精品解析：四川天府新区实外高级中学2026-2027学年高三上学期第二次月考数学试题

2026-2027学年高三上学期第二次月考数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，集合， 因此 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的性质及对数函数的性质可得. 【详解】由函数，要使函数有意义，所以，解得. 故函数的定义域为. 故选：B 3. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“”的否定为“”. 4. 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次不等式再结合充分必要条件的定义判断求解. 【详解】因为，所以， 所以是 的充分不必要条件. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数零点和单调性判断即可. 【详解】令，因为， 所以当时有：，方程无实数解， 当时有：，解得（舍去）或， 所以函数有一个零点，即函数图象与轴负半轴有交点，故A、D选项错误； 当时，函数，因为与在上单调递减， 所以当在上单调递减， 故B选项正确，C选项错误. 6. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出，的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案． 【详解】由，得， 令，得， 则，即， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D． 7. 已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到函数的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，结合函数的单调性和对称性，即可求解. 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称， 又由，都有， 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减， 结合对称性知：函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，所以. 故选：B. 8. 函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意构造函数，由条件不等式判断函数在上单调递减，将不等式转化成，利用单调性将问题简化为在上恒成立，求出函数在上的最小值即得. 【详解】由，，可设，， 则，即函数在上为减函数, 因，则，由可得，即， 故得，即在上恒成立. 令，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则时，取得最小值，故，又，故. 故选：B. 二、多选题 9. 已知，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A.直接利用不等式乘除负数的变号规则判断；B.两式作差，通过分析差的正负判断大小；C.利用基本不等式快速判断范围，注意取等条件；D.找反例，得到不成立. 【详解】选项 A，因为 ，且 ，两边同乘 后不等号变向，因此 ， 故A成立； 选项 B，，分子：，，故 ；分母：，， 故 ，因此 ，因此 ，即 ，与选项表述相反， 故B不成立； 选项 C， ，由基本不等式， 又因为 ，故 ，等号无法取到，因此 ， 故C成立； 选项 D，取 时，，，此时 ，不等式不成立，故D不成立. 10. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在点，使得 C. 的最大值为4 D. 使得为等腰三角形的点共有6个 【答案】CD 【解析】 【分析】先由椭圆方程求出，对A，利用离心率公式求解；对B，利用短轴端点处最大的性质判断张角最大值；对C，结合椭圆定义和基本不等式求解判断；对D，分三类等腰三角形情况计数符合条件的点的个数. 【详解】由椭圆，得，则， 对于A，椭圆的离心率，故A错误； 对于B，当点在短轴端点处时，最大，此时，又， 所以，即，所以不存在点，使得，故B错误； 对于C，由椭圆定义得， 由基本不等式可得，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，要使得为等腰三角形，分下面三种情况： 当时，对应短轴两个端点，共2个点； 当，，对应上下2个点； 当，，对应上下2个点； 综上，使得为等腰三角形的点共有6个，故D正确. 11. 已知函数，若对任意，都有，则实数的值可以为（       ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由题意构造函数，说明其单调性，用导数得出其单调性，可将原不等式等价转换为，从而在上恒成立．通过进一步放缩结合导数求最值即可得解. 【详解】令，显然的定义域为全体实数， 则，所以为奇函数． 因为， 且，， 所以，所以在上单调递增． 因为等价于， 所以，所以， 即在上恒成立． 令，则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以，． 令，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以． 对比选项可知，实数的值可以为和. 三、填空题 12. 设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求得，再由求参数，即可得. 【详解】由题意， 所以，在上恒成立，则， 所以，又，可得， 综上，. 13. 已知函数在点的切线与直线平行，求的值__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】，由题意可知，直线的斜率为2，所以，得. 故答案为：1 14. 已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数研究出函数的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问题转化为两函数交点个数问题，数形结合求出实数的取值范围. 【详解】当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，恒为正， 当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且， 画出的图象如下： 要想关于x的方程有3个不同实根，则要函数与有3个不同的交点即可， 显然当时，符合要求. 故答案为： 四、解答题 15. 已知等差数列满足：，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前n项和. 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 【分析】（1）以等比中项为等量关系建立公差的方程，解出公差后代入等差数列通项，注意公差为 0 的常数列情况；（2）对分式型通项因式分解后裂项，通过裂项相消法抵消中间项，化简得到前 项和. 【小问1详解】 设等差数列 的公差为 ，由等差数列通项公式得，， 因为 成等比数列，得，即，整理得，解得 或 ， 当 时， ；当 时， ； 【小问2详解】 由公差不为零，得 ，因此 ， 则 ， 所以 ， 故数列的前n项和为. 16. 已知函数在时取得极小值． （1）求实数，的值； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）， （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，解得、的值，再代入检验； （2）由（1）可得函数解析式，再利用导数说明函数的单调性，求出区间端点的函数值与极小值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 依题意，即， 解得或， 若，则，则无极值点，不满足题意， 经检验符合题意，所以，. 【小问2详解】 由（1）知， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，上单调递增， 则在处取得极小值， 又，，， 所以在上的最小值为，最大值为. 17. 小溪同学参加一个投篮测试，其规则是：有次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至次投篮机会用完；第次投篮后，不论通过与否均结束测试．现假定小溪同学每次投篮结果相互独立，命中率均为． （1）求小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率； （2）记为小溪同学测试结束时投篮的次数，求的分布列及数学期望； （3）求在通过测试的条件下，小溪同学恰好投篮了三次的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设事件为第次投中，则前次投篮中就通过测试可表示，再由概率的加法公式及相互独立事件概率可得； （2）先确定的可能的值，再分别计算相应的概率及期望可得； （3）先计算通过测试概率，再计算前三次通过测试的概率，进而由条件概率公式可得. 【小问1详解】 设事件为第次投中， 则小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率为：． 【小问2详解】 的所有可能取值为：． ，， ，． 则的分布列为： ． 【小问3详解】 设事件：小溪同学通过测试，事件：小溪同学恰好投篮了三次， 因为投篮五次通过概率为， 则，， 则在通过测试的情况下，小溪同学投篮了三次的概率为：． 18. 如图，在三棱柱中，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：在中，，，， 由余弦定理得． ，， ，，、平面，平面． 平面，平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合勾股定理可证得，再结合条件以及线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）分析可知、、两两相互垂直，以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求出的值，再利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），得平面，又、平面，，， 又，、、两两相互垂直． 以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，由（1）知， 则、、、， ，，． 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，，． 设直线与平面所成的角为， 则，解得， ． 在三棱柱中，，且，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 19. 已知函数，，． （1）若函数的导函数为，当时，求的单调区间； （2）当时，，求实数m的取值范围； （3）关于x的方程的两根，满足，且，求的取值范围． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增． （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）利用的符号判断的单调性． （2）构造，由其导数符号得到对数不等式，并结合时的极限确定的上界． （3）先将方程化为关于的方程，利用在上的单调性得到两根的关系，再令求的范围． 【小问1详解】 当时，． 因为，所以当时，当时． 因此在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 当时，题设不等式等价于 令，则，且 所以，即 又因为 故上式右侧比值的下确界为，从而． 反之，当时，且时不等式显然成立． 因此的取值范围为． 【小问3详解】 由可知方程的定义域为． 代入并约去相同的项，得 因，两边除以，得 令，则，于是上式化为 记． 又所以在上递减、在上递增，且． 在时，故在上严格递增． 方程的两个根因此满足两边取对数，得 令，由题设，则 从而 当时， 令，则 所以，即在上单调递增． 因此 又，且对任意，取、， 即有且，从而可取相应的使其成为方程的两根． 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三上学期第二次月考数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 4. 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 7. 已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在点，使得 C. 的最大值为4 D. 使得为等腰三角形的点共有6个 11. 已知函数，若对任意，都有，则实数的值可以为（       ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 13. 已知函数在点的切线与直线平行，求的值__________. 14. 已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为______． 四、解答题 15. 已知等差数列满足：，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前n项和. 16. 已知函数在时取得极小值． （1）求实数，的值； （2）求在区间上的最值． 17. 小溪同学参加一个投篮测试，其规则是：有次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至次投篮机会用完；第次投篮后，不论通过与否均结束测试．现假定小溪同学每次投篮结果相互独立，命中率均为． （1）求小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率； （2）记为小溪同学测试结束时投篮的次数，求的分布列及数学期望； （3）求在通过测试的条件下，小溪同学恰好投篮了三次的概率． 18. 如图，在三棱柱中，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知函数，，． （1）若函数的导函数为，当时，求的单调区间； （2）当时，，求实数m的取值范围； （3）关于x的方程的两根，满足，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $