精品解析：广东江门市江海区外海麻园初级中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

2026~2027学年度第一学期阶段检测（一） 九年级数学 满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项，的最高次数是1，是一元一次方程，A选项错误； B选项，的分母含有未知数，不是整式方程，B选项错误； C选项，的最高次数是2，是一元二次方程，C选项正确； D选项，未说明，当时，不是一元二次方程，D选项错误． 2. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．运用直接开方法求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 直接开方，得． 故选：B 3. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：移项得， 配方得， 整理得． 4. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，形如的函数为二次函数，先化简各选项函数，再判断是否为二次函数． 【详解】解：A选项是一次函数，不符合． B选项：，是二次函数，符合． C选项：，是一次函数，不符合． D选项：的右边含分式，不是整式函数，不符合． 5. 已知、是方程的两个实数根，则与的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是掌握顶点式中顶点坐标为． 根据二次函数顶点式的坐标特征，直接确定顶点坐标． 【详解】解：对于抛物线的顶点式，其顶点坐标为． 在抛物线中，， 所以顶点坐标是． 故选：D． 7. 将抛物线y=2x2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( ) A. y=2(x+1)2+3 B. y=2(x－1)2－3 C. y=2(x+1)2－3 D. y=2(x－1)2+3 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线平移不改变a的值求解此题． 【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，3）． 可设新抛物线的解析式为y=2（x-h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3． 故选：A． 8. 某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题中所给的总共发送短信条，直接列出符合题意的一元二次方程． 【详解】解：设参加培训的有人，每人需向其余人各发一条短信，总短信条数为条，由题意得． 9. 二次函数的最大值是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】二次函数开口向下，将一般式配方为顶点式可求得最大值． 【详解】解：∵二次函数， 又∵， ∴该函数图像开口向下， ∴当时，取最大值，最大值为． 10. 已知抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，顶点在x轴下方，且与y轴交于正半轴．下列结论：①；②；③若点和都在抛物线上，则；④当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线对称轴公式得，结合开口方向、顶点位置、函数增减性逐一判断各结论． 【详解】解：由题意得，对称轴为直线，，顶点在轴下方， ∵， ∴，即，故①正确； 当时，为顶点纵坐标， ∵顶点在轴下方， ∴，故②正确； ∵点关于对称轴的对称点为， 又∵抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大，， ∴，故③错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故④正确． 综上，正确结论是①②④，共3个． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 二次函数的图象经过点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入二次函数解析式，即可求解的值． 【详解】∵点在二次函数的图象上， ∴将，代入解析式得， 整理得， 解得． 12. 把一元二次方程 化为一般形式是____________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式为，移项整理原方程即可得到结果． 【详解】解：移项得． 13. 抛物线与y轴的交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】y轴上所有点的横坐标为，将代入抛物线解析式计算y的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵y轴上点的横坐标为， ∴在抛物线中，令，计算得， 因此抛物线与轴的交点坐标为． 14. 已知二次函数的最小值为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】对二次函数配方，开口向上的二次函数最小值为顶点纵坐标，根据已知最小值建立方程求解． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数图象开口向上，顶点纵坐标为，即函数最小值为， ∵二次函数最小值为， ∴， 解得． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根、，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系结合已知条件得到，求出的可能值，再根据方程有两个实数根得到判别式非负，筛选出符合条件的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴判别式， ，，， 代入得：，解得； ∵由根与系数的关系可得， ∵，∴，解得或； ∵，不满足，舍去， ∴． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解： ，    或  ，； 【小问2详解】 解：    或  ，． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）当时，设方程的两个根为、，求的值． 【答案】（1）的取值范围是． （2）的值为． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，求解即可； （2）当时，一元二次方程为，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：当时，一元二次方程为， ∵方程的两个实根是和， ∴，， ∴． 18. 已知抛物线过点和点 （1）求这个函数的关系式； （2）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； （3）写出当x为何值时，函数y随x的增大而增大． 【答案】（1） （2）与轴的交点坐标为和，与轴的交点坐标为 （3）当时，函数随的增大而增大 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出时y的值和时x的值即可得到答案； （3）开口向下的二次函数，在对称轴左侧函数y随x的增大而增大，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点和点， ∴， ∴， ∴这个函数的关系式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 当时，，解得， ∴该函数与轴的交点坐标为和，与轴的交点坐标为； 【小问3详解】 解：∵该函数的二次项系数为，对称轴为y轴， ∴当时，函数随的增大而增大． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某水果店销售荔枝，每斤进价20元．当售价为每斤30元时，每天可售出200斤；经市场调查，售价每上涨1元，每天销量减少10斤．设售价上涨x元． （1）涨价后每斤利润为________元，每天销量为________斤（用含x的代数式表示）； （2）若该店想每天获得利润2250元，求此时荔枝的售价； （3）请判断（2）中符合条件的售价是否唯一，并说明理由． 【答案】（1）， （2）35元 （3）解：符合条件的售价是唯一的．理由如下： 根据题意，得， 此时， 故方程有两个相等的实数根， 故售价是唯一的． 【解析】 【分析】（1）设售价上涨x元，售价为每斤元，每斤可盈利元，每天可售出斤，求解即可． （2）根据题意，总利润=每斤利润乘以总销售斤数，构造方程解答即可． （3）根据一元二次方根的判别式，解答即可． 【小问1详解】 解：设售价上涨x元，售价为每斤元，每斤可盈利元，每天可售出斤． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 整理，得， 解得， 故． 此时荔枝的售价为35元． 【小问3详解】 解：略． 20. 定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于的一元二次方程（）为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； （3）已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】（1）方程是有爱方程，理由如下： ，，， ， 方程是“有爱方程”； （2） 证明：方程是“有爱方程”， ， 原方程为， ， ， ， 是原方程的解； （3），． 【解析】 【分析】（）通过“有爱方程”定义即可求解； （）由“有爱方程”定义可得，则原方程为，然后解方程即可； （）由是关于的“有爱方程”，则，又是该“有爱方程”的一个根，所以，从而得，然后解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是关于的“有爱方程”， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， 由得， 把代入得， 化简得， 解得，． 21. 综合与实践：某体育课上，一名同学进行定点投篮训练．经测定，篮球出手后离地面的高度h（米）与篮球离出手点的水平距离x（米）之间满足． （1）求篮球离出手点的水平距离为多少米时，篮球达到最大高度，最大高度是多少米； （2）当篮球离地面的高度为3米时，求篮球离出手点的水平距离； （3）防守队员站在离出手点水平距离米处，跳起伸手可达到米的高度．请通过计算判断：篮球在该处的高度能否超过防守队员伸手的高度． 【答案】（1）篮球离出手点的水平距离为2米时达到最大高度，最大高度是米． （2）篮球离出手点的水平距离为3米或1米． （3）篮球在该处的高度能超过防守队员伸手的高度． 【解析】 【分析】（1）将二次函数配方为顶点式，再结合开口方向求最值即可； （2）令，解一元二次方程即可求得对应的水平距离； （3）将代入解析式求出h，与比较大小判断． 【小问1详解】 解∶∵篮球高度h与水平距离x的函数关系为，， ∴当时，h取得最大值，最大值为． 答∶篮球离出手点的水平距离为2米时达到最大高度，最大高度是米． 【小问2详解】 解：令，则， 整理得， 解得． 答∶篮球离出手点的水平距离为3米或1米． 【小问3详解】 解：当时， ． ∵， ∴篮球在该处的高度能超过防守队员伸手的高度． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 已知关于x的一元二次方程（m为常数）． （1）求证：是该方程的一个根； （2）求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根； （3）若该方程的两个根之差为3，求m的值． 【答案】（1）证明：将代入方程，得 ， ∵左边右边， ∴是该方程的一个根； （2）证明：在方程中，，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴无论取何值，该方程总有两个实数根； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据方程根的定义，将代入方程左边验证是否等于右边即可得证； （2）计算一元二次方程的判别式，通过配方证明其恒大于等于0； （3）先因式分解得到方程的两个根，再结合两根差为3列绝对值方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 解得，， 由题意得，， ∴当时，解得； 当时，解得． 综上所述，m的值为5或． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． （1）___________，___________（用含t的代数式表示） （2）记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 【答案】（1）， （2）①是，；② 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出相关代数式即可； （2）分别计算出和，①求得是定值；②求得，运用二次函数的性质可得结论． 【小问1详解】 解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； 【小问2详解】 解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期阶段检测（一） 九年级数学 满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知、是方程的两个实数根，则与的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线y=2x2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( ) A. y=2(x+1)2+3 B. y=2(x－1)2－3 C. y=2(x+1)2－3 D. y=2(x－1)2+3 8. 某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的最大值是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 4 10. 已知抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，顶点在x轴下方，且与y轴交于正半轴．下列结论：①；②；③若点和都在抛物线上，则；④当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 二次函数的图象经过点，则的值为________． 12. 把一元二次方程 化为一般形式是____________． 13. 抛物线与y轴的交点坐标是________． 14. 已知二次函数的最小值为，则的值为______． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根、，且，则的值为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）当时，设方程的两个根为、，求的值． 18. 已知抛物线过点和点 （1）求这个函数的关系式； （2）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； （3）写出当x为何值时，函数y随x的增大而增大． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某水果店销售荔枝，每斤进价20元．当售价为每斤30元时，每天可售出200斤；经市场调查，售价每上涨1元，每天销量减少10斤．设售价上涨x元． （1）涨价后每斤利润为________元，每天销量为________斤（用含x的代数式表示）； （2）若该店想每天获得利润2250元，求此时荔枝的售价； （3）请判断（2）中符合条件的售价是否唯一，并说明理由． 20. 定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于的一元二次方程（）为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； （3）已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 21. 综合与实践：某体育课上，一名同学进行定点投篮训练．经测定，篮球出手后离地面的高度h（米）与篮球离出手点的水平距离x（米）之间满足． （1）求篮球离出手点的水平距离为多少米时，篮球达到最大高度，最大高度是多少米； （2）当篮球离地面的高度为3米时，求篮球离出手点的水平距离； （3）防守队员站在离出手点水平距离米处，跳起伸手可达到米的高度．请通过计算判断：篮球在该处的高度能否超过防守队员伸手的高度． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 已知关于x的一元二次方程（m为常数）． （1）求证：是该方程的一个根； （2）求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根； （3）若该方程的两个根之差为3，求m的值． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． （1）___________，___________（用含t的代数式表示） （2）记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $