3.2.1 单调性与最大（小）值 第二课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1 单调性与最大（小）值 （第二课时） 函数的最大（小）值 复习回顾 单调性定义 增：若x1<x2，则f(x1)<f(x2) 函数的单调性 单调性的证明与判定 单调性的应用 减：若x1<x2，则f(x1)<f(x2) 定义法 图象法 新课导入 观察　下图是某地一天 24 小时内的气温变化图，记 t 时刻的气温为 T = f(t)（单位：℃） 问题 1　这一天中气温的最高点出现在什么时刻？最高气温是多少？ 问题 2　这一天中气温的最低点出现在什么时刻？最低气温是多少？ 问题 3　“气温不超过 31℃”与“最高气温是 31℃”是一回事吗？ 图 3.2-1　某地一天的气温变化图 新课导入 一、函数的最大值 从气温变化图可以看到：对定义域 [0, 24] 内的任意一个 t，都有 ；并且当 t = 14 时， 恰好成立. 一般地，设函数 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： ① 对任意 x ∈ I，都有 ； ② 存在 x0 ∈ I，使得. 那么就称 M 是函数 y = f(x) 的最大值（maximum value）. 新课导入 二、函数的最小值 从气温变化图可以看到：对定义域 [0, 24] 内的任意一个 t，都有 ；并且当 t = 4 时， 恰好成立. 一般地，设函数 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： ① 对任意 x ∈ I，都有 ； ② 存在 x0 ∈ I，使得. 那么就称 m 是函数 的最小值（minimum value）. 新课导入 三、端点值的判断 辨析　函数 ，x ∈ (−1, 1)。对定义域内的任意 x，都有 . 由于 不在定义域内， 取不到 1，所以 1 不是它的最大值——这个函数没有最大值. 而当 时， 恰好能取得到，所以这个函数有最小值 0. 小结　“有上界”不等于“有最大值”：只有 M 真的取得到，最大值才存在。 例题讲解 (1)在直角坐标系内画出的图象； (2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域． [解]　(1)图象如图所示． (2)由图象可知f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]；单调递减区间为(0,2)，值域为[－1,3]． 方法归纳 利用图象求函数最值的步骤 (1)画出函数y＝f(x)的图象． (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点． (3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值．　　 针对训练 1.函数在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．－2，f(2)　　　　　 B．2，f(2) C．－2，f(5) D．2，f(5) 解析：由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5)． 答案：C　 针对训练 例题讲解 例 2　已知函数 （），求最大值与最小值。 解　任取，且 ，则 因为 ，所以， 所以 > 0，即 在 [2, 6] 上单调递减 故当 时取最大值 ；当 时取最小值 方法归纳 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 提醒：(1)求最值勿忘求定义域． (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．　　 针对训练 针对训练 针对训练 例题讲解 x y x = a O x y x = a O x y x = a O 例题讲解 例题讲解 解析：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为直线x＝1.   例题讲解 当t＋1<1，即t<0时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数， 所以最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1； 当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，最小值为g(t)＝f(1)＝1； 当t>1时函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为 g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2. 综上所述，g(t)＝. 方法归纳 1．含参数的二次函数最值问题的解法 解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值． 2．含参数的二次函数最值问题的三种类型 (1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值． (2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值． (3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数． 通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论．　　 针对训练 课堂总结 1 定义 M 是函数值的上(下)界 M 能被取得到 两个条件缺一不可 2 几何意义 最高点 → 最大值 最低点 → 最小值 看图直接读最值 图象法求最值的依据 3 求最值 图象法 单调性法（看端点） 二次函数分类讨论 对称轴与区间的位置定分类 例1　已知函数f(x)＝ 答案：A　 由得A， ∴f(x)的最大值为. 2．对于每个实数x，设f(x)是y＝4x＋1，y＝x＋2和y＝－2x＋4这三个函数值中的最小值，则函数f(x)的最大值为 (　　) A.　　　 B．3 C.　　 　D. 解析：由题意，可得函数f(x)的图象如图所示． 5．二次函数f(x)＝x2－2x＋3在[0，m]上有最大值3，最小值1，则实数m的取值范围是________． 解析：因为f(x)＝x2－2x＋3在[0,2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增． 则当0<m<2时，此时无解； 当2≤m≤4时，在x＝2处有最小值1，在x＝0或x＝4处有最大值3，此时条件成立； 当m>4时，最大值必大于f(4)＝3，此时条件不成立． 综上可知，实数m的取值范围是[2,4]． $