精品解析：四川成都市实外西区学校2026-2027学年上学期八年级10月 定时练习数学试题

2026-2027学年上期九月定时练习 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 A卷（共100分） 一．选择题：（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列实数中表示无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 5 2. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 2，3，5 B. ，2， C. 8，15，17 D. 5，12，15 3. 下列说法正确的是（ ） A. 表示16的平方根，等于 B. 2的算术平方根是4 C. 1的平方根是1 D. 没有平方根 4. 如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形的面积分别是和，则最大正方形的面积是（ ）． A. B. C. D. 5. 学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为m的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高2m，宽1m，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（ ） A. 竖直摆放可以直接进门 B. 水平横放可以直接进门 C. 斜着沿门框对角线能进门 D. 怎么都无法进门 6. 如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．请估计这个比值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 7. 如图是《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈10尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．若设竹子折断处离地面x尺，则根据题意，方程可列为（ ） A. B. C. D. 8. 若式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 9. 比较大小：________．（填“>”、“<”或“=”） 10. 的立方根是________；81的平方根是________． 11. 已知实数x，y满足，则代数式的值为________ 12. 已知，，则_________． 13. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长是 ____． 三．解答题：（本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 14. 计算与解方程： （1） （2） （3） （4） 15. 已知的平方根是±3，b是8的立方根，c是的整数部分，求的算术平方根． 16. 如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点． （1）求△ABC的面积； （2）判断△ABC 的形状； （3）求AB边上的高． 17. 如图，在四边形中，，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 18. 如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． （1）求外来车辆的平均速度； （2）监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19. 若一个直角三角形的三边分别为x，4，5，则x＝_____． 20. 实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，化简：的结果为________ 21. 如图所示，数轴上的点表示的实数为，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是___________． 22. 如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 23. 对于任一个四位正整数，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字减去十位数字的差等于百位数字减去个位数字的差，且都等于3，则称为“幸福数”，例如：，，，，互不相等，且，是“幸福数”．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称正整数为完全平方数，例如：，则4为完全平方数．若一个“幸福数”为，则____________；若是“幸福数”，记，若是一个完全平方数，则满足条件的“幸福数”的最大值与最小值的差为_____________． 二．解答题：（本题共3小题，共30分） 24. 已知一个正数m的两个平方根分别是和，且，的立方根是． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 25. 已知长方形，，，为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． （1）如图1，连接，当点，落在上时，_____； （2）如图2，当点与点重合时，与交于点，求重叠部分（阴影）的面积： （3）如图3，当落在线段上时，求的长． 26. 探究下列问题： （1）如图1，在中，，若，，求的面积；（在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） （2）如图2，在中，，过点C作交的延长线于点E，D为外的一点，连接，且，．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作平分交于点P，过E点作交的延长线于点M，点K为直线上的一个动点，连接，过M点作，且始终满足，连接，若，请直接写出取得最小值时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上期九月定时练习 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 A卷（共100分） 一．选择题：（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列实数中表示无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数定义分别对、0、5、进行判断即可得答案. 【详解】解：、0、5均为有理数，为无理数，故A、C、D错误，B正确. 2. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 2，3，5 B. ，2， C. 8，15，17 D. 5，12，15 【答案】C 【解析】 【分析】先排除非正整数选项，再验证两小边平方和是否等于最长边平方． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不是正整数，不符合题意； C、，且均为正整数，符合题意； D、，不符合题意． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 表示16的平方根，等于 B. 2的算术平方根是4 C. 1的平方根是1 D. 没有平方根 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、∵是16的算术平方根，∴，A错误； B、∵2的算术平方根是，∴B错误； C、1的平方根是，C错误； D、∵是负数，∴没有平方根，D正确． 4. 如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形的面积分别是和，则最大正方形的面积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据直角三角形两条直角边的平方，即对应小正方形的面积之和，等于斜边的平方，即对应大正方形的面积，即可得到答案． 【详解】解：设正方形边长为，正方形的边长为，正方形边长为， ∴， ∵图中的三角形是直角三角形， ∴， ∴． 5. 学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为m的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高2m，宽1m，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（ ） A. 竖直摆放可以直接进门 B. 水平横放可以直接进门 C. 斜着沿门框对角线能进门 D. 怎么都无法进门 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形装饰泡沫板边长为m，结合教室门框高，宽，即可得竖直、水平摆放的不能进门，根据勾股定理求出门框对角线长，再和泡沫板边长比较即可得斜着沿门框对角线不能进门，即可得怎么都无法进门． 【详解】解：A、∵ 正方形泡沫板边长为m ，门框高2 m， ∴ 竖直摆放时，无法进门，故A错误； B、∵ 门框宽1 m， ∴ 水平横放时，无法进门，故B错误； C、斜着沿门框对角线摆放时，根据勾股定理得： 门框对角线长为： m， ∵ ， ∴ ， ∴泡沫板边长大于门框对角线长，无法进门，故C错误； D、根据A、B、C选项得怎么都无法进门，故D正确． 6. 如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．请估计这个比值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ， 即， ， 即 该比值在4和5之间． 7. 如图是《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈10尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．若设竹子折断处离地面x尺，则根据题意，方程可列为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则折断处离抵地处尺， 根据勾股定理可得． 8. 若式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， 解得且． 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 9. 比较大小：________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用作差法比较实数的大小；，可判断，即可求解；能根据“若，则．”进行比较大小是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， ； 故答案：． 10. 的立方根是________；81的平方根是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据立方根和平方根的定义即可求解． 【详解】解：的立方根为，81的平方根为， 故答案为：-3，±9． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，熟练理解平方根和立方根的定义是解决本题的关键． 11. 已知实数x，y满足，则代数式的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】算术平方根和绝对值都是非负数，若几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此先求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 12. 已知，，则_________． 【答案】4.498 【解析】 【分析】利用2023是20.23的100倍，进行计算． 【详解】解：∵ ， ∴， 故答案为：4.498． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练发现已知条件和所求被开方数之间的倍数关系是解题关键． 13. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长是 ____． 【答案】 【解析】 【分析】在中，可求出的长度，根据折叠的性质可得出，在中，利用即可得出的长度．此题考查了翻折变换、勾股定理及锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握翻折变换前后对应边相等、对应角相等． 【详解】解：∵，， ，， 由折叠的性质得，， 则， ． ． ． 故答案为：． 三．解答题：（本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 14. 计算与解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）分别计算乘方、算术平方根、立方根，再进行有理数加减运算． （2）二次根式乘除运算，系数与系数运算，被开方数与被开方数运算，最后化简． （3）利用直接开平方法解一元二次方程，先移项、系数化为1，再开平方求解． （4）利用直接开立方解方程，先系数化为1，再开立方求出，最后算出． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解： 移项，得 系数化为1， 两边开平方： 或 ； 【小问4详解】 解： 系数化为1， 两边开立方： ． 15. 已知的平方根是±3，b是8的立方根，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根为 【解析】 【分析】根据平方根、立方根的定义分别求出a、b的值，估算的范围得到c的值，代入代数式计算后求其算术平方根． 【详解】解： ∵的平方根是±3， ∴， 解得； ∵b是8的立方根， ∴， ∵，c是的整数部分， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 16. 如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点． （1）求△ABC的面积； （2）判断△ABC 的形状； （3）求AB边上的高． 【答案】（1）△ABC的面积为5 （2）△ABC是直角三角形 （3）AB边上的高为2 【解析】 【分析】（1）由矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可； （2）由勾股定理和勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）由三角形的面积即可得出结果． 【小问1详解】 解：△ABC的面积； 【小问2详解】 解：由勾股定理得：AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=32+42=25， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°； 【小问3详解】 解：∵AC==2，BC=，△ABC是直角三角形， ∴AB边上的高==2． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 17. 如图，在四边形中，，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理进行解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出．再根据即可求出答案． 【小问1详解】 解：在中，，，． ． 【小问2详解】 解：在中，，，， ，． ． ． ． 18. 如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． （1）求外来车辆的平均速度； （2）监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】（1）外来车辆的平均速度为 （2）能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； 【小问2详解】 略． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19. 若一个直角三角形的三边分别为x，4，5，则x＝_____． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边5既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即5是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设第三边为x， （1）若5是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得： 52+42＝x2， ∴x＝； （2）若5是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得： 32+x2＝52， ∴x＝3； ∴第三边的长为3或． 故答案为：3或． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的简单应用，需注意解答时有两种情况. 20. 实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，化简：的结果为________ 【答案】## 【解析】 【分析】观察数轴得到，判断、的正负，利用绝对值性质与化简，再合并同类项． 【详解】解：∵由数轴可得：，， ∴，， 原式 ． 21. 如图所示，数轴上的点表示的实数为，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．和均为半径，根据勾股定理求出的长，从而得到点表示的数． 【详解】解：如图， 在中，， ， 点表示的数为， 故答案为：． 22. 如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可得，则有，然后根据割补法可进行求解． 【详解】解：在中，， ∴由勾股定理得：， ∵以的三边为边作正方形，正方形，正方形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23. 对于任一个四位正整数，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字减去十位数字的差等于百位数字减去个位数字的差，且都等于3，则称为“幸福数”，例如：，，，，互不相等，且，是“幸福数”．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称正整数为完全平方数，例如：，则4为完全平方数．若一个“幸福数”为，则____________；若是“幸福数”，记，若是一个完全平方数，则满足条件的“幸福数”的最大值与最小值的差为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空根据“幸福数”的定义求出，再计算；第二空根据“幸福数”的定义表示出，化简后结合完全平方数和数位数字的要求，找出所有符合条件的“幸福数”，计算最大值与最小值的差． 【详解】解：∵“幸福数”满足千位数字与十位数字之差、百位数字与个位数字之差都为， ∴， 解得， ∴； 设四位“幸福数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， 根据定义得十位数字，个位数字， ∵，是数位上的数字，需满足，，且，， ∴，，即，， ， ∵是完全平方数， ∴设，其中为正整数， 代入得， 化简得， 由，，得，即， 整理得，符合条件的正整数对应的为，，，，， 对应分别为，，，，， 当时，，，，，四个数字，，，均不相等，符合条件，得； 当时，，，，，四个数字，，，均不相等，符合条件，得； 当时，，，得，不符合数位要求，舍去； 当时，，，，，数字重复，不符合要求，舍去； 当时，，，，，四个数字，，，均不相等，符合条件，得； ∴符合条件的中，最大值为，最小值为，差为． 二．解答题：（本题共3小题，共30分） 24. 已知一个正数m的两个平方根分别是和，且，的立方根是． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） ，， （2） 的平方根为 【解析】 【分析】 （1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求，根据算术平方根的定义求，根据立方根的定义求； （2）先由的值求出，再计算的值，最后求其平方根． 【小问1详解】 解：∵正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∵， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 将代入，得， 解得 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根是． 25. 已知长方形，，，为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． （1）如图1，连接，当点，落在上时，_____； （2）如图2，当点与点重合时，与交于点，求重叠部分（阴影）的面积： （3）如图3，当落在线段上时，求的长． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，即可求解； （2）由平行线的性质和折叠的性质可证，由勾股定理可求的长，即可求解； （3）分在线段上和点D在线段上两种情况讨论，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，由勾股定理可求的长． 【小问1详解】 解：，， ， 将沿直线翻折至的位置（点落在点处）. ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， 将沿直线翻折至的位置（点落在点处）. ， ， 在中，由勾股定理得， ，即 ， ， 重叠部分（阴影）的面积； 【小问3详解】 解：当在线段上时， 将沿直线翻折至的位置，，， ， ， ， ，即：，解得：； 的长为2． 26. 探究下列问题： （1）如图1，在中，，若，，求的面积；（在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） （2）如图2，在中，，过点C作交的延长线于点E，D为外的一点，连接，且，．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作平分交于点P，过E点作交的延长线于点M，点K为直线上的一个动点，连接，过M点作，且始终满足，连接，若，请直接写出取得最小值时的值． 【答案】（1） （2）证明：在上截取，连接， ∵， ∴ ∵，，， ∴，即 在和中， ∴， ∴，即 ∴，则 ∵，， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据角的性质计算即可； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，分别证明和得到，，进而可证得结论； （3）由题意，，当共线时取等号，当点重合时，取得最小值，最小值为，此时的值为，如图2，取的中点，连接，，作于，根据直角三角形的斜边上的中线性质和勾股定理求出，根据题意可知，，根据勾股定理得到，代入计算即可． 【小问1详解】 解：如图，作交延长线于， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意，，当共线时取等号， ∴当点重合时，取得最小值，最小值为， 如图3，取的中点，连接，，作于， ∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴， 当点重合时， ∵，且始终满足， ∴，， ∴ 即， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $