7.5 空间向量的运算及其坐标表示 讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦空间向量的运算及其坐标表示，覆盖概念、线性运算、数量积、坐标运算等高考核心考点，按“概念-运算-应用”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破空间向量应用难点。 资料以分层练习和考点精准对接为特色，通过典例引导学生用数学眼光抽象空间关系，用数学思维推理共线共面问题，如考点三结合正方体模型证明四点共面，培养逻辑推理与空间观念，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

7.5 空间向量的运算及其坐标表示 一、空间向量及其加减运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， 二、空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理：对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 三、空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． 知识点四：空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ； ； ； ； ． （2）设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）向量在向量上的投影为． 考点一　空间向量的基本概念 考点二　空间向量的线性运算 考点三　共线、共面向量定理的应用 考点四　空间向量基本定理与坐标运算 考点五　利用空间向量解决投影向量的问题 考点六　利用空间向量解决模长的问题 考点七　利用空间向量解决夹角的问题 考点八　空间向量中平行、垂直的问题 考点一　空间向量的基本概念 1．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．零向量与任意向量不平行 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任意两个空间向量都共面 D．将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 【答案】C 【分析】根据零向量定义及向量平行可判断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向量平移及相交直线可确定一个平面可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，零向量与任意向量平行，A错； 对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错； 对于C选项，任意两个空间向量，通过平移可以将起点重合，这两个向量所在直线能确定一个平面，因此任意两个空间向量都共面，C对； 对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个单位球面，D错. 2．（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 【答案】ACD 【详解】A：由单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故空间任意两个单位向量不一定相等，错， B：若时，则， 所以，则存在零向量或非零向量反向共线，即共线，充分性成立， 由共线，如非零向量同向共线时，此时，原等量关系不成立，必要性不成立，对， C：由，若，且，，此时，但，错， D：根据向量的性质，任意两个向量不能比较大小，错. 3．（25-26高三上·江苏常州·阶段检测）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则向量的夹角是锐角 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若，则四点共面 D．若分别表示两空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 【答案】BC 【详解】对于A，由，得向量的夹角是锐角或0，A错误； 对于B，根据空间向量共面定理知，空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，B正确； 对于C，对空间中任意一点，，由，得四点共面，C正确； 对于D，若分别表示两空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，但向量可以平移到同一个平面，D错误． 4．（25-26高三上·陕西渭南·期中）（多选）下列命题是真命题的是（  ） A．空间中，若向量共线，则这两个向量所在直线平行 B．空间中，若与是单位向量，则 C．若空间向量与的数量积，则与的夹角为钝角 D．空间中任意两个向量都共面 【答案】BD 【分析】A：根据直线可能平行或重合作出判断；B：由单位向量的模长均为作出判断；C：根据数量积小于，向量夹角为钝角或作出判断；D：根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A：若空间向量共线，则向量所在直线平行或重合，故A错误； B：若与是空间单位向量，则，故B正确； C：若，则与的夹角为钝角或，故C错误； D：由空间中任意两个向量共面，可知D正确； 故选：BD. 考点二　空间向量的线性运算 5．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加减法运算和向量基本定理进行变形. 【详解】 如图所示： ，因为分别为，的中点， 所以，， 所以． 6．（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 所以 7．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）如图所示，在平行六面体中，设，，，，分别是，，的中点，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的线性运算结合基底向量求解即可. 【详解】对于A选项，因为是的中点， 所以，故A正确； 对于B选项，因为是的中点， 所以，故B错误； 对于C选项，因为是的中点， 所以，故C正确； 对于D选项，因为是的中点， 所以，故D正确. 8．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示即可. 【详解】由题意，得. 考点三　共线、共面向量定理的应用 9．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 10．（25-26高三上·广东梅州·期末）已知空间三点在同一直线上，则实数（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先求出与的坐标，再根据向量共线的性质列出等式，进而求出，的值，最后计算即可. 【详解】设向量 ，， 由于 ，， 共线，存在 使 ， 由 ，解得 ， 代入得 ，解得 ， 所以，解得 ， 因此，. 答案：6. 11．（26-27高三上·全国·课后作业）已知为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则的值为____________ 【答案】4 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 12．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且.证明：四点共面； 【答案】解法一：在正方体中，以点为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 于是，且向量不共线， 所以向量共面，又向量有公共点， 所以四点共面. 解法二：延长交于点，连接交于点； 因为，所以； 又，所以，而，所以点与点重合， 故四点共面. 【分析】解法一：建立空间直角坐标系，用基底向量表示向量，进而可得四点共面； 解法二：延长交于点，连接交于点，再通过比例关系证明点与点P重合，进而可得四点共面. 【详解】略 考点四　空间向量基本定理与坐标运算 13．（25-26高三上·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于D选项，设，整理得， 由不共面，得​，解得，只有零解， 则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底. 14．（25-26高二·全国·暑假作业）在平行六面体中，，，，为的中点，为与的交点． (1)用基底表示下列向量：，，； (2)在图中画出化简后的向量． 【答案】(1)，， (2)答案见解析 【分析】（1）根据几何体的性质，以及空间向量基本定理，用基底表示向量即可； （2）根据向量加法，求出向量即可. 【详解】（1）， ， ． （2），连接， 由于，且，所以或即为所求． 15．（25-26高三上·浙江杭州·期中）（多选）如图所示，在长方体中，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】建系，确定各个向量坐标，结合向量模长公式，相等向量和相反向量、向量坐标运算逐个判断即可. 【详解】 以为原点，分别以为轴建系，如图： 则， 对于A： ，模长，A正确. 对于B： ，是相等向量，B正确. 对于C： ， 而 ，C错误. 对于D： ，，因此， D正确. 16．（25-26高三上·陕西宝鸡·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用、表示，根据系数可得坐标. 【详解】由题意可知，，则， 则用基底表示向量的坐标是. 故选：D 考点五　利用空间向量解决投影向量的问题 17．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的坐标公式计算. 【详解】已知，则， 向量在向量上的投影向量的坐标为： . 故选：B 18．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知，，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出与的向量坐标，再根据投影向量的公式来计算. 【详解】已知，，，. ； . 计算和, . 根据投影向量公式，则投影向量为. 故选：A. 19．（25-26高三上·贵州六盘水·期末）已知向量，若四点共面，则向量在上的投影向量的模为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四点共面，可得共面，再根据空间向量共面定理求出，再求出向量在上的投影长度即可. 【详解】因为四点共面， 所以共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得， 所以， 向量在上的投影向量的模即为向量在上的投影长度， 所以向量在上的投影向量的模为. 故选：D. 20．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据向量投影向量的计算公式，结合已知条件列出关于的方程，求解的值. 【详解】，， ， ， 在上的投影向量为， 所以，. 考点六　利用空间向量解决模长的问题 21．（26-27高三上·河北保定·开学考试）在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 【答案】 【分析】由空间向量的平行六面体法则可知，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，即为所求. 【详解】如下图所示： 由空间向量数量积的定义可知， ，， 由空间向量的平行六面体法则可知， 所以 ， 故，即体对角线的长度为. 22．（25-26高三上·吉林长春·期末）如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)， (2)因为，，，， 所以，， 由（1）得 ， 所以，即； (3) 【分析】（1）依托空间向量加减法法则，用线性表示； （2）将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为，证明向量垂直； （3）对平方展开，代入模长与数量积求出模长平方，开方得到线段长度． 【详解】（1）， ； （2）略 （3）由（1）得， 所以 ， 所以，即的长为． 23．（25-26高三上·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】  以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 24．（25-26高三上·广东湛江·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示求出的值，可求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为，，且，则，解得， 所以，故，故， 故选：B. 考点七　利用空间向量解决夹角的问题 25．（25-26高三上·新疆喀什·期中）（多选）已知空间中三点，则下列说法正确的有（   ） A． B．与是共线向量 C．与夹角为 D．在上投影向量的长度为 【答案】AD 【分析】根据空间向量模的坐标运算判断A；根据共线向量的坐标形式判断B；利用向量夹角的坐标形式计算判断C；利用投影向量公式及模长运算公式计算判断D. 【详解】对于A，由题意得，所以，正确； 对于B，，，不存在实数，使得， 所以与不是共线向量，错误； 对于C，，，所以， 又，所以， 因为，所以，错误； 对于D，因，， 则在上投影向量为， 其长度为，故D正确. 故选：AD. 26．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量夹角的坐标公式计算后判断. 【详解】因为，， 所以向量与的夹角余弦值为. 故选：D. 27．（25-26高三上·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算可知,，通过数量积求出，进而求出. 【详解】利用空间向量的线性运算可知， 所以， 即, 由于, 所以，， 所以，故 ，即， 故平行四边形为矩形， 28．（25-26高三上·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 考点八　空间向量中平行、垂直的问题 29．（25-26高三上·安徽·期末）（多选）已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用空间向量数量积坐标运算即可判断B，利用空间向量垂直和平行的坐标表示即可判断AC，利用空间向量夹角的坐标表示即可判断D.. 【详解】空间向量 对于A，，，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，，则，D正确. 故选：ACD 30．（25-26高三上·福建三明·期末）（多选）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【分析】对于AB，由空间向量垂直，平行坐标表示可判断选项正误；对于C，由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误. 【详解】对于A，，若，则存在实数，使， 从而，显然不存在，则两向量不平行，A错误； 对于B，，因， 且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确； 对于C，，又，则，故C错误； 对于D，在上的投影向量为：，故D正确. 故选：BD 31．（25-26高三上·广东深圳·期末）设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】对于A，当时，，显然不存在实数使得，故A错误； 对于B，当时，，显然不存在实数使得，故B错误； 对于C，当时，，，故C正确； 对于D，当时，，，故D错误. 32．（25-26高三上·广东深圳·期末）（多选）已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 【答案】BC 【分析】利用空间向量的坐标运算，对于A，结合向量平行的性质，即可求解；对于B，结合向量模公式，即可求解；对于C，结合向量垂直的性质，即可求解；对于D，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以向量与不共线，故选项A不正确； 因为，，所以，故选项B正确； 因为，所以，即，故选项C正确； 因为，故选项D错误. 故选：BC. 1．（25-26高三上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 2．（25-26高三上·四川巴中·期末）在三棱柱中，是的中点，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】 . 故选：B 3．（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，不正确的个数为（ ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数，使； ③对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】利用不等式等号成立的条件判断①；利用与任意向量共线判断②；利用共面向量定理判断③. 【详解】对于①，当向量、同向时，，则不是共线的充要条件，①错误； 对于②，当为零向量，不是零向量时，不存在使成立，②错误； 对于③，若四点共面，则存在唯一的使得， 则，即， 而，因此，此方程无解，③错误. 4．（26-27高三上·河北承德·开学考试）如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D．直线与平面所成的角为 【答案】B 【分析】对于A，由向量的加减法运算即可判断；对于B，，代入条件即可；对于C，将分解为，求模长即可；对于D，直线与平面所成的角即，余弦定理即可求解. 【详解】由题可知，A正确； ，B错误； 因为底面是正方形，所以，同B可得. 所以 ，所以，即，C正确； 如图，连接，则即为直线与平面所成的角. 所以，所以，D正确.    5．（25-26高三上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 6．（25-26高三上·河南信阳·阶段检测）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】向量，，有，， 则向量在向量上的投影向量的坐标为. 7．（2026·福建泉州·一模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，可知， 则. 8．（25-26高三上·湖南衡阳·开学考试）已知，.若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间平行向量坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C 9．（26-27高三上·全国·课后作业）（多选）已知空间三点，，，设，．则下列结论正确的是（   ） A．若，且，则 B．和的夹角的余弦值 C．若与互相垂直，则的值为2 D．若与轴垂直，则，应满足 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项求解判断. 【详解】由，得，，， 对于A，由，设，则， 解得，则或，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，， 由，解得，C错误； 对于D，， 由与轴垂直，得，即，D正确． 10．（25-26高三上·广东潮州·期末）（多选）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【答案】BCD 【分析】由已知可得可作为一组基底，得到，再利用投影向量的计算公式，向量夹角的计算公式即可. 【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以. 所以 . 对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误； 对于选项B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 11．（25-26高三上·广东潮州·期末）（多选）如图，在三棱柱中，，分别是上的点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设，，，先求出，，根据空间向量的运算以及数量积的运算法则判断AB；根据空间向量的加减运算判断C；将两边平方化简后可判断D. 【详解】设，，，因为， ，，所以，. 对于A､B选项，因为， ， 所以，所以与不垂直，即B错误； 因为，所以， ，， 所以，故A正确； 对于C选项，因为，， 所以， ， 所以，故C错误； 对于D选项， ， 所以，故D正确. 故选：AD. 12．（25-26高三上·辽宁大连·期末）平行六面体中，，，，则的长是______. 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算和数量积运算，即可求出模长. 【详解】 因为， 由于在平行六面体中， 所以， 又因为，，， 所以 ， 故答案为：. 13．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 【答案】 【分析】由条件可得存在实数，使得，再用向量 表示出向量，即可得出答案. 【详解】， ， ， P，A，B，C四点共面，则存在实数，使得 ， 所以， 即， 所以 ，解得. 14．（26-27高三·全国·一轮复习）已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 【答案】 【详解】因为，，且的夹角为钝角， 所以且与不共线， 由，则解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数λ的取值范围为． 15．（25-26高三上·江苏·期中）如图，在平行六面体中，，分别在棱上，且． (1)求证：四点共面； (2)求的长度． 【答案】(1) 在平行六面体中，令，则是空间的一个基底， 由，得，， 因此，而点直线，则，所以四点共面. (2)6. 【分析】（1）取空间的一个基底，利用空间向量的线性运算及向量共线推理得证. （2）由（1）中基底表示，再利用空间向量数量积及运算律求解. 【详解】（1）略 （2）依题意，， 而， 则， 因此， 所以的长度为6. 16．（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 【答案】(1)3 (2) (3)1 【分析】（1）先求空间向量和的坐标，再求其模长； （2）代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角； （3）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量. 【详解】（1）因为，， 所以， . （2）， ， ， 所以与的夹角为； （3）， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.5 空间向量的运算及其坐标表示 一、空间向量及其加减运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， 二、空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理：对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 三、空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． 知识点四：空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ； ； ； ； ． （2）设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）向量在向量上的投影为． 考点一　空间向量的基本概念 考点二　空间向量的线性运算 考点三　共线、共面向量定理的应用 考点四　空间向量基本定理与坐标运算 考点五　利用空间向量解决投影向量的问题 考点六　利用空间向量解决模长的问题 考点七　利用空间向量解决夹角的问题 考点八　空间向量中平行、垂直的问题 考点一　空间向量的基本概念 1．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．零向量与任意向量不平行 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任意两个空间向量都共面 D．将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 2．（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 3．（25-26高三上·江苏常州·阶段检测）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则向量的夹角是锐角 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若，则四点共面 D．若分别表示两空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 4．（25-26高三上·陕西渭南·期中）（多选）下列命题是真命题的是（  ） A．空间中，若向量共线，则这两个向量所在直线平行 B．空间中，若与是单位向量，则 C．若空间向量与的数量积，则与的夹角为钝角 D．空间中任意两个向量都共面 考点二　空间向量的线性运算 5．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 7．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）如图所示，在平行六面体中，设，，，，分别是，，的中点，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 考点三　共线、共面向量定理的应用 9．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 10．（25-26高三上·广东梅州·期末）已知空间三点在同一直线上，则实数（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 11．（26-27高三上·全国·课后作业）已知为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则的值为____________ 12．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且.证明：四点共面； 考点四　空间向量基本定理与坐标运算 13．（25-26高三上·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 14．（25-26高二·全国·暑假作业）在平行六面体中，，，，为的中点，为与的交点． (1)用基底表示下列向量：，，； (2)在图中画出化简后的向量． 15．（25-26高三上·浙江杭州·期中）（多选）如图所示，在长方体中，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·陕西宝鸡·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量的坐标是（  ） A． B． C． D． 考点五　利用空间向量解决投影向量的问题 17．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知，，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三上·贵州六盘水·期末）已知向量，若四点共面，则向量在上的投影向量的模为（   ） A．12 B． C． D． 20．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 考点六　利用空间向量解决模长的问题 21．（26-27高三上·河北保定·开学考试）在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 22．（25-26高三上·吉林长春·期末）如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 23．（25-26高三上·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·广东湛江·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 考点七　利用空间向量解决夹角的问题 25．（25-26高三上·新疆喀什·期中）（多选）已知空间中三点，则下列说法正确的有（   ） A． B．与是共线向量 C．与夹角为 D．在上投影向量的长度为 26．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为（     ） A． B． C． D． 27．（25-26高三上·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高三上·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 考点八　空间向量中平行、垂直的问题 29．（25-26高三上·安徽·期末）（多选）已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高三上·福建三明·期末）（多选）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 31．（25-26高三上·广东深圳·期末）设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 32．（25-26高三上·广东深圳·期末）（多选）已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 1．（25-26高三上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 2．（25-26高三上·四川巴中·期末）在三棱柱中，是的中点，且，则（   ）    A． B． C． D． 3．（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，不正确的个数为（ ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数，使； ③对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面. A．1 B．2 C．3 D．0 4．（26-27高三上·河北承德·开学考试）如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D．直线与平面所成的角为 5．（25-26高三上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·河南信阳·阶段检测）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·福建泉州·一模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·湖南衡阳·开学考试）已知，.若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 9．（26-27高三上·全国·课后作业）（多选）已知空间三点，，，设，．则下列结论正确的是（   ） A．若，且，则 B．和的夹角的余弦值 C．若与互相垂直，则的值为2 D．若与轴垂直，则，应满足 10．（25-26高三上·广东潮州·期末）（多选）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 11．（25-26高三上·广东潮州·期末）（多选）如图，在三棱柱中，，分别是上的点，若，则（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·辽宁大连·期末）平行六面体中，，，，则的长是______. 13．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 14．（26-27高三·全国·一轮复习）已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 15．（25-26高三上·江苏·期中）如图，在平行六面体中，，分别在棱上，且． (1)求证：四点共面； (2)求的长度． 16．（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $