辽宁大连实验中学2026-2027学年上学期10月学情自测九年级数学试卷

2026-2027学年度第一学期阶段检测2026.10 (九年级数学) 时间：120分钟满分：120分 一、单选题（10题，每题3分，共30分) 1.下列数学符号既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（) A,≌ B.⊥ C.X D.∽ 2.一物体从高空某一位置落下所经过的路程5与下落时间！满足函数关系式5=×9.82，其函数图象大致是 () 3.如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=(x-2)2+1,那么b,c的值分别为（ A.4,5 B.4,3 C.-4,3 D.-4,5 4.将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（) A.J=（x-2)2-3 B.y=（x-2)2+3 C.y=(x+2)2-3 D、y=（x+2)2+3 5.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)的图象如图所示，那么（) A.a<0,b>0,c>0 B.a<0,b<0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b<0,c<0. 6.根据下列表格的对应值： X 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c -0.06 -0.08 -0.03 0.09 判断方程ax2+b+c=0(a≠0，a,b,c为常数)的一个解为x的取值范围是（) A.3<x之3.23 B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26 7.某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边#墙，另外三边用栅 栏围成，若糊栏的总长为10米，设长方形靠墙的一边长为x米，面积为y平方米，x 则y与x满足的函数关系是() A.y=10x B.y=0-2xC.y=9 D.y=-2x2+10x 8.如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，将△ADE领时针旋转90° 后得到的图形是（) A 9.如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M'P'N',则旋转中心 可能是() A.点A B.点B C.点C D.点D 10.如图，在平面直角坐标系中，点A（·2,3),将Rt△O4B绕点0烦时针旋转90°到 Rt△OCD位置，则点C坐标为() A.（-3,-2)B.-(-2,3) C.(2,3) D.(3,2) 二、填空题(5题，每题3分，共15分) 11.已知点A（a,1)与点B(5,b)是关于原点0的对称点，则a+b= 12.点A(4,1)，B(-2,2)在抛物线y=xX-2x上，则y1以（填“>”“<”或“=”）. 13.已知二次函数y=·x2+2x-3a的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-2+2x-3a=0的解为 第'13题 第15题 14、某种型号的小型无人机若陆后滑行的距离s(米)关于滑行的时间！（秒）的函数解析式是5=1601-22，无 人机若陆后滑行 秒才能停下来， 15,如图，物物线y=寻x-8)与x轴交于点0，B,矩形BCD的边B在线段OE上，点B(2,0)在点A的 左侧，点C,D在抛物线上，向右平移抛物线，当平移后的地物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH 平分矩形ABCD的面积时，则抛物线平移的距离为 三、解答题（共76分） 16(8)·如图，在平面直角坐标系中，△4BC三个顶点的坐标分别为A(1,~1),B(2,-5), C(5,4). (1)画出与△ABC关于原点O对称的△MB1C: (2)画出将△A1B1C绕原点O顺时针旋转90°后得到的△M2B2C2 B 17(10),已知二次函数y=ax2+bx+c, 自变量x与函数y的部分对应值如下表： + … -2 -1 0 1 2 3 4 -5 0 3 4 3 0 (1)根据表格信息，描点、画出此二次函数的图象： y (2)求二次函数的解析式： (3)请结合函数图象，回答下列问题： ①写出当y≥0时，x的取值范围： 2 ②写出当-1<x<2时，y的取值范围. 18(8),如图，△MBC中，AB=AC,∠BAC=42°，D为△ABC内一点，连接AD,将AD绕点A逆时针旋转 42”,得到AB,连接DE,BD,CE. (I)求证：BD=CE (2)若DE⊥.AC,求∠BAD的度数. D B 19(8),【问题背绿】教材第54页《数学活动》 戏察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和停于10），猜想其中哪个积最火，如： 91×99,92X98,…,98X92,99X91. 能用二次函数的知识证明95X95积最大。 【类比探究】观察下列两数相桑的运算中，如1×29=29,2×28=56,3×27=81，，13×17=221,14× 16=224,15×15=225,16X14=224,17X13=221,…,27×3=81,28×2m56,29X1=29. 清你清想，积最大的是一· 【归纳佑论】和为定值的两个正数相乘，当这两个数相梦时，它们的须积最大， 【问题解决】 (1)请补全【类比探究】中的猜想：积最大的是 (2)用你所学的知识证明【归纳结论】的正确性：（提示：设其中一个正数为x,两个正数的和为m) (3)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD互相要直，垂足为O,且AC+BD=20,求四边形ABCD的面积 的最大值. D A B 20（8),一次足球训练中，小强从球门正前方1山m的点O处起脚射门，足球射向球门的运行路线是一条地物 线、当足球飞行的水平距离为6m时，足球达到最高点，此时足球离地面.3m,已知球门高AB为2.44m,现以 小强起脚处点0为原点建立如图所示平面直角坐标系. (1)求抛物线的函数裘达式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球： (2)若防守队员小明正在抛物线对称轴的右侧加强防守，小明跳起后头部达到的最大高度为2.25，小明想 要头球防守住此次射门，则小明需要站在球门前，至多离球门多远的地方才可能头球防守住这次射门？ y(m) 3 B (m) 6 1 21（8)·春节期间，各彩院上映多部影片，宿迁某彩院每天运营成本为1500元，该彩院每天售出的电彩票数量 y（单位：张)与售价x(单位：元张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80，且x是整数)，都分数据如表所 示： 电影票售价x(元/张) 42 60 售出电彩要数量y(张) 156 84 (1)谢求出y与x之间的函数关系式： (2)设该彩院每天的利润（利润=票房收入·运营成本）为w（单位：元)，求w与x之间的函致关系式： (3)该影院将电彤票侮价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 22（12)·【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”类誉的法回律师皮耶•德•费马，提出一个问题：求作三 角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”，如图1，点P是△ABC 内的一点，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△APC,则可以构造出等边△APP,得AP=PP,CP=CP, 所以PA+PB+PC的值转化为PP4PB+PC的值，当B,P,P,C四点共线时，线段BC的长为所求的最小值， 即点P为△ABC的“费马点” 【拓展应用】 (1)如图2，点P是等边△ABC内的一点，连接PA,PB,PC,将△PAC绕点A逆时针旋转60°·得到△APC, ①画出图形 ②当PA=3,PB=4,PC=5时，求∠AP'C'的大小： (2)如图3，点P是△ABC内的一点，且∠BAC=90°，AB=6,AC=2V3,求PA+PB+PC的最小值. A P B B B 图1 图2 图3 23（13),定义：在平而直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好 点”，例如A(a,2)就是“友好点”：若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友 好二次函数”，例如二次函数y=(x-1)2+2就是“友好二次函数”， (1)直线y=4x-1上的《友好点”坐标为 (2)若“友好二次函数”y=~+bx+c的图象与y轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达 式： (3)若“友好二次函数”y=x+bx+c的图象过点（~2,8)，且项点在第一象限. ①当m-【≤x≤m时，这个“友好二次函数”的最小值为6，求m的值： ②已知点M(5,4),N(1,n),当线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接 写出n的取值范围. 参考容米与试愿解析 B C 一，选择题（共10小愿） C 3 趣号 3 4 6 8 9 10 答案 C D D C B D 2 5-3-P4 二.填空题（共5小题） 11.【答案】·6 12.【答案】=， B 13.【答案】x1=3,x2=·1 17.【答案】(1)函数图象如下： 14.【答案】40. 15.【答案】3. 三.解容题（共8小题） 16.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求：(2)图，△AB2C2即为所 0 求 (2)y=·x242r+3: (3)①·1≤r≤3：②0<y≤4. 18.【答案】(1)证明：将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE, 19.【答案】(1)根据题意得：积最大的是15×15， ∴.AD=AE,∠DAE=42°， 故答案为：15×15： .∠BMC=42°， (2)设其中一个正数为x,则另一个正数为(m~x),积为y, ∴.∠BAC=∠DAE, y=x(m-x)=-2+ ∴.∠CAE=∠BAD. =-c-受}+婴学 在△ABD与△ACE中， -1<0 (AB AC ∠BAD=∠CAE, 抛物线开口向下，当x=受时，y有最大值， AD=AE ∴.△ABD≌△MCE(SAS), 即当x=mx时，积最大，此时积为 .BD=CE ∴当两个数相等时，乘积最大： (2)解：由(1)知AD=AE,∠DAE=42°， (3),四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直， .DE⊥AC 四边形ABCD的面积S=之AC,BD, ∴.∠CAE=号∠DAE=2I°， ,AC+BD=20, ,∠BAD=∠CAE, 根据“若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大”， ∴.∠BAD=21°. 当AC=BD=10时，AC·BD取得最大但10X10=100, ∴.四边形ABCD面积的最大值S=×100=50. 20.【答案】(1)，当足球飞行的水平距离为6m时，足球达到最高点，此时 21.【答案】(1)设y与x之间的函数关系式为y=+b, 足球离地面3m, 由题意可得： 抛物线的顶点为(6,3)， 42k+b=156 60k+b=84 ∴.设抛物线为y=a(x·6)2+3, ,抛物线过(0,0)， 解将6二324 y=-4r+324(30≤x≤80，且x是整数). .36at3=0. (2)根据题意，得w=x(-4x+324)-1500=-4x2+324r-1500(30≤x 解得a=-立 ≤80，且x是整数). ∴地物找表达式为y=-立x-62+3=-立2+x (3)w=-4x2+324x-1500=-4(x-40.5)2+5061, 当x=1时.y=-立11-6+3=贵 ,30≤x≤80，且x是整数， 11 ∴x=40或41时，w最大为5060. ,球门高AB为2.44m, <2.44. 12 答：电影票售价定为40或41元时每天获利最大，最大利润是5060元. ∴.此次射门在不受干扰的情况下能进球。 (2)“地物线解析式为y=-立区-6)2+3。 ∴当y=2.25时.2.25=-立x-62+3. 解得x1=9或x2=3. “,·小明需要站在地物线对称轴右侧防守， x=9, .11-9=2(m), 答：小明需要站在球门前至多离球门2m的地方才可能头球防守住这次射门. 22.【答案】解：(1)①△PAC绕点A逆时针旋转60°每到△APC, .∠A'CD=60°， 则Rt△ACD中，∠A'CD=60°，A'C=AC=2V3, 则CD=V3,A'D=3, 在Rt△BDA'中，BD=4V3+3=5N3,A'D=3, 则BM'=BD2+AD2=V75+9=22i. ②：∠P'AC+∠CAP=60°，∠CAP+∠BAP=60°， ,∠P'AC=∠BAP. AP=AP',AB=AC. .△ABP≌△ACP'(SAS), .BP=CP'=5, 在△PP'C中，CP'=5,PC=4,AP=3, ∴.△P'PC为直角三角形且∠P'PC=90°， 则∠APC=∠APP'+∠P'PC=60°+90°=I50°： 即∠APC(APC)=1S0°： (2)将△APC围绕点C顺时针旋转60°得到△P'A'C,当B、P、P'、 A四点共线时，PA+PB+PC的最小， 在Rt△ABC中，AB=6,AC=23,则BC=4N3.则∠BCA=60°， 则∠BCA'=∠BCA+∠ACA'=60°+60°=120°， 过点A'作A'D⊥CB交BC的延长线于点D, 23.【答案】(1)（分，1）： ①：“友好二次函数”y-x-2+4,>0,图象开口向上，对称轴 (2)函数y=·24h+c是“友好二次函数”，设它的顶点为(h,2h), 为直线x=2,顶点坐标为(2,4). y=-(x-h)2+2h, 当m≤2时，m·1≤x≤m在对称轴左侧，y随x的增大而减小， 由慇意知，“友好二次函数"y=·x2+b+c的图象与y轴的交点是“友好点”， .当x=m时，函数有最小值6， ∴与y轴交点为(0,0)， 26m-22+4=6, 将(0,0)代入y=·(x-h)2+2h得： 解得：m1=2+2V2,m2=2-2V2, 0=-h2+2h. ,m≤2， 解得：h1=0,2=2, ∴.m=2-22. 当h=0时，y=·x2: 当h=2时，y=-(x-2)2+4=-x2+4x, 当贺二≤2，即2<m≤3时，函数的最小值为4 ∴.不存在最小值为6： 这个“友好二次函数”的表达式为y=·2或y=·x2+4x: (3)“友好二次函数”的图象过点（·2,8)，且顶点在第一象限.设“友 当m-1>2,即m>3时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， .当x=m-1时，函数有最小值6， 好二次函数”的解析式为y=(区-h)2+2h, m-1)-2到2+4=6 ∴8=(-2-h)2+2h. 解得：m1=3+2V2,m2=3-2√2， 解得h1=2,h2=-14, m>3, ,这个“友好二次函数”的图象顶点在第一象限， .m=3+2V2. .h>0. 综上所述，m的值为2-22或3+2√2： h=2, ②n的取值范围为n>子或n=4. y=x-2y2+4.