精品解析：云南曲靖市麒麟区第五中学2025-2026学年 数学中考模拟考试卷

2025-2026学年度初中数学模拟考试卷 本卷满分100分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共30分） 1. 在体育课上，女生立定跳远的测试中，以为标准，若小溪跳出了，可记作，则小淋跳出了，应记作（ ） A. B. C. D. 2. 献礼新中国成立周年的影片《我和我的祖国》，不仅彰显了中华民族的文化自信，也激发了观众强烈的爱国情怀与观影热情．据某网站统计，国庆期间，此部电影票房收入约亿元，平均每张票约元，估计观影人次约为（用科学记数法表示）（ ） A. B. C. D. 3. 给出下列四个计算式子：①；②；③；④其中计算正确的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 4. 当时，下列二次根式没有意义的是（ ） A. B. C. D. 5. 下左图是由若干个小立方块组成的几何体的主视图与俯视图，则这个几何体的左视图不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 多边形边数从n增加到，则其内角和（ ） A. 增加180° B. 增加360° C. 不变 D. 减少180° 7. 某校要从四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数（单位：分） m 90 91 88 方差（单位：分2） n 12.5 14.5 11 根据表中数据，可以判断同学甲是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的学生，则m，n的值可以（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论中，①AB上一点与AC上一点到D的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③∠BDE＝∠CDF；④BD＝CD，AD⊥BC．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 2014年8月，云南鲁甸地震再次牵动全国人民的心，“新希望杯”组委会组织开展了“一方有难，八方支援”的捐款赈灾活动．第一天组织捐款10000元，第三天组织捐款12100元，如果每天组织捐款的平均增长率相同，则前四天组织捐款的总额为（ ） A. 46410元 B. 46250元 C. 33100元 D. 13310元 10. 观察下列关于 的单项式，探究其规律 按照上述规律，第2024个单项式是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，则为（ ） A. B. C. D. 12. 下列因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，小红要制作一个母线长为7cm，底面圆半径是6cm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是（ ） A. B. C. D. 14. 右图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ） A. 正方体 B. 长方体 C. 六棱柱 D. 六棱锥 15. 如图，是的弦，点在上．若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8分） 16. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 17. 点，，，都在反比例函数 的图象上，若，则 的值为 __． 18. 如图，在中，，若四边形的面积为6，则__________． 19. 某校开展“我最喜爱的一项体育运动”调查，每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图，在抽查的m名学生中喜欢足球运动的有________人，喜欢篮球的对应的扇形圆心角是________． 三、解答题（共62分） 20. 计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2． 21. 如图，和相交于点，，．求证：． 22. 某校开展数学文化节活动，预计用3600元网购数学经典书籍《几何原本》和《九章算术》奖励获奖同学．已知《九章算术》的单价是《几何原本》单价的1.5倍，用1800元购买《几何原本》比用1800元购买《九章算术》可多买20本． （1）求《几何原本》和《九章算术》的单价分别为多少元； （2）学校实际购买时，恰逢该网上书店进行促销活动，所有图书均按原价的八折出售．若学校在不超过预算的前提下，购买了《几何原本》和《九章算术》两种图书共120本，则学校至少购买了多少本《几何原本》？ 23. 为锻炼学生的阅读能力，王老师要求学生们在假期里从四本小说中任意选择一本完成阅读，这四本书中有两本是中国古典小说《西游记》和《水浒传》，另外两本是外国经典小说《简·爱》和《钢铁是怎样炼成的》 （1）若小兰从四本书里随机选一本书进行阅读，她选到《水浒传》的概率是 ； （2）若小兰和小华都各自从四本书里随机选一本书进行阅读，请用列表法或画树状图法求他们两人都选到中国古典小说的概率． 24. 如图，在矩形中，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的周长． 25. “五一”劳动节到了，为在学生中弘扬劳动精神，让学生在做中学、学中做、家校合力共推劳动教育．五一假期老师布置了与父母互换身份，做一天父母的工作，体会劳动并感受父母的艰辛，理解、感恩父母，小李和妈妈互换身份，帮妈妈卖干果，他上午卖出甲种类和乙种类干果获得利润为元，下午卖出甲种类和乙种类干果获得利润为元． （1）求每千克甲种类干果和乙种类干果的销售利润各是多少； （2）小李的妈妈想一次购进两种干果共用于销售，其中乙种类干果的进货量不超过甲种类干果的进货量的，请你帮小李妈妈设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值． 26. 已知抛物线与动直线有公共点，，且． （1）求实数t的取值范围； （2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值． 27. 如图，以为直径的上有两点E，F，E是弧的中点，过点E作直线交的延长线于点D，交的延长线于点C，过C作平分交于点M，交于点N． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）如果N是的中点，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度初中数学模拟考试卷 本卷满分100分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共30分） 1. 在体育课上，女生立定跳远的测试中，以为标准，若小溪跳出了，可记作，则小淋跳出了，应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数表示具有相反意义的量．先求出距离标准还差多少，再根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答． 【详解】解：∵， ∴小淋跳出了，应记作， 故选：B． 2. 献礼新中国成立周年的影片《我和我的祖国》，不仅彰显了中华民族的文化自信，也激发了观众强烈的爱国情怀与观影热情．据某网站统计，国庆期间，此部电影票房收入约亿元，平均每张票约元，估计观影人次约为（用科学记数法表示）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个数表示成的形式，其中，n是整数，这种记数方法叫做科学记数法，根据科学记数法的要求即可解答. 【详解】∵22亿元= ， ∴， 故选：B. 【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，此题正确列式计算是难点. 3. 给出下列四个计算式子：①；②；③；④其中计算正确的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，同底数幂的除法法则，幂的乘法法则分别求解即可得出答案． 【详解】解：①，∴①正确 ②，∴②错误 ③，∴③正确 ④，∴④错误 ∴正确的序号是①③ 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，除法，同底数幂的乘方，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，同底数幂的除法法则，幂的乘法法则． 4. 当时，下列二次根式没有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，即被开方数大于或等于0，反之则二次根式没有意义. 【详解】解：A． 当时，，该二次根式有意义，故本选项不符合题意； B． 当时，，该二次根式有意义，故本选项不符合题意； C． 当时，，该二次根式有意义，故本选项不符合题意； D． 当时，，即没有意义，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 下左图是由若干个小立方块组成的几何体的主视图与俯视图，则这个几何体的左视图不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主视图和俯视图将决定组合几何体的层数，列数及行数，由此即可判断． 【详解】解：由主视图可得此组合几何体有两列，左边第一列出现三层，所以左视图应该有一列是三层的，综上所述可得选项中只有B的不符合． 故选：B． 【点睛】本题考查由视图判断几何体；用到的知识点为：俯视图中正方形的个数是组合几何体最底层正方体的个数；易错点是应理解组成组合几何体的正方体的个数． 6. 多边形边数从n增加到，则其内角和（ ） A. 增加180° B. 增加360° C. 不变 D. 减少180° 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理即可求得． 【详解】解：n边形的内角和是（n-2）•180°， 边数增加1，则新的多边形的内角和是（n+1-2）•180°． 则（n+1-2）•180°-（n-2）•180°=180°． 故它的内角和增加180°． 故选：A． 【点睛】本题考查多边形的内角和计算公式，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 7. 某校要从四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数（单位：分） m 90 91 88 方差（单位：分2） n 12.5 14.5 11 根据表中数据，可以判断同学甲是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的学生，则m，n的值可以（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数的大小，方差的大小比较得出答案． 【详解】成绩最好且发挥最稳定的学生说明平均数最大，且方差最小， ∴， 符合条件的只有B选项的 故选：B． 【点睛】本题考查平均数、方差，理解“平均数反应一组数据的平均水平，而方差则反应一组数据的离散程度，方差越小，该组数据越稳定”是正确判断的前提． 8. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论中，①AB上一点与AC上一点到D的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③∠BDE＝∠CDF；④BD＝CD，AD⊥BC．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得①错误，②正确；再由DE⊥AB，DF⊥AC， 可得：∠DEB=∠DFC=90°，又因为△ABC是等腰三角形，可得出：∠B=∠C，故可知∠BDE＝90°﹣∠B，∠CDF＝90°﹣∠C，根据三角形内角和定理可得③正确；由题意知，△ABC是等腰三角形，由三线合一的性质知，点D是BC的中点，AD⊥BC，可得④正确；故可得到出答案． 【详解】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AB上一点与AC上一点到D的距离相等错误； AD上任意一点到AB、AC的距离相等正确，故①错误，②正确； ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB=∠DFC=90° ∴∠BDE＝90°﹣∠B，∠CDF＝90°﹣∠C， ∴∠BDE＝∠CDF，故③正确； ∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线 ∴BD＝CD，AD⊥BC，故④正确， 综上所述，正确的结论有②③④共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形内角和．做题时要注意思路：由已知结合性质与图形进行思考，由易到难，步步深入． 9. 2014年8月，云南鲁甸地震再次牵动全国人民的心，“新希望杯”组委会组织开展了“一方有难，八方支援”的捐款赈灾活动．第一天组织捐款10000元，第三天组织捐款12100元，如果每天组织捐款的平均增长率相同，则前四天组织捐款的总额为（ ） A. 46410元 B. 46250元 C. 33100元 D. 13310元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，设每天组织捐款的平均增长率为，列出方程，即可求解，解答时由增长率问题的数量关系建立方程是关键． 【详解】解：设每天组织捐款的平均增长率为，则， 解得（舍去）或 第二天组织捐款（元）， 第四天组织捐款（元）， 前四天组织捐款的总额为（元）， 故选：A． 10. 观察下列关于 的单项式，探究其规律 按照上述规律，第2024个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了探究单项式规律问题，能找出第个单项式为是解题的关键． 通过分析单项式系数与次数，总结出规律：第个单项式为，把代入即可求解． 【详解】解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， 第5个单项式：， 第6个单项式：， ， 第个单项式：； 第2024个单项式为：， 故选：B． 11. 如图，在中，，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，设，则，根据锐角三角函数的意义即可求出． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 故选：A． 12. 下列因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用提公因式法、公式法逐个分解每个选项，根据分解结果得结论． 【详解】解：A．， 有公因式，分解不彻底，故选项A分解错误，符合题意； B．，分解正确，不符合题意； C．，分解正确，不符合题意； D．，分解正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法、公式法是解决本题的关键． 13. 如图，小红要制作一个母线长为7cm，底面圆半径是6cm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2． 【详解】解：圆锥形小漏斗的侧面积． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面积＝底面周长×母线长×，熟记公式是解题关键． 14. 右图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ） A. 正方体 B. 长方体 C. 六棱柱 D. 六棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由三视图确定几何体的名称，根据题意这个几何体的三视图为长方形和正六边形，即可求解，熟记常见几何体的三视图的特征是解题的关键． 【详解】解：∵这个几何体的三视图为长方形和正六边形， ∴该立体图形是六棱柱， 故选：． 15. 如图，是的弦，点在上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解． 【详解】解：． 二、填空题（共8分） 16. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 17. 点，，，都在反比例函数 的图象上，若，则 的值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数上点的特征得到、分别与、的关系，再把它们相乘，最后把代入即可． 【详解】将点，，，代入反比例函数得：，， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 18. 如图，在中，，若四边形的面积为6，则__________． 【答案】18 【解析】 【分析】先证明，推出，求得，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积为6， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 19. 某校开展“我最喜爱的一项体育运动”调查，每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图，在抽查的m名学生中喜欢足球运动的有________人，喜欢篮球的对应的扇形圆心角是________． 【答案】 ①. 30 ②. 36 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，找出统计图之间的联系是解题关键．先根据喜欢排球运动的人数和所占百分比求出总人数，再分别求解即可． 【详解】解：总人数为（人）， 喜欢足球的人数为， 喜欢篮球的对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为30，36． 三、解答题（共62分） 20. 计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2． 【答案】3 【解析】 【分析】代入特殊角的三角函数值，按照实数的混合运算法则计算即可得答案． 【详解】解：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2 =2×-2++1-2+4 =-2++1-2+4 =3． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂及二次根式的性质与化简，熟练掌握实数的混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 21. 如图，和相交于点，，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ≌．  根据边角边定理求证． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【详解】略 22. 某校开展数学文化节活动，预计用3600元网购数学经典书籍《几何原本》和《九章算术》奖励获奖同学．已知《九章算术》的单价是《几何原本》单价的1.5倍，用1800元购买《几何原本》比用1800元购买《九章算术》可多买20本． （1）求《几何原本》和《九章算术》的单价分别为多少元； （2）学校实际购买时，恰逢该网上书店进行促销活动，所有图书均按原价的八折出售．若学校在不超过预算的前提下，购买了《几何原本》和《九章算术》两种图书共120本，则学校至少购买了多少本《几何原本》？ 【答案】（1）《几何原本》的单价为30元，《九章算术》的单价为45元 （2）学校至少购买了60本《几何原本》 【解析】 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式的知识，解题的关键是掌握分式方程的运用，一元一次不等式方程的运用． （1）设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为元，根据题意，列出方程求解即可； （2）设学校购买了m本《几何原本》，则购买了本《九章算术》，根据题意，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为元． 由题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：《几何原本》的单价为30元，《九章算术》的单价为45元； 【小问2详解】 设学校购买了m本《几何原本》，则购买了本《九章算术》． 由题意得， 解得． 答：学校至少购买了60本《几何原本》． 23. 为锻炼学生的阅读能力，王老师要求学生们在假期里从四本小说中任意选择一本完成阅读，这四本书中有两本是中国古典小说《西游记》和《水浒传》，另外两本是外国经典小说《简·爱》和《钢铁是怎样炼成的》 （1）若小兰从四本书里随机选一本书进行阅读，她选到《水浒传》的概率是 ； （2）若小兰和小华都各自从四本书里随机选一本书进行阅读，请用列表法或画树状图法求他们两人都选到中国古典小说的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，掌握树状图或列表法是解题关键． （1）根据概率的定义即可求解； （2）画出树状图确定全部可能结果以及满足条件的情况，即可求解． 【小问1详解】 解：小兰从四本书里随机选一本书进行阅读，她选到《水浒传》的概率是：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：假设用分别代表《西游记》、《水浒传》、《简·爱》、《钢铁是怎样炼成的》， 画出树状图如下： 一共有种等可能的情况，他们两人都选到中国古典小说的情况有种， ∴他们两人都选到中国古典小说的概率是：， 故答案为：． 24. 如图，在矩形中，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：在矩形中，， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）20 【解析】 【分析】（1）先由得到，进而得到四边形是平行四边形，再由得到即可证明； （2）设菱形的边长为x，则，在中使用勾股定理解出x，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设菱形的边长为x，则， ， 在中， ，即， 解得：， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理等知识点，解题的关键是运用数学结合思想转化、表示各线段． 25. “五一”劳动节到了，为在学生中弘扬劳动精神，让学生在做中学、学中做、家校合力共推劳动教育．五一假期老师布置了与父母互换身份，做一天父母的工作，体会劳动并感受父母的艰辛，理解、感恩父母，小李和妈妈互换身份，帮妈妈卖干果，他上午卖出甲种类和乙种类干果获得利润为元，下午卖出甲种类和乙种类干果获得利润为元． （1）求每千克甲种类干果和乙种类干果的销售利润各是多少； （2）小李的妈妈想一次购进两种干果共用于销售，其中乙种类干果的进货量不超过甲种类干果的进货量的，请你帮小李妈妈设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值． 【答案】（1）每千克甲种类干果的销售利润为元，每千克乙种类干果的销售利润为元 （2）购进甲种类干果，乙种类干果时，销售总利润最大，总利润的最大值为元 【解析】 【分析】（1）设每千克甲种类干果的销售利润为元，每千克乙种类干果的销售利润为元，根据题设中的数量关系列二元一次方程组求解即可； （2）设购进甲种类干果，则购进乙种类干果，获得总利润为元，列式，根据一次函数图像的性质，不等式的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每千克甲种类干果的销售利润为元，每千克乙种类干果的销售利润为元， ，解得， ∴每千克甲种类干果的销售利润为元，每千克乙种类干果的销售利润为元． 【小问2详解】 解：设购进甲种类干果，则购进乙种类干果，获得总利润为元， ∴， ∵， ∴的值随着值的增大而减小， ∵， ∴， ∴时，，， ∴购进甲种类干果，乙种类干果时，销售总利润最大，总利润的最大值为元． 【点睛】本题考查一次方程、不等式、一次函数的实际应用，涉及用一次函数和不等式求最值的问题，考查将实际问题转化为数学问题的抽象能力，以及基本运算能力、模型思想和应用意识． 26. 已知抛物线与动直线有公共点，，且． （1）求实数t的取值范围； （2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值． 【答案】（1） （2）时，c最小值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是： （1）两函数解析式联立方程组，可得出关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出，，利用完全平方公式变形可得出，代入方程①后，根据方程有解可求出t的取值范围，然后根据是非负数求出t的取值范围，即可求解； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵与， ∴① 有实数根，，则，． ∴ 　 ② ②式代入①　　 ∴　 ∴ ∵t的取值应满足， ∴或， ∴t的取值范围为； 【小问2详解】 解：由②式知． 由于， 当时，c随着t的增大而增大， ∴当时，． 27. 如图，以为直径的上有两点E，F，E是弧的中点，过点E作直线交的延长线于点D，交的延长线于点C，过C作平分交于点M，交于点N． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）如果N是的中点，且，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，     ∵E是弧的中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴是的切线； （2） 证明：如图所示，     ∵平分 ∴ 又∵， 则， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出，根据，得出，则可得，根据已知，得出，即可得证； （2）根据角平分线的定义得出，又，根据三角形内角和定理得出，由是的直径，即可得证； （3）取的中点，连接，证明，由是的中点，是的中点，得出，进而得出，设，则，勾股定理得出，，证明得出，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，取的中点，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴ 设，则， ∴ ∵ ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴到的距离相等，设为，在，设点到的距离为， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，相似三角形的性质与判定，切线的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $