精品解析：江苏省泰州中学附属初级中学2026-2027学年第一学期八年级数学第一次独立作业

八年级数学单元独立作业 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 3，4，6 C. 2，4，7 D. 3，5，8 2. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数据是勾股数的有（ ） ，，；，，；，，；，，；，，． A. 组 B. 组 C. 组 D. 组 4. 在中，，，的对边分别为a，b，c，满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 5. 等腰三角形的两边长分别为4和9，这个三角形的周长是（　　） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 6. 如图，是一个正在修建的公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭是（ ） A. 的角平分线与边上中线的交点 B. 的角平分线与边上中线的交点 C. 的角平分线与边上中线的交点 D. 的角平分线与边上中线的交点 二、填空题（每小题3分，共30分） 7. 实数的立方根是 _______ 8. 若，且的周长为20，，，则的长为______． 9. 用四舍五入法将精确到，所得到的近似数是__________． 10. 在中，、的垂直平分线分别交于、．若，则的度数为__________． 11. 已知实数，满足，则值的平方根为__________． 12. 如图，在中，为边上的中线，于点，于点，，，，则__________． 13. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接，若，则的长为___________． 14. 如图，在中，是的中点，，，交于，，，则的长为__________． 15. 如图，在中，，，．现有动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间记为（单位：）．当为___________s时，是直角三角形． 16. 如图，在中，，，，点是边上的动点，当最小时的长度为_________． 三、解答题（本大题共10小题，共102分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解下列方程 （1） （2） 19. 已知的立方根是1，算术平方根是3，的整数部分是c． （1）求a，b，c的值． （2）求的平方根． 20. 已知：如图，点、、、在一条直线上，且，，． 求证：． 21. 如图，在中，． （1）在上取一点，使得；（补全图形尺规作图，保留作图痕迹） （2）在上取一点，使得点到的距离等于．（补全图形尺规作图，保留作图痕迹） 22. 如图，在中，，，，，， （1）求的面积； （2）求中边上的高的长度． 23. 【应用举例】 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；… 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾用（，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股__________，弦__________ 【问题解决】 （2）如果，，（为大于1的整数），则、、为勾股数．请你证明其正确性； （3）已知在（2）的条件下，，请判断以，，为三边长的三角形的形状． 24. 如图，是等边三角形，是中线，延长至点，连接， （1）求证：； （2）过点作，垂足为．若，求的周长． 25. 如图1，在中，，，直线经过点，过点作，垂足为，且，过点作，垂足为，且． （1）求证：； （2）如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接，且． ①求的面积： ②求的长度． 26. 若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称和互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”． （1）如图1，和互为“底余等腰三角形”．若连接，，判断和是否互为“底余等腰三角形”：__________．（填“是”或“否”） （2）如图2，和互为“底余等腰三角形”．当时，若的“余高”是． ①请用直尺和圆规作出（要求：不写作法，保留作图痕迹）； ②求证：； ③连接、，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学单元独立作业 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 3，4，6 C. 2，4，7 D. 3，5，8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】A、，故2，3，6不能组成三角形，不符合题意； B、，故3，4，6能组成三角形，符合题意； C、，故2，4，7不能组成三角形，不符合题意； D、，故3，5，8不能组成三角形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数定义，先化简各选项，再判断：整数、循环小数都是有理数，含的数（如）是无限不循环小数，属于无理数． 【详解】解：，均为整数，是无限循环小数，均属于有理数. 是无理数. 是无理数. 3. 下列各组数据是勾股数的有（ ） ，，；，，；，，；，，；，，． A. 组 B. 组 C. 组 D. 组 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，勾股数，根据勾股数是三个正整数，且满足只需逐一检查每组数据是否均为正整数，并验证是否满足勾股定理即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股数必须为正整数且满足， ∵，，是整数，且， ∴是勾股数，符合题意； ∵，，不是整数， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，是整数，且， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，中不是整数， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，是整数，且， ∴是勾股数，符合题意； 综上可得：只有和是勾股数，共组， 故选：． 4. 在中，，，的对边分别为a，b，c，满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形的定义，三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握定义，以及三角形内角和定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故C不符合题意； ∵， ∴不满足三角形的三边关系， 故D符合题意； 故选：D． 5. 等腰三角形的两边长分别为4和9，这个三角形的周长是（　　） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的性质，题目给出的两边长没有明确腰、底分别是多少，所以分类讨论，再根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：若腰长为4，则三角形的三边长分别为4，4，9， ， 不符合三角形的三边关系， 若腰长为9，则三角形的三边长分别为4，9，9， ， 符合三角形的三边关系， 这个三角形的周长是． 故选：B． 6. 如图，是一个正在修建的公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭是（ ） A. 的角平分线与边上中线的交点 B. 的角平分线与边上中线的交点 C. 的角平分线与边上中线的交点 D. 的角平分线与边上中线的交点 【答案】B 【解析】 【详解】解：凉亭到公路、的距离相等，且在的内部， 点在的角平分线上（角内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）． ，且与有公共底边， 点、点到直线的距离相等． 直线经过的中点，即点在边上的中线上． 综上，凉亭是的角平分线与边上中线的交点． 二、填空题（每小题3分，共30分） 7. 实数的立方根是 _______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键；因此此题可根据立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：由可知：实数的立方根是； 故答案为． 8. 若，且的周长为20，，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，先根据周长和已知边长求出的长，再根据全等三角形对应边相等即可得到答案． 【详解】∵的周长为20，， ∴， ∵， ∴， 答案为：6． 9. 用四舍五入法将精确到，所得到的近似数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将数字精确到，需根据千分位的数字，按照四舍五入规则判断是否进位，得到最终近似数． 【详解】解：精确到需要看千分位上的数字，千分位数字是，， 需要向百分位进，原百分位数字为，， 向十分位再进，原十分位数字变成，百分位保留占位， 得到的近似数为． 10. 在中，、的垂直平分线分别交于、．若，则的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种位置情况讨论，根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，，分别垂直平分和， ，， ，， ， 则， 解得，， ， 如图2 ，分别垂直平分和， ，， ，， ， 则， 解得，， ． 11. 已知实数，满足，则值的平方根为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根和平方数的非负性，分别求出和的值，再计算后求其平方根． 【详解】解： 算术平方根，平方数，且 ， 即 ， 解得 ， ， ， 的平方根为，即值的平方根为． 12. 如图，在中，为边上的中线，于点，于点，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质可知与面积相等，利用三角形面积公式分别表示出两个三角形的面积，建立等量关系即可求解． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵于点，于点， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 13. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接，若，则的长为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得出，从而由求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． 14. 如图，在中，是的中点，，，交于，，，则的长为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】结合D是的中点，，得，根据，，故，证明，得，，即可求出，再证明，则得到，根据即可求解． 【详解】解：连接， ∵D是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， 过作的延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在中，，，．现有动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间记为（单位：）．当为___________s时，是直角三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直角三角形性质求出长及度数，用含的代数式表示和，分和两种情况，利用含角的直角三角形性质列方程求解． 【详解】解：，，， ，， 由题意得：，， ， 当是直角三角形时，分两种情况讨论： ①当时， ， ， ， 即， 解得； ②当时， ， ， ，即， 解得； 综上所述，当或时，是直角三角形． 16. 如图，在中，，，，点是边上的动点，当最小时的长度为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】作关于直线的对称角，过点作，交于，此时，最小，最小值为，，根据条件求出，即可得时，最小，根据勾股定理求出，进而求出，再根据勾股定理即可求出的值即可． 【详解】解：如图， 作关于直线的对称角，则， 过点作，交于，此时，最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴时，最小， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴当最小时的长度为4． 三、解答题（本大题共10小题，共102分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依次计算乘方、立方根、绝对值，再合并化简． （2）先计算负整数指数幂、算术平方根、立方根，再按先乘后加减的顺序计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或． 【小问2详解】 解： ， ， ． 19. 已知的立方根是1，算术平方根是3，的整数部分是c． （1）求a，b，c的值． （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键． （1）分别根据立方根及算术平方根的定义，估算无理数大小的方法求出，，的值即可； （2）先求出的值，再由平方根的定义即可解答． 【小问1详解】 解：的立方根是1， ， ； 的算术平方根是3， ， ， ； ， ， 是的整数部分， ； 【小问2详解】 解：，，， ， ， 的平方根是． 20. 已知：如图，点、、、在一条直线上，且，，． 求证：． 【答案】证明：∵， ∴, ∴， ∵， ∴， 在与中 ∴， ∴ ． 【解析】 【详解】略 21. 如图，在中，． （1）在上取一点，使得；（补全图形尺规作图，保留作图痕迹） （2）在上取一点，使得点到的距离等于．（补全图形尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】（1）点如图所示： （2）点如图所示： 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，与的交点即为所求的点； （2）作的角平分线，与的交点即为所求的点． 【小问1详解】 解：由尺规作图可知，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作于点， 由尺规作图可知，平分， ∵，， ∴，即点到的距离等于． 22. 如图，在中，，，，，， （1）求的面积； （2）求中边上的高的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解，再证明，进一步可得答案； （2）利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为：． 【小问2详解】 解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴中边上的高的长度为． 23. 【应用举例】 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；… 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾用（，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股__________，弦__________ 【问题解决】 （2）如果，，（为大于1的整数），则、、为勾股数．请你证明其正确性； （3）已知在（2）的条件下，，请判断以，，为三边长的三角形的形状． 【答案】（1） （2）证明：，，（为大于1的整数）， ，，都是正整数， ，， ， 故、、为勾股数． （3）解：以，，为三边长的三角形是直角三角形．理由如下： ，，（为大于1的整数）， 当时， ， 解得 ，， ，， ， 所对的角为， 故该三角形是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据特例发现，股中括号里的第一项恰好是勾的平方，弦中括号里的第一项恰好是勾的平方，其余特点，保持不变，解答即可； （2）根据勾股数的定义，解答即可； （3）根据勾股定理逆定理解答即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 证明：略． 【小问3详解】 解：略． 24. 如图，是等边三角形，是中线，延长至点，连接， （1）求证：； （2）过点作，垂足为．若，求的周长． 【答案】（1）证明：△是等边三角形， ， ∵是中线， ， ， ， 又， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到． （2）由的长可求出，进而可求出的长，则的周长即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ∵是中线， ∴， ， 的周长． 25. 如图1，在中，，，直线经过点，过点作，垂足为，且，过点作，垂足为，且． （1）求证：； （2）如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接，且． ①求的面积： ②求的长度． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）①；② 【解析】 【分析】（）先推导和的角的关系，再结合，利用全等三角形来证明全等； （）①先证明，过点作于，证明，可得，进一步利用割补法可得答案； ②证明，可得，结合，，进一步可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴，， ∵， ∴， 过点作于， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为：． ②∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 26. 若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称和互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”． （1）如图1，和互为“底余等腰三角形”．若连接，，判断和是否互为“底余等腰三角形”：__________．（填“是”或“否”） （2）如图2，和互为“底余等腰三角形”．当时，若的“余高”是． ①请用直尺和圆规作出（要求：不写作法，保留作图痕迹）； ②求证：； ③连接、，若，，求的长． 【答案】（1）是 （2）①如图所示： ②证明：如图，作于点， ∵和互为“底余等腰三角形”， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ③ 【解析】 【分析】（1）推导出，进而可推导出，满足“底余等腰三角形”的定义； （2）①作的垂直平分线，与的交点即为点，连接即可； ②作于点，由“底余等腰三角形”的定义容易证明，则，结合等腰三角形的性质可得； ③作于点，同理②可得，然后使用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴和互为“底余等腰三角形”； 【小问2详解】 解：①由尺规作图可知，点为的中点， ∵， ∴， ∴即为的“余高”； ②略 ③如图，作于点， ∵， ∴， 同理②可得，， ∵， ∴， 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $