第一章一元二次方程 专题复习 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

2026—2027苏科版九上数学第一章一元二次方程专题复习 目录 1.一元二次方程的定义 2.化成一元二次方程的一般式 3.由一元二次方程的定义求参数 4.已知式子的值，求代数式的值 5.解一元二次方程 6.由一元二次方程的解求参数 7.一元二次方程的根与系数的关系 8.一元二次方程的应用 一元二次方程的定义 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 化成一元二次方程的一般式 3．将方程化成一元二次方程的一般形式，为_____________． 4．将一元二次方程 化为一般形式，二次项系数、一次项系数、常数项依次为（     ） A． B． C． D． 5．把方程化为一般形式是_________． 6．将一元二次方程化为的形式，则的值分别为（     ） A． B． C． D． 由一元二次方程的定义求参数 7．若关于的方程是一元二次方程，则__________． 8．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．0 B．3 C．±3 D．-3 已知式子的值，求代数式的值 9．已知是方程的根，则代数式的值为（     ） A．7 B． C．5 D． 10．已知是一元二次方程一个根，则的值为_____． 11．如果t是方程的一个根，那么代数式的值是______． 12．已知m是一元二次方程的一个根，则的值为________． 解一元二次方程 13．按要求解方程 (1)（直接开平方法） (2)（因式分解法）． (3)．（配方法） (4)．（公式法） 换元法解一元二次方程 14．若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 15．定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程” ． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根为 ．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为 ． (3)已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根．   由一元二次方程的解求参数 16．已知关于的一元二次方程． (1)若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根； (2)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． 17．已知关于x的一元二次方程． (1)试说明不论m取何值，该方程总有实数根； (2)若等腰的底边长为1，另外两边b，c恰好是这个方程的两根，求的周长与m的值． 18．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 19．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 一元二次方程的根与系数的关系 20．已知、是一元二次方程的两根，则的值是______． 21．如果，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，那么代数式的值为________． 22．已知关于的方程有两个不相等的实数根、． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 一元二次方程的应用 23．外出时戴上口罩、做好防护，可以有效遏制肺炎支原体病毒的传染．有个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．求每轮传染中平均个人传染了几个人？如果控制不及时，第三轮中又将有多少人被传染？ 24．某农户去年种植了10亩花生，亩产量为．今年种植新品种花生后，亩产量增加，但种植面积有所减少，已知亩产量的增长率是种植面积减少率的2倍．已知今年花生的总产量为．求种植新品种花生后亩产量的增长率． 25．如图，某公园有一个长为，宽为的长方形花坛，为了便于游客观赏，在花坛四周修有小路，要求小路的宽度相同，且面积等于花坛的面积，求小路的宽度．根据题意列出相应的方程，并化为一般形式． 26．如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，求这个最小数（请用方程知识解答）． 27．某服装店销售一款T恤，每件进价40元，当售价为每件60元时，每天可卖出20件．市场调查反映：每件T恤每降价1元，每天可多卖出2件． (1)若每件T恤降价5元，每天销售该T恤获得的利润为________元； (2)设每件T恤降价x元，则每天的销售量为________件（请用含x的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，如果店家想要每天获得利润448元，还想尽快减少库存，那么每件T恤应降价多少元？ 28．如图，在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． (1)用含t的代数式分别表示 ． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 29．某商家为支援地震灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完． (1)求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？ (2)因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值． 30．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动，大约用了多少秒？（结果保留小数点后一位） （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程、时间的关系为） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026—2027苏科版九上数学第一章一元二次方程专题复习》参考答案 题号 1 2 4 6 8 9 14 18 答案 D A B A B D D C 1．D 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为，是整式方程，据此判断即可． 【详解】解：、方程中未知数最高次数为，不是一元二次方程； 、方程中含有、两个未知数，不是一元二次方程； 、方程是分式方程，不是一元二次方程； 、方程中只含一个未知数，未知数的最高次数为，且是整式方程，是一元二次方程． 2．A 【详解】解：A．是一元二次方程； B．未明确，当时无二次项，不符合； C．展开后最高次项为，最高次数为4，不符合； D．分母含未知数，是分式方程，不符合． 3． 【详解】解： 。 4．B 【详解】解：对移项，得， 则二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 5． 【分析】展开方程左边两个一次式的乘积，合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可. 【详解】解： ； 原方程化为一般形式为. 6．A 【分析】先利用完全平方公式展开，再合并常数项，将方程整理成一元二次方程的一般形式，对照形式写出的值，选出答案． 【详解】解：， ， ， ∴，，． 7． 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解方程，得，即或， 由，得， ∴． 8．B 【分析】根据一元二次方程的最高次数为2且二次项系数不等于零，列式计算即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且，解得：． 9．D 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴． 10．2026 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义等知识，根据是一元二次方程一个根，得到变形为，把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵ 是一元二次方程一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2026． 11．2026 【分析】根据方程根的定义得到，整体代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 整理得， ∴ ． 12． 【分析】根据一元二次方程根的定义，得到含的等式，对所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， 将代入方程得， 整理得， ． 13．(1)． (2)． (3)． (4)． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， 或 ， ． （3）解：， ， ， ， ， ， ． （4）解：， 其中 ， ． ， ． 14．D 【分析】将所求方程整理为与已知方程结构一致的形式，通过换元利用已知解求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为， ∴. 整理方程， 移项得， 提取公因式得， 令，则方程变为，与原方程结构完全相同， ∴该方程的一个解为， 即.解得． 15．(1) (2)两根为和；友好方程的两根分别是原方程两根的倒数 (3)， 【分析】（1）根据题意即可解答； （2）利用根与系数的关系即可解答； （3）利用（2）中原理可得或，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得一元二次方程的“友好方程”为； （2）解：的“友好方程”为， 可得或， 所以的两根为和； 的两根为和 的两根为和， ， ， 即的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为友好方程的两根分别是原方程两根的倒数； （3）解：方程的“友好方程”为， 根据（2）中结论可得的两根为， 对于， 可得或， 解得，． 16．(1)的值为，方程的另一个根为． (2)证明：∵ 一元二次方程中，，，， ∴ 判别式． ∵ 对任意实数，， ∴ ，即． ∴ 不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． 【分析】（1）把代入原方程得到关于k的方程，解方程求出k的值，再把k的值代入原方程并解方程求出另一个根即可； （2）利用判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴把代入原方程得， 解得， ∴原方程为，即， ∴， 解得或， ∴原方程的另一个根为2； （2）略 17．(1)解：由题意得： ， ∴不论m取何值，该方程总有实数根 (2)的周长为5，m的值为 【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式，证明根的判别式大于等于0即可； （2）根据等腰三角形的定义，判断方程有两个相等的实数根，利用判别式等于0，解答即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：由题意得：b，c恰好为等腰三角形的腰， ∴即， ∴， ∴， 将代入一元二次方程得：∴， 解得：， ∴， ∴的周长为5，m的值为． 18．C 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为、判别式非负两个条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有实数根， ∴， 即， ， ， ， ∴的取值范围是且． 19．4 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式等于0，整理变形后即可求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴ ∵， ∴． 20．6 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对所求代数式变形代入计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 ． 根据根与系数的关系可得，， ∴ ． 21． 【分析】利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，对所求代数式降次化简，再整体代入计算即可. 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵是方程的根，满足方程， ∴， 整理得， ∴ ． 22．(1)的取值范围是且； (2)不存在，理由如下： 由根与系数的关系得： ，， 代入得：， ∵两边同时乘得：， 解得， ∵，不符合的取值范围， ∴不存在实数使得． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，再根据方程有两个不相等的实数根得到，据此解不等式组即可； （2）由根与系数的关系得，，代入，可得关于的方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：由题意得， 计算判别式： ， ， 解得， 综上，的取值范围是且； （2）略 23．每轮传染中平均个人传染了个人，如果控制不及时，第三轮中又将有人被传染． 【分析】理清每一轮传染后总患病人数的变化规律，根据两轮后总患病人数为建立方程求解即可，第三轮中被传染的人数等于每轮传染中平均个人传染的人数乘以第二轮后传染的人得到． 【详解】解：设每一轮传染中平均个人传染了个人，根据题意得， ， ， 解得，（舍去）． （人） 答：每轮传染中平均个人传染了个人，如果控制不及时，第三轮中又将有人被传染． 24．种植新品种花生后亩产量的增长率为 【详解】解：设种植新品种花生后亩产量的增长率为． ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：种植新品种花生后亩产量的增长率为． 25．，． 【分析】设小路的宽度为，根据题意小路的面积等于花坛的面积即整个图形的面积是花坛面积的2倍，由此列方程即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 根据题意可得， 整理得． 26．5 【分析】设这9个数中最小的数为x，根据题意，日历中，同行中相邻数之间差1，同列中相邻数之间差7，得最大数为，根据最小数与最大数的乘积为105，列方程解答即可； 【详解】解：设这9个数中最小的数为x，根据题意，日历中，同行中相邻数之间差1，同列中相邻数之间差7，得最大数为， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 日历中的数字没有负数， 故舍去， 故 故这九个数中最小的数为5． 27．(1) 450 (2) (3) 每件T恤应降价6元 【分析】（1）利用总利润与单件利润、销售量的数量关系计算； （2）根据降价幅度与销售量的增长关系列代数式； （3）根据总利润的等量关系列方程，结合尽快减少库存的要求选取合适的解. 【详解】（1） 解： 单件利润为（元）， 销售量为（件）， 总利润为（元）； （2）解：降价元时，每天多销售件. 故每天的销售量为件.； （3）解：根据题意，得 ， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴需选择更大的降价幅度以提高销售量， ∴， 答：每件T恤应降价6元. 28．(1)， (2) (3) 【分析】（1）因为点P、Q的运动速度和起始位置已知，所以用路程=速度×时间的关系，结合的总长，可直接写出的表达式． （2）因为矩形内角为直角，所以是直角三角形，如果已知的长度，那么可利用勾股定理列关于t的方程求解． （3）如果要求的面积，那么先确定和中边上的高，即的长度，再用三角形面积公式列方程，求解后结合t的取值范围判断解是否符合要求． 【详解】（1）解：∵点P从A向B以运动， ∴t秒后， ∵， ∴； ∵点Q从B向C以运动， ∴t秒后． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，是直角三角形。 ∴， 代入，，， 得 ， 展开整理得， 因式分解为， 解得（舍去），或． （3）解：∵，， ∴． 由（1）知，， ∵， ∴ ， 整理得， 解得，或（舍去）． 29．(1)小货车原计划每辆每次运顶帐篷，大货车原计划每辆每次运顶帐篷 (2)的值为2 【分析】（1）设小货车原计划每辆每次运顶帐篷，则大货车原计划每辆每次运顶帐篷，根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设小货车原计划每辆每次运顶帐篷，则大货车原计划每辆每次运顶帐篷， 由题意可得， 解得， ∴， ∴小货车原计划每辆每次运顶帐篷，大货车原计划每辆每次运顶帐篷； （2）解：由题意可得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 30．(1). (2)秒. 【分析】（1）根据小球的滚动速度平均每秒减少的速度等于初速度减末速度再除以时间，代入数据计算即可得答案. （2）设小球滚动，大约用了秒，即可求出t秒后小球的末速度为，再求出初速度与末速度的算术平均数，代入公式即可列方程，解出即可得小球滚动，约用了多少秒. 【详解】（1）解：设小球的滚动速度平均每秒减少，则根据题意得： （）， ∴小球的滚动速度平均每秒减少. （2）解:设小球滚动，大约用了秒，根据题意得： ，化简得： ，解得： ，即：（舍），， ∴小球滚动，大约用了秒. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $