记事件：“”，：“”，：“”，：“”，则（   ） A. 事件B与C互斥 B. 事件C与D 对立 C. 事件B发生的概率为 D. 事件A与D 相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】列举出事件、、、所包含的基本事件，利用互斥事件的定义判断A；利用对立事件的定义判断B；应用古典概型计算判断C，利用独立事件的定义判断D. 【详解】事件包含的基本事件有：，共个基本事件， 事件包含的基本事件有：，共3个基本事件， 事件包含的基本事件有：，共12个基本事件， 事件包含的基本事件有：，共个基本事件， 对于A，，事件与互斥，A正确； 对于B，，即事件与互斥，而事件与可以同时不发生， 如事件发生，因此事件与不对立，B错误； 对于C，事件包含的基本事件有：，共3个基本事件， ， C正确； 对于D，事件包含6个基本事件，故；事件包含6个基本事件，故； 事件包含的基本事件为，共1个，故， 因为，所以事件与相互独立，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 涡阳一中某班对第二次质量检测成绩进行分析，利用随机数表法抽取个样本时，先将个同学按、、、、进行编号，然后从随机数表第行第列的数开始向右读（注：如表为随机数表的第行和第行），则选出的第个个体是______. 【答案】. 【解析】 【分析】根据随机数法列出前个个体的编号，即可得出答案. 【详解】由随机数法可知，前个个体的编号依次为、、、、、、， 因此，第个个体是，故答案为. 【点睛】本题考查随机数法读取样本个体编号，读取时要把握两个原则： （1）看样本编号最大数为几位数，读取时就几个数连着一起取； （2）不在编号范围内的号码要去掉，重复的只能取第一次. 13. 在正方体中，连接其任意两个顶点都可以得到一条线段，则这些线段所在的直线平行于平面的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由古典概型概率计算公式计算即可得解. 【详解】在中，连接任意两个顶点的线段除了12条棱之外， 还有每个面上各有两条面对角线，共，还有4条体对角线，共28条线段， 其中它们所在的直线与平面平行的有共3条面对角线所在直线， 故这些线段所在的直线平行于平面的概率为． 故答案为：． 14. 甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则4次传球后球在乙手中的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】列举所有情况，利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】前4次传球接球的情况有：乙甲乙甲、乙甲乙丙、乙甲丙甲、乙甲丙乙、乙丙甲乙、乙丙甲丙、 乙丙乙甲、乙丙乙丙、丙甲乙甲、丙甲乙丙、丙甲丙甲、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙甲丙、丙乙丙甲、丙乙丙乙，共16种， 第4次传球传给乙的情况有：乙甲丙乙、乙丙甲乙、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙丙乙，共5种， 设第4次传球传给乙的事件为，则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算. 15. 如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． （1）试用，，表示向量，并求向量的长度； （2）求； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1），长度为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合已知条件，运用向量加法表示向量，再结合已知条件求出向量的模； （2）利用向量数量积的运算规则计算求解； （3）先求出向量数量积，再分别求出向量的模，最后利用向量夹角余弦公式求解． 【小问1详解】 由平行六面体的性质可知， 是的中点， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 ，， ， 又， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为． 16. 我市开展创建全国文明城市知识竞赛，随机抽取n名参赛者的成绩统计如下表： 成绩分组 频数 频率 10 0.10 25 a 35 0.35 b 0.20 10 0.10 （1）求出n，a，b的值，并画出频率分布直方图； （2）估计这n名参赛者成绩的众数和平均值. （3）估计这次知识竞赛成绩的第60百分位数. 【答案】（1），作图见解析 （2）众数75，平均值为74.5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频数，频率和样本容量的关系，列式求解； （2）根据频率分布直方图，结合众数和平均数的定义和公式，列式求解； （3）根据百分位数公式，即可计算. 【小问1详解】 由组数据可得：， 频率分布直方图如下： . 【小问2详解】 众数 平均值为. 【小问3详解】 因为，， 所以第60百分位数在区间 第60百分位数为. 17. 抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为，黄色骰子与地面接触的面上的数字为．（先列出样本空间和随机事件再求） （1）记事件为“”，求事件的概率； （2）记事件为“能被整除”，事件为“”，求事件的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用列举法求出基本事件总数，再得到事件的对立事件的事件数，结合古典概型求概率即可； （2）根据题意，利用列举法求出事件的事件数，再结合古典概型求概率即可． 【小问1详解】 由题意可知，所有样本点可表示为，其中，都是，，，中的数， 则样本空间且， 事件：“”，则对立事件：“”， 对立事件， 符合条件的基本事件数， 所以，因此． 【小问2详解】 由（1）可知，样本空间且， 事件表示“能被整除或”， 则事件包含样本点为：，，，，，，，，，，，， 符合条件的基本事件数， 所以. 18. 甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9． （1）若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率； （2）若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率． 【答案】（1）0.5 （2）0.64 【解析】 【分析】（1）用互斥事件概率的加法公式解决. （2）分析至少有一次获胜的事件包括两次都获胜，第一次获胜第二次未获胜和第一次未获胜第二次获胜三种情况。又因为三种情况之间互斥和两盘棋之间的胜负互不影响.利用互斥事件的概率加法公式和独立事件同时发生的概率乘法公式和对立事件概率的知识求解. 【小问1详解】 设事件表示甲获胜，事件表示和棋，事件表示甲不输． 则． 因为和棋与获胜是互斥的，由概率的可加性，得 ． 因为， 所以 【小问2详解】 设事件表示甲获胜，则表示甲未获胜.设下两次棋至少有一次获胜的事件为， 则，因为两盘棋之间的胜负互不影响，且至少有一次获胜包括的三种情况是互斥的. 所以 19. 某中学举办校园文化节，设置了“数智达人”和“英语秀达人”两项特色活动，两项活动前10名得分统计如下： 数智达人前10名分数 148，146，144，142，140，140，138，136，134，132 英语秀达人前10名分数 144，143，142，141，140，140，139，138，137，136 （1）求出数智达人前10名分数的平均数、标准差； （2）经检查发现：有一名同学的数智达人与英语秀达人得分均在前10名，但是老师却将其数智达人与英语秀达人得分统计反了，已知正确的数智达人前10名分数的平均分为141，标准差为． ①求该生正确的数智达人得分是多少？并说明理由； ②为了便于成绩分析，对数智达人前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为50、标准差为10．请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数智达人分数，表示数智达人分数对应的“分数”，，为常数），并证明． （参考公式：） 【答案】（1）平均数为140，标准差为； （2）①142分，理由见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用平均数和标准差公式代入计算即可； （2）①根据平均分多1分，可得实际分数比统计的多10分，再结合标准差为分析两种情况；②分别代入并验证即可. 【小问1详解】 设数智达人前10名学生分数的平均分为，标准差为， 则， ； 【小问2详解】 ①正确的数智达人前10名分数的平均分为141，比原平均分140高1分，故10名同学的总分增加了分. 设被错误统计在“数智达人”名单中的分数为，该生正确的“数智达人”分数为，则. 核对两个成绩单，有两种可能：1. 错误记录的分数，正确分数；2. 错误记录的分数，正确分数. 若， ，则： ； 若， ，则： ； 所以， ，即：正确的数智达人得分为142分． ②设转换公式为，则 ， 所以，将 代入， 得，所以，， 即满足要求的线性转换公式为， 证明：因为“分数”转换之前的10个正确分数的平均分是， 标准差为，则转换后的平均分． 因为， 所以转换后的标准差 ， 即转换公式，满足条件得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级第一学期10月份考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 产品质量指数是衡量产品质量水平的综合指标.某厂质检员从一批产品中随机抽取10件，测量它们的产品质量指数，得到的数据分别为76，90，80，82，72，87，83，85，89，92，则这组数据的第70百分位数是（ ） A. 83 B. 84 C. 87 D. 88 2. 某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（ ） A. B. C. D. 3. 在某样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间1个长方形的面积等于其他4个长方形面积之和的，若样本容量是100，则中间一组的频数为（ ） A. 20 B. 30 C. 25 D. 35 4. 如图，在四面体OABC中，，，，点在线段上，且，为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同学了解其艺术特长．设事件“选中的同学精通乐器”，“选中的同学擅长舞蹈”，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方图，下列结论中不正确的是（ ） A. 所抽取的学生中有25人在2小时至小时之间完成作业 B. 该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为 C. 估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过小时 D. 估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间 7. 年月某市星级酒店经营数据统计分析如下图（“同比”指与去年同期相比）： 下列说法错误的是（ ） A. 整体来看，年月该市星级酒店平均房价相对上一年有所提高 B. 年月该市星级酒店平均房价的平均数超过元 C. 年月这个月中，该市星级酒店在月份的平均房价创下个月来的最高纪录 D. 年月该市星级酒店平均房价约为元 8. 对于随机事件A，B，若，，则下列说法中错误的是（ ） A. 当A，B互斥时， B. 当时， C. 当时，A，B相互独立 D. 当时，A，B互为对立事件 二、选择题：本题共有3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本数据1，2，2，2，4，4的众数是2 B. 甲、乙两人在5次射击训练中，射击成绩的平均数相等，方差分别为3.6和1.4，则这5次射击训练成绩较稳定的人是甲 C. 若甲、乙、丙三种产品的数量比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取丙产品15个，则样本容量为30 D. 若一组数据，，，的极差为6，方差为3，则数据，，，的极差和方差均为12 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间向量可以比较大小； B. 若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面； C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角； D. 若已知空间向量和，则在上的投影向量为. 11. 抛掷一红一白的两枚骰子，用表示红色骰子朝上的点数，用表示白色骰子朝上的点数，用表示一次实验结果．记事件：“”，：“”，：“”，：“”，则（   ） A. 事件B与C互斥 B. 事件C与D 对立 C. 事件B发生的概率为 D. 事件A与D 相互独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 涡阳一中某班对第二次质量检测成绩进行分析，利用随机数表法抽取个样本时，先将个同学按、、、、进行编号，然后从随机数表第行第列的数开始向右读（注：如表为随机数表的第行和第行），则选出的第个个体是______. 13. 在正方体中，连接其任意两个顶点都可以得到一条线段，则这些线段所在的直线平行于平面的概率为______． 14. 甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则4次传球后球在乙手中的概率是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算. 15. 如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． （1）试用，，表示向量，并求向量的长度； （2）求； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 16. 我市开展创建全国文明城市知识竞赛，随机抽取n名参赛者的成绩统计如下表： 成绩分组 频数 频率 10 0.10 25 a 35 0.35 b 0.20 10 0.10 （1）求出n，a，b的值，并画出频率分布直方图； （2）估计这n名参赛者成绩的众数和平均值. （3）估计这次知识竞赛成绩的第60百分位数. 17. 抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为，黄色骰子与地面接触的面上的数字为．（先列出样本空间和随机事件再求） （1）记事件为“”，求事件的概率； （2）记事件为“能被整除”，事件为“”，求事件的概率． 18. 甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9． （1）若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率； （2）若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率． 19. 某中学举办校园文化节，设置了“数智达人”和“英语秀达人”两项特色活动，两项活动前10名得分统计如下： 数智达人前10名分数 148，146，144，142，140，140，138，136，134，132 英语秀达人前10名分数 144，143，142，141，140，140，139，138，137，136 （1）求出数智达人前10名分数的平均数、标准差； （2）经检查发现：有一名同学的数智达人与英语秀达人得分均在前10名，但是老师却将其数智达人与英语秀达人得分统计反了，已知正确的数智达人前10名分数的平均分为141，标准差为． ①求该生正确的数智达人得分是多少？并说明理由； ②为了便于成绩分析，对数智达人前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为50、标准差为10．请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数智达人分数，表示数智达人分数对应的“分数”，，为常数），并证明． （参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $