7.5 抛物线 讲义-2027届高三数学一轮复习

第三编 · U7 解析几何 7.5抛物线 高中数学一轮复习讲义 一、考情与考点定位 本节先回答三个问题：高考怎么考、必须记准什么、这一讲要练哪几类模型。 （一）高考怎么考 抛物线是三条圆锥曲线里唯一没有中心、也只有一个焦点的曲线，它的全部难度集中在“一条定直线”上：准线一出现，距离就有了两种写法，而把其中一种换成另一种，正是命题人最常考的动作。高考对抛物线的考查分两个层次：小题考定义与焦点弦，一道五分的选择或填空，多半只要把“到准线的距离”换成“到焦点的距离”就能出答案；大题的第一问考标准方程或焦点弦的基本关系，把 定下来，后面的面积、定点、最值才有依托。 近几年的卷面上，抛物线的独立小题反复落在三个位置：一是给出焦点所在的直线或准线，反求 （定义与标准方程）；二是把点到准线的垂线段与焦半径互相替换，求长度或判断选项（定义换线段）；三是过焦点的弦上各段长度、弦长最值与定值（焦点弦）。命题人偏好“用定义绕过联立”这条路，因为它能把三页的运算压成三行。 表 1: 高考抛物线考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2025 全国一卷 10 过焦点的两条互相垂直的弦，与准线垂线段的综合判断（多选） 2025 全国二卷 6 由焦点所在的直线定 ，再用定义把准线垂线段换成焦半径 2024 新高考Ⅱ卷 10 定义把点到准线的距离换成焦半径，判断切线长、垂直与点的个数（多选） 2023 新高考Ⅱ卷 10 焦点弦长、以焦点弦为直径的圆与准线相切（多选） 2022 全国甲卷（理） 20 由焦半径与定点的位置关系定 ，求标准方程（第(1)问） 表 1 有两条信息值得注意。一是多选题成了抛物线的主要载体：五道里有三道落在第 10 题的多选位置，四个选项各自对应一个独立的小结论。二是“换线段”是贯穿全部题目的动作：2025 年全国二卷第 6 题把准线垂足与焦点连起来，由直线 反求 ；2024 年新高考Ⅱ卷第 10 题把 换成 ，“到两定点距离相等”随即变成中垂线与抛物线的交点个数问题；2023 年新高考Ⅱ卷第 10 题把弦长换成两端横坐标之和。三条线指向同一个动作：见到准线就写定义，把距离换成焦半径，再决定是走坐标还是走角度。 （二）必备知识清单 表 2: 本讲必备知识清单 知识块 必须记准的内容 掌握要求 定义 ， 不在 上；若 在 上，轨迹退化为过 且垂直于 的直线 会由文字翻成等式并判断轨迹 标准方程 、（）；焦点 、；准线 、 会由一次项定轴、由符号定开口 的意义 是焦点到准线的距离，叫焦准距； 越大开口越大 会由焦点坐标或准线方程直接读 焦半径 对 ，；对 ， 会与定义互推，会求最值 焦点弦 ，，； 会判断该走坐标版还是角度版 焦点弦定值 通径最短，长为 ；； 会用定值跳过联立 几何性质 以焦点弦为直径的圆与准线相切；以焦半径为直径的圆与 轴相切 会用“中点到准线的距离等于弦长的一半”判相切 二、知识梳理：把定义变成可操作的动作 抛物线的全部公式都从一句话长出来：到一个定点和一条定直线的距离相等。这一节把这句话拆成五个动作，每个动作对应一类题面的第一反应。 （一）定义：一个等式就是一条曲线 题面出现“到一个定点的距离等于到一条定直线的距离”，第一个动作就是把两个距离摆出来，令它们相等。设定点 、定直线 ：，动点 ，则 两边平方即得 。第二个动作是看定点在不在定直线上： · 不在 上：轨迹是抛物线，开口背向准线； · 在 上：轨迹退化为过 且垂直于 的一条直线。 这一步不能省。凡是问“轨迹是什么”的题，命题人埋的坑几乎都在这一条上；凡是“动圆过定点且与定直线相切”的题，圆心轨迹也是同一件事——半径同时等于圆心到定点的距离与圆心到定直线的距离。 （二）标准方程：先看一次项，再看符号 抛物线只有四种标准形式，区别在两处：一次项是 还是 （决定对称轴），一次项系数的符号（决定开口方向）： 四种形式对照 ：对称轴 轴，开口向右，焦点 ，准线 ； ：对称轴 轴，开口向左，焦点 ，准线 ； ：对称轴 轴，开口向上，焦点 ，准线 ； ：对称轴 轴，开口向下，焦点 ，准线 。 判断的动作记成一句话——一次项是谁，轴就是谁；系数为正，开口朝正方向。题面若只说“顶点在原点、对称轴是坐标轴”，就要分四种情形讨论；若给了抛物线上一点的坐标，代入后由坐标符号即可排除掉一半情形。 （三）焦半径：把横坐标换成长度 设 在 上， 为焦点，则由定义直接得 这个式子的价值在于把一条线段换成一个横坐标：凡是题面出现焦半径，先写成 ，再与别的条件联立。因为 ，所以 ，最小值在顶点处取到；焦半径没有最大值，点越往右跑它越长。 对 ，同样的推导给出 。两条式子要随轴切换，混用是本讲最常见的低级错误。 （四）焦点弦：坐标版与角度版两条路 过焦点 的直线与抛物线交于 、，这样的弦叫焦点弦。它有两套完全平行的语言，选哪一套由题面给的是坐标还是角度决定。 坐标版来自联立。设直线 （这样设不会漏掉斜率不存在的情形），代入 得 于是 再由定义 角度版来自焦半径的极坐标式。设 对应的极角为 （从焦点出发、以对称轴为极轴），由 得 弦的另一端 的极角是 ，故 ，相加得 两条路怎么选 题面给坐标、横坐标之和、纵坐标之积，或要设直线联立——走坐标版，用 与 验算。 题面给倾斜角、斜率、两段焦半径之比——走角度版，用 与 。 由 得：所有焦点弦中通径最短，长为 。 （五）几何性质：两个相切与一条通径 焦点弦有两条几何性质，几乎每年都以某个选项的形式出现，各只需一句话。 以焦点弦为直径的圆与准线相切。设弦 的中点为 ，圆半径为 ；而 到准线的距离为 等于半径，故相切。 以焦半径为直径的圆与 轴相切。设 的中点为 ，圆半径为 ；而 到 轴的距离同样是 ，故相切。 这一讲的三句话 见到准线就先写定义，把距离换成焦半径；焦点弦题先看题面给的是坐标还是角度，再决定走联立还是走 ；算完弦长回代两个定值 、 验一遍。三句话覆盖本讲八成的题。 三、题型模型分类：先认情境，再选工具 抛物线的题面往往只有三四行，但“该动哪一步”由图形决定：有没有准线与垂足、直线过不过焦点、给的是坐标还是角度。按这三点分成六个模型。 表 3: 抛物线的六个模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 定义与轨迹 题面给定点、定直线说“距离相等”，或动圆过定点且与定直线相切 摆两个距离令其相等，再看定点是否在定直线上 例 1 二 · 定 求方程 给了含 的坐标或一段长度，最后问“方程” 把长度写成 ，解出 例 2 三 · 定义换线段 图上有准线的垂足，或“到准线的距离”与“到焦点的距离”并列 把 与 互换 例 3 四 · 焦点弦坐标版 直线过焦点交抛物线于两点，给斜率或某点的横坐标 设 联立，用韦达定理 例 4 五 · 焦点弦定值 问两条焦半径的倒数和，或问“是否为定值” 直接用 例 5 六 · 倾斜角型焦点弦 给倾斜角、给两段的比、给三角形的面积 用 与 例 6 （一）模型一：定义与轨迹 识别标志是“到一个定点的距离等于到一条定直线的距离”，或它的变体——动圆过定点且与定直线相切（半径同时是圆心到定点的距离与到定直线的距离）。标准动作分两步：先把两个距离写成等式，再看定点是否落在定直线上。易错处在最后：平方去根号时要说明绝对值的符号，轨迹来自三角形或圆这类图形时还要删掉退化的点。 （二）模型二：定 求方程 识别标志是最后一句问“求抛物线的标准方程”，而条件里给的坐标或长度含有 。标准动作是把每一条长度都写成 ，凑出关于 的方程。易错处是焦点坐标记成 ——焦点到准线的距离是 ，焦点到顶点的距离只有 。 （三）模型三：定义换线段 识别标志是图上出现了“过抛物线上一点作准线的垂线”，或题面同时提到点到准线的距离与到焦点的距离。标准动作是把 换成 ，或者反过来把垂线段换成焦半径，于是“到两定点距离相等”变成中垂线问题，“距离之和最小”变成三点共线问题。易错处是换完之后忘了新点仍要落在抛物线上，等号必须在曲线上取得到。 （四）模型四：焦点弦坐标版 识别标志是直线过焦点、与抛物线交于两点，题面给的是斜率、某点的横坐标或两段的比。标准动作是设 （不要设 ，那会漏掉通径），联立后用韦达定理。易错处是弦长忘了加 ：，不是 。 （五）模型五：焦点弦定值 识别标志是问两条焦半径的倒数和、乘积与弦长的关系，或问“是否为定值”。标准动作是直接套 与 ，不必设直线。易错处是把定值记成与 无关的量——它恒等于 ， 一变它就变。 （六）模型六：倾斜角型焦点弦 识别标志是题面给出倾斜角、两条焦半径之比，或问焦点弦与原点围成的三角形面积。标准动作是先由 写出两段，再相加得 ；面积用 。易错处是倾斜角 用的是直线与 轴正方向的夹角， 与 对应同一条直线，两段焦半径的表达式不能张冠李戴。 四、例题精讲 六道例题一一对应上面六个模型。每题统一按四步展开：认模型 → 摆定义 → 建关系 → 校验。最后一步专管四件事： 与开口方向、、点的位置与象限、等号能否在抛物线上取到。 （一）模型一：定义与轨迹 例题 1（模型一·动圆过定点且与定直线相切） 已知动圆 过点 ，且与直线 ： 相切，求圆心 的轨迹方程。 图 1: 动圆过定点 F 且与定直线 l 相切，M 为圆心 第 1 步 · 认模型：题面给一个定点、一条定直线，还给了“动圆过定点且与定直线相切”——圆的半径同时等于圆心到定点的距离与圆心到定直线的距离，正是模型一。 第 2 步 · 摆定义：设圆心 ，半径为 。圆过 ，故 ；圆与 相切，故 。于是 第 3 步 · 建关系：把两边写成坐标： 两边平方： 第 4 步 · 校验： 要求 ，此时 ，去绝对值合法； 不在 ： 上，所以轨迹确是抛物线而不是一条直线。再检查退化情形： 时 与 重合，但 (1,0) 不满足 ，已被自动排除。 故圆心 的轨迹方程为 “动圆”题的统一译法 凡见到“动圆过定点 且与定直线 相切”，第一反应都是把半径写两次：一次写成 ，一次写成 ，令二者相等。翻出来的一定是抛物线，焦点就是那个定点，准线就是那条定直线。若定点恰好落在定直线上，轨迹则退化为过该点且垂直于 的直线，答案要换成直线方程。 （二）模型二：定 求方程 例题 2（模型二·焦半径与定点配合定 ） 设抛物线 ： 的焦点为 ，点 ，过 的直线交 于 、 两点。当直线 垂直于 轴时，。求 的方程。 图 2: 焦点 F、定点 D 与抛物线上一点 M，MD 垂直于 x 轴 第 1 步 · 认模型：条件里含 、给了一段长度、最后问方程——模型二。核心是把 写成 。 第 2 步 · 摆定义：焦点 ，准线 。抛物线上任一点 满足 第 3 步 · 建关系：由 轴知 与 横坐标相同，即 ，代入 得 于是 也可以用勾股定理复核：，，故 同样得 。 第 4 步 · 校验：，符合 的设定；此时 为 ，，与题设一致；， 确实垂直于 轴。 故 的方程为 定 的两条通道 给的是长度：把长度写成焦半径 ，最直接。 给的是点与焦点（或准线）的位置：用勾股定理或点到直线的距离，和上面等价。 两条路都要在最后确认 ，并回代算出那个点的坐标，验证它确实落在所得的抛物线上。 （三）模型三：定义换线段 例题 3（模型三·准线垂足与焦点连线） 设抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 上，过 作 的准线的垂线，垂足为 。若直线 的方程为 ，则  （） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 图 3: 抛物线上一点 A、其在准线上的垂足 B，以及直线 BF 第 1 步 · 认模型：题面出现“准线的垂足”，条件给的是这条垂足与焦点的连线——模型三，把点到准线的距离与焦半径互换。 第 2 步 · 摆定义： 在 轴上，在直线 中令 得 ，故 抛物线为 ，准线 ：。 第 3 步 · 建关系：，而 是竖直线，所以 是水平线， 与 纵坐标相同。又 在准线 上，且在直线 上，故 于是 ，代入 得 ，即 。由焦半径公式 第 4 步 · 校验：用定义复核： 应等于 到准线的距离 ，而 ，与上式一致；再验 在直线上：，成立。 故选 C。 “垂足”题的第一步永远是判方向 准线是竖直线，垂线就是水平线，于是垂足与抛物线上的点纵坐标相同；准线是水平线时，则横坐标相同。这一步定错，后面全错。另外要记住：题目给直线 的方程，往往只是为了让你读出焦点（令 ）和垂足（代入 ），不必去求直线与别的曲线的交点。 （四）模型四：焦点弦坐标版 例题 4（模型四·焦点弦长的坐标算法） 设 为坐标原点，直线 过抛物线 ： 的焦点，且与 交于 、 两点， 为 的准线，则（） A.  B.  C. 以 为直径的圆与 相切 D.  为等腰三角形 图 4: 过焦点的直线与抛物线交于 M、N 两点，l 为准线 第 1 步 · 认模型：直线过焦点、与抛物线交于两点，四个选项分别问参数、弦长、相切、等腰——模型四，坐标版一路算到底。 第 2 步 · 摆定义：焦点 在直线 上，令 得 ，故 选项 A 正确。此时 ：，准线 ：。 第 3 步 · 建关系：把直线代入抛物线： 取 、，则 与 不符，选项 B 错误。 再看 C： 中点 的横坐标为 ， 到准线 的距离为 等于以 为直径的圆的半径，故该圆与准线相切，选项 C 正确。 最后看 D： 三边两两不等， 不是等腰三角形，选项 D 错误。 第 4 步 · 校验：用两个定值复核：，，均成立；又 ，符合通径最短的结论。 故选 AC。 焦点弦坐标版的三件工具 一是弦长公式 ，加的那一项是两段的 之和，最容易漏； 二是两个定值 、，算完立刻代回验一遍，能挡住九成的计算错误； 三是相切判据“中点到准线的距离等于弦长的一半”，凡选项里出现“圆与准线相切”，只算这一个距离即可，不必写圆的方程。 （五）模型五：焦点弦定值 例题 5（模型五·两条焦半径的倒数和） 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线交 于 、 两点。 （1）证明： 为定值； （2）若 ，求该直线的方程。 图 5: 过焦点 F 的弦 AB 与抛物线 第 1 步 · 认模型：问两条焦半径的倒数和、又给弦长反求直线——模型五，先走定值，不必联立。 第 2 步 · 摆定义：，。设 、，则 且由焦点弦的定值 。 第 3 步 · 建关系：（1）先算分母： 而 于是 为定值。（上式中间用到了 ，它由 直接展开即得。） （2）由 得 直线过 ，故方程为 第 4 步 · 校验：把 代入 ：，即 ，两根之和 6、之积 1；弦长 =6+2=8，与题设一致；，，倒数和为 1，与（1）的结论一致。 由对称性同样成立。 故（1）定值为 1；（2）直线方程为 或 。 定值不是常数，是 与 这两条，右端都含 。本题 时定值是 1，换一道 的题，定值就是 。记结论时一定要连同 一起记，否则换卷就错。 （六）模型六：倾斜角型焦点弦 例题 6（模型六·给倾斜角与弦长） 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线与 交于 、 两点，直线 的倾斜角为 ，。 （1）求 与 的方程； （2）求 的面积，其中 为坐标原点。 图 6: 过焦点的弦 AB，其倾斜角为 60 度，O 为坐标原点 第 1 步 · 认模型：题面给倾斜角、给弦长，还要算三角形面积——模型六，走角度版，全程不必联立。 第 2 步 · 摆定义：设 相对焦点 的极角为 ，即 ，其中 。由定义 故 弦的另一端 的极角为 ，同理 。 第 3 步 · 建关系：（1）相加： 代入 、： 故 ：，且 （2） 到直线 的距离等于 ，于是 也可直接用 。 第 4 步 · 校验：算出两点的坐标回代： 验曲线：，，两点都在 上；验定值：，成立；验弦长：，与题设一致。 故（1），：；（2）。 角度版的两条式子怎么用 给的是单段， 从焦点出发、以对称轴正方向为极轴；弦的另一段要把 换成 ，即把分母的减号换成加号。 给的是全长，只与 有关，所以倾斜角为 与 的两条弦一样长。 由它立刻读出两个最值： 时弦长最小为 （通径）； 越小弦越长，没有上限。 五、易错点辨析 下表六条覆盖本讲最常见的失分点，共同特征是：公式都写对了，出错在“前提”与“取舍”上。 表 4: 本讲六个高频错误及其纠正 错误表现 错因 正确做法 把 的焦点写成 把焦准距 当成了焦距的一半 焦点是 ，准线 ， 是焦点到准线的距离 焦点在 轴上仍用 焦半径公式随轴变化，记死了一种 先判一次项是谁： 时应写 算弦长时写成 忘了两段焦半径各带一个 写全 设过焦点的直线为 漏掉了斜率不存在的通径 改设 ，或单独讨论竖直线 把通径长记成 与焦准距混淆 通径端点为 ，长为 ，也是焦点弦的最小值 用定义换线段后直接下结论 没检查等号点是否落在抛物线上 换完求出点的坐标，代回曲线方程验一次 六、当堂检测 A 组对应六个模型的基本动作，限时 15 分钟；B 组是定义换线段与焦点弦的组合，限时 20 分钟；C 组是压轴小问。 （一）A 组：基础过关 A1 求顶点在原点、对称轴为坐标轴，且经过点 (−2,3) 的抛物线的标准方程。 A2 已知点 在抛物线 上，且 到焦点的距离为 6，求 的横坐标。 A3 求抛物线 的焦点坐标、准线方程与通径长。 A4 过抛物线 的焦点作倾斜角为 的直线，交抛物线于 、 两点，求 。 （二）B 组：能力提升 B5 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线交 于 、 两点，若 ，，求 与 。 B6 （多选）抛物线 ： 的准线为 ， 为 上的动点，过 作 ： 的一条切线， 为切点，过 作 的垂线，垂足为 ，则（） A.  与 相切 B. 当 、、 三点共线时， C. 当 时， D. 满足 的点 有且仅有 2 个 B7 过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 、 两点，求 的最小值，并求此时直线 的方程。 B8 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线交 于 、 两点，若 ，求弦 的中点到准线的距离。 （三）C 组：压轴突破 C9 已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，过 的直线交 于 、 两点。 （1）证明：以 为直径的圆与准线 相切； （2）证明：以 为直径的圆与 轴相切。 C10 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 作两条互相垂直的弦 与 。 （1）求 的最小值； （2）求四边形 面积的最小值。 七、参考答案与提示 （一）A 组 A1答案： 或 。 提示：顶点在原点、对称轴为坐标轴时共有四种形式，由点 (−2,3) 的横坐标为负、纵坐标为正，只需讨论开口向左与开口向上两种。开口向左设 ，代入得 ，，故 ；开口向上设 ，代入得 ，，故 。两解都要写。 A2答案：4。 提示：，，由焦半径公式 ，得 。回代 ，，点确实存在。 A3答案：焦点 (3,0)，准线 ，通径长 12。 提示：，，故焦点 ，准线 ，通径长 。注意通径是“过焦点且垂直于对称轴”的弦，别把它与焦准距 混为一谈。 A4答案：。 提示：，，由角度版公式 。若走坐标版，设直线 代入 ，得 ，，故 ，两条路结果一致。 （二）B 组 B5答案：，。 提示：直接用定值 于是 。可回代校验：，，，成立。 B6答案：ABD。 提示：准线 ：，圆心 到 的距离为 1，等于半径，故 A 正确。、、 三点共线时 ，即 与 纵坐标相同，，代入 得 ，切线长 ，故 B 正确。 时 ，；取 ，则 ，，，乘积为 ，不垂直，故 C 错误。由定义 ，条件 等价于 ，即 在 的中垂线上；、 的中点为 ，，中垂线斜率为 ，它与抛物线有两个交点，故 D 正确。 B7答案：最小值 4，此时直线 的方程为 。 提示：由 ，当 即 时取等，此时弦垂直于对称轴，方程为 ，两端点为 ，长度 。这条弦就是通径，它是所有焦点弦中最短的一条，与其说“求最值”，不如说“认出通径”。 B8答案：。 提示：由例 4 与 C9(1) 的结论， 中点到准线的距离恒等于 ，故所求距离为 。若现场推导：设 、，中点横坐标为 ，而 ，故距离为 。 （三）C 组 C9答案：见提示。 提示：（1）设 、， 的中点为 。以 为直径的圆的半径为 ；而 到准线 的距离为 等于半径，故相切。 （2）设 的中点为 。以 为直径的圆的半径为 ；而 的横坐标为 ，即 到 轴的距离，也等于半径，故相切。 两条结论都不必写圆的方程，只需把“半径”和“圆心到直线的距离”各算一次，比较即可。 C10答案：（1）16；（2）32。 提示：设 的倾斜角为 ，则 的倾斜角为 ，于是 （1） 当 时取等。 （2）四边形 的两条对角线是 与 ，它们互相垂直，故面积 同样在 时取等。注意两个最小值同时取到，此时两条弦的倾斜角分别为 与 。 学科网（北京）股份有限公司 $