精品解析：四川省字节精准教育联盟2027届高三上学期第一次质量检测 (SC1)数学试题

2026年秋季学期高三第一次质量检测（SC1） 数 学 考生注意 1.练习分为试题卷和答题卡两部分，试题卷和答题卡各1张. 2.试题卷共4页，答题卡共6面，满分150分，测试时间120分钟. 3.练习前，同学们务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将试题卷和答题卡内项目填写清楚. 4.同学们作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的 答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 5.考试结束后，请将试题卷、答题卡和草稿纸一并交回. 一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分.从题后所给的四个选项中，只有一项符合题意. 1. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 不等式的解集是（       ） A. B. C. D. 3. 下列函数中是增函数的为（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线的两条渐近线夹角的正切值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 6. 随着社会的发展，人与人的交流变得便捷，信息的获取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.已知电磁波在空间中自由传播时能损耗公式为，其中D为传输距离单位：，F为载波频率单位：，L为传输损耗单位：若载波频率变为原来的100倍，传输损耗增加了60 dB，则传输距离变为原来的（ ） A. 100倍 B. 50倍 C. 10倍 D. 5倍 7. 在中，若，，，则等于（） A. B. 7 C. 4 D. 8 8. 已知函数，若方程有三个根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：共3小题，每小题6分，满分18分.从题后所给的四个选项中，有多项符合题意，选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知二项展开式，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于轴对称，下列说法正确的有（ ） A. B. 当时，与的大小关系不确定 C. 当且时，不等式恒成立，则实数的最大值为 D. 记，当时，若为的极小值点，则 11. 把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角得到，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，，（其中为坐标原点），点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知向量满足与的夹角为，若，则__________. 13. 已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 14. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为_______． 四、解答题：共5小题，满分77分.做题时要写出所需的公式定理和必要的文字说明. 15. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 16. 某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示（单位：人）： 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 （1）求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； （3）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：，，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：． 17. 已知数列的前项的和为． （1）求出数列的通项公式； （2）数列的通项公式为，求出数列的前项和． 18. 已知椭圆：，离心率为，圆：． （1）求椭圆的方程； （2）如图所示，是曲线的两个公共顶点，过点作一直线与曲线交于两点（在的上方）．过作与轴平行的直线与圆在轴上方交于点． ①证明； ②若直线，交于，求证：为定值． 19. 已知函数，，． （1）若，求在处的切线方程； （2）证明：仅有一个极值点； （3）记的极值点为，若，，对任意，恒成立，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期高三第一次质量检测（SC1） 数 学 考生注意 1.练习分为试题卷和答题卡两部分，试题卷和答题卡各1张. 2.试题卷共4页，答题卡共6面，满分150分，测试时间120分钟. 3.练习前，同学们务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将试题卷和答题卡内项目填写清楚. 4.同学们作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的 答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 5.考试结束后，请将试题卷、答题卡和草稿纸一并交回. 一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分.从题后所给的四个选项中，只有一项符合题意. 1. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出． 【详解】根据题意,即,则复数在复平面内对应的点为位于第四象限， 故选：D 2. 不等式的解集是（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过移项，通分原不等式可化为，再转化为，根据一元二次不等式解法可得结论. 【详解】由化简得，故， 即，解得， 所以不等式的解集是. 3. 下列函数中是增函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对选项逐一分析函数的单调性，由此选出正确选项. 【详解】对于A： ，由一次函数性质,为减函数，不满足题意，故A错误； 对于B：，由指数函数的性质可知为减函数，不满足题意，故B错误； 对于C：，由幂函数的性质可知在上为减函数，不满足题意，故C错误； 对于D： ，由幂函数的性质可知，为增函数，满足题意，故D正确. 故选：D. 4. 双曲线的两条渐近线夹角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求渐近线的斜率，再代入两直线的夹角公式，即可求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为，所以两条渐近线的斜率， 记所求角为，则. 故选：B 5. 已知函数，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为、、与的交点，数形结合即可判断. 【详解】函数，，的零点， 转化为，，与的图象的交点的横坐标，因为零点分别为， 在坐标系中画出，，与的图象如图： 可知，，，则． 6. 随着社会的发展，人与人的交流变得便捷，信息的获取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.已知电磁波在空间中自由传播时能损耗公式为，其中D为传输距离单位：，F为载波频率单位：，L为传输损耗单位：若载波频率变为原来的100倍，传输损耗增加了60 dB，则传输距离变为原来的（ ） A. 100倍 B. 50倍 C. 10倍 D. 5倍 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，前后两传输公式作差，结合题设数量关系及对数运算，即可得出结果. 【详解】设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离， 则，， ，则，即， 从而，故传输距离变为原来的10倍. 故选：C 7. 在中，若，，，则等于（） A. B. 7 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】用余弦定理计算即可得出结果. 【详解】因为，，，且， 所以， 因为，所以. 8. 已知函数，若方程有三个根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据导数作出函数的图象，数形结合求解参数范围即可. 【详解】当时，，可以看作函数向上平移个单位， 当时，，则， 因为当，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，，， 作出函数图象如下图， 令，则过定点， 当过原点时，即时，图象与图象有4个交点， 时，，当图象与图象相切时，设切点为， 此时， 将代入得， 整理得，因为在上单调递增， 又，所以， 当时，，图象与图象相切，有两个交点. 所以方程有三个根，的取值范围为． 二、选择题：共3小题，每小题6分，满分18分.从题后所给的四个选项中，有多项符合题意，选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知二项展开式，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于， 令，可得，故A正确； 令，可得①，则，故B错误； 令，可得②， 由①+②，得，即，故D正确； 因的第2项为，即， 第9项为，即，所以，故C正确. 10. 已知函数，在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于轴对称，下列说法正确的有（ ） A. B. 当时，与的大小关系不确定 C. 当且时，不等式恒成立，则实数的最大值为 D. 记，当时，若为的极小值点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对称性，将中替换为即可得到，进而判断选项A； 构造函数，通过导数判断函数单调性求得即可判断选项B； 将不等式变形，通过单调性将不等式转化为，参变分离后转化为最值问题， 构造函数后通过导数判断函数单调性求得最值即可判断选项C； 通过导数将表示为关于的函数，再通过导数判断函数单调性即可判断选项D. 【详解】选项A，由函数与的图像关于轴对称，将中替换为， 得，所以选项A正确; 选项B，设，则，当且仅当即时取等, 所以当时，单调递增，，即 所以选项B错误; 选项C，整理不等式得，即， 由在单调递增，得，即对恒成立; 令，当时，，所以在单调递增， ，故，解得，即的最大值为，所以选项C正确; 选项D，，， 当时，令，解得或且, 所以当时，;当时，. 所以的极小值点,代入得， 令，， 设，则，所以在单调递减， ，因此，所以在单调递增， 故，即. 11. 把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角得到，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，，（其中为坐标原点），点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】先由点，，得， 由，得，解得. 又由，得，则， 因此，点，故A错误，B正确. 将绕点逆时针旋转，， 得：， 因此点的坐标为，故C正确. ，故D错误. 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知向量满足与的夹角为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为与的夹角为，所以. 因为，所以， 解得. 13. 已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，进而根据“1”的妙用，及基本不等式即可求解． 【详解】由是幂函数，且在上单调递减， 则，即，解得， 则，即，又，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 14. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设出上下底面中心及外接球半径是，根据正棱台及球的性质列出方程组可得球的半径进而即得. 【详解】 设是下底面正方形中心， 是上底面正方形中心， 为棱台的高，外接球球心为， 则， ， ， ，， ，即 ， 设球心到下底面的距离为，则到上底面的距离为， 外接球半径满足：， 解得， ， 所以正四棱台外接球的表面积是 . 四、解答题：共5小题，满分77分.做题时要写出所需的公式定理和必要的文字说明. 15. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）在中，因为，分别是，的中点，所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理求证； （2）以点为坐标原点建系，计算平面的法向量，利用公式计算即可； （3）利用空间向量中点到平面的距离公式计算. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，． 因为，所以，，两两垂直． 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，，，，分别是棱，，的中点， 所以，，，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则令，则，，所以． 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（2）得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离． 16. 某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示（单位：人）： 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 （1）求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； （3）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：，，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：． 【答案】（1）0.933；管理时间与土地使用面积线性相关． （2） 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 认为村民的性别与参与管理的意愿有关． （3） 0 1 2 3 数学期望． 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的公式可求，从而可判断两个变量线性相关； （2）求出，与临界值比较后可得相应判断； （3）根据二项分布先求出的分布列，根据期望公式可求，或者直接根据二项分布的期望公式求得. 【小问1详解】 由题知，，， ， ， ， 则， 故管理时间与土地使用面积线性相关． 【小问2详解】 依题意，完成表格如下：（单位：人） 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 零假设为：村民的性别与参与管理的意愿无关， 计算可得， 依据的独立性检验，推断不成立， 即认为村民的性别与参与管理的意愿有关． 【小问3详解】 法一：依题意，的可能取值为， 从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故， 故的分布列为： 0 1 2 3 则数学期望． 法二：依题意，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 则，故． 17. 已知数列的前项的和为． （1）求出数列的通项公式； （2）数列的通项公式为，求出数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系结合等比数列的基本量法可得； （2）由错位相减可得. 【小问1详解】 ，① 当时，． 当时，，② ①-②得， 则，即数列是首项为1，公比为2的等比数列， 则， 数列的通项公式为． 【小问2详解】 ， 数列的通项公式为． 令， ， 则． 又， ． 18. 已知椭圆：，离心率为，圆：． （1）求椭圆的方程； （2）如图所示，是曲线的两个公共顶点，过点作一直线与曲线交于两点（在的上方）．过作与轴平行的直线与圆在轴上方交于点． ①证明； ②若直线，交于，求证：为定值． 【答案】（1） （2）①直线的斜率不为0，设的方程为，，． 联立，得， ，则，， 由在椭圆上，在圆上，易知， 则，， 因为，， 所以， 代入韦达定理得， 则，从而． ②直线的方程为，直线的方程为， 则， 所以 由①中韦达定理可知， 代入可得， 即，可解得． 由题意，可设，则， 又，从而，所以为定值． 【解析】 【分析】（1）由椭圆顶点、离心率条件列式算出，直接写出椭圆标准方程； （2）①设直线，并联立椭圆方程，借助韦达定理，用向量坐标乘积为零证明两直线平行； ②写出直线方程并联立求横坐标，再代入坐标算向量数量积得到定值． 【小问1详解】 由题意知，，则， 所以， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 ①略；②略． 19. 已知函数，，． （1）若，求在处的切线方程； （2）证明：仅有一个极值点； （3）记的极值点为，若，，对任意，恒成立，证明：． 【答案】（1） （2）已知 ，其定义域为 ，， 令 ，则 ，所以 在 上单调递减. 利用零点存在定理：则 ， 所以存在唯一的 ，使得 ，即 . 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减. 所以 仅有一个极值点 . （3）因为，所以对任意恒成立， 即 对任意 恒成立. 令 ，则 ， 对求导：， 由复合函数单调性知 在 上单调递减， 且当 时， ， 当 时， ， 所以存在唯一的 ，使得 ， 即 ， ， （1） 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减. ， 由（1）： ，代入： ，因此， 要证 ，只需证 ， （2） 由（1）变形： ， ， 令 ，代入（2），只需证明：，，， 记， ， 为研究 的单调性，设 ， 求导：， 当 时， ，故 ， 因此 在 上严格单调递增，即 在 严格单调递增. ， 由零点存在定理， ，使得 ， 单调递减， 单调递增， ， 在严格递增，由零点存在定理，存在唯一 ，满足 ， 单调递减，, 单调递增， ， 由 得 ， ，等式两边约去 ，得 ， （3） 由 变形： ， ， 即 ， 由 的极值点,满足导数，可得 ， 设 ，求导得 ， 在 严格递减， 方程 的根唯一，故 ， ， 即， 结合 ，得 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数， ，求出为，可求切线方程， （2）求 的导数，再讨论，有唯一实根，进而证明有唯一极值点， （3）根据分析法，结合隐零点进行化简得到最终证明结论. 【小问1详解】 当 时，，， ，， 所以切线方程为 ，即 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $