精品解析：江苏省盐城市亭湖高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

盐城市亭湖高级中学2026-2027学年度第一学期 高二年级阶段考试数学试卷 命题人：申永祥 审核人：祁霞 （本试卷分为第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两大部分，试卷总分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（     ） A. 0° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【解析】 【详解】因为直线的斜率为1，所以该直线的倾斜角为45°. 2. 直线在x轴上的截距是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令得，所以直线在轴上的截距为. 3. 已知随机事件，互斥，且，，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.8 【答案】D 【解析】 【分析】先由对立事件的概率关系计算，再利用互斥事件的概率加法公式求结论. 【详解】因为 ， ， 所以. 因为、互斥，， 所以. 4. 圆和圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 内切 C. 外切 D. 相交 【答案】C 【解析】 【详解】圆即，表示以为圆心，半径为1的圆． 圆即， 表示以为圆心，半径为4的圆． 两圆的圆心距为，等于两半径之和，所以两圆外切， 5. 直线：被圆：截得的弦长为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由圆：，则圆心，半径为， 则圆心到直线：的距离为， 由题意得，，解得. 6. 将一枚质地均匀的骰子连续投掷两次，设“第一次出现奇数点”，“第二次出现偶数点”，则与（ ） A. 互斥但不对立 B. 相互对立 C. 相互独立 D. 独立且互斥 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥，对立与独立事件的定义判断即可. 【详解】掷一枚质地均匀的骰子两次，出现的可能的情况共有36种， 事件M包含，共18种， 事件N包含，共18种， 事件包含，共9种， 所以根据互斥事件与对立事件的定义，均不满足， 由于，，， 所以，所以M与N的关系为相互独立. 故选：C 7. 若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先构造与原直线距离为6的平行线，舍去无交点的那条；再结合直线与整圆相交条件，再利用韦达定理，保证两个交点横坐标都大于等于0，取交集得到参数范围． 【详解】曲线表示半圆，圆心为，半径， 点到直线的距离公式为， 曲线上存在两点到直线的距离为6，即， 故，即所在直线为：， ， 其中到圆心距离为，故与圆无交点， 故与右半圆有两个交点，到圆心距离， 解得， 联立到圆的方程得：， 整理得， 由韦达定理得 曲线是右半圆，即，则， 解得，（1） 且或，（2） 故， 综上可得． 8. 设直线系，对于下列四个命题，正确的是（ ） A. M中所有直线均经过一个定点 B. 不存在定点P不在M中的任一条直线上 C. 对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D. M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，假设所有直线过定点，则定点为任意两直线交点，据此可判断选项正误；对于BC，由题设可得直线系表示圆：的全体切线，据此可得答案；对于D，由BC分析结合图形可判断选项正误. 【详解】对于A，假设所有直线过定点，则定点为任意两直线交点，令，又令，故此时两直线的交点为，将其代入方程得：，而此式不是恒成立的，故所求的定点不存在，故A错误； 对于BC，注意到到直线：距离为，则该直线系表示圆的全体切线，则圆内部所有点均未在M中的任一条直线上，故B错误； 又对于任意整数，该圆存在外切正边形，满足其所有边均在M中的直线上，故C正确； 对于D，如下图，与均可构成正三角形，但显然正三角形面积不等，故D错误. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知直线：，直线：，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线间的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用变换主元、两直线位置关系、及平行线间距离公式一一判定选项即可. 【详解】对于A，易知，即时恒成立， 所以直线过定点，故A正确； 对于B、D，若时，则，解之得， 此时两直线间距离为，故B、D错误； 对于C，若，则，故C正确. 故选：AC 10. 设，为随机事件．以下说法正确的有（ ） A. 若，对立，则 B. 若，则，对立 C. 若，互斥，则 D. 若，相互独立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由对立事件的性质判断A；举反例判断B；由互斥事件的性质判断C；由独立事件的性质判断D. 【详解】对于A，因为，对立，所以，不同时发生，则，故A正确； 对于B，由，不能得出，对立，如投掷一枚质地均匀的骰子， “出现的点数为1，2”，“出现的点数为3，4”，显然，但，不对立，故B错误； 对于C，因为，互斥，，则，故C正确； 对于D，因为，相互独立，，则，故D正确. 11. 已知点，圆，点P在圆C上运动，给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 在x轴上存在定点，使为定值 C. 设线段PA的中点为Q，则点Q到直线的距离的取值范围 D. 过直线上一点T引圆C的两条切线，切点分别为M，N，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】把用坐标表示出来，利用三角函数求最值判断A；用坐标把表示，整理化简即可判断B；点到直线的距离用坐标表示出来，利用三角函数求最值判断C；把用坐标表示出来，利用三角函数求最值判断D． 【详解】对于A，设，，， ，正确； 对于B，设，则 ，故B正确； 对于C，，则点到直线的距离 ，故C错误； 对于D，如图所示： ，又，， ，又， ，， ，故D正确. 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本大题共3题，共15分） 12. 若直线l经过，两点，则直线l的斜率为______. 【答案】 【解析】 【详解】因为直线l经过，两点，所以直线l的斜率. 13. 甲、乙、丙三人各进行一次射击，已知甲、乙、丙三人击中目标的概率分别为，，，则恰有两人击中目标的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定恰有两人击中的三类互斥情况，结合独立事件概率乘法公式分别计算各类情况的概率，再由互斥事件概率加法公式求和 【详解】设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙击中目标， 由题意知A、B、C相互独立，且 则 恰有两人击中目标包含三个两两互斥的事件：、、， 由独立事件概率乘法公式，得 由互斥事件概率加法公式，得所求概率为： . 14. 已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，直线、分别交轴于、两点，则__________；__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分析可知，设点，可得，利用角平分线定理可得出，结合两点间的距离公式化简可得出的值，并结合求出的值，进而可确定圆的标准方程，可求出的大小，进一步可求出直线的方程，判断出直线与圆相切，可判断出点为线段的中点，利用直角三角形的几何性质可求得的值. 【详解】圆的标准方程为，圆的圆心为，半径为， 由切线长定理可得，，， 因为，，，所以， 所以， 设点，则，即， 由角平分线定理可得 ， 因为，则，解得或（舍）， 所以圆的标准方程为，则该圆圆心为，半径为， 因为，则， 易知为锐角，所以，故直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 圆的圆心为，半径为， 点到直线的距离为，故直线与圆相切， 所以，则， 易知为线段的中点，所以为线段的中点， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，，且直线，的交点为点． （1）若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）先由的斜率结合垂直关系得的斜率，再用点斜式求的方程； （2）先联立求交点，再分截距为0和不为0两种情况求的方程. 【小问1详解】  直线整理为斜截式方程得，故的斜率，因为与垂直，所以的斜率， 又过点，由点斜式方程得：，整理得 【小问2详解】 联立，解得，，即， 分两种情况讨论： ① 当在两坐标轴上的截距均为0时，设方程为，将代入得，解得，故方程为，即； ② 当在两坐标轴上的截距不为0时，设方程为，即，将代入得，故方程为，即； 综上，的方程为或. 16. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】（1）或 （2）， 【解析】 【分析】（1）求出圆心和半径，求出的值判断出在圆的外部，分别按照切线不存在斜率时和切线存在斜率讨论求解，当切线的斜率存在时，利用点斜式设出切线方程，求出圆心到直线切线的距离，由得到的方程，解出的值，将代入切线方程得到所求. （2）两圆相减得到公共弦所在直线的方程；求出圆心到直线的距离为，则计算得解. 【小问1详解】 ，， ， ，， 在圆的外部， 当切线不存在斜率时，切线方程为， 此时圆心到直线的距离为， 则直线不是圆的切线； 当切线存在斜率时，设切线方程为， 即， 圆心到直线的距离为， 解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即； 综上可得，切线的方程为或. 【小问2详解】 ①， ②， ①②这两个等式相减，得到，即， 则公共弦所在直线的方程为； 圆心到直线的距离为， 则 即公共弦的长为. 17. 甲乙二人喜欢打乒乓球，根据经验，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜概率为，且各局相互独立， （1）二人约定：先胜2局者获胜，比赛结束，求比赛了2局就结束比赛的概率； （2）若二人约定：先胜3局者获胜，比赛结束；求甲获胜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）比赛2局结束，就是甲两连胜或者乙两连胜，把两种独立事件概率相加即可求解； （2）甲先胜3局获胜的情况一共有三种，分别计算对应概率再求和． 【小问1详解】 比赛2局结束包含“甲连胜2局”和“乙连胜2局”两个互斥事件： 甲连胜2局的概率：， 乙连胜2局的概率：， 由互斥事件概率加法公式，所求概率． 【小问2详解】 计算“先胜3局者获胜”赛制下甲的获胜概率，包含3类互斥情况： 打3局获胜：甲连胜3局，概率； 打4局获胜：前3局甲恰好胜2局、第4局甲胜，概率； 打5局获胜：前4局甲恰好胜2局、第5局甲胜，概率， 该赛制下甲获胜总概率． 18. 已知动点M与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点），连接交于点． ①求证：直线经过一个定点； ②是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），即为以为圆心，半径为的圆． （2）①由题设，易知，，，四点共圆，即，在以为直径的圆上， 而，的中点坐标为，， 以为直径的圆为， 又，在上，即为两圆的公共弦， 两圆方程作差，得直线为， 显然该直线恒过定点． ②存在， 【解析】 【分析】（1）设动点，因为与的比为，所以根据两点间距离公式列等式，整理后得到曲线的方程，再根据圆的标准方程特征判断曲线形状即可. （2）①根据题意分析出P，D，Q，R四点共圆，进而得出点Q，R为两圆交点 ，再写出两圆的相交弦，即为直线QR的方程，即可得出直线经过定点; ②由题设分析出点在以为直径的圆（除去点）上，且轴，从而得出与重合时，△ADN的面积最大，即可得点的坐标. 【详解】（1）设，则，即， 所以， 整理得，即为以为圆心，半径为的圆． （2）①由题设，易知，，，四点共圆，即，在以为直径的圆上 而，的中点坐标为，， 以为直径的圆为， 又，在上，即为两圆的公共弦， 两圆方程作差，得直线为， 显然该直线恒过定点． ②存在，，理由如下： 由题设，易知在以为直径的圆（除去点）上， 即以为圆心、半径为的圆（除去点）上， 且轴，则，且到直线的距离为， 故到直线的最大距离为， 所以，当与重合时，面积最大，此时． 19. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）①设直线. 由整理得， 则， 故. 因为， 所以. 把代入上式， 得. ②点在定直线上，理由如下： 直线的方程为，直线的方程为. 由得. 因为，所以， 所以， 即，则，即点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）设圆心的坐标为，可得，从而求出，利用圆心在直线，即可求出,得到半径，从而求得圆的标准方程 （2）①设直线.与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理可得，分别表示出和，化简即可证明； ②分别写出直线和直线的方程，结合，通过联立直线和直线的方程，消去参数，得到的固定直线方程，即可确定点是否在定直线. 【小问1详解】 设圆心的坐标为. 因为是圆上的两点，所以，所以 即，解得. 因为圆心在直线上，所以，解得， 则圆的半径， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐城市亭湖高级中学2026-2027学年度第一学期 高二年级阶段考试数学试卷 命题人：申永祥 审核人：祁霞 （本试卷分为第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两大部分，试卷总分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（     ） A. 0° B. 45° C. 60° D. 90° 2. 直线在x轴上的截距是（ ） A. B. 4 C. D. 3. 已知随机事件，互斥，且，，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.8 4. 圆和圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 内切 C. 外切 D. 相交 5. 直线：被圆：截得的弦长为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 将一枚质地均匀的骰子连续投掷两次，设“第一次出现奇数点”，“第二次出现偶数点”，则与（ ） A. 互斥但不对立 B. 相互对立 C. 相互独立 D. 独立且互斥 7. 若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设直线系，对于下列四个命题，正确的是（ ） A. M中所有直线均经过一个定点 B. 不存在定点P不在M中的任一条直线上 C. 对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D. M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知直线：，直线：，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线间的距离为 10. 设，为随机事件．以下说法正确的有（ ） A. 若，对立，则 B. 若，则，对立 C. 若，互斥，则 D. 若，相互独立，则 11. 已知点，圆，点P在圆C上运动，给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 在x轴上存在定点，使为定值 C. 设线段PA的中点为Q，则点Q到直线的距离的取值范围 D. 过直线上一点T引圆C的两条切线，切点分别为M，N，则的取值范围是 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本大题共3题，共15分） 12. 若直线l经过，两点，则直线l的斜率为______. 13. 甲、乙、丙三人各进行一次射击，已知甲、乙、丙三人击中目标的概率分别为，，，则恰有两人击中目标的概率为______． 14. 已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，直线、分别交轴于、两点，则__________；__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，，且直线，的交点为点． （1）若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 16. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 17. 甲乙二人喜欢打乒乓球，根据经验，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜概率为，且各局相互独立， （1）二人约定：先胜2局者获胜，比赛结束，求比赛了2局就结束比赛的概率； （2）若二人约定：先胜3局者获胜，比赛结束；求甲获胜的概率． 18. 已知动点M与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点），连接交于点． ①求证：直线经过一个定点； ②是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $