5.2 一次函数的概念 课时作业 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学八年级上册5.2一次函数的概念同步练，分层清晰，从概念理解到综合应用层层递进，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数学抽象、推理及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|一次函数与正比例函数概念、参数求解、简单应用|选择填空结合解答题，夯实概念辨析与基础运算，发展数学思维| |能力提升|复合函数、几何与实际问题综合应用|通过几何面积、通讯资费等情境，提升推理与问题解决能力| |拓展探究|新定义、分段函数、跨学科应用|以阶梯水价、弹簧实验等问题，培养模型意识与创新意识|

5.2 一次函数的概念 课时作业 苏科版 · 八年级上册 · 第5章 一次函数 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 用时：______分钟 一、学习目标 1．理解一次函数和正比例函数的概念，明确两者之间的关系． 2．能根据一次函数的定义判断一个函数是否为一次函数（或正比例函数），并能根据定义求字母参数的值． 3．能根据实际问题中的数量关系列出一次函数表达式，并确定自变量的取值范围． 4．会用待定系数法求简单的一次函数（正比例函数）表达式． 二、知识梳理 知识点1 一次函数与正比例函数 一般地，形如 y=kx+b（k、b 为常数，k≠0）的函数，叫作 x 的一次函数．其中 k 叫作一次项系数，b 叫作常数项． 当 b=0 时，y=kx（k 为常数，k≠0），y 叫作 x 的正比例函数，k 叫作比例系数． 关系：正比例函数是特殊的一次函数；一次函数不一定是正比例函数． 知识点2 一次函数的结构特征 判断一个函数是否为一次函数，看三个条件： （1）自变量 x 的次数为 1； （2）一次项系数 k≠0； （3）等号右边是关于 x 的整式（x 不能出现在分母中）． 常数项 b 可以为任意常数（包括 0）．若 b=0，则为正比例函数． 注意：有些函数需要先化简再判断，如 y=2(x-1)-2x 化简后 y=-2，不是一次函数． 知识点3 由定义求参数的值 （1）y=(m-2)x+3 是一次函数 ⇒ m-2≠0； （2）y=(k+1)x+k²-1 是正比例函数 ⇒ k+1≠0 且 k²-1=0； （3）y=(m-3)x|m|-2+5 是一次函数 ⇒ |m|-2=1 且 m-3≠0． 口诀：次数为 1，系数不为 0；正比例函数，常数项为 0． 知识点4 用待定系数法求表达式 （1）求正比例函数 y=kx 的表达式，只需一个条件（一组 x、y 的对应值）； （2）求一次函数 y=kx+b 的表达式，需要两个条件，列方程组求出 k、b． （3）“y 与 x 成正比例”⇔ y=kx（k≠0）；“y-a 与 x 成正比例”⇔ y-a=kx（k≠0）；“y 与 x+c 成正比例”⇔ y=k(x+c)（k≠0）． 知识点5 实际问题中的一次函数 列函数表达式的一般步骤：①审题，找出变量和常量；②找出等量关系；③用含自变量的式子表示函数；④根据实际意义写出自变量的取值范围． 常见模型：总量 = 初始量 + 变化率 × 自变量；剩余量 = 初始量 - 消耗率 × 自变量． 三、典例精析 【例1】已知函数 y=(m+1)x+m²-1． （1）当 m 为何值时，y 是 x 的一次函数？（2）当 m 为何值时，y 是 x 的正比例函数？ 【解答】（1）由 m+1≠0，得 m≠-1．所以当 m≠-1 时，y 是 x 的一次函数． （2）由 m²-1=0 且 m+1≠0，得 m=±1 且 m≠-1，所以 m=1．当 m=1 时，y=2x 是正比例函数． 【易错提醒】求正比例函数中的参数时，既要满足常数项为 0，又不能忘记一次项系数不为 0． 【例2】已知 y 是 x 的一次函数，当 x=1 时，y=1；当 x=-1 时，y=5．求这个一次函数的表达式． 【解答】设 y=kx+b（k≠0）．根据题意，得 k+b=1，-k+b=5．两式相加得 2b=6，b=3；代入得 k=-2．所以一次函数表达式为 y=-2x+3． 【例3】某商店以每千克 8 元的价格出售苹果，另收包装费 2 元．写出付款金额 y（元）与购买苹果质量 x（kg）之间的函数表达式，并判断 y 是否为 x 的一次函数． 【解答】y=8x+2（x>0）．其中 k=8≠0，b=2，所以 y 是 x 的一次函数，但不是正比例函数． 易错辨析 【辨析1】y=kx+b 一定是一次函数吗？——不一定．必须强调 k≠0．当 k=0 时，y=b 是常数函数，不是一次函数． 【辨析2】一次函数一定是正比例函数吗？——不一定．只有 b=0 时才是正比例函数；但正比例函数一定是一次函数． 【辨析3】y= 是一次函数吗？——不是．x 在分母中，右边不是整式；而 y= 是一次函数（k=）． 【辨析4】“y 与 x-1 成正比例”能写成 y=kx-1 吗？——不能．应写成 y=k(x-1)（k≠0），展开后为 y=kx-k． 四、基础巩固 （一）选择题 1．下列函数中，是一次函数的是（　　） A．y=2x²-1 B．y=x(x-1) C．y=-1 D．y=3 2．下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y=-x B．y=2x+1 C．y=x² D．y= 3．若函数 y=(m-2)x+3 是一次函数，则 m 的取值范围是（　　） A．m=2 B．m≠2 C．m>2 D．m≠-2 4．若函数 y=(k+1)x+k²-1 是正比例函数，则 k 的值为（　　） A．±1 B．1 C．-1 D．0 5．一次函数 y=-3x+5 中，k 和 b 的值分别是（　　） A．3，5 B．-3，-5 C．-3，5 D．5，-3 6．下列问题中，两个变量成正比例关系的是（　　） A．正方形的面积 y 与边长 x B．圆的周长 y 与半径 x C．面积一定的长方形的长 y 与宽 x D．人的身高 y 与年龄 x （二）填空题 7．若函数 y=(m-3)x|m|-2+5 是一次函数，则 m=______． 8．已知 y 是 x 的正比例函数，当 x=2 时，y=-6，则 y 与 x 的函数表达式为______；当 x=- 时，y=______． 9．已知一次函数 y=kx+3，当 x=2 时，y=-1，则 k=______． 10．苹果每千克 8 元，购买 x 千克应付 y 元，则 y 与 x 之间的函数表达式为______，y 是 x 的______函数． 11．已知 y-2 与 x 成正比例，且当 x=1 时，y=5，则 y 与 x 之间的函数表达式为______． 12．若函数 y=(2-a)x+a²-4 是正比例函数，则 a=______． （三）解答题 13．下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？说明理由． （1）y=-8x；　（2）y=+1；　（3）y=5x²+6； （4）y=-0.5x-1；　（5）y=2(x-1)-2x；　（6）y=πx． 14．写出下列各题中 y 与 x 之间的函数表达式，并判断 y 是否为 x 的一次函数、正比例函数． （1）汽车油箱中有油 60 L，汽车每行驶 1 km 耗油 0.1 L，油箱中剩余油量 y（L）与行驶路程 x（km）； （2）等边三角形的周长 y 与边长 x； （3）小亮现有存款 1000 元，从本月开始每月存入 200 元，x 个月后的存款总额 y（元）． 15．如图1，一张方桌可坐 4 人，按图中方式把方桌拼成一排． 图1 （1）写出拼成一排的方桌张数 n 与可坐人数 y 之间的函数表达式；y 是 n 的一次函数吗？ （2）若要坐 50 人，需要拼多少张方桌？ 五、能力提升 16．已知 y 与 x+1 成正比例，且当 x=2 时，y=6，则当 x=-3 时，y 的值为（　　） A．4 B．-4 C．6 D．-6 17．已知 y=y₁+y₂，y₁ 与 x 成正比例，y₂ 与 x-2 成正比例．当 x=1 时，y=0；当 x=3 时，y=4．则 y 与 x 之间的函数表达式为______． 18．如图2，长方形 ABCD 中，AB=6，BC=10，点 P 在边 BC 上（不与 B、C 重合），设 BP=x，四边形 APCD 的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数表达式为______，自变量 x 的取值范围是______． 图2 19．某通讯公司推出一种手机资费方式：月租费 20 元，另外每通话 1 分钟收费 元． （1）写出每月话费 y（元）与通话时间 x（分）之间的函数表达式； （2）若某月通话 300 分钟，应付话费多少元？ （3）若某月付话费 38 元，则这个月通话多少分钟？ 20．已知函数 y=(2m+4)x+(3-n)． （1）当 m、n 满足什么条件时，y 是 x 的一次函数？ （2）当 m、n 满足什么条件时，y 是 x 的正比例函数？ （3）当 m=1，n=5 时，求 x=-2 时的函数值，以及函数值为 4 时自变量的值． 21．一个长方体水箱中原有水深 10 cm，现向水箱中匀速注水，每分钟水面升高 2 cm，已知水箱高 50 cm． （1）写出水深 h（cm）与注水时间 t（分）之间的函数表达式，并写出 t 的取值范围； （2）h 是 t 的一次函数吗？注水多长时间后水箱恰好注满？ 六、拓展探究 22．为鼓励节约用水，某市实行阶梯水价：每户每月用水量不超过 15 吨时，每吨水费 3 元；超过 15 吨的部分，每吨水费 5 元．设某户某月用水量为 x 吨，应交水费 y 元． （1）分别写出 0≤x≤15 和 x>15 时，y 与 x 之间的函数表达式，并指出它们分别是什么函数； （2）若小丽家某月用水 20 吨，应交水费多少元？ （3）若小亮家某月交水费 60 元，则这个月用水多少吨？ 23．【新定义】对于一次函数 y=kx+b（k≠0），我们把 [k，b] 称为该函数的“特征数”．例如，y=-2x+3 的特征数为 [-2，3]． （1）写出一次函数 y=-4 的特征数； （2）若特征数为 [m-1，m²-1] 的函数是正比例函数，求 m 的值及该函数的表达式； （3）在（2）的条件下，当函数值为 4 时，求自变量 x 的值． 24．某长途客运公司规定：旅客可以免费携带一定质量的行李，超过部分需购买行李票．行李票费用 y（元）是行李质量 x（kg）的一次函数．已知行李质量为 20 kg 时需付费 2 元，行李质量为 50 kg 时需付费 8 元． （1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）旅客最多可以免费携带多少千克的行李？ （3）某旅客付了 5 元行李费，他携带的行李质量是多少千克？ 25．在弹簧挂物实验中，测得弹簧长度 y（cm）与所挂物体质量 x（kg）的几组对应值如下表： 所挂物体质量 x/kg 0 1 2 3 4 弹簧长度 y/cm 18 20 22 24 26 （1）在弹性限度内，写出 y 与 x 之间的函数表达式，y 是 x 的一次函数吗？ （2）若弹簧的最大长度为 30 cm，求自变量 x 的取值范围； （3）当所挂物体质量为 kg 时，弹簧长度是多少？ 参考答案与解析 四、基础巩固 1．C 【解析】A、B 中 x 的最高次数是 2（B 化简为 y=x²-x），不是一次函数；D 中 y=3 不含自变量 x，不是一次函数；C 中 y=x-1，k=≠0，是一次函数． 2．A 【解析】y=-x 符合 y=kx（k≠0）的形式．B、D 常数项不为 0，C 中 x 的次数为 2． 3．B 【解析】一次项系数不为 0，即 m-2≠0，m≠2． 4．B 【解析】k²-1=0 且 k+1≠0，得 k=1． 5．C 6．B 【解析】圆的周长 y=2πx，符合 y=kx（k=2π≠0）．A 中 y=x²；C 中长与宽的乘积一定，不是正比例关系；D 中两者没有确定的函数关系． 7．-3 【解析】由 |m|-2=1，得 m=±3；又 m-3≠0，所以 m=-3． 8．y=-3x；1 【解析】设 y=kx，则 -6=2k，k=-3．当 x=- 时，y=-3×(-)=1． 9．-2 【解析】-1=2k+3，解得 k=-2． 10．y=8x；正比例（也是一次） 11．y=3x+2 【解析】设 y-2=kx，把 x=1，y=5 代入得 k=3，所以 y-2=3x，即 y=3x+2． 12．-2 【解析】a²-4=0 且 2-a≠0，得 a=±2 且 a≠2，所以 a=-2． 13．【答案】一次函数有（1）（2）（4）（6）；正比例函数有（1）（6）． 【解析】（1）y=-8x，k=-8，b=0，既是一次函数又是正比例函数； （2）y=x+1，k=，b=1，是一次函数，不是正比例函数； （3）x 的次数为 2，不是一次函数； （4）k=-0.5，b=-1，是一次函数，不是正比例函数； （5）化简得 y=-2，不含 x 的一次项，不是一次函数； （6）π 是常数，k=π≠0，b=0，既是一次函数又是正比例函数． 14．【答案】 （1）y=60-0.1x（0≤x≤600），是一次函数，不是正比例函数； （2）y=3x（x>0），是一次函数，也是正比例函数； （3）y=200x+1000（x 为自然数），是一次函数，不是正比例函数． 【解析】（1）中剩余油量不能为负，60-0.1x≥0，得 x≤600． 15．【答案】（1）y=2n+2（n 为正整数），y 是 n 的一次函数；（2）24 张． 【解析】（1）观察图1：每张方桌的上、下两边各坐 1 人，n 张方桌上下共坐 2n 人；一排的左、右两端各坐 1 人，共 2 人．所以 y=2n+2．其中 k=2≠0，y 是 n 的一次函数． 检验：n=1 时 y=4，n=2 时 y=6，n=3 时 y=8，与图形相符． （2）令 2n+2=50，得 n=24，所以需要拼 24 张方桌． 五、能力提升 16．B 【解析】设 y=k(x+1)，把 x=2，y=6 代入得 6=3k，k=2，所以 y=2x+2．当 x=-3 时，y=2×(-3)+2=-4． 17．y=2x-2 【解析】设 y₁=ax，y₂=b(x-2)，则 y=ax+b(x-2)．由题意得 a-b=0，3a+b=4，解得 a=1，b=1．所以 y=x+(x-2)=2x-2． 18．y=60-3x；0<x<10 【解析】长方形面积为 6×10=60，S△ABP=×6×x=3x，所以 y=60-3x．点 P 在 BC 上且不与 B、C 重合，所以 0<x<10． 19．【答案】（1）y=x+20（x≥0）；（2）50 元；（3）180 分钟． 【解析】（2）x=300 时，y=×300+20=50（元）． （3）令 x+20=38，得 x=18，x=180（分钟）． 20．【答案】（1）m≠-2，n 为任意实数；（2）m≠-2 且 n=3；（3）y=-14；x=1． 【解析】（1）一次项系数 2m+4≠0，得 m≠-2． （2）在（1）的基础上，常数项 3-n=0，得 n=3． （3）m=1，n=5 时，y=6x-2．当 x=-2 时，y=-12-2=-14；当 y=4 时，6x-2=4，x=1． 21．【答案】（1）h=2t+10（0≤t≤20）；（2）是，20 分钟． 【解析】（1）水深不超过水箱高度：2t+10≤50，得 t≤20，又 t≥0，所以 0≤t≤20． （2）h=2t+10 中 k=2≠0，是一次函数；令 2t+10=50，得 t=20，即注水 20 分钟后恰好注满． 六、拓展探究 22．【答案】（1）0≤x≤15 时，y=3x，是正比例函数（也是一次函数）；x>15 时，y=5x-30，是一次函数；（2）70 元；（3）18 吨． 【解析】（1）x>15 时，y=15×3+5(x-15)=45+5x-75=5x-30． （2）x=20>15，y=5×20-30=70（元）． （3）用水 15 吨时水费为 45 元，60>45，说明用水超过 15 吨．令 5x-30=60，得 x=18（吨）． 图3 水费 y 与用水量 x 的函数图象（供参考） 23．【答案】（1）[，-4]；（2）m=-1，y=-2x；（3）x=-2． 【解析】（1）y=-4=x-4，特征数为 [，-4]． （2）正比例函数的常数项为 0，一次项系数不为 0，所以 m²-1=0 且 m-1≠0，解得 m=-1．此时 k=m-1=-2，函数表达式为 y=-2x． （3）令 -2x=4，得 x=-2． 24．【答案】（1）y=x-2；（2）10 kg；（3）35 kg． 【解析】（1）设 y=kx+b，则 20k+b=2，50k+b=8．两式相减得 30k=6，k=，代入得 b=-2．所以 y=x-2． （2）免费携带即行李费为 0，令 x-2=0，得 x=10．所以最多可免费携带 10 kg 行李． （3）令 x-2=5，得 x=7，x=35（kg）． 25．【答案】（1）y=2x+18，是一次函数；（2）0≤x≤6；（3）23 cm． 【解析】（1）x 每增加 1 kg，y 增加 2 cm，且 x=0 时 y=18（弹簧原长），所以 y=2x+18．k=2≠0，y 是 x 的一次函数． （2）由 2x+18≤30，得 x≤6，又 x≥0，所以 0≤x≤6． （3）当 x= 时，y=2×+18=23（cm）． 学科网（北京）股份有限公司 $