精品解析：福建龙岩北附实验学校东肖校区2026-2027学年第一学期八年级第一次阶段学情自测数学试卷

2026—2027学年第一学期八年级第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题4分，10小题共40分） 1. 下列四个图形是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为（ ） A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 10 4. 如图，若，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 7. 如图，点在的平分线上，于点，，点在边上，且，则的长度为 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（ ） A. B. C. D. 9. 重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是三条中线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点……“探究学习小组”在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰和等腰中，大于，顶角与顶角均为，，交于点M，连接．有下列结论：①；②；③；④点O在的平分线上． 其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题4分，6小题共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 ___________． 12. 一个三角形的三边长分别为5，9，m，则m的取值范围是_________． 13. 如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为________． 14. 如图，△ABD和△ACD关于AD所在的直线对称，点D在BC上，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 __ ． 16. 如图，是的中线，，，则的取值范围是 ___________． 三、解答题（共9小题共86分） 17. 如图，．求证：． 18. 如图，，，，求证：． 19. 在直角中，，，是的平分线，且，，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）若点与点A关于x轴对称，求的值． 21. 如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 22. 如图，在中，，，，垂足为，且，点、分别在边、上，且．求证： （1）是等边三角形； （2）． 23. 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 24. 如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． （1）如图①，当时，______cm． （2）如图①，当______时，的面积等于面积的一半； （3）如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 25. 问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　； 探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网 组卷网 2026一2027学年第一学期八年级第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题4分，10小题共40分） 1.下列四个图形是轴对称图形是() C D 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念.识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠 后可重合 根据轴对称图形的概念判断即可。 【详解】解：A.不是轴对称图形，故不符合题意； B.不是轴对称图形，故不符合题意： C.是轴对称图形，故符合题意； D.不是轴对称图形，故不符合题意： 故选C 2.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是() A A E B B B A B B 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形的高，解题的关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间 的线段叫作三角形的高.利用三角形高的定义即可求解 第1页/共32页 命学科网 命组卷网 【详解】解：选项A的图形中，线段BE是△ABC的高，符合高的定义： 选项B的图形中，不符合高的定义： 选项C的图形中，不符合高的定义： 选项D的图形中，线段AE是△ABC的高，而线段BE不是△ABC的高. 3.等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为() A.13 B.17 C.13或17 D.10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，分情况讨论是解题的关键.分两种情况讨论等 腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出周长. 【详解】解：①当腰长为3时， .3+3=6<7 ,不满足三角形两边之和大于第三边， 此情况不能构成三角形： ②当腰长为7时， 7+7>3,7+3>7 ,满足三角形三边关系， ∴周长=7+7+3=17. 综上，该等腰三角形的周长为17. 故选：B 4.如图，若△OAD≌△OBC,且∠0=75°，∠C=20°，则∠CAE的度数为() E 259 100° A. B700 D 第2页/共32页 6学科网 命组卷网 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角性质，由全等三角形的性质推出∠D=∠C=20°， 由三角形的外角性质得到∠CAE=∠O+∠D=95°， 【详解】解：，△OAD≌△OBC, .∠D=∠C=20°」 :.∠CAE=∠0+∠D=75°+20°=95° 故选：C 5.仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出 ∠CPD=∠AOB 的依据是() D G SSS SAS C ASA AAS A. B. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质； 根据作图步骤可知OG=PM,OH=PN,GH=MN,然后利用SSS证明△OHG≌aPNM即可. 【详解】解：由作图可知：OG=PM,OH=PN,GH=MN, ∴.aOHG≌aPWM(SSS) 第3页/共32页 6学科网6组卷网 .∠NPM=∠HOG∠CPD=∠AOB ，即 故选：A. 6。现要在一块三角形ABC草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是( ) A.ABC 的三条中线的交点 B AABC 三条角平分线的交点 C△ABC 三边的垂直平分线的交点 D.AABC 三条高所在直线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】将到三个顶点距离相等的条件转化为线段垂直平分线的问题求解. 【详解】解：，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 ∴：，到△ABC三个顶点距离相等的点在三边的垂直平分线上， ,三角形三边的垂直平分线交于一点， ∴该点即为凉亭的位置 7.如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C,∠PDB=30°，点D在边OB上，且DP=6, 则CP的长度为 AP B A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质.熟练掌握角平分线的性质，等边对 等角，三角形外角的性质，含30°的直角三角形是解题的关键.如图，作PE1OB于E,根据含30度角 第4页/共32页 6学科网 命组卷网 的直角三角形的性质即可求PE=3的长，根据角平分线的性质可得CP=EP,即可求解. 【详解】解：如图，作PE⊥OB于E, A AP O DE B ÷DP=6∠PDB=300 .PE=3 ,点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA,PE⊥OB, .CP=EP=3. 故选：C 8.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°， ∠ACP=50° 则∠A+2P=(,) 20 50 D -M 70° A B 800 c900 D1000 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线等知识点，根据角平分线的 定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出 第5页/共32页 6学科网 组卷网 ∠ACB ∠P 的度数，根据三角形的内角和即可求出 的度数，进而即可求出结果，熟练掌握其性质并能灵活 运用一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及三角形的内角和为180°是解决此题的关键. 【详解】解：：BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， 又：∠ABP=20°，∠ACP=50°， :.∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°， .∠A=∠ACM-∠ABC=60°，∠ACB=180°-∠ACM=80°， .∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°. .∠PBC=20°， .∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°， .∠A+∠P=90°， 故选：C 9.重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是三条中线的交点、平行四边形的重心是对角线的 交点…“探究学习小组”在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建 立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为S,S,重心分别为M,(:出)，M,(:) 原图形的 重心坐标为M(x,则有=2y三+9 S1+S2, S,+S2·如图，若AF=2,AB=5,BC=6, CD=2 以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为 第6页/共32页 6学科网命组卷网 B.(4,1) 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与几何，中点坐标公式的相关知识点.根据矩形的性质以及中 点坐标公式即可求解点， M,点M的坐标，再求出，S,然后代入重心坐标公式即可。 【详解】解：如图： ABGF AF=2,AB=5 ,四边形 是矩形， :F(2,5),M为FB中点， ÷B(0,0) (2,生).) :四边形BGCD是矩形， BC=6.CD=2 :.D(6,2),M2为GD中点， ,四边形ABGF是矩形， 第7页/共32页 6学科网列组卷网 BG=AF=2 :G(2,0) 4262 即M2(4,1): S1=AF×AB=2×5=10S2=CD×CG=2×(6-2)=8 x=1x10+4×87 10+83,y=2 10+1x81 10+8 6, 711 “L”形的重心坐标为3’6 故选：D 10.如图，在等 △10B和等腰△C0D中，O1大于OC,顶角10B与顶角∠C0D均为40°，4C 和等腰 BD 交于点M连接MO.有下列结论：DMC=BD.②△10C≌BOD,@∠CMD=∠COD MO ；② ；③1 ④ 点O在∠BMC的平分线上. 其中正确的结论有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等腰三角形定义与∠A0B=∠COD=40°，可证明△AOC≌ABOD(SMS）,得 第8页/共32页 命学科网命组卷网 AC=BD ,可判定①正确：②正确：设4C与0D ∠OCA=∠ODB 与交于点G,结合 ,运用三角形外角性 质推出∠COD=∠CMD,可判定③正确；过点O作OE⊥AC于点E,OF⊥BD于点F,由 ∠OCA=∠ODB,OC=OD,得AOCE≌aODF(AAS),得OE=OF,得OM平分∠BMC.可判定 ④正确。 【详解】解：，∠AOB=∠COD=40°， :.∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD, 即∠AOC=∠BOD. .40B 是等腰三角形， △COD 是等腰三角形， ..OA=OB,OC=OD. :.△A0C≌aBOD(SAS) 故②正确，符合题意： ·△AOC≌aBOD(SMS) .AC=BD, 故①正确，符合题意： △AOC≌aBOD(SAS) ∴.∠OCA=∠ODB. 设AC与OD交于点G, .∠OGM=∠OCA+∠COD=∠ODB+∠CMD. .∠COD=∠CMD. 第9页/共32页 6学科网6组卷网 故③正确，符合题意： B M 过点O作OE⊥AC于点E,OF⊥BD于点F,如图所示， 则∠OEC=∠OFD=90°， .∠OCA=∠ODB,OC=OD. :△OCE≌aODF(AAS) ..OE=OF, ∴.OM平分∠BMC.点O在∠BMC的平分线上. 故④正确，符合题意， .正确的结论有4个： 故选：A. 【点睛】本题主要考查了全等三角形.熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的 外角性质，角平分线的判定定理，是解题的关键 二、填空题（每小题4分，6小题共24分） 1.在平面直角坐标系中，点1(4,6)关于x轴对称的点的坐标为 【答案】 （-4,6) 【解析】 【分析】本题考查了求关于x轴对称的点的坐标，根据关于x轴对称点的坐标特点“横坐标不变，纵坐标 互为相反数”，得出答案即可，熟练掌握关于x轴对称点的坐标特点是解题的关键. 第10页/供32页 6学科网 组卷网 【详解】解：点1(4,6)关于x辅对称的点的坠标为（4,6)， 故答案为： (-4,-6) 12.一个三角形的三边长分别为5,9，m,则m的取值范围是 【答案】4<m<14 【解析】 【分析】本题考查求三角形第三边的取值范围，根据三角形的三边关系即可得出结果， 【详解】解：由三角形的三边关系，得9-5<m<9+5,即4<m<14: 故答案为：4<m<14, 13.如图，OC平分∠AOB,点P在OC上，PD⊥OA于D,PD=5cm,点E是射线OB上的动点， 则PE的最小值为 cm E D 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂线段最短，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距 离相等.过P点作PH⊥OB于H,根据角平分线的性质得到PH=PD=5,然后根据垂线段最短求解. 【详解】解：过P点作PH⊥OB于H,如图， B H D OC ,∠A0B PD⊥OAPH⊥OB 平分 第11页/共32页 6学科网 命组卷网 .PH PD=5cm “点E是射 OB 上的动点， 当PE⊥OB时，PE最小，最小值为PH的长， ∴.PE 5cm 的最小值为 故答案为：5. 14.如图，△ABD和△ACD关于AD所在的直线对称，点D在BC上，若S△ABc=12,则图中阴影部分的面积 为 D 【答案】6 【解析】 【分析】根据轴对称的性质解决问题即可， 【详解】解：，△ABD和△ADC关于直线AD对称， ∴.SABEF-SACEF, 1 ∴.S阴=SAADC=2S△ABc=6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查轴对称的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 15.如图，在△4CB中，∠ACB=90°，AC=BC,点C的坐标为-，0)，点B的坐标为(2,5)，则A 点的坐标是一· 第12页/共32页 6学科网6组卷网 B 【答案】 （-6,3) 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作 BE⊥x E ACD≌ACBE 轴于点，构造 ，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点“的 坐标 【详解】解：过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E, D :点C的坐标为1,0)，点B的坐标为(2,5) .CE=2-(-1)=3,BE=5 .∠ACB=90° ∴.∠ACD+∠BCE=90° AD⊥x,BE⊥x 轴， 轴， ∴.∠ADC=90°∠CEB=90° 第13页/共32页 6学科网6组卷网 :∠CAD+∠ACD=90° .∠CAD=∠BCE 在△ACD和△CBE 和 ， ∠ADC=∠CEB=90° ∠CAD=∠BCE AC=BC .△ACD≌ACBE(AAS) ∴AD=CE=3,CD=BE=5 ∴.OD=CD+OC=5+1=6 ∴D的坐标为(6,0)】 .AD=3AD⊥x 轴， .A(-6,3) 放答案为（6,3) 16.如图，AD是△ABC的中线，AB=8,AC=4,则AD的取值范围是 D 【答案】2<AD<6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，三角形三边关系，由“SAS”可证△ADC≌△HDB,可得 第14页/供32页 命学科网命组卷网 AC=BH=4 ,由三角形的三边关系可求解. 【详解】解：如图，延长AD至H,使AD=DH,连接BH, B D H .AD△ABC 是 的中线， ∴.CD=BD 在△ADC和△HDB中， AD=DH ∠ADC=∠HDB CD=BD :△ADC≌aHDB(SAS) .∴.AC=BH=4 在△ABH中，AB-BH<AH<AB+BH, .4<2AD<12, .2<AD<6 故答案为：2<AD<6 三、解答题（共9小题共86分） 17.如图，AC=BD,BC=AD.求证：∠ABC=∠BAD 第15页/供32页 6学科网组卷网 】 【答案】证明：，在△ABC和△BAD中，AC=BD,BC=AD,AB=BA, ·△ABC三ABAD(SSS) .∠ABC=∠BAD 【解析】 【分析】己知AC=BD,BC=AD,同时AB为两个三角形的公共边，可得三组对应边相等.依据边边 边(SSS)全等判定定理，可得这两个三角形全等，再根据全等三角形对应角相等的性质，即可得到对应 角相等的结论. 【详解】略. 18如图，CA=CD,∠I=∠2，BC=EC,求证：∠A=∠D 2 【答案】 证明：∠1=∠2， :∠1+∠ECA=∠2+∠ECA 即∠ACB=∠DCE 在△ABC和△DEC中， 第16页/共32页 6学科网命组卷网 BC=EC ∠ACB=∠DCE CA=CD :△ABC≌ADEC(SAS) ∴.∠A=∠D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，先结合∠I=∠2，得∠ACB=∠DCE,再运用SAS 证明△ABC≌△DEC,即可作答. 【详解】略 19在直角△ABC 中，∠A=90,DE⊥BC,BD是∠ABC的平分线，且4C=8,DE=3,求DC 的长 【答案】5 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得AD=DE,根据DC=AC-AD即可求解. 【详解】解：：∠A=90,DE⊥BC,BD是∠ABC的平分线 .DA⊥BA .DA=DE. DE=3, .DA=3 .AC=8 第17页供32页 命学科网组卷网 .DC=AC-AD=8-3=5 ∴.DC=5 【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键. 20如图，在平面直角坐标系中，△MBC三个顶点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,2),C(-3,4) 6 5 4 2 A 5432可 Q12.345.67 T---1 (1)画出△ABC 于y轴对称 △AB,G,并写 △4B,G各顶点的坐标： (2)若 Pa-lb+2)与点4关于x轴对称，求ab 的值、 【答案】(1) 如图所示： △AB,C 即为所求： 5 A A 5432 6 4(2,1),B(1,2),C(3,4) 第18页/供32页 6学科网 命组卷网 (2)a=-1,b=-3 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化，熟记相关结论即可： (I)确定△ABC各顶点关于y轴对称的对应点，依次连接即可作图； (2)关于x轴对称的两点，其纵坐标互为相反数，横坐标不变，即可求解； 【小问1详解】 解：A(2,),B(1,2),G3,4) 【小问2详解】 解：由题意得：4-1=-2，b+2=-1, 解得：a=-1,b=-3: 21.如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔.按照设计要求，发射塔到两个城镇A,B的距离必 须相等，到两条高速公路OM和ON的距离也必须相等.发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置 P B S A 【答案】 如图，点P即为所求。 M B 第19页/供32页 命学科网命组卷网 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的判定，线段的垂直平分线的判定，解题的关键是理解 题意，灵活运用所学知识解决问题. 连接AB,作线段AB的垂直平分线交∠MON的角平分线于点P,点P即为所求. 【详解】略 22如图，在△MBC中，AB=4C,∠BMC=I20,D1BC,垂足为E,且MD=B,点F、 G 分别在边ABAC C上，且∠BDF=∠ADG 求证： (1)△ABD是等边三角形： (2)BF=AG 【答案】(1) 证明：AB=AC,∠BAC=120°AD1BC ∠BAD=∠CAD=∠BMC=×120=60 2 2 AD=AB ∴△ABD是等边三角形： (2) 证明：△ABD是等边三角形， .BD=AD,∠ABD=60°， .∠CAD=60° .∠FBD=∠CAD 第20页/供32页 命学科网组卷网 .∠BDF=∠ADG :.△BDF≌AADG(ASA) .BF=AG 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质， (1)根据等腰三角形的“三线合一”求出∠BAD=60°，再由AD=AB即可得证； (2)根据等边三角形的性质得到BD=AD,∠FBD=∠CAD,从而证明△BDF≌△ADG(ASA),根 据全等三角形的对应边相等即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23.教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容. 2.线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直 平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重 合.由此即有：绕段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， 己知：如图，MN⊥AB,垂足点为C,AC=BC,点P是直线MN的任意一点，求证：PA=PB. M 第21页/供32页 学科网 命组卷网 分析：图中有两个直角三角形APC和BPC,只要证明这两个三角形全等，便可证明PA=PB (1)请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程， 定理应用： (2)如图②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E,垂足分别为M,N,BC=24 ,则△ADE的周长为 (3)如图③，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,E、P分别是AB、AD上任意一点，若AB=8, △ABC BP+EP 的面积为30，则1 的最小值是 M D 2 C B D 图① 图② 图③ 【答案】(1)证明：在△PAC和△PBC中 PC=PC ∠PCA=∠PCB=90° AC=BC .△PAC≌APBC. .PA=PB: (2)24: 15 (3)2 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、最短路径等知识，熟练掌握线段 第22页/供32页 可学科网命组卷网 垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质是关键， (I)证明△PAC≌△PBC即可得证： (2)利用线段垂直平分线的性质得出AD=BD，AE=CE,然后根据三角形的周长和线段的和差关系 即可求解： (3)在AC上取点F,使AF=AE,过点B作BH⊥AC于H,证明Rt△ABD≌RtAACD得出 ∠BAD=∠CAD 正明△MPE≌△MPF得出PE=PF,则BP+PE=BP+PF≥B 得出 ,故当B、P、F 三点共线，且BH L AC时，BP+EP最小，最小值为BH,然后根据三角形面积求出BH即可. 【详解】(1)略 (2)解：：AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E, ∴AD=BD,AE=CE .AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC. .BC=24. ,AD+DE+AE=24,即△ADE的周长为24. 故答案为：24； (3)解：在AC上取点F,使AF=AE,过点B作BH⊥AC于H, B D 在RtAABD和Rt△ACD中 第23页/供32页 可学科网命组卷网 AB=AC AD=AD, :.RtAABD≌RtAACD .BD=CD,∠BAD=∠CAD 在△APE和△APF中 AE=AF ∠EAP=∠FAP AP=AP .△APE≌△APF, .PE=PF, .BP+PE=BP+PF≥BH, 当B、P、F三点共线，且BH⊥AC时，BP+EP最小，最小值为BH, :AB=AC=8,△ABC的面积为30， ·2×8BH=30 1 :BH=15 Γ2， 15 ∴.BP+EP的最小值为2. 15 故答案为：2. 24如图0.在R1△MBC中，∠C=90°，BC=6cm,4C=8cm,AB=10cm,现有一动点P从点 AC→CB→BA A 2cm/s 出发，沿着三角形的边 运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒. 第24页/供32页 6学科网命组卷网 B B E 图① 图② (1)如图①，当t=2时，AP=cm. (2)如图①，当1=时，△APC的面积等于△ABC面积的一半： (3)如图②，在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm,DF=5cm,EF=3cm,∠D=∠A,在 △ABC 的边上，若另外有一个动点2，与点P同时从点出发，沿若边 AB→BC→CA 运动，回到点 A停止.在两点运动过程中的某时刻，恰好△1P吧和ADEF全等，求点巴的运动速度。 11.19 【答案】(1)4(2)2或2 5 8 40 cm/s cm/s (3)2运动的速度为2 心或5cmVS或19cs/9 或10 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握 全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键， (1)当t=2时，点P在线段AC上，则点P的运动距离即为AP的长： （2)先求出9，=24cm,进而得出9 S.APC =12cm2 分两种情况讨论：当点P在BC上时， 11 1=- CP=(21-8)cm,利用三角形面积公式求解即可：解得：2： 当点P在AB上时，过点C作CD1B于点D,此时AP=(24-2)em,先利用等面积法求出 第25页/供32页 6学科网 命组卷网 CD= 24 cm,再利用三角形面积公式求解即可： (3)根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点 所走的路程，进而可求出P的 运动时间，即Q的运动时间，再利用速度=路程时间求解即可. 【小问1详解】 解：由题意可知，当t=2时，点P的运动距离为2×2=4cm, AC=8cm. 当=2时，点P在线段 P 上，此时0=4cm C 故答案为：4； 【小问2详解】 解：在Rt△ABC 中，∠C=90°.BC=6cm、AC=8cmAB=10cm ×6×8=24cm2 21 .△APC △ABC 的面积等于 面积的一半， 1 .-8.uwc-12.cm 当点P在BC上时，如图，此时CP=(21-8)cm S.w-JAC.Cp 2 第26页/供32页 6学科网命组卷网 5×8(2t-8)=12 21 11 解得：12： 当点P在AB上时，如图，过点C作CD1AB于点D,此时1P=6+8+10-21=(24-21)cm B 1 SMABC =AB.CD 2 -×10CD=24 CD=24 m S.AC=AP.CD, 24-20 24-12 19 f= 解得：2， 1119 综上可知，当1=2S或25时，△4PC的面积等于A4BC面积的一半， 11.19 故答案为： 2或28 【小问3详解】 设点Q的运动速度为xcm/s, 第27页/供32页 6学科网6组卷网 ①当点P在C上，点P在B上，△1P0≌ADE 时， AP DE =4cm,A0=DF =5cm .4÷2=5÷x 5 解得x=2: @当点P在MC上，点P在AB上，△MP2≌aDFE 时， BE F AP =DF =5cm,A0=DE =4cm .5÷2=4÷x, 8 解得x=5: ®当点P在4B上，点P在AC上，△AP2ADEF 时， 第28页/供32页 6学科网命组卷网 B E F AP=DF =5cm,A0=DE =4cm ,点P的路程为6+8+10-5=19cm,点9的路程为6+8+10-4=20cm, .19÷2=20÷x 40 解得x=19; @当点P在AB上，点Q在AC上，△1O≌△DEF 时 BE F AP=DE =4cm,AO=DF =5cm ∴.点P的路程为6+8+10-4=20cm,点Q的路程为6+8+10-5=19cm, .20÷2=19÷x 19 解得x=10: 5 cm/s 5cm/s 40 8 cm/s 19 cm/s ∴.Q运动的速度为2或5或19或10 25.问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC, 第29页/共32页 6学科网命组卷网 CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是， 延长FD到点G.使DGBE.连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论，他 的结论应是」 探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D-180°，E,F分别是BC,CD上的点，且 ∠EA-2∠BAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由： 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南 偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里小时 的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两 舰艇分别到达E,F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离 G VA A F B E B E 图1 图2 图3 【答案】问题背景：EF=BE+DF; 探索延伸：EF=BE+FD仍然成立， 理由：如图2，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG A B E 图2 .∠B+∠ADC180°，∠ADG+∠ADC-180, .∠B=∠ADG, 又，AB=AD 第30页/供32页 6学科网 命组卷网 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG .△ABE≌△ADG(SAS), ∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG, 又，∠EAF=2∠BAD, ∴.∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF, =∠BAD-2∠BAD=2∠BAD, ∴.∠EAF=∠GAF」 在△AEF和△AGF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF ∴.△AEF≌△AGF(SAS), ..EF-FG. 又，FG=DG+DF=BE+DF, ..EF-BE+FD 实际应用：此时两舰艇之间的距离为320海里 【解析】 【分析】问题背景：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,证明△ABE≌△ADG,得到△AEF≌△AGF, 证明EF=FG,得到答案； 探索延伸：连接EF,延长AE,BF相交于点C,利用全等三角形的性质证明EF=AE+FB, 实际应用：如图3，连接EF,延长AE,BF相交于点C,首先证明，∠FOE=2∠AOB,利用结论 EF=AE+BF求解即可. 【详解】解：问题背景：由题意：△ABE≌△ADG,△AEF≌△AGF, ∴BE=DG,EFGF, 第31页/供32页 6学科网组卷网 ..EF-FG-DF+DG-BE+FD. 故答案为：EF=BE+FD 探索延伸：略； 实际应用：如图3，连接EF,延长AE,BF相交于点C, ○ B 图3 在四边形AOBC中， ,∠A0B=30°+90+20=140°，∠F0E=70°=2∠AOB, 又，OA=0B,∠0AC+∠OBC=60+120°-180°，符合探索延伸中的条件， ∴.结论EF=AE+FB成立， 即，EF=AE+FB=2×(70+90)=320(海里) 答：此时两舰艇之间的距离为320海里. 【点睛】本题考查的是四边形知识的综合运用，掌握三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题 的关键，注意规律的总结和运用. 第32页/共32页