精品解析：福建龙岩市新罗区第二中学2025-2026学年八年级上学期第二次月考数学试题

龙岩二中东山校区八年级上数学第二次限时训练 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若一个三角形的两边长分别为和，则第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形第三边大于两边之差，小于两边之和进行求解即可． 【详解】解：三角形的两边长分别为和， 第三边， 即第三边， 故选：C． 2. 黑体字是一种横平竖直，粗细一致的雄浑字体，以下汉字可以看作轴对称图形的是（ ） A. 中 B. 国 C. 自 D. 信 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是解答本题的关键． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：B、C、D选项中的汉字不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算法则和合并同类项．根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法和积的乘方分别计算即可做出判断． 【详解】解：A：∵ ≠ ，∴ A错误． B：∵ ≠ ，∴ B错误． C：∵ ，∴ C错误． D：∵ ，∴ D正确． 4. 下列变形中因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的定义，根据因式分解的定义，整式乘法的定义依次判断即可求解 【详解】解：A． ，是整式的乘法，故不符合题意； B． ，该选项等式右边不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，故不符合题意； C． ，是因式分解，故符合题意； D． ，不是因式分解，故不符合题意； 故选：C 5. 若，则p、q的值是（ ） A. 2， B. ，15 C. 2，15 D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式的乘法法则是解题的关键． 通过多项式乘以多项式展开左边并比较系数，即可得到p和q的值． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， 比较系数得：，. 故选：A 6. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查分式的变形，熟练掌握分式的基本性质和分式的求值是解题的关键． 通过简化分式或代入具体值验证每个选项的正确性，只有B选项的变形符合分式的基本性质． 【详解】解：A：，∴ A错误． B：，∴ B正确． C：取，，，不相等，∴ C错误． D：取，，，不相等，∴ D错误． 故选：B 7. 如图，在与中，，则添加条件可使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：∵，而为公共边， ∴当时，满足，可判断， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：灵活运用全等三角形的5种判定方法是解题的关键． 8. 如图，在中，，，平分，若，则的长为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、等腰三角形判定和性质等知识，推导出是解题的关键，由，求得，由平分，得，则，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：． 9. ，是正整数，若，则，的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，将整理得，即可求解． 【详解】解： ， ， 故选：B． 10. 图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3中阴影部分的面积都是90，则裁剪前大正方形红布的面积为 A. 100 B. 120 C. 150 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形面积的计算以及代数式的化简与求值，解题的关键是根据图形中阴影部分的构成列出面积关系式，再结合已知条件求解． 由图2阴影面积列出方程，化简得；由图3阴影面积为；将上述结果代入大正方形面积公式，计算即可． 【详解】解：∵图2所示的阴影部分面积为90， ∴， 展开化简：， ， ，则． 根据图3所示的阴影部分面积为90可得：． ∴大正方形面积：． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解：_____ 【答案】 【解析】 【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3）， 故答案为：（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 12. 点关于轴对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：∵关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数， ∴点关于轴对称点的坐标是， 故答案为：． 13. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式的基本性质将等式的两边同时减去1即可求出结论． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查的是等式的变形，掌握等式的基本性质是解决此题的关键． 14. 若，，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 利用完全平方公式，由已知条件和，通过关系式计算的值． 【详解】解：由得， 由得， 则， 所以． 故答案为：． 15. 在四边形中，，平分，若P，Q分别是上的动点，当取得最小值时，与的数量关系：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、最短路径问题、含角的直角三角形，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造轴对称图形是解题的关键．作点关于的对称点，连接，则，根据垂线段最短性质可得当三点共线，且时，此时为最短，再利用直角三角形的性质得出，等量代换即可得出结论． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，则， ， 当三点共线，且时，此时为最短， ，平分，， ，， ， ， 在中，， ， ，， ． 故答案为：． 16. 对于二次三项式（为常数），有下列结论： ①若，且，则； ②若，则； ③若，则无论为何值，； ④若，且，其中为整数，则可能的取值有8个．其中正确的是________．（只填写序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据完全平方公式以及十字相乘法因式分解以及多项式乘以多项式的运算法则进而判断得出答案即可． 【详解】解：①若，且， 则有， ∴， 故说法①错误； ②若， ∴， ∴， ∴， 故说法②正确； ③若，则， 则， 故说法③正确； ④若，且， 则， ∴， ∵为整数， ∴或或或或或或或， ∴或或或或或或或共种， 故说法④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，十字相乘法因式分解等知识点，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则以及乘法公式是解本题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，还用到了多项式除以单项式和完全平方公式，解决本题的关键是熟练掌握每个运算法则，特别注意0指数幂和负整数指数幂的运算法则． （1）先根据数的乘方、0指数幂及负整数指数幂的运算法则分别计算各数，再根据加减法法则计算即可； （2）先利用完全平方公式和多项式除以单项式计算，再计算整式的加减即可； 【小问1详解】 原式． 【小问2详解】 18. 如图，在中，，点，在边上，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 19. 已知． （1）化简A； （2）从的范围内选取一个合适的整数作为x的值，求A的值． 【答案】（1） （2）当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则，以及分式有意义的条件：分母不为0． （1）先将括号内通分，各个分子分母进行因式分解，再根据分式混合运算的顺序和运算法则进行化简即可； （2）根据分式有意义的条件，得出x的值，再将x的值代入进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：根据题意支：，，， 解得，，， 又， ∴整数x为0或， 当时，原式； 当时，原式． 20. 如图，在中，，D在边上，，过点D作的垂线，交于点E．求证：． 【答案】 证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（等边对等角）， ∴（等量代换）， ∴（等角对等边）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等角的余角相等，由垂线的定义可得，再由等边对等角并结合等角的余角相等得出，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 21. 如图，已知． （1）尺规作图：在边上求作一点D，使得点D到，两边的距离相等；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若为等边三角形，延长至点E，使，连接．请将图形补画完整，并求证：． 【答案】（1） 点D即为所求， （2） 如图， ∵是等边三角形， ∴，， 由（1）知平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据点D到，两边的距离相等得出点D在的平分线上，故作的平分线交于点D即可； （2）根据三线合一的性质求出，根据等边对等角和三角形外角的性质求出，最后根据等角对等边即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． （1）按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） （2）若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 【答案】（1）， （2）该工程队应采取方案B，证明： ∵ ， ，即． ∴该工程队应采取方案B． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式的加减计算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）根据工作时间等于工作总量除以工作效率，求出，即可； （）先根据题意求出，，再利用作差法求出，的大小即可得到答案． 【小问1详解】 解 【小问2详解】 略 23. 观察下列等式：，，， 将以上三个等式两边分别相加得：． （1）猜想并写出：_____． （2）直接写出下列各式的计算结果： ①_____． ②_____． （3）探究并计算：． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）观察题目中的3个等式，左边的式子是一个分数，且分母被拆成两个相差1的数的乘积，该分数等于分别以这两个数为分母的分数的差，根据这个规律即可作答； （2）①将每个分数都写成两个分数的差，除了第一个和最后一项，其他的都可以抵消； ②将每个分数都写成两个分数的差，除了第一个和最后一个数字，其他的都可以抵消； （3）每个分数的分母被拆成两个相差3的数的乘积，该分数等于分别以这两个数为分母的分数之差的，根据这个规律即可作答； 本题主要考查了裂项相消，仔细观察题目给的等式，找到规律并计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意，将左边的式子拆成两个分数的差，且两个分数的分母相差1，则； 故答案为：． 【小问2详解】 ① ． 故答案为：． ② ． 故答案为：． 【小问3详解】 解：原式 24. 根据以下素材，完成三个任务： 以下所有拼接的图形都是拼成既没有缝隙也没有重叠的图形． 素材一 某综合实践小组准备了如图所示的三种卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为宽为的长方形，且． 素材二 将1张型卡片沿对角线剪开，得到两张直角三角形卡片． 素材三 小组操作发现，将2张型卡片，3张型卡片（所拼成的长方形既没有缝隙也没有重叠）．得到了一个代数恒等式：． 【问题解决】 【任务1】用1张型和2张型卡片拼成一个长方形，用含的代数式表示这个长方形的周长； 【任务2】现共有10张型卡片，25张型卡片和18张型卡片，请你选取若干张卡片，将取出的这些卡片拼成一个正方形．请你列举两种拼正方形的方案（写出各种型号的卡片数量和相应的正方形的边长；其中一种方案正方形的边长要最大）； 【任务3】将2张型卡片剪成4张直角三角形卡片，再从型卡片中挑选若干张（长方形除外）．请画出示意图，并写出与该平行四边形的面积相关的代数恒等式．（用含的数学等式表示）要求：4张直角三角形卡片全部使用；型卡片至少选一种；拼出的平行四边形的面积最小才能得满分． 【答案】任务1：图见解析，周长为：； 任务2：①，有9张型卡片，24张型卡片和16张型卡片； ②，有1张型卡片，2张型卡片和1张型卡片； ③，有4张型卡片，4张型卡片和1张型卡片 ④，有1张型卡片，4张型卡片和4张型卡片；（答案需包含第①种方案，其它任选一种） 任务3：如图所示： ． 【解析】 【分析】本题考查了图形与乘法公式的关系，数形结合是解题的关键． 任务1：根据矩形的周长公式求解； 任务2：根据完全平方公式求解； 任务3：根据平行四边形的性质求解．熟练掌握完全平方公式和因式分解是解题的关键． 【详解】解：任务1：如图所示： 周长为：； 任务2：如图所示： ，现共有9张型卡片，24张型卡片和16张型卡片； 如图所示： ，现共有1张型卡片，2张型卡片和1张型卡片； 如图所示： ，现共有4张型卡片，4张型卡片和1张型卡片； 如图所示： ，现共有1张型卡片，4张型卡片和4张型卡片； 任务3：略 25. 已知：在中，D、E分别在边上，交于点F． （1）如图1，，分别是和的平分线，求的度数． （2）如图2，，，，且． ①求证：为等边三角形； ②如图3，点H在上，.交于点G，求证：． 【答案】（1） （2）①证明：如图1，在上截取， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ②证明：延长至K，使，连接，，如图3所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得到，根据三角形外角的性质和角平分线定义即可得到答案； （2）①在上截取，连接，证明，和，则，即可得结论；②延长至K，使，连接，，证明和，即可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵分别是和的平分线， ∴， ∴ 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩二中东山校区八年级上数学第二次限时训练 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若一个三角形的两边长分别为和，则第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 2. 黑体字是一种横平竖直，粗细一致的雄浑字体，以下汉字可以看作轴对称图形的是（ ） A. 中 B. 国 C. 自 D. 信 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列变形中因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则p、q的值是（ ） A. 2， B. ，15 C. 2，15 D. ， 6. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在与中，，则添加条件可使的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，平分，若，则的长为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 9. ，是正整数，若，则，的数量关系是（ ） A. B. C. D. 10. 图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3中阴影部分的面积都是90，则裁剪前大正方形红布的面积为 A. 100 B. 120 C. 150 D. 180 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解：_____ 12. 点关于轴对称点的坐标是______． 13. 若，则_____． 14. 若，，则的值是_______． 15. 在四边形中，，平分，若P，Q分别是上的动点，当取得最小值时，与的数量关系：________． 16. 对于二次三项式（为常数），有下列结论： ①若，且，则； ②若，则； ③若，则无论为何值，； ④若，且，其中为整数，则可能的取值有8个．其中正确的是________．（只填写序号） 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，点，在边上，．求证：． 19. 已知． （1）化简A； （2）从的范围内选取一个合适的整数作为x的值，求A的值． 20. 如图，在中，，D在边上，，过点D作的垂线，交于点E．求证：． 21. 如图，已知． （1）尺规作图：在边上求作一点D，使得点D到，两边的距离相等；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若为等边三角形，延长至点E，使，连接．请将图形补画完整，并求证：． 22. 某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． （1）按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） （2）若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 23. 观察下列等式：，，， 将以上三个等式两边分别相加得：． （1）猜想并写出：_____． （2）直接写出下列各式的计算结果： ①_____． ②_____． （3）探究并计算：． 24. 根据以下素材，完成三个任务： 以下所有拼接的图形都是拼成既没有缝隙也没有重叠的图形． 素材一 某综合实践小组准备了如图所示的三种卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为宽为的长方形，且． 素材二 将1张型卡片沿对角线剪开，得到两张直角三角形卡片． 素材三 小组操作发现，将2张型卡片，3张型卡片（所拼成的长方形既没有缝隙也没有重叠）．得到了一个代数恒等式：． 【问题解决】 【任务1】用1张型和2张型卡片拼成一个长方形，用含的代数式表示这个长方形的周长； 【任务2】现共有10张型卡片，25张型卡片和18张型卡片，请你选取若干张卡片，将取出的这些卡片拼成一个正方形．请你列举两种拼正方形的方案（写出各种型号的卡片数量和相应的正方形的边长；其中一种方案正方形的边长要最大）； 【任务3】将2张型卡片剪成4张直角三角形卡片，再从型卡片中挑选若干张（长方形除外）．请画出示意图，并写出与该平行四边形的面积相关的代数恒等式．（用含的数学等式表示）要求：4张直角三角形卡片全部使用；型卡片至少选一种；拼出的平行四边形的面积最小才能得满分． 25. 已知：在中，D、E分别在边上，交于点F． （1）如图1，，分别是和的平分线，求的度数． （2）如图2，，，，且． ①求证：为等边三角形； ②如图3，点H在上，.交于点G，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $