精品解析：广东佛山市南海区西樵高级中学2026-2027学年第一学期第一次供题训练高二数学试题

西樵高级中学2026-2027学年第一学期第一次供题训练 高二级数学学科试题 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 打靶次，事件表示“击中发”，其中、、、.那么表示（ ） A. 全部击中 B. 至少击中发 C. 至少击中发 D. 以上均不正确 3. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知,,则函数在区间上为增函数的概率是 A. B. C. D. 5. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 下列说法正确的有（ ） ①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小； ②某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率为0.7； ③小胡同学在罚球线投篮8次，命中6次，则小胡同学每次投篮的命中率一定为； ④某地发行福利彩票，回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 已知甲、乙两名运动员进行射击比赛，各射击一次，是否中靶相互独立.若恰好一人中靶的概率为0.26，至少一人中靶的概率为0.98，则甲、乙两人都中靶的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 以下说法中，正确的个数为（ ） ①“”是“，共线”的充分不必要条件； ②若，则存在唯一的实数λ，使得； ③若，，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ⑤． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知事件发生的概率分别为，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 一定有 10. 甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件A为“甲中奖”，事件B为“乙中奖”，事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”，则（ ） A. A与B为互斥 B. B与C为对立 C. 与为互斥 D. 与为对立 11. 如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是 A. 异面直线AC与所成的角为60° B. 直线与平面成角为45° C. 二面角的正切值为 D. 四面体的外接球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，则P(A＋B)＝________. 13. 如图，由A，B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件 “电路是通路”包含的样本点个数为______________. 14. 如图：长方体中，,，为上一点，且，为的中点，为上动点，当时，_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在棱长为的正四面体中，． （1）设，，用，，表示 （2）若，且，求． 16. 若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”． （1）求和的值； （2）求两次摸到的不都是红球的概率． 17. 如图所示，线段AB为圆锥SO的底面圆的直径，C为底面圆周上异于A，B的动点，点P为AC的中点. （1）证明：平面平面SOP （2）若，圆锥SO的母线与底面圆所成的角为60°，求三棱锥的体积最大时，平面SOP与平面SBC所成的锐二面角的余弦值 18. 某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，.若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求： （Ⅰ）三人都合格的概率； （Ⅱ）三人都不合格的概率； （Ⅲ）出现几人合格的概率最大. 19. 如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西樵高级中学2026-2027学年第一学期第一次供题训练 高二级数学学科试题 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 解得： 故选：B. 2. 打靶次，事件表示“击中发”，其中、、、.那么表示（ ） A. 全部击中 B. 至少击中发 C. 至少击中发 D. 以上均不正确 【答案】B 【解析】 【分析】利用并事件的定义可得出结论. 【详解】所表示的含义是、、这三个事件中至少有一个发生，即可能击中发、发或发. 故选：B. 3. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用点到直线距离的向量法，即可求解. 【详解】因为，，，则，， 所以点到直线的距离为：. 故选：D 4. 已知,,则函数在区间上为增函数的概率是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用枚举法分情况将所有满足条件的情况举出,再利用古典概型求概率的方法求解即可. 【详解】,,∴基本事件总数.用表示的取值. 若函数在区间上为增函数,则 ①当时,,符合条件的只有,即,; ②当时,则由题意，只需满足,符合条件的有,,,,共4种. ∴函数在区间上为增函数的概率. 故选：A 【点睛】本题主要考查了分类讨论的思想以及古典概型求概率的方法,属于中等题型. 5. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断C；根据法向量垂直则面面垂直可判断D. 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，则或，故C错误； 对于D，由，得，则，故D正确. 故选：D. 6. 下列说法正确的有（ ） ①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小； ②某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率为0.7； ③小胡同学在罚球线投篮8次，命中6次，则小胡同学每次投篮的命中率一定为； ④某地发行福利彩票，回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】由概率的概念逐项判断即可. 【详解】对于①：因为概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值，所以频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小，故正确； 对于②：某人打靶，射击次，击中次， 那么此人中靶的频率为，但概率不一定为，故错误； 对于③：是一个随机事件，小胡同学每次投篮的命中率不一定为，故错误； 对于④：是一个随机事件，买这种彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故错误； 7. 已知甲、乙两名运动员进行射击比赛，各射击一次，是否中靶相互独立.若恰好一人中靶的概率为0.26，至少一人中靶的概率为0.98，则甲、乙两人都中靶的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设甲射击一次中靶的概率为，乙射击一次中靶的概率为，根据题意建立方程组，整体法可求得，即甲、乙两人都中靶的概率. 【详解】设甲射击一次中靶的概率为，乙射击一次中靶的概率为， 因为甲、乙是否中靶相互独立，且恰好一人中靶的概率为， 所以， 展开得.① 又至少有一人中靶的概率为，即，所以， 展开得.② 由①+②得，解得，即甲、乙两人都中靶的概率是. 故选：C 8. 以下说法中，正确的个数为（ ） ①“”是“，共线”的充分不必要条件； ②若，则存在唯一的实数λ，使得； ③若，，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ⑤． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】对于①，若，则，反向共线，充分性成立， 但当非零向量，同向共线时，不存在，必要性不成立， 则“”是“，共线”的充分不必要条件，故①正确； 对于②，当为零向量，不为零向量时，不存在，故②错误； 对于③，由，，则，， 不能得到，故③错误； 对于④，用反证法，若不构成空间的一个基底，即共面， 设，则，方程组无解，矛盾， 即不共面，构成空间的另一个基底，故④正确； 对⑤，，故⑤错误． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知事件发生的概率分别为，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 一定有 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A：因为，故A正确； 对B：因为，所以， 所以. 故B正确； 对C：由，所以，所以C错误； 对D：记事件：掷一枚骰子，得到点数小于3.则，记事件：掷一枚骰子，得到点数为6,.则，但不成立，故D错误. 故选：AB 10. 甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件A为“甲中奖”，事件B为“乙中奖”，事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”，则（ ） A. A与B为互斥 B. B与C为对立 C. 与为互斥 D. 与为对立 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，结合互斥事件、对立事件的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】因为事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”， 对于A中，事件与可能同时发生，所以A错误； 对于B中，由事件的对立事件为甲乙都不中奖，所以B错误； 对于C中，由事件表示甲乙都中奖，事件表示甲乙都不中奖， 所以不可能同时发生，所以与为互斥事件，所以C正确； 对于D中，由事件表示甲乙都不中奖，事件表示甲乙至少有一人中奖， 所以与为对立事件，所以D正确. 故选：CD. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是 A. 异面直线AC与所成的角为60° B. 直线与平面成角为45° C. 二面角的正切值为 D. 四面体的外接球的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，平移直线到直线；对B，作出线面所成的角，再利用三角函数求解；对C，作出二面角的平面角，再求正切值；对D，利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球. 【详解】如图所示，连接， 对A，平移直线到直线，则异面直线AC与所成的角，显然为正三角形，，故A正确； 对B，，，，平面，为线面角，，，，故B错误； 对C，在三角形中，，为二面角的平面角，，故C正确； 对D，利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球，，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查空间中角的概念与计算，考查空间想象能力、运算求解能力，属于基础题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，则P(A＋B)＝________. 【答案】 【解析】 【分析】根据事件的关系可知以及对应概率的计算性质，进行计算即可得解. 【详解】将事件A＋B分成“出现1，2，3”和“出现5”这两个事件， 记“出现1，2，3”为事件C，“出现5”为事件D， 则C与D两个事件互斥， 所以P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝. 故答案为：. 13. 如图，由A，B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件 “电路是通路”包含的样本点个数为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由A，B两个元件组成并联电路，至少有一个元件正常，列举出所有的样本点即可得解. 【详解】设元件正常为，失效为， 由A，B两个元件组成并联电路， 则至少有一个元件正常， 故事件包含的样本点为共个. 故答案为：. 14. 如图：长方体中，,，为上一点，且，为的中点，为上动点，当时，_________． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法解出的值即可. 【详解】长方体中以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系， 因为，为上一点，且，为的中点，为 上动点， 所以，设， 所以， 又因为，所以，解得， 所以，即,所以. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在棱长为的正四面体中，． （1）设，，用，，表示 （2）若，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的加、减、数乘运算即可求得；（2）先表示出，根据， 即可解得． 【小问1详解】 因为，所以是棱的中点， 所以， 则， 故． 【小问2详解】 因为，所以， 在棱长为的正四面体中，， 所以， 解得：． 16. 若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”． （1）求和的值； （2）求两次摸到的不都是红球的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用首先计算样本容量，再计算事件和包含的样本点，即可求解； （2）利用对立事件概率公式，即可求解. 【小问1详解】 将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5． 第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果， 第二次摸球时都有4种等可能的结果． 将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果， 第一次摸到红球的可能结果有8种，即， 所以． 第二次摸到红球的可能结果也有8种，即， 所以． 【小问2详解】 事件“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即， 则两次摸到都是红球的概率， 故两次摸到的不都是红球的概率． 17. 如图所示，线段AB为圆锥SO的底面圆的直径，C为底面圆周上异于A，B的动点，点P为AC的中点. （1）证明：平面平面SOP （2）若，圆锥SO的母线与底面圆所成的角为60°，求三棱锥的体积最大时，平面SOP与平面SBC所成的锐二面角的余弦值 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 又是弦中点，所以， ，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得线线垂直，然后证明平面后可得面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，因此到的距离最大时，三棱锥的体积最大， 此时， 圆锥SO的母线与底面圆所成的角为60°，即，是等边三角形， ，则． 以为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， 由（1）知是平面的一个法向量， ，，平面的一个法向量是， 则，取，则， 设平面SOP与平面SBC所成的锐二面角为， 则． 18. 某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，.若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求： （Ⅰ）三人都合格的概率； （Ⅱ）三人都不合格的概率； （Ⅲ）出现几人合格的概率最大. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）1人. 【解析】 【分析】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件，，，显然事件，，相互独立，则，，，从而根据不同事件的概率求法求得各小题. 【详解】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件，，， 显然事件，，相互独立，则，， 设恰有人合格的概率为. （Ⅰ）三人都合格的概率： （Ⅱ）三人都不合格的概率：. （Ⅲ）恰有两人合格的概率：. 恰有一人合格的概率：. 因为， 所以出现1人合格的概率最大. 19. 如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】 （1）证明：因为四棱锥底面是正方形，且平面， 以点为坐标原点， 所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系. 则， 因为是的中点， 所以， 所以， 所以，且. 所以，，且. 所以⊥平面. （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，证出，且，根据线面垂直的判定定理即可证明. （2）假设存在，利用线面垂直的定义证出即可. 【详解】（1）略 （2）假设在线段上存在点，使得//平面. 设， 则. 因为//平面，⊥平面， 所以. 所以. 所以，在线段上存在点，使得//平面.其中. 【点睛】本题考查了用空间向量证明线面垂直，线面平行，考查了线面垂直的判定定理，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于基础题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $