第45讲 双曲线 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第45讲 双曲线 第45讲 双曲线 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．熟练掌握双曲线的定义与标准方程，能由焦点位置、渐近线、离心率等条件求方程； 2．理解渐近线与离心率的内在联系，能在 、、渐近线斜率之间自由互推； 3．会用定义式结合余弦定理处理焦点三角形，会求焦点三角形的面积与顶角； 4．会用联立方程、韦达定理与判别式解决直线与双曲线的交点个数、弦长与中点弦问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 定义与焦半径 选择题、填空题 第6~8题、第13题 中 用 检验，防止多解漏解 求标准方程 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中 共渐近线系设为 ，一步代入 渐近线与离心率互推 选择题、填空题 第7~8题、第14题 中偏难 记住 焦点三角形 选择题、解答题 第8题、第17~19题 中偏难 余弦定理配 直线与双曲线综合 解答题 第18~20题 中偏难 先排除与渐近线平行，再用 命题规律分析 双曲线在新高考中多落在选择题第6~8题、多选题第10~11题与填空题第13~14题，也常作为解答题的第一问出现。基础档考定义、渐近线与离心率，属必得分；培优档集中在三处：一是定义式 与焦半径最小值 的联合使用（多解取舍）；二是渐近线与离心率的互推，特别是由渐近线夹角、直线与双曲线交点个数反求离心率范围；三是焦点三角形中用余弦定理与面积结论求角或面积。本讲抓住两条主线：先把 与 的关系打通，再练熟联立后韦达定理与判别式的用法，力争中档题全拿、压轴前一档题能拿一半。 考点1 双曲线的定义与标准方程 知识点1 定义与标准方程 平面内到两定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 （）的点的轨迹叫双曲线，即 。 焦点在 轴上为 （焦点 ）；焦点在 轴上为 （焦点 ）；两种情形都有 。 【易错清单】 1．去掉绝对值时， 在右支（靠近 ）取 ，在左支取相反的符号，符号弄反会导致整题答案跑偏； 2．求出的焦半径必须不小于 （顶点处取得），否则该支上不存在这样的点，要舍去； 3．、、 中 最大，但 与 大小不定，不能默认 。 知识点2 焦点位置的判定与共渐近线系 判断焦点在哪条轴上，只看含正号的那一项： 项为正则焦点在 轴上，其分母就是 。 与 共渐近线的双曲线可统一设为 （），代入已知点即可定 。 【易错清单】 1． 时焦点在 轴上， 时焦点在 轴上， 退化为两条渐近线； 2．设共渐近线系时，若已知点在渐近线上会算得 ，此时应判定不存在这样的双曲线。 考点2 渐近线与离心率 知识点3 渐近线 焦点在 轴上时渐近线为 ；焦点在 轴上时为 。 把标准方程右边的 改成 再因式分解，是写渐近线最稳的通法，不必记是哪一种比值。 【易错清单】 1．焦点在 轴上时用 ，一律套 是最常见的错误； 2．两条渐近线的夹角要分锐角、钝角两种情形，常对应两个答案； 3．直线与双曲线只有一个公共点，可能是相切，也可能是与渐近线平行，二者都要考虑。 知识点4 离心率 ，故 ，。 越接近 ，双曲线开口越窄； 越大，渐近线越陡、开口越大。 【易错清单】 1．椭圆是 ，双曲线是 ，根号内顺序别记反； 2．由 的范围推 的范围时，注意 这一隐含条件不能丢。 考点3 焦点三角形与常用结论 知识点5 焦点三角形 设 ，，，则 、，两式联立可求角、求积。 面积公式：，特别地 时 。 【易错清单】 1．余弦定理中第三边是 而不是 ，代错会让 相差悬殊； 2．由 消元时， 是常数，别写成 。 知识点6 两个常用结论 结论一：焦点到任一渐近线的距离恒等于 。 结论二：通径（过焦点且垂直于实轴的弦）长为 ，它是过焦点且与双曲线同一支相交的最短弦。 【易错清单】 1．通径长是 而不是 ，漏乘 会让面积差一半； 2．过焦点的弦若与两支各交一点，则不受通径最短的限制，不要乱用该结论。 【题型1 双曲线定义的应用（多解取舍）】 【例1】已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，若 ，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】C 【解题思路】由定义得 ，解出两个值后用 检验。 【解答过程】由 、 得 ，，。 由定义 ，即 ， 解得 或 。 焦半径的最小值为 ，而 、，两个值都成立。 故选C。 【多解·巧解】判定两个值是否都成立只需一句话：焦半径不小于 。本题 ，两个候选值都大于 ，所以答案选"或"。若题目改成 且 在右支上，则只有 ；若改成 在左支上，则只有 。有没有给出在哪一支，决定了答案是一个还是两个，读题时先圈出这个关键词。 【易错提醒】① 凭直觉只写一个值（多数人只写 ）；② 忘记用 检验：若算出的值小于 ，该值必须舍去，例如本题中若得到 ，则因 应舍去。 【变式1-1】已知点 在双曲线 的左支上，、 分别为左、右焦点，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】左支上 离 更近，故 。 【解答过程】由 得 ，。 在左支上，离 更近，故 。 所以 。故选B。 【变式1-2】到两定点 、 的距离之差的绝对值等于 的点的轨迹方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由 、 得 、，焦点在 轴上。 【解答过程】由题意 ，得 ；又 ，故 。 焦点在 轴上，方程为 。故选A。 【变式1-3】已知 、，动点 满足 ，则点 的轨迹是（　　） A．双曲线　B．双曲线的右支　C．双曲线的左支　D．两条射线 【答案】B 【解题思路】去掉绝对值后只剩一支； 说明 离 更近。 【解答过程】由 知 ，即 离 更近，故轨迹是靠近 的一支，即双曲线的右支。故选B。 【题型2 求双曲线的标准方程】 【例2】已知双曲线的中心在原点，焦点在 轴上，一条渐近线方程为 ，且双曲线过点 ，求双曲线的标准方程。 【答案】 【解题思路】用共渐近线系设 ，代入已知点定 。 【解答过程】由渐近线 知 ，可设双曲线为 （）。 代入点 ：，故 。 所以双曲线的标准方程为 。 【多解·巧解】常规做法是设 ，由 得 ，再代入点求 ，需三次变形；而共渐近线系只需一次代入：已知渐近线为 时直接设 。这在处理与已知双曲线共渐近线的选择题时尤其快。 【易错提醒】① 把 与 搞反（焦点在 轴上时渐近线斜率是 ）；② 设出 后忘记检验 ：若已知点恰在渐近线上会得 ，此时不存在满足条件的双曲线。 【变式2-1】中心在原点、焦点在 轴上、实轴长为 ，且渐近线方程为 的双曲线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】焦点在 轴上时渐近线斜率为 ，由 得 。 【解答过程】由 得 ；焦点在 轴上，渐近线为 ，故 ，得 。 方程为 。故选A。 【变式2-2】与双曲线 有共同渐近线，且过点 的双曲线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】设 ，代入点求 。 【解答过程】设所求双曲线为 （）。 代入点 ：，故 。 方程为 （即 ）。故选A。 【变式2-3】已知双曲线的焦点为 、，且双曲线上一点 满足 ，则该双曲线的标准方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由 、 得 、，焦点在 轴上。 【解答过程】由定义知 ，得 ；又 ，故 。 焦点在 轴上，方程为 。故选A。 【题型3 渐近线问题】 【例3】已知双曲线 （，）的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】由 直接得渐近线斜率。 【解答过程】由 得 。 焦点在 轴上，渐近线为 。故选B。 【多解·巧解】不必先求 、、 的具体值。离心率与渐近线斜率之间只差一个公式：，。把这一对互推公式背下来，给 求渐近线、给渐近线求 都能在十秒内完成，比默认的令 、 再算 少两步且不易出错。 【易错提醒】① 记成 （那是椭圆的关系式，且在 时根号内为负）；② 把焦点在 轴与在 轴两种情形的渐近线公式混用。 【变式3-1】双曲线 的渐近线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】焦点在 轴上，、，渐近线斜率为 。 【解答过程】焦点在 轴上，，，渐近线为 。故选A。 【变式3-2】若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由 得 ，进而 。 【解答过程】由 、 得 ，故 ，。故选A。 【变式3-3】双曲线 的焦点到其渐近线的距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】直接用结论：焦点到渐近线的距离恒等于 。 【解答过程】由 得 。 渐近线为 ，右焦点为 ，距离为 。故选B。 【题型4 离心率的求值与范围】 【例4】已知双曲线 （，）的两条渐近线的夹角为 ，则该双曲线的离心率为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】C 【解题思路】设 ，用两直线夹角公式列方程，注意 与 两种情形。 【解答过程】设渐近线斜率为 ，两条渐近线为 与 ，其夹角的正切满足 。 ① 当 时，，即 ，解得 ； ② 当 时，，即 ，解得 。 由 得 或 。故选C。 【多解·巧解】几何法更直观：设渐近线与 轴正方向的夹角为 ，则 。 两条渐近线的锐角夹角为 ，于是 或 ，即 或 ，对应 或 。凡出现夹角，先想清楚是锐角还是钝角，两个答案常常都要写。 【易错提醒】① 只求出 （对应 ）而漏掉另一解；② 把 与 混淆；③ 忘记检验 ：本题两个值都大于 ，都成立。 【变式4-1】若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由 得渐近线斜率。 【解答过程】，故渐近线为 。故选A。 【变式4-2】若双曲线 的离心率 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 关于 单调递增，直接代端点。 【解答过程】 随 的增大而增大。 当 时 ；当 时 。 故 。故选A。 【变式4-3】若双曲线 （，）的通径长等于实轴长，则其离心率为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】通径长为 ，令它等于 得 。 【解答过程】由 得 ，即 。 故 ，。故选A。 【题型5 焦点三角形】 【例5】已知 、 是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，且 ，则 的面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用结论 ， 时 。 【解答过程】由 、 得 。故选B。 【多解·巧解】不用结论也能算，且这两步值得练熟：设 、， 由 与 （勾股，因 ），得 ，故 ，。结论法用于选择填空，余弦定理法用于解答题，两者都要会。 【易错提醒】① 把面积结论记成 （分子分母颠倒）；② 余弦定理中第三边写成 而不是 ；③ 忘记 时 这一最简特例。 【变式5-1】已知 、 是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，若 、，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】余弦定理中三边分别是 、、。 【解答过程】由 得 。 。故选A。 【变式5-2】已知 、 是双曲线 的焦点，点 在双曲线上，若 ，则 的面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】代入 ，此时 。 【解答过程】。故选B。 【变式5-3】已知点 在双曲线 （，）的右支上，、 为左、右焦点，若 ，则该双曲线离心率的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由定义得 、，再用三角形三边关系。 【解答过程】设 ，则 。 由 得 ，即 ，故 、。 在 中，两边之和大于第三边：，得 ，即 。 又 ，故 。故选A。 【题型6 直线与双曲线的综合】 【例6】已知双曲线 ，其右焦点为 。 (1) 求 的离心率与渐近线方程； (2) 过点 且斜率为 的直线交 于 、 两点，求 。 【答案】(1) ，渐近线为 ； (2) 。 【解题思路】(1) 由 、 得 ；(2) 联立后用韦达定理算 ，不要求根。 【解答过程】(1) 、，故 ，，； 渐近线为 。 (2) ，直线为 。代入 得 ，即 。 设 、，则 ，。 ，故 。 。 【多解·巧解】本题的关键是不要去解方程求两根：由韦达定理直接得 ，两步就拿到 。凡是联立得一元二次方程的题目，都先写出两根之和与两根之积，再套弦长公式 。本题直线斜率恰好为 ， 与 相乘正好得整数 ，算完若出现繁杂根式，多半是中间某步算错了，应当回头检查。 【易错提醒】① 弦长公式漏掉 因子；② 把 写成加 ；③ 过焦点的直线可能与两支各交一点，这是正常情形，弦长公式依然成立，不必惊慌。 【变式6-1】过点 作直线 与双曲线 只有一个公共点，则这样的直线 共有（　　） A． 条　B． 条　C． 条　D．无数条 【答案】C 【解题思路】分两类：与渐近线平行的直线（ 条）与切线（判别式为零， 条）。 【解答过程】设 ，代入 得 。 ① 当 ，即 时，方程退化为一次方程，有唯一解，共 条（此时直线与渐近线平行）； ② 当 时，令 ，得 ，共 条切线。 又直线 与双曲线无公共点。故共有 条。故选C。 【变式6-2】已知 、 是双曲线 上的两点，且弦 的中点为 ，则直线 的斜率为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】点差法：对焦点在 轴上的双曲线，。 【解答过程】由点差法，，即 。 代入 、、、 得 。故选A。 【变式6-3】若直线 与双曲线 （，）没有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】代入 得关于 的方程，无解即 的系数不大于 。 【解答过程】代入 得 ，即 。 该方程无解，则 ，即 ，故 。 由 得 ，又 ，故 。故选A。 一、单选题 1．（★★）双曲线 的焦距为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先由 求 ，再求 。 【解答过程】，，故 ，，焦距为 。故选A。 2．（★★）双曲线 的渐近线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】焦点在 轴上，渐近线斜率为 。 【解答过程】、，故 ，渐近线为 。故选B。 3．（★★）双曲线 的焦点坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】含正号的是 项，焦点在 轴上。 【解答过程】、，故 ，； 含正号的是 项，焦点在 轴上，为 。故选B。 4．（★★）若双曲线 （）的离心率为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】由 与 联立。 【解答过程】由 得 ，代入 得 ，即 ，故 ，。故选B。 5．（★★）与双曲线 有相同渐近线且过点 的双曲线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】设 ，代入点定 。 【解答过程】设所求双曲线为 （）。 代入 得 ，故 。 方程为 ，即 。故选A。 6．（★★★）已知 、 是双曲线 的焦点，点 在双曲线上，若 ，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D．不存在 【答案】C 【解题思路】由定义解出两个值，再用焦半径最小值 检验。 【解答过程】由 得 或 。 焦半径的最小值为 ，两个值都不小于 ，均成立。故选C。 7．（★★★）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】A 【解题思路】分母 与 的符号未定，须按焦点在 轴、焦点在 轴、退化为椭圆三类讨论，分别用 与 列方程，解出后必须回检 的取值范围。 【解答过程】情形一：，此时 项与 项分母均为正，方程表示焦点在 轴上的双曲线， 其中 ，，渐近线斜率为 。令 ，即 ，解得 ，满足 ，符合。 情形二：，此时 ， 方程为 ，表示椭圆而非双曲线，不合题意，舍去。 情形三：，此时 ，方程即 ， 表示焦点在 轴上的双曲线，其中 ，， 渐近线斜率为 。令 ，即 ，解得 ，与 矛盾，舍去。 综上，。故选A。 8．（★★★）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 ，点 在双曲线的右支上，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】右支上 ，把 转化后，原式变为 ，再用 ，取等需验证直线 与右支确实相交。 【解答过程】由 、 得 。 在右支上，故 ， 即 ，于是 。而 ，故最小值为 。 取等需 在线段 上且在双曲线右支上：线段 上 ，当 时线段上 ，而右支上 ；当 时线段上 ，而右支上 ，故线段与右支在上半平面确有交点，取等可以实现。故选C。 二、多选题 9．（★★）关于双曲线 ，下列说法正确的是（　　） A．实轴长为 　B．离心率为 　C．渐近线方程为 　D．焦点坐标为 【答案】ABD 【解题思路】逐项算 、、 与渐近线斜率。 【解答过程】，，。 A：实轴长为 ，正确； B：，正确； C：渐近线为 ，不是 ，错误； D：焦点为 ，正确。 故选ABD。 10．（★★）下列双曲线中，渐近线方程为 的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ACD 【解题思路】焦点在 轴上看 ，焦点在 轴上看 。 【解答过程】A：，渐近线为 ，正确； B：焦点在 轴上，，渐近线为 ，错误； C：焦点在 轴上，，正确； D：，正确。 故选ACD。 11．（★★★）已知双曲线 （，），下列说法正确的是（　　） A．若 ，则渐近线的斜率为 　B． 的焦点到其渐近线的距离等于 　C．若 ，则 为等轴双曲线，离心率为 　D．过原点的直线与 必有两个公共点 【答案】ABC 【解题思路】A、C 用 ；B 用常用结论；D 举反例。 【解答过程】A：，斜率为 ，正确； B：焦点 到渐近线 的距离为 ，正确； C： 时 ，，正确； D：过原点且斜率绝对值大于 的直线与双曲线无公共点，错误。 故选ABC。 12．（★★★）已知双曲线 ，直线 ，则下列结论正确的是（　　） A．当 时， 与 有两个公共点　B．存在实数 ，使得 与 只有一个公共点　C．若 与 的左、右两支各交于一点，则 　D．若 ，则 与 的右支交于两点 【答案】ABC 【解题思路】联立得 ，逐项看：判别式、二次项系数为零的退化情形、两支各一点等价于 、右支两点需 且 （还与 的符号有关）。 【解答过程】把 代入 得 。 A： 时方程为 ，即 ，有两个公共点，正确； ① 当 ，即 时，方程为一次方程 ，恰有一个公共解，此时直线与渐近线平行；② 当 时， 得 ，此时相切。两类 都存在，正确；C：设两交点的横坐标为 、，与左、右两支各交于一点等价于 ， 而 ，故 等价于 ，即 （此时 ，确有两交点），正确；D： 时 ，两根同号， 又 ：当 时 ，两根均为负，两点都在左支而非右支，错误。故选ABC。 三、填空题 13．（★★）双曲线 的离心率为 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】由 求 。 【解答过程】，由 得 ，故 。 14．（★★）双曲线 的渐近线方程为 ____________。 【答案】 【解题思路】把右边的 改成 再因式分解。 【解答过程】由 得 ，即 。 15．（★★★）若双曲线 （，）的离心率 ，则其渐近线方程为 ____________。 【答案】 【解题思路】先由 求斜率。 【解答过程】，故渐近线为 。 16．（★★★）已知 、 是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线的右支上，则 的取值范围是 ____________。 【答案】 【解题思路】设 ，把数量积直接展开为 ，再用双曲线方程消去 ，化为关于 的函数，最后由右支 定范围。 【解答过程】由 、 得 ，故 、。设 ，则 ，， 。由 得 ，代入得 。 在右支上，故 ，从而 ，当 为右顶点 时取等。故取值范围是 。 四、解答题 17．（★★）已知双曲线 。 (1) 求 的实轴长、焦距与离心率； (2) 求 的渐近线方程。 【答案】(1) 实轴长为 ，焦距为 ，离心率为 ； (2) 。 【解题思路】先定 、、，再套公式。 【解答过程】(1) 、，故 、，。 实轴长为 ，焦距为 ，离心率 。 (2) 焦点在 轴上，渐近线为 。 【多解·巧解】写渐近线最稳的办法是把标准方程右边的 改成 再因式分解： 即 ，于是 。这样不必纠结焦点在哪个轴上用 还是 ，尤其适合考试时避免笔误。 【易错提醒】① 把焦距当成 （应为 ）；② 焦点若在 轴上，渐近线是 ，本题 项系数为正，焦点在 轴上，才用 。 18．（★★）已知双曲线的中心在原点，焦点在 轴上，离心率 ，且过点 ，求双曲线的标准方程。 【答案】 【解题思路】由 得 ，只设 一个未知数。 【解答过程】由 得 ，故 。 设方程为 ，代入点 得 ， 即 ，故 ，。 方程为 。 【多解·巧解】只设一个未知数比设两个快得多：由离心率就能把 表成 的倍数，代入已知点后方程里只剩 。更快的写法是设 ，代入得 ，一步出结果。凡是已知渐近线斜率再加过一点的条件，优先用共渐近线系。 【易错提醒】把 写成 ：本题 ，根号内应为 ；若写成 会得到一个负数，此时就应立刻警觉公式记反了。 19．（★★）已知 、 是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，且 ，求 的大小。 【答案】 【解题思路】设 、，由 求 ，再用余弦定理。 【解答过程】设 、，则 、。 。 又 ，由余弦定理 。 故 。 【多解·巧解】焦点三角形有一组固定动作： 给出 ，再与 联立，直接得 。把这个式子当成模板，遇到已知 求角或已知角求 （即面积）都能一步代入。 【易错提醒】① 写成 而不是 ；② 把 算成 （符号错）；③ 忘记 对应 而不是 。 20．（★★★）已知双曲线 。 (1) 求 的离心率与渐近线方程； (2) 若直线 与 有两个不同的公共点，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ，渐近线为 ； (2) 且 。 【解题思路】联立后要求二次项系数不为零且判别式大于零两个条件同时成立。 【解答过程】(1) 、，故 ，，渐近线为 。 (2) 把 代入 得 。 要有两个不同的公共点，需 且 。 ，得 ，即 。 再剔除 即 （此时直线与渐近线平行，只有一个公共点）。 故 且 。 【多解·巧解】两个条件缺一不可，但顺序可以优化：先算 得到 ，再看这个区间里有没有使二次项系数为零的 。因为与渐近线平行时直线一定与双曲线只有一个交点，所以只需检查渐近线斜率 是否落在刚才求出的区间内：若不在，就不必剔除；若在，必须挖掉。这种先求范围再挖点的顺序比先分类讨论省事。 【易错提醒】① 只写 而忘记剔除 ；② 判别式算成 （把 写成 ），会得到全体实数这种荒谬结果；③ 认为 时无解也算无两个公共点而处理正确，但必须写清此时是一个公共点，不能含糊带过。 21．（★★★）已知双曲线 ，直线 过点 ，且被 截得的弦 恰以 为中点，求直线 的方程。 【答案】（即 ） 【解题思路】点差法求斜率，再回代检验弦是否真实存在。 【解答过程】设 、，两点都在 上，故 ，。 两式作差：。 代入 、 得 ， 即 。 直线 为 ，即 。 检验：把 代入 得 ，，弦确实存在。 【多解·巧解】点差法可以直接背结论：对 ，以 为中点的弦所在直线的斜率为 （椭圆是 ，差一个负号）。本题代入即 ，比现场作差快得多，但必须补上判别式检验才算完整。 【易错提醒】① 点差法只给必要条件，若不回代检验，可能算出一条根本不与曲线相交的直线；② 与椭圆的点差法公式混淆（椭圆多一个负号）；③ 把中点坐标代错：公式分子是 ，分母是 。 22．（★★★）已知双曲线 （，）的离心率为 ，过其右焦点 作 轴的垂线，交双曲线于 、 两点，若 的面积为 （ 为坐标原点），求该双曲线的标准方程。 【答案】 【解题思路】通径长为 ，以通径为底、 为高表示面积；再由 定 与 的关系。 【解答过程】由 得 ，。 过焦点且垂直于 轴的弦为通径，长 。 以 为底，高为原点到直线 的距离 ， 故 。 由 得 ，故 。 方程为 。 【多解·巧解】把面积写成 是关键一步：，完全绕开了 、、 的具体数值。再配合 ，面积就直接变成 的式子。看到过焦点作对称轴的垂线，就想到通径；看到通径，就用 。 【易错提醒】① 通径长记成 （漏乘 ）会让面积差一半，得到 的错误结果；② 时 ，别写成 ；③ 面积公式中的高是 （原点到直线 的距离），不是 。 23．（★★★）已知双曲线 （，）的离心率为 ，且经过点 。 (1) 求 的方程； (2) 若直线 与 交于 、 两点，且以 为直径的圆经过坐标原点 ，求实数 的值； (3) 在 (2) 的条件下，求 与 的面积。 【答案】(1) ； (2) 或 ； (3) ， 的面积为 。 【解题思路】(1) 由 得 ，代入点定 ；(2) 以 为直径的圆过 等价于 ，联立后用韦达定理整体代换，并回检判别式；(3) 弦长公式配韦达定理，面积用底乘高。 【解答过程】(1) 由 得 ，故 。 设方程为 ，代入点 ：，即 ，故 ，， 的方程为 。 (2) 把 代入 ，得 。 直线与 交于两点，需 且 ，即 。设 、，则 ，。 又 。 以 为直径的圆经过 ，等价于 ，即 ，得 ，（满足 且 ）。故 或 。 (3) 取 ，方程为 ，则 ，， ，（ 时同理）。原点 到直线 的距离 ，故 。 【多解·巧解】"以 为直径的圆过原点"统一翻译成 ：其中 不必求出交点，用 整体代入，分子分母往往出现公因式，化简极快。第 (3) 问若用 （直角三角形）也可求面积：由 与 配对计算，结果同为 ，两种方法可互相验算。 【易错提醒】① 垂直条件解出 后必须回检判别式与二次项系数（本题 ，且 $2 - k^2 = 1 eq 0\sqrt{1 + k^2}k = 1k = -1$ 两条直线都要写，只写一条会漏解，好在两者弦长与面积相同，第 (3) 问任取一条计算即可，但需说明另一条同理。 24．（★★★）已知双曲线 （，）的离心率为 ，实轴长为 。 (1) 求 的方程； (2) 过右焦点 且斜率为 的直线 与 的右支交于 、 两点，求 的取值范围； (3) 在 (2) 的条件下，在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标与该定值；若不存在，请说明理由。 【答案】(1) ； (2) 或 ； (3) 存在定点 ， 恒为定值 。 【解题思路】(1) 由 与 定 、；(2) 联立后用 且 刻画"两点都在右支"，注意分子恒负、符号由分母决定；(3) 把数量积整理成 ，令分子与分母成比例（待定系数法）同时定出 与定值。 【解答过程】(1) 由 得 ；由实轴长 得 ，故 ， 。 的方程为 ，右焦点 。 (2) 设 ，代入 得 。 判别式 恒成立，且 （此时直线与渐近线平行，只有一个公共点）。 设 、，则 ，。 两点都在右支上等价于 、，即 且 。 分子 恒成立，故 等价于 ，即 ；此时 自动满足。故 或 。 (3) 由 得 ，其中 ，故 。。要使其与 无关，需 对 (2) 中的一切 成立（此时 有无穷多个值，故对应系数必须相等）：由常数项 得 ；由 的系数 得 。此时 。验证：取 ，两交点横坐标为 ，，，数量积恰为 。故存在定点 ，使 恒为定值 （即 ）。 【多解·巧解】"两点都在右支上"不必解出交点：用 且 刻画，而 的分子 恒为负，符号只看分母，一步定出 。第 (3) 问定值问题的通法是把数量积凑成 ，令分子等于分母的常数倍，两个方程同时解出 与定值 ；几何上即 ，可代入 快速验算。 【易错提醒】① 第 (2) 问若只写 而不交代 ，虽然结论恰好成立，但两个条件缺一不可，必须逐一验证；② 斜率不存在的直线 （通径）也与右支交于两点，但第 (2) 问已限定 的方程为 ，即斜率存在，不必纳入 的范围；③ 第 (3) 问待定系数时先由常数项定 ，再由 的系数定 ，顺序别弄混；求出后务必回代一个具体的 验证定值，防止整理过程出错。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第45讲 双曲线 第45讲 双曲线 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．熟练掌握双曲线的定义与标准方程，能由焦点位置、渐近线、离心率等条件求方程； 2．理解渐近线与离心率的内在联系，能在 、、渐近线斜率之间自由互推； 3．会用定义式结合余弦定理处理焦点三角形，会求焦点三角形的面积与顶角； 4．会用联立方程、韦达定理与判别式解决直线与双曲线的交点个数、弦长与中点弦问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 定义与焦半径 选择题、填空题 第6~8题、第13题 中 用 检验，防止多解漏解 求标准方程 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中 共渐近线系设为 ，一步代入 渐近线与离心率互推 选择题、填空题 第7~8题、第14题 中偏难 记住 焦点三角形 选择题、解答题 第8题、第17~19题 中偏难 余弦定理配 直线与双曲线综合 解答题 第18~20题 中偏难 先排除与渐近线平行，再用 命题规律分析 双曲线在新高考中多落在选择题第6~8题、多选题第10~11题与填空题第13~14题，也常作为解答题的第一问出现。基础档考定义、渐近线与离心率，属必得分；培优档集中在三处：一是定义式 与焦半径最小值 的联合使用（多解取舍）；二是渐近线与离心率的互推，特别是由渐近线夹角、直线与双曲线交点个数反求离心率范围；三是焦点三角形中用余弦定理与面积结论求角或面积。本讲抓住两条主线：先把 与 的关系打通，再练熟联立后韦达定理与判别式的用法，力争中档题全拿、压轴前一档题能拿一半。 考点1 双曲线的定义与标准方程 知识点1 定义与标准方程 平面内到两定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 （）的点的轨迹叫双曲线，即 。 焦点在 轴上为 （焦点 ）；焦点在 轴上为 （焦点 ）；两种情形都有 。 【易错清单】 1．去掉绝对值时， 在右支（靠近 ）取 ，在左支取相反的符号，符号弄反会导致整题答案跑偏； 2．求出的焦半径必须不小于 （顶点处取得），否则该支上不存在这样的点，要舍去； 3．、、 中 最大，但 与 大小不定，不能默认 。 知识点2 焦点位置的判定与共渐近线系 判断焦点在哪条轴上，只看含正号的那一项： 项为正则焦点在 轴上，其分母就是 。 与 共渐近线的双曲线可统一设为 （），代入已知点即可定 。 【易错清单】 1． 时焦点在 轴上， 时焦点在 轴上， 退化为两条渐近线； 2．设共渐近线系时，若已知点在渐近线上会算得 ，此时应判定不存在这样的双曲线。 考点2 渐近线与离心率 知识点3 渐近线 焦点在 轴上时渐近线为 ；焦点在 轴上时为 。 把标准方程右边的 改成 再因式分解，是写渐近线最稳的通法，不必记是哪一种比值。 【易错清单】 1．焦点在 轴上时用 ，一律套 是最常见的错误； 2．两条渐近线的夹角要分锐角、钝角两种情形，常对应两个答案； 3．直线与双曲线只有一个公共点，可能是相切，也可能是与渐近线平行，二者都要考虑。 知识点4 离心率 ，故 ，。 越接近 ，双曲线开口越窄； 越大，渐近线越陡、开口越大。 【易错清单】 1．椭圆是 ，双曲线是 ，根号内顺序别记反； 2．由 的范围推 的范围时，注意 这一隐含条件不能丢。 考点3 焦点三角形与常用结论 知识点5 焦点三角形 设 ，，，则 、，两式联立可求角、求积。 面积公式：，特别地 时 。 【易错清单】 1．余弦定理中第三边是 而不是 ，代错会让 相差悬殊； 2．由 消元时， 是常数，别写成 。 知识点6 两个常用结论 结论一：焦点到任一渐近线的距离恒等于 。 结论二：通径（过焦点且垂直于实轴的弦）长为 ，它是过焦点且与双曲线同一支相交的最短弦。 【易错清单】 1．通径长是 而不是 ，漏乘 会让面积差一半； 2．过焦点的弦若与两支各交一点，则不受通径最短的限制，不要乱用该结论。 【题型1 双曲线定义的应用（多解取舍）】 【例1】已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，若 ，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 【变式1-1】已知点 在双曲线 的左支上，、 分别为左、右焦点，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】到两定点 、 的距离之差的绝对值等于 的点的轨迹方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】已知 、，动点 满足 ，则点 的轨迹是（　　） A．双曲线　B．双曲线的右支　C．双曲线的左支　D．两条射线 【题型2 求双曲线的标准方程】 【例2】已知双曲线的中心在原点，焦点在 轴上，一条渐近线方程为 ，且双曲线过点 ，求双曲线的标准方程。 【变式2-1】中心在原点、焦点在 轴上、实轴长为 ，且渐近线方程为 的双曲线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】与双曲线 有共同渐近线，且过点 的双曲线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】已知双曲线的焦点为 、，且双曲线上一点 满足 ，则该双曲线的标准方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 渐近线问题】 【例3】已知双曲线 （，）的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】双曲线 的渐近线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】双曲线 的焦点到其渐近线的距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 离心率的求值与范围】 【例4】已知双曲线 （，）的两条渐近线的夹角为 ，则该双曲线的离心率为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【变式4-1】若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】若双曲线 的离心率 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】若双曲线 （，）的通径长等于实轴长，则其离心率为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 焦点三角形】 【例5】已知 、 是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，且 ，则 的面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】已知 、 是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，若 、，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知 、 是双曲线 的焦点，点 在双曲线上，若 ，则 的面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知点 在双曲线 （，）的右支上，、 为左、右焦点，若 ，则该双曲线离心率的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 直线与双曲线的综合】 【例6】已知双曲线 ，其右焦点为 。 (1) 求 的离心率与渐近线方程； (2) 过点 且斜率为 的直线交 于 、 两点，求 。 【变式6-1】过点 作直线 与双曲线 只有一个公共点，则这样的直线 共有（　　） A． 条　B． 条　C． 条　D．无数条 【变式6-2】已知 、 是双曲线 上的两点，且弦 的中点为 ，则直线 的斜率为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】若直线 与双曲线 （，）没有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）双曲线 的焦距为（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）双曲线 的渐近线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）双曲线 的焦点坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）若双曲线 （）的离心率为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）与双曲线 有相同渐近线且过点 的双曲线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知 、 是双曲线 的焦点，点 在双曲线上，若 ，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D．不存在 7．（★★★）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 8．（★★★）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 ，点 在双曲线的右支上，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）关于双曲线 ，下列说法正确的是（　　） A．实轴长为 　B．离心率为 　C．渐近线方程为 　D．焦点坐标为 10．（★★）下列双曲线中，渐近线方程为 的是（　　） A．　B．　C．　D． 11．（★★★）已知双曲线 （，），下列说法正确的是（　　） A．若 ，则渐近线的斜率为 　B． 的焦点到其渐近线的距离等于 　C．若 ，则 为等轴双曲线，离心率为 　D．过原点的直线与 必有两个公共点 12．（★★★）已知双曲线 ，直线 ，则下列结论正确的是（　　） A．当 时， 与 有两个公共点　B．存在实数 ，使得 与 只有一个公共点　C．若 与 的左、右两支各交于一点，则 　D．若 ，则 与 的右支交于两点 三、填空题 13．（★★）双曲线 的离心率为 ，则 ____________。 14．（★★）双曲线 的渐近线方程为 ____________。 15．（★★★）若双曲线 （，）的离心率 ，则其渐近线方程为 ____________。 16．（★★★）已知 、 是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线的右支上，则 的取值范围是 ____________。 四、解答题 17．（★★）已知双曲线 。 (1) 求 的实轴长、焦距与离心率； (2) 求 的渐近线方程。 18．（★★）已知双曲线的中心在原点，焦点在 轴上，离心率 ，且过点 ，求双曲线的标准方程。 19．（★★）已知 、 是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，且 ，求 的大小。 20．（★★★）已知双曲线 。 (1) 求 的离心率与渐近线方程； (2) 若直线 与 有两个不同的公共点，求实数 的取值范围。 21．（★★★）已知双曲线 ，直线 过点 ，且被 截得的弦 恰以 为中点，求直线 的方程。 22．（★★★）已知双曲线 （，）的离心率为 ，过其右焦点 作 轴的垂线，交双曲线于 、 两点，若 的面积为 （ 为坐标原点），求该双曲线的标准方程。 23．（★★★）已知双曲线 （，）的离心率为 ，且经过点 。 (1) 求 的方程； (2) 若直线 与 交于 、 两点，且以 为直径的圆经过坐标原点 ，求实数 的值； (3) 在 (2) 的条件下，求 与 的面积。 24．（★★★）已知双曲线 （，）的离心率为 ，实轴长为 。 (1) 求 的方程； (2) 过右焦点 且斜率为 的直线 与 的右支交于 、 两点，求 的取值范围； (3) 在 (2) 的条件下，在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标与该定值；若不存在，请说明理由。 —— 本节结束 —— 1 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