精品解析：福建厦门大学附属科技中学2026-2027学年高一上学期10月阶段性检测数学试卷

厦门大学附属科技中学2026级高一阶段性检测 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”的否定是，. 2. 已知为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设有，， 所以，而阴影部分表示的集合为. 3. 若，，，为集合的4个元素，则以，，，为边长的四边形可能是（ ） A. 等腰梯形 B. 直角梯形 C. 菱形 D. 矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合中元素的互异性，以及特殊四边形边长的性质进行判断即可. 【详解】根据集合中元素的互异性，以，，，为边长的四边形，四条边均不相等， 选项中只有直角梯形可能满足要求. 故选：B 4. 若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立. 【详解】因，则由可得，解得，即充分性成立； 当时，满足，但此时，即必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，其中即 故函数的定义域为， 由解析式可知函数在单调递增， 所以， 故的值域为. 6. 如图（1），四边形为直角梯形，，动点从点出发，由沿边运动，设点运动的路程为的面积为．若的图象如图（2）所示，则的面积为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据图（2）可知，，，，进而求得，再计算面积即可. 【详解】解：当点从点出发运动到点的过程中，面积随着点的运动路程线性增加， 所以，由图（2）可知，这段路程为，即， 同理，当从点运动到点的过程中，面积保持不变， 由图（2）知，这段路程为，即， 当从点运动到点的过程中，面积随着点的运动路程线性减少， 由图（2）知，这段路程为，即， 所以，在直角梯形中，过作于，则四边形是矩形， 所以， 所以，在中，易得，即 所以，的面积为 故选：B 7. 若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若，不等式恒成立， 则，可得恒成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的取值范围为. 8. 已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，分析的单调性，并根据的单调性，求解不等式，得到实数的取值范围. 【详解】令函数. 因为，，，都有， 所以，所以， 即，即， 所以函数是定义在上的减函数. 若，且，则， 即，所以，即. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】因为，，则，所以A错误， 又，则，，所以B和C正确， 对于D，因为，，则，故D错误. 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由且挖掘出隐含条件， 以及.再利用不等式基本性质、作差法及消元思想，逐项进行等价变形与符号判断. 【详解】由且，可知且， 对于选项A：因为，两边同减去得 ， 因为，所以，取倒数得，故A正确； 对于选项B：，因为，所以， 代入得 ，故B错误； 对于选项C：由且可知，， ①若，则， 因为且，所以 ，即； ②若，则，而，所以， 综上，，故C正确； 对于选项D：， 因为且（即），所以，即，故D正确. 11. 我们把定义域为[0,+∞）且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“Ω函数”∶（1）对任意的x∈[0,+∞)，总有f (x)≥0；（2）若x≥0，y≥0，则有f(x+y)≥f(x)+f(y)成立，下列判断正确的是（ ） A. 若f (x)为“Ω函数”，则 B. 若f (x)为“Ω函数”，则f(x)在[0,+∞）上是增函数 C. 函数，在[0,+∞）上是“Ω函数” D. 函数在[0,+∞）上是“Ω函数” 【答案】AD 【解析】 【分析】利用赋值法及条件可判断A，验证“Ω函数”条件可判断B，取，则可判断C，验证“Ω函数”条件可判断D. 【详解】取得到，即，又对任意的x∈[0，+∞），总有，故，A正确； 由题知，满足“Ω函数”条件，f(x)为“Ω函数”，但f(x)在上不是增函数，故B错误； ，取，则，不满足，故C错误； 在上单调递增，故，即，又，所以，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用具体函数定义域的求法即可得解. 【详解】由题意得：. 故答案为： 13. 若在区间上是增函数，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意在区间上是增函数，同时在区间上恒成立，即可求出结果. 【详解】因为在区间上是增函数， 所以在区间上是增函数， 则，即， 同时在区间上恒成立， 又在区间上是增函数， 所以，即， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】考虑，和三种情况，得到前两种不合要求，分析出为方程的正实根，故，求出. 【详解】①，要想，即， 故，解得，不满足，舍去； ②，，，要想， 需满足在恒成立， 但的图象为抛物线，它的开口向上，故矛盾，舍去； ③，当时，，； 当时，，， 考虑的解，因为，故此方程必有两个不同的解，， 而，故此方程有且仅有一个正实根， 故为方程的正实根，故，故， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，B={2，3}，C={，2，5}. （1）当a=1时，求； （2）若，且，求实数a的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求解出，利用并集、交集的运算法则进行求解；（2）求解出，根据，且，得到，分类讨论得到的值，检验是否符合题意，最后求得结果. 【小问1详解】 当时，.由，得，则或，所以. 因为，则. 因为，则. 【小问2详解】 由，得，即，所以. 因为，且，则. 若，即，则，符合要求. 若，即，则，此时，不合题意. 综上分析，. 16. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积为，地板面积为， （1）若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为，求这所公寓的窗户面积的取值范围； （2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，则公寓的采光效果是变好了还是变差了？请说明理由． 【答案】（1）（单位：平方米） （2）采光效果变好了 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的等量关系和不等量关系，化简求解即可 （2）分式的分子分母同时增加，通过作差法比较新的分式与原来分式的大小，从而判断采光效果变好了还是变坏了 【小问1详解】 根据题意可得： ，则，所以，解得， ，解得，所以， 这所公寓的窗户面积的取值范围是. 【小问2详解】 同时增加窗户面积和地板面积后，比值为，则， 因为，所以， 所以，所以同时增加相同的窗户面积和地板面积后，公寓的采光效果变好了 17. 已知关于x不等式的解集为M． （1）当M为空集时，求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）当M不为空集，且时，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）4；（3）. 【解析】 【分析】（1）由已知得，解之可求得的取值范围； （2）由（1）求得，再根据利用基本不等式，可求得的最小值. （3）根据二次函数的性质建立不等式组，解之可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为为空集，所以. 所以的取值范围为； （2）由（1）可知，则，所以，当且仅当等号成立，所以的最小值为4. （3）设函数，当不为空集时，由，得. 所以实数的取值范围. 18. 已知函数满足，函数是上单调递减的一次函数，且满足． （1）请分别求出函数与的解析式； （2）设， （ⅰ）记，画出函数的图像，并写出其单调递减区间（无需证明）； （ⅱ）若满足，则称为的二阶不动点，求函数的二阶不动点的个数． 【答案】（1），； （2）（ⅰ）图象见详解，； （ⅱ）3个. 【解析】 【分析】（1）通过构造方程组，即可求出函数的解析式；通过待定系数法，即可求出函数的解析式； （2）（ⅰ）先求出函数的解析式，根据解析式即可画出函数图象，再根据图象即可得到函数的单调递减区间； （ⅱ）先写出函数的解析式，再根据二阶不动点的概念，分区间列出方程并求解，即可得到函数的二阶不动点的个数. 【小问1详解】 因为函数满足①， 将替换为，可得②， ②可得③， ③①，可得， 所以， 因为函数是上单调递减的一次函数，设，且， 又，所以，即， 化简得，所以，解得或（舍）， 所以； 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， （ⅰ）当时，， 当时，， 所以， 则函数的图象如图所示： 所以函数的单调递减区间是. （ⅱ）由题意，，如图所示， 当时，的值域为，所以， 当时，的值域为，所以， 当时，的值域为，， 所以， 当时，，令，解得或， 所以函数在上有唯一的二阶不动点， 当时，，令，解得， 所以函数在上有唯一的二阶不动点， 当时，，令，解得或， 所以函数在上有唯一的二阶不动点， 综上所述，函数的二阶不动点的个数为3. 19. 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数的图象恰如其形.牛顿最早研究了函数的图象，所以也称的图象为牛顿三叉戟曲线. （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）已知两个不相等的正数m，n满足：，求证：； （3）是否存在实数a，b，使得在上的值域是？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）在单调递增，证明如下： 设，且，则 ， ，，， ，， 在单调递增. （2）得：， 化简得：， 又，， 而，， ， . （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明； （2）由可得，再由基本不等式得证； （3）根据已知结合函数的单调性求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设存在满足题意的实数，b， ，或 当时，由（1）同理可证：在单调递减， 在上的最小值为， 故，，在上单调递增， ，是在的两根. 由，得 即：，， 又，，， 当时，由（1），当时，，故在单调递减， ，即：，即：， ，，矛盾， 综上所述，存在满足题意的正实数：，. 【点睛】关键点点睛：假设存在满足题意实数a，b，由定义域中无0，分类讨论， 再由定义法判断函数的单调性，利用单调性建立方程求解是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门大学附属科技中学2026级高一阶段性检测 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，为集合的4个元素，则以，，，为边长的四边形可能是（ ） A. 等腰梯形 B. 直角梯形 C. 菱形 D. 矩形 4. 若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 如图（1），四边形为直角梯形，，动点从点出发，由沿边运动，设点运动的路程为的面积为．若的图象如图（2）所示，则的面积为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 24 7. 若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 11. 我们把定义域为[0,+∞）且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“Ω函数”∶（1）对任意的x∈[0,+∞)，总有f (x)≥0；（2）若x≥0，y≥0，则有f(x+y)≥f(x)+f(y)成立，下列判断正确的是（ ） A. 若f (x)为“Ω函数”，则 B. 若f (x)为“Ω函数”，则f(x)在[0,+∞）上是增函数 C. 函数，在[0,+∞）上是“Ω函数” D. 函数在[0,+∞）上是“Ω函数” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是______. 13. 若在区间上是增函数，则实数a的取值范围是___________. 14. 已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，B={2，3}，C={，2，5}. （1）当a=1时，求； （2）若，且，求实数a的值. 16. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积为，地板面积为， （1）若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为，求这所公寓的窗户面积的取值范围； （2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，则公寓的采光效果是变好了还是变差了？请说明理由． 17. 已知关于x不等式的解集为M． （1）当M为空集时，求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）当M不为空集，且时，求实数m的取值范围． 18. 已知函数满足，函数是上单调递减的一次函数，且满足． （1）请分别求出函数与的解析式； （2）设， （ⅰ）记，画出函数的图像，并写出其单调递减区间（无需证明）； （ⅱ）若满足，则称为的二阶不动点，求函数的二阶不动点的个数． 19. 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数的图象恰如其形.牛顿最早研究了函数的图象，所以也称的图象为牛顿三叉戟曲线. （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）已知两个不相等的正数m，n满足：，求证：； （3）是否存在实数a，b，使得在上的值域是？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $