精品解析：江苏省泰州市姜堰区城西实验学校2024-2025学年八年级上学期第二次月考数学试题

八年级数学第二次学情检测 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 3 3. 在﹣0.101001，，0中，无理数的个数有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（ ） A. a：b：c＝3：4：4 B. a＝1，b＝，c＝ C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D. a2：b2：c2＝3：4：5 5. 如图，将一个圆柱形无盖小烧杯的杯底固定在圆柱形大烧杯的杯底中央，现沿着大烧杯内壁匀速注水，注满后停止注水．则大烧杯水面的高度与注水时间之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，、是中线，，，则长为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 4 二、填空题（每题3分，共30分） 7. 函数的自变量x的取值范围是___． 8. 用四舍五入法对80240取近似值，精确到千位，结果为___________（用科学记数法表示）． 9. 点（－3,4）关于x轴对称的点的坐标为________ 10. 若在两个连续整数a、b之间，那么的值是______． 11. 一幢商住楼底层为店面房，第一层高为4米，第一层以上每层高3米，则楼高与层数之间的函数关系式为_______． 12. 将等腰直角△ABC按如图方法放置在数轴上，点A和C分别对应的数是﹣2和1．以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D对应的实数为______． 13. 中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记表．如图是中国象棋棋局的一部分，如果用表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），若将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标为_____． 15. 张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升（加油时间忽略不计），加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系如图所示．下列说法：①汽车到达乙地时油箱中还余油6升；②途中加油21升；③汽车加油后还可行驶4小时；④加油前油箱中剩余油量（升）与行驶时间（小时）的函数关系是．其中正确的是_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，4)、B(6，0)、C(0，﹣10)，平移线段AB至线段CD，点Q在四边形OCDB内，满足S△QOC：S△QOB＝5：2，S△QCD＝S△QBD，则点Q坐标为_____． 三、解答题（共102分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 求下列式子中未知数的值． （1）； （2）． 19. 已知5x﹣1的算术平方根是3，4x+2y+1的立方根是1，求4x﹣2y的平方根． 20. 已知点P(a﹣2，2a+8)，分别根据下列条件求出点P坐标． （1）点P在x轴上； （2）点Q的坐标为(1，5)，直线PQ∥y轴； （3）点P到x轴、y轴的距离相等． 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(2,2),B(-2,0),C(-1,-2)． （1）在平面直角坐标系中画出； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ； （3）求的面积； （4）已知点P为x轴上一点，若时，求点P的坐标． 22. 如图，将长方形纸片放在直角坐标系中，为原点，在的负半轴上，，． （1）写出的坐标； （2）在上取点，将沿折叠，使落在边上的点，求点坐标． 23. 已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）在图①中，作出该图形的对称轴l； （2）在图②中，作出点P的对称点． 24. 如图，在平面直角坐标系中，，，，且，满足． （1）求点的坐标． （2）若点是的中点，点是轴上的任意一点（与、两点不重合），能否成为等腰三角形？若能，写出相应的点的坐标；若不能，请说明理由． 25. 是等边三角形，是边（端点除外）上一动点，连接． （1）如图1，以为边作等边，连接． ①求证：； ②，为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长； （2）如图2，是延长线上的点，，为的中点，连接，．求证：． 26 概念生成 我们把两个具有公共底边的等腰三角形称为同底等腰三角形，公共的这条底边称为针准线，称这两个等腰三角形的顶角顶点关于针准线互为穿针点，互为穿针点的两个顶角顶点的连线称为穿针线，若再满足两个顶角的和为，则称这两个顶角顶点关于针准线互为补角穿针点． 例：如图1，四边形中，，，则与称为同底等腰三角形，公共底边称为针准线，顶角顶点与点关于互为穿针点；当时，则称点与点关于互为补角穿针点． 概念理解 （1）下列说法正确的有______． ①同底等腰三角形的穿针线垂直平分针准线． ②如果同底等腰三角形的两个顶角顶点关于针准线互为补角穿针点，则其中一个等腰三角形的腰必垂直于另一个等腰三角形中具有公共端点的腰． ③在图1中，与点C关于互为补角穿针点的点有无数个． （2）如图2，，，，则点A与点______关于互为穿针点． 知识应用 （3）在长方形中，，．如图3，点在边上，点在边上，如果点和点关于针准线互为补角穿针点，求针准线的长． 思维探究 （4）如图4，中，，，点D是平面内一点，如果点C与点D关于针准线互为补角穿针点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第二次学情检测 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：选项D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 选项A、B、C中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 2. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据点坐标的性质即可得． 【详解】， 点P到y轴的距离是， 故选：B． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，掌握理解点坐标的性质是解题关键． 3. 在﹣0.101001，，0中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先计算，则所给的数中只有，-是无理数． 【详解】，所以在﹣0.101001，，0中，其中无理数有，-. 故答案选B. 【点睛】本题考查的知识点是无理数，解题的关键是熟练的掌握无理数. 4. 下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（ ） A. a：b：c＝3：4：4 B. a＝1，b＝，c＝ C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D. a2：b2：c2＝3：4：5 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，以及三角形的内角等于逐项判断即可． 【详解】，设，，，此时，故不能构成直角三角形，故不符合题意； ，，故能构成直角三角形，故符合题意 ，且，设，，，则有，所以，则，故不能构成直角三角形，故不符合题意； ，设，，，则，即，故不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，和三角形的内角和等知识，能熟记勾股定理的逆定理内容和三角形内角和等于是解题关键． 5. 如图，将一个圆柱形无盖小烧杯的杯底固定在圆柱形大烧杯的杯底中央，现沿着大烧杯内壁匀速注水，注满后停止注水．则大烧杯水面的高度与注水时间之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意判断出大烧杯的液面高度随时间的变化情况即可． 【详解】解：先大烧杯的液面高度y随时间x的增加而增大，当大烧杯的液面高度达到小烧杯的高度时，大烧杯的液面高度y保持不变，所以B选择项不符合题意；当小烧杯水注满后，大烧杯的液面高度y随时间x的增加而增大，所以A选择项不符合题意；这时增加的速度较先前的慢，所以C选择项不符合题意，D项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，函数值是增大还是减小是解题的关键． 6. 如图，在中，，、是中线，，，则的长为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，在和中，利用勾股定理列出方程，求出的长，再求出，得到，最后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：设， ∵是中线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了中线的定义，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理列方程求出． 二、填空题（每题3分，共30分） 7. 函数的自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：在实数范围内有意义， 则；解得 故答案为 8. 用四舍五入法对80240取近似值，精确到千位，结果为___________（用科学记数法表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法与精确度．一个近似数精确到十位或十位以前的数位时，要先用科学记数法表示出这个数，再进行四舍五入． 【详解】解：用四舍五入法对取近似数，精确到千位为． 故答案：． 9. 点（－3,4）关于x轴对称的点的坐标为________ 【答案】（﹣3，﹣4）． 【解析】 【分析】根据两个关于x轴成轴对称点的坐标特点解答即可． 【详解】由平面直角坐标系中关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得：点（－3，4）关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣4）． 故答案为：（﹣3，﹣4）． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 10. 若在两个连续整数a、b之间，那么的值是______． 【答案】13 【解析】 【分析】首先确定a、b的值，进而可得a+b的值． 【详解】解：∵36<39<49， ∴6< <7 ∴a=6，b=7， ∴a+b=6+7=13， 故答案为13． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，关键是正确确定a、b的值． 11. 一幢商住楼底层为店面房，第一层高为4米，第一层以上每层高3米，则楼高与层数之间的函数关系式为_______． 【答案】（n为正整数） 【解析】 【分析】根据实际问题的数量关系，总楼高等于第一层高度加上第一层以上所有楼层的总高度，列出表达式后化简即可得到函数关系式． 【详解】解：由题意可知，第一层高为4米，当层数为n时，第一层以上的层数为层． 已知第一层以上每层高3米，因此总楼高h可表示为： 根据整式的加减运算法则化简得： ，其中n为正整数． 12. 将等腰直角△ABC按如图方法放置在数轴上，点A和C分别对应的数是﹣2和1．以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D对应的实数为______． 【答案】3﹣2 【解析】 【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用数轴上点的坐标特点得出答案． 【详解】解：∵等腰直角△ABC， ∴AC＝BC＝3， ∴AB＝， ∴AD＝， ∴点D对应的实数为：﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确得出D点位置是解题关键． 13. 中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记表．如图是中国象棋棋局的一部分，如果用表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，根据用表示“炮”的位置建立平面直角坐标系，进而得出“将”的位置，正确得出原点的位置是解题关键． 【详解】∵“炮”的位置用表示， ∴以“士”所在的行为轴，以“炮”向左数两列所在的列线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， ∴“将”的位置应表示为， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），若将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标为_____． 【答案】（1，﹣4） 【解析】 【分析】作AC⊥x轴于C，利用点A、B的坐标得到AC=2，BC=4，根据旋转的定义，可把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，利用旋转的性质得BC′=BC=4，A′C′=AC=2，于是可得到点A′的坐标． 【详解】解：作AC⊥x轴于C， ∵点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0）， ∴AC＝2，BC＝3+1＝4， 把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图， ∴BC′＝BC＝4，A′C′＝AC＝2， ∴点A′的坐标为（1，﹣4）． 故答案为（1，﹣4）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是把线段的旋转问题转化为直角三角形的旋转． 15. 张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升（加油时间忽略不计），加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系如图所示．下列说法：①汽车到达乙地时油箱中还余油6升；②途中加油21升；③汽车加油后还可行驶4小时；④加油前油箱中剩余油量（升）与行驶时间（小时）的函数关系是．其中正确的是_______． 【答案】 ①②④ 【解析】 【分析】根据图象获取信息，利用待定系数法求出加油前函数解析式，计算耗油率；根据图象纵坐标变化计算加油量；根据路程、速度、时间关系计算总时间及剩余油量；根据油量和耗油率计算可行驶时间，逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知，加油前图象经过点和， 设加油前油箱中剩余油量（升）与行驶时间（小时）的函数关系式为， 将，代入得：，解得， ∴加油前函数关系式为，故说法④正确； 由图象可知，在时，油量从9升变为30升， ∴途中加油量为（升），故说法②正确； ∵汽车耗油量为（升/小时）， ∴汽车加油后还可行驶的时间为（小时）， ∵，故说法③错误； ∵甲乙两地相距500千米，汽车速度为100千米/小时， ∴汽车到达乙地所需总时间为（小时）， ∴加油后行驶的时间为（小时）， ∴汽车到达乙地时油箱中还余油（升），故说法①正确； 综上所述，正确的说法有①②④ ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，4)、B(6，0)、C(0，﹣10)，平移线段AB至线段CD，点Q在四边形OCDB内，满足S△QOC：S△QOB＝5：2，S△QCD＝S△QBD，则点Q的坐标为_____． 【答案】(，) 【解析】 【分析】设Q(m，n)，由点平移可求D(6，﹣14)，分别求出S△QOC＝×CO×xQ，S△QOB＝×OB×yQ，由已知可得n＝；再分别求出S△QBD＝×BD×(6﹣xQ)，S△QCD＝S梯形OCDB﹣S△QCO﹣S△QBD﹣S△OBC＝36+m，再由已知可得36+m＝42﹣7m，求出m即可求Q点坐标． 【详解】设Q(m，n)， ∵A(0，4)，B(6，0)，C(0，﹣10)， ∴OC＝10，OB＝6，AC＝14， ∵平移线段AB至线段CD， ∴D(6﹣14)， ∵S△QOC＝×CO×xQ，S△QOB＝×OB×yQ， ∵S△QOC：S△QOB＝5：2， ∴， ∴n＝， ∴Q（m，）， ∵S△QBD＝×BD×(6﹣xQ)＝×14×(6﹣m)＝42﹣7m， S△QCD＝S梯形OCDB﹣S△QCO﹣S△QBD﹣S△OBC＝×(OC+BC)×OB﹣×CO×xQ﹣×BD×(6﹣xQ)﹣×OB×yQ ＝×(10+14)×6﹣×10×m﹣×14×(6﹣m)﹣×6×(﹣n) ＝72﹣5m﹣(42﹣7m)+3n＝30+2m+3n＝36+m， ∵S△QCD＝S△QBD， ∴36+m＝42﹣7m， ∴m＝， ∴Q(，) 故答案为：(，) 【点睛】本题是动点的考查，关键点在于用点Q的坐标表示出两个三角形的面积，再结合题干中的面积比计算求得Q的坐标 三、解答题（共102分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）进行开方和去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）进行零指数幂，乘方，开方，负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可. 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式. 18. 求下列式子中未知数的值． （1）； （2）． 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方根解方程即可； （2）等式两边同除以2，可得，再利用立方根解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 或； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 19. 已知5x﹣1的算术平方根是3，4x+2y+1的立方根是1，求4x﹣2y的平方根． 【答案】±4. 【解析】 【分析】根据算术平方根、立方根的定义求出x、y的值，求出4x－2y的值，再根据平方根的定义求出即可. 【详解】解：∵5x﹣1的算术平方根为3， ∴5x﹣1＝9， ∴x＝2， ∵4x+2y+1的立方根是1， ∴4x+2y+1＝1， ∴y＝﹣4， 4x﹣2y＝4×2﹣2×（﹣4）＝16， ∴4x﹣2y的平方根是±4． 【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的应用，解此题的关键是求出x、y的值，主要考查学生的理解能力和计算能力. 20. 已知点P(a﹣2，2a+8)，分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点Q的坐标为(1，5)，直线PQ∥y轴； （3）点P到x轴、y轴的距离相等． 【答案】（1）P(﹣6，0)；（2）P(1，14)；（3）P(﹣12，﹣12)或(﹣4，4)． 【解析】 【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案； （2）利用平行于y轴直线的性质，横坐标相等，进而得出a的值，进而得出答案； （3）利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或互为相反数进而得出答案． 【详解】解：（1）∵点P(a﹣2，2a+8)在x轴上， ∴2a+8＝0， 解得：a＝﹣4， 故a﹣2＝﹣4﹣2＝﹣6， 则P(﹣6，0)； （2）∵点Q的坐标为(1，5)，直线PQ∥y轴， ∴a﹣2＝1， 解得：a＝3， 故2a+8＝14， 则P(1，14)； （3）∵点P到x轴、y轴的距离相等， ∴a﹣2＝2a+8或a﹣2+2a+8＝0， 解得：a1＝﹣10，a2＝﹣2， 故当a＝﹣10时，a﹣2＝﹣12，2a+8＝﹣12， 则P(﹣12，﹣12)； 故当a＝﹣2时，a﹣2＝﹣4，2a+8＝4， 则P(﹣4，4)． 综上所述：P(﹣12，﹣12)或(﹣4，4)． 【点睛】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到两坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及点在坐标轴上的点的性质等知识，属于基础题，要熟练掌握点的坐标性质． 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(2,2),B(-2,0),C(-1,-2)． （1）在平面直角坐标系中画出； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ； （3）求的面积； （4）已知点P为x轴上一点，若时，求点P的坐标． 【答案】（1）图见解析；（2）；（3）5；（4）或． 【解析】 【分析】（1）先根据点的坐标描出点，再顺次连接即可得； （2）根据点坐标关于y轴对称的变换规律即可得； （3）先根据两点之间的距离公式可得AB、BC、AC的长，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，然后利用直角三角形的面积公式即可得； （4）设点P的坐标为，从而可得，再根据点A的坐标可得的BP边上的高为2，然后根据三角形的面积公式可得一个关于m的绝对值方程，解方程即可得． 【详解】（1）先根据点的坐标描出点，再顺次连接即可得，如图所示： （2）点坐标关于y轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同， ， ， 故答案为：； （3）， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 则的面积为； （4）设点P的坐标为， ， ， ， 的BP边上的高为2， ， ， 解得或， 则点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了点坐标与轴对称变化、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握点坐标的变换规律是解题关键． 22. 如图，将长方形纸片放在直角坐标系中，为原点，在的负半轴上，，． （1）写出的坐标； （2）在上取点，将沿折叠，使落在边上的点，求点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，，即可求B点坐标； （2）由折叠的性质可得，，由勾股定理可求，从而求得，再用勾股定理求出，进而求得E点坐标． 小问1详解】 解：四边形是长方形， ，， B点坐标； 【小问2详解】 解：沿折叠，使落在边上的点， ，， ，， 中，， ，即， 解得， E点坐标为． 23. 已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）在图①中，作出该图形的对称轴l； （2）在图②中，作出点P的对称点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接AC、BD交于点F，连接FE，FE即为所求对称轴l； （2）延长AD、BC交于点E，令AC、BD的交点为F，连接EF并延长交AB于点H，EH所在直线为该图形的对称轴，连接BP，交EH于点G，连接AG并延长，交BC于点，点即为所求． 【小问1详解】 如图所示，连接AC、BD交于点F，连接FE，FE即为所求对称轴l， 【小问2详解】 如图所示，延长AD、BC交于点E，令AC、BD的交点为F，连接EF并延长交AB于点H，EH所在直线为该图形的对称轴，连接BP，交EH于点G，连接AG并延长，交BC于点，点即为所求， 【点睛】本题考查轴对称图形，尺规作图，找出图形的对称轴是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，，，，且，满足． （1）求点的坐标． （2）若点是的中点，点是轴上的任意一点（与、两点不重合），能否成为等腰三角形？若能，写出相应的点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）或或或 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，然后根据勾股定理求出的值，再求出的值，即可求解； （2）先根据中点坐标公式求出点E的坐标，然后分三种情况讨论：；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵点是的中点， ∴，即 当时，如图，、符合题意， ∴， 解得， ∴，； 当时，如图，符合题意， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，如图，符合题意， ∴， 解得， ∴， 综上，点M的坐标为或或或． 25. 是等边三角形，是边（端点除外）上一动点，连接． （1）如图1，以为边作等边，连接． ①求证：； ②，为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长； （2）如图2，是延长线上的点，，为的中点，连接，．求证：． 【答案】（1）①证明见解析；② （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①由等边三角形的性质可得，，，通过等量代换可得，进而可证明，命题得证； ②作于点，由全等的性质可得，结合含角的直角三角形的性质和勾股定理可计算得，．根据垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，此时，则，最后利用求出； （2）过点作的平行线，交的延长线于点，连接、，容易证明，则，．结合平行与等边三角形的性质可证明，容易判断是等边三角形，由三线合一可证明． 【小问1详解】 解：①证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：如图，作于点， 由①可得， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理可得，， ∵， ∴当点与点重合时，取得最小值，此时， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，过点作的平行线，交的延长线于点，连接、， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 26. 概念生成 我们把两个具有公共底边的等腰三角形称为同底等腰三角形，公共的这条底边称为针准线，称这两个等腰三角形的顶角顶点关于针准线互为穿针点，互为穿针点的两个顶角顶点的连线称为穿针线，若再满足两个顶角的和为，则称这两个顶角顶点关于针准线互为补角穿针点． 例：如图1，四边形中，，，则与称为同底等腰三角形，公共底边称为针准线，顶角顶点与点关于互为穿针点；当时，则称点与点关于互为补角穿针点． 概念理解 （1）下列说法正确的有______． ①同底等腰三角形的穿针线垂直平分针准线． ②如果同底等腰三角形的两个顶角顶点关于针准线互为补角穿针点，则其中一个等腰三角形的腰必垂直于另一个等腰三角形中具有公共端点的腰． ③在图1中，与点C关于互为补角穿针点的点有无数个． （2）如图2，，，，则点A与点______关于互为穿针点． 知识应用 （3）在长方形中，，．如图3，点在边上，点在边上，如果点和点关于针准线互为补角穿针点，求针准线的长． 思维探究 （4）如图4，中，，，点D是平面内一点，如果点C与点D关于针准线互为补角穿针点，求的长． 【答案】（1）①；（2）或点；（3）；（4）的长为或 【解析】 【分析】（1）运用针准线和互为补角穿针点的定义，即可得出答案； （2）根据“穿针点”定义，即可得出答案； （3）由矩形性质可得：，，，再由互为补角穿针点的定义可得，再运用勾股定理即可得出答案； （4）连接交于点，利用勾股定理可得，当点与点在的异侧时，由，即，可得，利用勾股定理可得；当点与点在的同侧时，可求得． 【详解】解：（1）①同底等腰三角形的两个顶点均在底边的垂直平分线上，故同底等腰三角形的穿针线垂直平分针准线是正确的， ②如果同底等腰三角形的两个顶角顶点关于针准线互为补角穿针点，当这两个顶点位于针准线的同侧时，则其中一个等腰三角形的腰与另一个等腰三角形中具有公共端点的腰不垂直，故结论②不正确． ③在图1中，与点关于互为补角穿针点的点有2个，故结论③不正确； 故答案为：①． （2）根据“穿针点”的定义可知：点与点、点与点均关于互为穿针点， 故答案为：或点； （3）四边形是长方形， ，，， 如图，点和点关于针准线互为补角穿针点， ， 在中，， ， 在中，； （4）连接交于点， 点与点关于针准线互为补角穿针点， ，，， 中，，， ， 当点与点在的异侧时，如图， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， 设，且，则， ， ， 整理得：， ， ； 当点与点在的同侧时，如图， ， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积等，理解新定义并运用新定义是解题关键． 第1页/共1页 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