第一章 一元二次方程单元自测 2026-2027学年苏科版九年级上册数学

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 一元二次方程 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若是方程的一个根，则（     ） A． B．2027 C．2025 D．2026 3．用配方法解一元二次方程时，通过配方可以将其化成（，为常数）的形式，则，的值分别为（     ） A．，8 B．3，8 C．，10 D．3，10 4．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 5．若方程的两个实数根为，，且，则k的值为（     ） A．1 B．2 C． D．4 6．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 7．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如：的方程的一个正数解，方法为：如图1，将四个长为x，宽为的长方形纸片（面积均为14）拼成一个大正方形，得到大正方形的面积为：，边长，可依据求得是方程的一个正数解．小明按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形，如图2，已知正方形的面积为24，小正方形的面积为8，则方程的正数解为（     ） A． B． C． D． 8．定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．已知关于的一元二次方程，则m的值为_________． 10．若，则关于的方程必有一根是__________． 11．若关于x的一元二次方程有一个根为，则代数式的值是_______________． 12．如图，在用配方法解一元二次方程时，有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是_______． 13．某农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克，设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为________________． 14．若一元二次方程有两个实数根，且一个根是另一个根的2倍，称该方程为“倍根方程”．若关于的方程是倍根方程，则的值为________． 15．小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，，若，则的值为______． 16．若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 17．如图，在由数字0和1组成的无限数阵中，每行中相邻两个数字的间距为，每列中相邻两个数字的间距也为．每过1秒，与数字1的间距为的数字将变为1．图①是初始状态（由一个1和无数个0组成），1秒后变为图②状态，2秒后变为图③状态，若秒后得到的图中数字之和为1861，则的值是______． 18．把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则___________． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（6分）解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 20．（6分）阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解：． ，……① ，……② ，……③ ……④ 或． ． 问题： (1)佳佳解方程的方法是______； A．直接开平方法        B．配方法 (2)上述解答过程中，从第____________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是____________； (3)请写出正确的解答过程． 21．（6分）已知关于x的方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求a的取值范围． 22．（7分）为推动青少年文化学习与体育锻炼协调发展，实验中学计划在操场空地用防护网搭建如图所示的两个矩形网球场，中间用防护网隔开．网球场一面靠墙（墙长m），并在平行于墙的边上的两处各留宽为m的门．已知计划使用的防护网总长为m，设网球场长为m． (1)_______m；（用含x的代数式表示） (2)矩形网球场ABCD的面积是否能达到？请说明理由． 23．（7分）阅读材料：若，求、的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)若，求、的值； (2)已知，，是的三边长，满足，且是等腰三角形，求的值． 24．（8分）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点．容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10，前5行的点数之和为15． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为______，那么，前n行的点数之和为______． (2)体验：三角点阵中前n行的点数之和能不能为500？请说明理由． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 25．（7分）某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． (1)当售价定为54元时，求该商品销售的个数； (2)商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 26．（8分）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，那么称这样的方程为“和谐方程”．例如，方程的两个根是4和7，则这个方程就是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 （填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，若，，求a、b、c的值． 27．（9分）在平面直角坐标系中，过原点O及点A(0，2)、C(6，0)作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为t秒． （1）当点P移动到点D时，求出此时t的值； （2）当t为何值时，OPQ的面积是9． （3）当t为何值时，PQB为直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 一元二次方程 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，从整式性、未知数个数、最高次数及二次项系数四个方面逐一判断. 【详解】解：选项A：是整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程定义； 选项B：的分母含未知数，是分式方程，不符合题意； 选项C：当时，方程的最高次数为1，不是一元二次方程，不符合“一定是”的要求； 选项D：含有两个未知数，是二元方程，不符合题意. 2．若是方程的一个根，则（     ） A． B．2027 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】由方程的根的定义得到的值，整体代入所求代数式计算． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 3．用配方法解一元二次方程时，通过配方可以将其化成（，为常数）的形式，则，的值分别为（     ） A．，8 B．3，8 C．，10 D．3，10 【答案】A 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， ． 4．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据同时满足一元二次方程二次项系数非零、根的判别式非负两个条件解答即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 5．若方程的两个实数根为，，且，则k的值为（     ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， 当时，， ∴方程有2个相等的实数根，满足题意． 6．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 7．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如：的方程的一个正数解，方法为：如图1，将四个长为x，宽为的长方形纸片（面积均为14）拼成一个大正方形，得到大正方形的面积为：，边长，可依据求得是方程的一个正数解．小明按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形，如图2，已知正方形的面积为24，小正方形的面积为8，则方程的正数解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出，，求出，得出大正方形的面积为，即可得出边长为，根据，求出x的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程，则，， ∴，， ∴，（负值舍去）， 即， 则， ∴原方程为：， ∴大正方形的面积为， ∴边长为， ∴， ∴． 8．定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据“倒方程”的定义，逐个验证五个结论，结合一元二次方程解的定义和判别式判断正误，统计正确结论个数得到结果． 【详解】根据定义，原方程的“倒方程”为． ① 原方程为，则，“倒方程”为，与结论给出的不符，故①错误； ② 原方程为，其“倒方程”为，将代入得：，即，解得，符合条件，故②正确； ③ 原一元二次方程没有实数根，则判别式，得， 其“倒方程”为，判别式，故“倒方程”也没有实数根，故③正确； ④ 若是的根，则， ， ，两边同时除以得：，整理，得，即是“倒方程”的根，故④正确； ⑤ 原的“倒方程”为， 是“倒方程”的根， ， 对所求式变形：，故⑤正确． 综上，正确结论共4个，故选C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．已知关于的一元二次方程，则m的值为_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程需要满足两个条件：未知数最高次数为2，二次项系数不为0，列关于的方程或者等式，解出即可． 【详解】解： 方程是关于的一元二次方程。 未知数的最高次数满足，且二次项系数 解得或， 又 ，即， ． 10．若，则关于的方程必有一根是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解和解一元二次方程的能力，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解： , , , , ， 或， 则方程必有一根为． 11．若关于x的一元二次方程有一个根为，则代数式的值是_______________． 【答案】 【分析】根据是的一个根，将代入原方程得，再代入计算即可得答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴把代入方程得: ， 整理得 :， ∴ ． ∴代数式的值为． 12．如图，在用配方法解一元二次方程时，有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是_______． 【答案】丁 【分析】根据配方法解方程的基本步骤，正确求解后判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 或 解得或 故丁的解答有错误． 13．某农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克，设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为________________． 【答案】 【分析】已知初始产量和两年后的产量，设平均每年增产百分率为，按增长率规律逐年计算两年后的产量，即可列出方程． 【详解】解：∵初始产量为千克，平均每年增产的百分率为， ∴第一年增产完成后的产量为千克， ∵第二年在第一年产量的基础上继续增产， ∴第二年增产完成后的产量为千克， ∴可列方程为． 14．若一元二次方程有两个实数根，且一个根是另一个根的2倍，称该方程为“倍根方程”．若关于的方程是倍根方程，则的值为________． 【答案】 【分析】设方程的两根为和，利用一元二次方程根与系数的关系列等式求解即可． 【详解】解：设方程的两个根分别为和， ∵对于一元二次方程，两根之和为，两根之积为， ∴；， ∴；， ∴． 15．小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，，若，则的值为______． 【答案】 【分析】首先根据勾股定理求出，然后得到，然后根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 【答案】 【分析】观察两个方程的结构，利用换元法将待求方程转化为与已知方程形式相同的方程，结合已知根求解． 【详解】解：将方程变形为， 设，则原方程可化为， ∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴有一个根为， 即，解得， 因此一元二次方程必有一个根为． 17．如图，在由数字0和1组成的无限数阵中，每行中相邻两个数字的间距为，每列中相邻两个数字的间距也为．每过1秒，与数字1的间距为的数字将变为1．图①是初始状态（由一个1和无数个0组成），1秒后变为图②状态，2秒后变为图③状态，若秒后得到的图中数字之和为1861，则的值是______． 【答案】 【分析】观察图①、图②、图③中数字的个数变化，发现每秒增加的的个数构成公差为的等差数列，从而得出秒后数字之和的通项公式，列方程求解即可． 【详解】解：观察图形可知： 图①（秒）中数字的个数为，数字之和为； 图②（秒）中数字的个数为，数字之和为； 图③（秒）中数字的个数为，数字之和为； 由此发现，每过秒，增加的数字的个数比上一秒多个， 第秒增加个，第秒增加个，，第秒增加个， 则秒后数字的总个数为： ， 根据题意，得：， 整理得：， 即：， 解得：(舍去)， ∵数字不断增加， ． 18．把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则___________． 【答案】 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴ 整理得， ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（6分）解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）用配方法，配方写成完全平方形式，直接开平方求出方程的两个根； （2）用公式法，确定、、，先算判别式，代入求根公式求解； （3）先移项，整体提公因式，用因式分解法求解． 【详解】（1）解：已知， 则，即， 可得， 解得，． （2）解：已知， 则，，， ， 可得， 解得，． （3）解：已知， 则， ， 可得， 即或， 解得，． 20．（6分）阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解：． ，……① ，……② ，……③ ……④ 或． ． 问题： (1)佳佳解方程的方法是______； A．直接开平方法        B．配方法 (2)上述解答过程中，从第____________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是____________； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)B (2)②；等号右边没有加9 (3)解：． 移项，得， 配方，得， 即， ， 或， ． 【详解】（1）解：佳佳解方程的方法是配方法； （2）解：上述解答过程中，从第②步开始出现了错误，发生错误的原因是等号右边没有加9． （3）略 21．（6分）已知关于x的方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求a的取值范围． 【答案】(1) 证明：在方程中， ， ∵ 无论取何实数，，即， ∴ 方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）计算方程的判别式，证明其恒非负即可得证； （2）先求解方程的两根，结合一根大于2的条件列不等式求的范围． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵原方程有一个根大于2， ∴， ∴． 22．（7分）为推动青少年文化学习与体育锻炼协调发展，实验中学计划在操场空地用防护网搭建如图所示的两个矩形网球场，中间用防护网隔开．网球场一面靠墙（墙长m），并在平行于墙的边上的两处各留宽为m的门．已知计划使用的防护网总长为m，设网球场长为m． (1)_______m；（用含x的代数式表示） (2)矩形网球场ABCD的面积是否能达到？请说明理由． 【答案】(1) (2)矩形网球场的面积不能达到． 理由如下： 由（1）可知，． 根据题意，得， 整理，得． ， ∴原方程没有实数根， ∴矩形网球场的面积不能达到． 【分析】（1）由题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可 【详解】（1）解：（1）设网球场长为m， m （2）略 23．（7分）阅读材料：若，求、的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)若，求、的值； (2)已知，，是的三边长，满足，且是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用完全平方公式得出，根据平方的非负数性质得出，，即可求出、的值； （2）根据，利用完全平方公式得出，根据平方的非负数性质求出，，根据等腰三角形的定义结合三角形的三边关系即可得出答案． 【详解】（1）解： ∴ ， ，， ，． （2）解：， ， ， ， ∵，， ∴，， 解得，， 是等腰三角形， 或， 经检验，或都符合三角形的三边关系． 24．（8分）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点．容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10，前5行的点数之和为15． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为______，那么，前n行的点数之和为______． (2)体验：三角点阵中前n行的点数之和能不能为500？请说明理由． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)36， (2)不能，理由如下：由题意得， 得，， ∴此方程无正整数解， ∴三角点阵中前n行的点数和不能是500； (3)一共能摆放20排 【分析】（1）将前8行的点数之和和前行的点数之和分别算出来即可； （2）根据前行的点数之和即可判断； （3）根据前行的点数之和代入数即可求解． 【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为 那么，前行的点数之和为 （2）略 （3）解：由题知前n排盆景的总数可表示为： 依题意得：， ， ， 解得：或（舍去）， 答：一共能摆放20排． 25．（7分）某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． (1)当售价定为54元时，求该商品销售的个数； (2)商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 【答案】(1)460个 (2)售价应提高10元 【分析】（1）根据售价涨幅与销售量减少的对应关系，计算实际销售个数； （2）设提价金额为未知数，利用总利润的等量关系列方程，结合兼顾顾客利益的条件选取合适的解． 【详解】（1）解：售价提高金额为（元）， 销售量减少（个） 此时销售个数为（个）； （2）解：设售价应提高元，单个商品利润为元，销售量为个， 由总利润为8000元，得， 整理得， 解得，， ∵要尽量兼顾顾客的利益，即提价幅度尽可能小， ∴； 答：售价应提高10元． 26．（8分）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，那么称这样的方程为“和谐方程”．例如，方程的两个根是4和7，则这个方程就是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 （填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，若，，求a、b、c的值． 【答案】(1)① (2)的值为或 (3)，， 【分析】（1）解一元二次方程，得出两个实数根的值，检查是否成立即可； （2）用因式分解法解方程，得出两根分别为2、，进行分类讨论，按照和谐方程的定义解出m的值； （3）将代入到根与系数的关系得到：，，用含a的代数式表示出，将、代入得到，求出a的值，利用已知条件求出b、c的值． 【详解】（1）解： 或 所以：， ， 所以是和谐方程； 或， 所以：， ， 所以：不是和谐方程； 所以：不是和谐方程； （2） 或， 若，，根据和谐方程的定义，可得：， 解得：； 若，，根据和谐方程的定义，可得：， 解得：； 综上所述，m的值为1或2； （3）设方程两根为，且， 根据根与系数的关系，可以得：，， ，， ，， 将代入得：， 将代入得：， 将代入得：， 解得：， 当时，，， 方程为， 解得，满足、，符合题意； 当时，，， 方程为， 解得，，不满足，不符合题意，舍去； 综上所述，，，． 27．（9分）在平面直角坐标系中，过原点O及点A(0，2)、C(6，0)作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为t秒． （1）当点P移动到点D时，求出此时t的值； （2）当t为何值时，OPQ的面积是9． （3）当t为何值时，PQB为直角三角形． 【答案】（1）2；（2）3；（3），或 【分析】（1）根据题意首先判断出△AOD为等腰直角三角形，然后求出OD的长度，结合已知条件即可求出结论； （2）首先求出直线OD的解析式，然后利用三角形的面积公式写出△OPQ的面积表达式，建立方程并求解即可； （3）分别表示出PB，PQ，BQ的长度，然后结合勾股定理进行分类讨论即可． 【详解】解：（1）由题意，OA=2，∠OAB=∠AOC=90°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD=∠COD=45°， ∴△AOD为等腰直角三角形， ∴OD=OA=， ∵点P的运动速度为每秒个单位长度， ∴点P移动到点D时，， ∴点P移动到点D时，； （2）由（1）可知点D的坐标为， 则直线OD的解析式为：， 由题意，t时间后，OQ=2t，OP=t， ∵点P在直线上， ∴t时间后，， ∴， 当OPQ的面积是9时，， 解得：， ∵点P在射线OD上， ∴， ∴， ∴当时，OPQ的面积是9时； （3）由题意，点B坐标为， 由（2）可得，t时间后，P、Q坐标分别为，，其中， ∴，，, 当PQB为直角三角形时，分如下讨论： ①如图，当∠PQB=90°时，有， 即：， 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； ②如图，当∠PBQ=90°时，有， 即：， 整理得：， 解得：，均符合题意， ∴； ③当∠BPQ=90°时，有， 即：， 解得：，不合题意，舍去， 综上，当，或时，满足PQB为直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $