3.1 函数及其表示方法 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

课 第二章 · 复习 1 二次函数 y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与 x 轴交点的横坐标，就是一元二次方程 ax²+bx+c=0 的根。 2 一元二次不等式 ax²+bx+c＞0（a＞0）：Δ＞0 时解集取两根之外；Δ=0 时取除临界值外的一切实数；Δ＜0 时解集为 ℝ。 3 基本不等式：a＞0，b＞0 时 a+b ≥ 2√(ab)，当且仅当 a=b 时取等号。 前 读 背 函数及其表示方法 从变量关系到集合对应，用解析式、表格、图象三种语言表达同一个函数 解析式 表格 图象 人教A版 · 必修第一册　　第三章 3.1 函数的概念及其表示 学习目标 ✓ 数学抽象：理解函数的概念，会用集合与对应的语言刻画函数，掌握函数的三要素。 ✓ 数学运算 · 逻辑推理：会求函数的定义域，能用待定系数法、换元法求解析式，会求分段函数的值。 ✓ 直观想象 · 数学建模：理解解析式、表格、图象三种表示法，会作分段函数的图象并解决简单实际问题。 函数及其表示方法 3 情境导入：生活中的对应关系 A 炮弹发射后，飞行时间 t（单位：s）与高度 h（单位：m）的关系，可用 h=130t−5t²（0≤t≤26）表示。 B 某市一天的空气质量指数 AQI 随时间变化的曲线。 C 恩格尔系数与年份的一一对应数据表（见教材表格）。 这些关系有什么共同特征？能否用一个统一的观点来刻画？ 函数及其表示方法 4 AQI 0时 6时 12时 18时 24时 35 20 60 45 30 自主探究：从变量说到对应说 初中 · 变量说 在一个变化过程中，有两个变量 x、y，如果每给定一个 x，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就说 y 是 x 的函数。 高中 · 对应说 用两个集合 A、B 以及确定的对应关系 f 来刻画：对 A 中任意一个数 x，B 中都有唯一确定的数 y 与之对应。 思考：新定义比初中的定义「新」在哪里？为什么要引入集合 A、B？ 函数及其表示方法 5 知识点1　函数的概念 设 A、B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作： 任意：定义域内每一个 x 都要有对应值 唯一：一个 x 只能对应一个 y 确定：对应关系 f 必须是确定的 记法：x 叫做自变量；y 叫做函数值；自变量 x 的取值范围 A 叫做定义域；函数值的集合叫做值域。 函数及其表示方法 6 思考 · 提问① 提问①：函数定义中为什么要强调「任意」和「唯一」？如果不满足会怎样？ 「任意」保证定义域内的每一个 x 都有对应的函数值。 「唯一」保证一个 x 只对应一个 y；否则就不是函数。 反例：y²=x 中，取 x=4 得到 y=2 或 y=−2，对应不唯一，所以 y 不是 x 的函数。 函数及其表示方法 7 例题1　函数概念辨析 下列关系中，是函数的有（　　）　① y=x²　② y²=x　③ x²+y²=1　④ y=|x| 解析： ① 每个 x 都对应唯一的 y，是函数； ② x=4 时 y=2 或 y=−2，对应不唯一，不是函数； ③ x=0 时 y=1 或 y=−1，对应不唯一，不是函数； ④ 每个 x 都对应唯一的 y=|x|，是函数。 所以，是函数的有 ①④。 函数及其表示方法 8 练习1 设 A={1,2,3}，B={2,4,6,8}，对应关系 f：x→2x。这个对应是 A 到 B 的函数吗？值域是什么？ A 中的 1、2、3 在 B 中都有唯一确定的 2x 与之对应，所以它是 A 到 B 的函数。 值域是 {2,4,6}。注意：值域是 B 的子集，但不一定等于 B。 小结：判断是否构成函数，关键看两条——定义域内「任意」一个 x 都有对应值，且对应值「唯一」。 函数及其表示方法 9 知识点2　函数的三要素 ① 定义域 自变量 x 的取值集合 A，也就是 x 的取值范围。 ② 对应关系 f 把 A 中的 x 按照规则 f 对应到 B 中唯一的 y。 ③ 值域 函数值的集合 { y | y=f(x)，x∈A }，它是 B 的子集。 定义域和对应关系确定了，函数就完全确定了。 注意：定义域是前提，对应关系是核心。研究任何一个函数，都要先看它的定义域。 函数及其表示方法 10 思考 · 提问② 提问②：下面两个函数的表达式化简后都是 y=x，它们是同一个函数吗？ 与 不是。y=x 的定义域是全体实数 ℝ； 第二个函数中分母不能为 0，所以它的定义域是 {x | x ≠ 0}； 定义域不同，所以它们不是同一个函数。 函数及其表示方法 11 知识点3　区间的记法 闭区间 [a,b] 表示 { x | a ≤ x ≤ b }。 开区间 (a,b) 表示 { x | a < x < b }。 半开半闭区间：[a,b) 与 (a,b]。 无穷区间：(-∞,+∞)、[a,+∞)、(-∞,b)。 提示：函数的定义域通常用区间来表示。 函数及其表示方法 12 例题2 & 练习2　求函数的定义域 例2：求函数 的定义域，并用区间表示。 需满足 x−2 ≠ 0 且 x+1 ≥ 0，即 x ≠ 2 且 x ≥ −1； 所以定义域为 [−1,2) ∪ (2,+∞)。 练2：求函数 的定义域。 需满足 3−x ≥ 0 且 x ≠ 0，即 x ≤ 3 且 x ≠ 0； 所以定义域为 (−∞,0) ∪ (0,3]。 函数及其表示方法 13 小组讨论① 讨论任务：判断两个函数是否为同一个函数，需要比较哪些要素？请举例验证 y=x² 与 y=(x+1)² 是否相同。 需要比较「定义域」与「对应关系」，两者都相同，才是同一个函数。 y=x² 与 y=(x+1)² 的定义域都是 ℝ，但对应关系不同，所以不是同一个函数。 函数及其表示方法 14 例题3 & 练习3　判断两个函数是否相同 例3：判断下列各组函数是否相同：① y=x 与 y=(√x)²；② y=|x| 与 y=√(x²)。 ① y=x 的定义域是 ℝ，而 y=(√x)² 的定义域是 [0,+∞)，定义域不同，不是同一函数； ② y=|x| 与 y=√(x²) 的定义域都是 ℝ，且 √(x²)=|x|，对应关系相同，是同一函数。 练3：判断 f(x)=x+1 与 是否相同。 g(x) 的定义域要求 x−1 ≠ 0，即 x ≠ 1；而 f(x) 的定义域是 ℝ。 定义域不同，所以它们不是同一个函数。 函数及其表示方法 15 思考 · 提问③ 提问③：同一个函数，可以用哪些方式「表达」出来？请结合前面的三个情境说一说。 情境 A 用解析式表示，情境 B 用图象表示，情境 C 用表格表示。 这就是函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法。 三种表示法各有所长、可以互相转化，学习中要根据需要选择合适的方式。 函数及其表示方法 16 知识点4　解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，例如 y=2x+1、y=x²、y=√(x−1)。 优点：简明、便于计算与推理。 局限：不够直观；有些对应关系写不出解析式。 前提：用解析法表示函数时，必须同时写出它的定义域。 例：函数 的定义域是 {x | x ≠ 2}。 小结：解析法是最常用的表示方法，但一定要「解析式 + 定义域」配套。 函数及其表示方法 17 例题4　待定系数法求解析式 例4：已知一次函数 f(x) 满足 f(f(x))=4x+3，求 f(x)。 设 f(x)=kx+b（k≠0）； 则 f(f(x))=k(kx+b)+b=k²x+kb+b； 由 f(f(x))=4x+3 得 k²=4 且 kb+b=3； 当 k=2 时，b=1，得 f(x)=2x+1； 当 k=−2 时，b=−3，得 f(x)=−2x−3。 所以 f(x)=2x+1 或 f(x)=−2x−3。 函数及其表示方法 18 练习4　待定系数法 练4：已知二次函数 f(x) 满足 f(0)=1，f(x+1)−f(x)=2x，求 f(x)。 设 f(x)=ax²+bx+c（a≠0），由 f(0)=1 得 c=1； f(x+1)−f(x)=2ax+a+b； 由 2ax+a+b=2x 得 2a=2 且 a+b=0，解得 a=1，b=−1； 所以 f(x)=x²−x+1。 方法小结：已知函数类型时，先设出含参数的解析式，再代入条件解方程组求出参数即可。 函数及其表示方法 19 知识点5　列表法 用表格列出自变量与函数值的对应关系。 优点：对应值一目了然，便于查用。 局限：只能表示有限个对应，不够全面。 时间 / h 0 3 6 9 12 气温 / ℃ 6 8 12 16 20 提示：列表法中，定义域就是表格里自变量的取值集合 {0,3,6,9,12}。 函数及其表示方法 20 例题5 & 练习5　列表法 例5：下表是某次 100 m 赛跑的名次与成绩，成绩是名次的函数吗？ 名次 1 2 3 4 成绩 / s 12.1 12.5 12.8 13.0 解析：是。每个名次都对应唯一确定的成绩，符合函数的定义。 练5：反过来想，名次是成绩的函数吗？ 解析：不一定。若两名运动员成绩相同，一个成绩就会对应两个名次，不满足唯一性，所以一般不是函数。 函数及其表示方法 21 小组讨论② 讨论任务：三种表示法各有什么优缺点？在什么情况下优先用哪一种？ 解析法：便于精确计算与推理，但不够直观。 列表法：对应值一目了然，但不连续、不全面。 图象法：直观反映变化趋势，但不够精确。 选择建议：需要精确计算用解析法；看变化趋势用图象法；实验数据用列表法或图象法。 函数及其表示方法 22 思考 · 提问④ 提问④：一个函数的图象应当满足什么条件？「任意一条竖直直线与图象至多交于一点」是什么意思？ 图象上任意一点的坐标 (x, y) 都满足 y=f(x)。 由「唯一性」可知：任意一条竖直直线与函数图象至多只有一个交点。 反过来，如果一个图象与某条竖直直线有两个交点，那么它就不可能是某个函数的图象。 函数及其表示方法 23 知识点6　图象法 用图象（点集 {(x, y) | y=f(x)，x∈A}）表示两个变量之间的对应关系。 作法：列表 → 描点 → 连线（光滑曲线，注意定义域的端点）。 优点：直观反映函数的变化趋势。 局限：读数不够精确。 提示：图象是函数「形」的语言，常用来研究单调性、最值等性质。 函数及其表示方法 24 例题6 & 练习6　作函数的图象 例6：作出函数 y=x²−2x（0≤x≤3）的图象。 配方得 y=(x−1)²−1，顶点为 (1,−1)，开口向上； 取端点：x=0 时 y=0；x=3 时 y=3； 在 [0,3] 上描点、光滑连线，即得图象。 练6：作出函数 y=|x−1| 的图象。 去绝对值得：当 x≥1 时 y=x−1；当 x<1 时 y=1−x； 所以图象是以 (1,0) 为顶点的「V」形折线。 函数及其表示方法 25 知识点7　分段函数 在定义域的不同子集上，用不同的解析式表示的函数。 ① 分段函数是一个函数，不是几个函数； ② 定义域是各段定义域的并集； ③ 求值时，要先判断自变量落在哪一段。 函数及其表示方法 26 例题7　分段函数求值 例7：已知下面的分段函数，求 f(−1)、f(2)、f(f(−1))。 因为 −1<0，所以 f(−1)=2×(−1)+1=−1； 因为 2≥0，所以 f(2)=2²−2=2； f(f(−1))=f(−1)=−1。 求分段函数值的口诀：先定「段」，再代入。 函数及其表示方法 27 练习7　分段函数求值 练7：已知下面的分段函数，求 f(0)、f(3)、f(f(2))。 因为 0≤1，所以 f(0)=0+1=1； 因为 3>1，所以 f(3)=−3+3=0； f(2)=−2+3=1，所以 f(f(2))=f(1)=1+1=2。 注意：复合求值要「由内向外」，逐层代入。 函数及其表示方法 28 思考 · 提问⑤ 提问⑤：用函数解决实际问题时，定义域为什么要特别关注？以出租车计费为例说明。 定义域要由实际意义来确定，不能随便取全体实数。 出租车计费：设里程为 x km，则定义域为 x>0，车费 y 与 x 的关系为： 可见：实际问题的定义域，必须结合实际意义来确定。 函数及其表示方法 29 例题8　分段函数的图象 例8：作出分段函数 f(x) 的图象：当 x≤1 时 f(x)=x+1；当 x>1 时 f(x)=−x+3。 第一段：射线，包含端点 (1,2)，用实心点表示； 第二段：射线，端点 (1,2) 取不到，用空心点表示； 两段合起来，图象在 x=1 处连成一条折线。 若实际教学需要，可插入 GeoGebra 图像：分两段画出射线，高亮 x=1 处的实心点与空心点，帮助学生观察分界点处「取到」与「取不到」的区别。 函数及其表示方法 30 练习8　分段函数的图象与值域 练8：作出分段函数 y 的图象：当 x≥0 时 y=x²；当 x<0 时 y=−x。并求它的值域。 右半部分是抛物线 y=x²（x≥0）； 左半部分是射线 y=−x（x<0）； 两段在原点相接，图象连成一片。 所以它的值域为 [0, +∞)。 若实际教学需要，可插入 GeoGebra 图像，高亮两条曲线在原点处的衔接点 (0,0)。 函数及其表示方法 31 知识小结 一、函数的概念：设 A、B 是非空实数集，对 A 中任意 x，B 中都有唯一 y 与之对应，记作 y=f(x)，x∈A。 二、三种表示方法的比较 表示方法 优点 局限 解析法 简明、便于计算与推理 不够直观，有些无解析式 列表法 对应值一目了然，便于查用 只能表示有限个对应 图象法 直观反映变化趋势 读数不够精确 三、分段函数是一个函数，定义域是各段定义域的并集，求值先定「段」。 函数及其表示方法 32 题型1　判断两个函数是否相同 题型特征：给出两个函数的表达式，判断它们是否表示同一个函数。 解题方法： 第一步：分别求出两个函数的定义域； 第二步：化简表达式，比较两函数的对应关系； 第三步：定义域与对应关系都相同，才是同一个函数。 易错提醒：只看表达式化简后的结果是否相同，却忽略了定义域，是最常见的错误。 函数及其表示方法 33 题型1　例题 例：判断 f(x)=|x| 与 g(x)=√(x²) 是否表示同一个函数。 f(x)=|x| 的定义域是 ℝ； g(x)=√(x²) 要求 x²≥0，定义域也是 ℝ； 又 √(x²)=|x|，两函数的对应关系相同； 定义域与对应关系都相同，所以是同一个函数。 答案：是同一个函数。 函数及其表示方法 34 题型1　练习 练：判断下面两个函数是否表示同一个函数。 与 f(x)=x−1 的定义域是 ℝ； g(x) 要求分母 x+1≠0，即 x≠−1，定义域是 {x | x≠−1}； 虽然化简后 g(x)=x−1，但两函数的定义域不同； 答案：它们不是同一个函数。 函数及其表示方法 35 题型2　求函数的定义域 题型特征：给出含有分式、根式等的函数解析式，求它的定义域。 解题方法： ① 分式的分母不能为 0； ② 偶次根式的被开方数要 ≥ 0； ③ 实际问题还要结合实际意义； ④ 把各个条件求交集，最后用区间表示。 注意：定义域一定要写成集合或区间的形式。 函数及其表示方法 36 题型2　例题 例：求下面函数的定义域。 需 x+2≥0 且 x−1≠0； 即 x≥−2 且 x≠1； 所以定义域为 [−2,1) ∪ (1,+∞)。 答案：[−2,1) ∪ (1,+∞)。 函数及其表示方法 37 题型2　练习 练：求下面函数的定义域。 需 4−x≥0 且 x+3≠0； 即 x≤4 且 x≠−3； 所以定义域为 (−∞,−3) ∪ (−3,4]。 答案：(−∞,−3) ∪ (−3,4]。 函数及其表示方法 38 题型3　待定系数法求解析式 题型特征：已知函数的类型（一次函数、二次函数、反比例函数等）以及若干条件。 解题方法： ① 设出含有待定参数的解析式； ② 把已知条件代入，列出方程（组）； ③ 解出参数，再回代写出解析式。 关键：先根据题干判断出函数的类型，才能正确地设出含参数的解析式。 函数及其表示方法 39 题型3　例题 例：已知二次函数 f(x) 满足 f(1)=0，f(−1)=4，且过点 (2,3)，求 f(x)。 设 f(x)=ax²+bx+c（a≠0）； 由 f(1)=0 得 a+b+c=0； 由 f(−1)=4 得 a−b+c=4； 由 f(2)=3 得 4a+2b+c=3； 解得 a=1，b=−2，c=1； 所以 f(x)=x²−2x+1。 函数及其表示方法 40 题型3　练习 练：已知 f(x) 是一次函数，且 f(0)=2，f(3)=8，求 f(x)。 设 f(x)=kx+b（k≠0）； 由 f(0)=2 得 b=2； 由 f(3)=8 得 3k+2=8，解得 k=2； 所以 f(x)=2x+2。 答案：f(x)=2x+2。 函数及其表示方法 41 题型4　换元法与配凑法 题型特征：已知复合函数 f(g(x)) 的表达式，求 f(x)。 换元法：令 t=g(x)，反解出 x 并代入，再把 t 换回 x。 配凑法：把 f(g(x)) 的右边凑成关于 g(x) 的式子，直接得到 f(x)。 注意：换元后要注明新变量 t 的取值范围，它对应着 f(x) 的定义域。 函数及其表示方法 42 题型4　例题 例：已知 f(x+1)=x²+2x，求 f(x)。 法一（换元法）：令 t=x+1，则 x=t−1； f(t)=(t−1)²+2(t−1)=t²−1，所以 f(x)=x²−1； 法二（配凑法）：f(x+1)=x²+2x=(x+1)²−1； 所以 f(x)=x²−1。 答案：f(x)=x²−1。（两种方法结果一致） 函数及其表示方法 43 题型4　练习 练：已知下面的关系式（其中 x≠0），求 f(x)。 令 t=1/x，则 x=1/t（t≠0）； 代入并化简，得 f(t) 的表达式： 再把 t 换回 x，即得结果： 函数及其表示方法 44 题型5　分段函数求值 题型特征：给出分段函数的解析式，求某点处的函数值或复合函数值。 解题方法： ① 先判断自变量落在哪一段的定义域内； ② 代入该段的解析式进行计算； ③ 复合求值要由内向外，逐层代入。 口诀：定「段」→ 代入 → 复核。每一步都要回头看取值范围。 函数及其表示方法 45 题型5　例题 例：已知下面的分段函数，求 f(−3) 与 f(f(−3))。 因为 −3<0，所以 f(−3)=−3+2=−1； 因为 −1<0，所以 f(−1)=−1+2=1； 所以 f(f(−3))=f(−1)=1。 答案：f(−3)=−1，f(f(−3))=1。 函数及其表示方法 46 题型5　练习 练：已知下面的分段函数，求 f(3) 与 f(f(3))。 因为 3>0，所以 f(3)=−2×3=−6； 因为 −6≤0，所以 f(−6)=(−6)²+1=37； 所以 f(f(3))=f(−6)=37。 答案：f(3)=−6，f(f(3))=37。 函数及其表示方法 47 题型6　分段函数解方程（不等式） 题型特征：已知分段函数满足 f(x)=a 或 f(x)>a，求自变量 x 的值或取值范围。 解题方法：分段讨论。在每一段的定义域内分别求解，解出的结果必须落在该段范围内；最后取并集。 答题规范：每一段都要写出「解 + 检验 + 取舍」的完整过程。 易错提醒：忘记检验「解是否属于该段定义域」，会导致多解或漏解。 函数及其表示方法 48 题型6　例题 例：已知下面的分段函数，若 f(x)=4，求 x。 当 x<0 时，解 2x+1=4 得 x=1.5，不满足 x<0，舍去； 当 x≥0 时，解 x²=4 得 x=2（x=−2 舍去）； 所以 x=2。 答案：x=2。 函数及其表示方法 49 题型6　练习 练：已知下面的分段函数，解不等式 f(x)≥2。 当 x≤1 时，x+1≥2 得 x≥1，结合 x≤1 得 x=1； 当 x>1 时，−x+3≥2 得 x≤1，与 x>1 矛盾，无解； 所以原不等式的解集为 {x | x=1}。 答案：解集为 {x | x=1}。 函数及其表示方法 50 题型7　由实际情境识别函数图象 题型特征：给出文字描述的实际情境，从多幅图象中选出与之匹配的一幅。 ① 先看清横轴、纵轴分别表示什么； ② 分析每个阶段的增减与快慢； ③ 注意起点、终点和转折点（如水平段表示「不变」）。 函数及其表示方法 51 题型7　例题 例：小明匀速步行离家，然后停下休息一会儿，再匀速返回。下图中能反映「离家的路程 s 与时间 t 的关系」的是（　　） A B C D 步行离家时 s 增大；休息时 s 不变（出现水平段）；返回时 s 减小到 0。 所以选 B。 函数及其表示方法 52 s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 3 6 9 12 12 12 6 0 s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 4 8 11 10 8 5 2 0 s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 12 10 8 6 5 4 3 1 0 题型7　练习 练：某蓄水池先匀速注水，注满后停止，之后匀速排水。下图中能反映「水量 Q 与时间 t 的关系」的是（　　） A B C D 注水时 Q 增大；停止时 Q 不变（水平段）；排水时 Q 减小。 所以选 B。 函数及其表示方法 53 Q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 Q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 3 6 9 12 12 12 6 0 Q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 3 3 3 4 5 6 8 10 12 Q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 12 10 8 6 5 4 3 1 0 $