精品解析：广西南宁市第十九中学2026-2027学年度上学期高一年级10月份月考数学试题

2026-2027学年度上学期高一年级10月份月考考试试题 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若集合，且，则（ ） A. 10或13 B. 13 C. 4或7 D. 7 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某市评选市级三好学生，申报条件之一为：申报者须获得校级三好学生资格.则“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，设，则与的值的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 6. 已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（    ） A. B. C. 或 D. 7. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若，，则 8. 若不等式的解集为则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. R 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于集合的说法正确的有（ ） A. 若且，则 B. 空集是任何非空集合的真子集 C. 集合与是同一个集合 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 至少有一个实数，使 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“”的否定是假命题 D. “集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 11. 已知，且，则（ ） A. 的最小值为4 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三､填空题.（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，且，则　________　. 13. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是_________． 14. 定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是________； 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知全集，集合，． （1）求，； （2）求，． 16. 求下列不等式的解集 （1）； （2）； （3）. 17. 某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元．设备使用年后，该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为万元． （1）求关于的表达式． （2）求该设备的年平均盈利额的最大值，以及此时使用年数．（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） 18. 根据题意，求解下列问题： （1）已知，求的最大值，并求出取最大值时的值是多少？ （2）已知，求的最小值，并求出取最小值时的值是多少？ （3）已知，且，求的最大值，并求出取最大值时，的值是多少？ 19. 已知集合A满足：若，则，集合中的元素个数为m，中的元素个数为n． （1）若，求集合M，N； （2）若A中有5个元素，求m； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期高一年级10月份月考考试试题 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若集合，且，则（ ） A. 10或13 B. 13 C. 4或7 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系计算即可. 【详解】当，即时，，此时与4重复，则. 当，即时，. 故选：B 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解. 【详解】命题，则是. 故选：B. 3. 设，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质结合基本不等式即得. 【详解】， ，，，即, . 故选：A． 4. 某市评选市级三好学生，申报条件之一为：申报者须获得校级三好学生资格.则“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据评选规则，由充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】根据评选规则：若同学甲是市级三好学生，则同学甲必须是校级三好学生， 但是同学甲是校级三好学生不一定能评上市级三好学生， 所以“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知，设，则与的值的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故. 故选：D 6. 已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（    ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集、补集运算得到答案. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为， 因为或，所以， 因为，所以， 故选：B. 7. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】结合不等式的基本性质，逐一推导或用特殊值法验证各选项，排除错误选项得到正确结论. 【详解】对选项A：当时，，故不成立，A错误； 对选项B：若，同乘得；同乘得，即，B错误； 对选项C：若，，不等式两边同除以，得，C错误； 对选项D：由，则，因为，两同向正数不等式相加得，故，两边同乘，得，D正确. 8. 若不等式的解集为则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. R 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，，是方程的两个实根，运用韦达定理求出p，q，再由二次不等式的解法，即可得到． 【详解】由题意可知：，是方程的两个实根， 则，解得，， 则不等式，即为， 即为，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B． 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于集合的说法正确的有（ ） A. 若且，则 B. 空集是任何非空集合的真子集 C. 集合与是同一个集合 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，若且，则，故A正确； 对于B，空集是任何非空集合的真子集，故B正确； 对于C，因为，， 所以集合与不是同一个集合，故C错误； 对于D，若，则，故D正确． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 至少有一个实数，使 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“”的否定是假命题 D. “集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】由在实数范围内，可得A错误；举反例可得必要性不成立，可得B正确；由全称与特称命题的性质和二次函数的性质可得C错误；由集合中只有一个元素可得或，再由必要性可得D正确； 【详解】对于A，在实数范围内，，，故A错误； 对于B，若，则，充分性成立， 若，如，此时，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，命题“”的否定是， 由二次函数的性质可得开口向上，，所以恒成立，故C错误； 对于D，若集合中只有一个元素， 当时，；当时，可得， 所以必要性成立，故D正确； 故选：BD. 11. 已知，且，则（ ） A. 的最小值为4 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合已知等式，运用基本不等式、配方法逐一判断即可. 【详解】，当且仅当，即时取等号，则正确； ，即，当且仅当，即时取等号，则B错误； ，当，即时，，则C正确； ，当且仅当时取等号，则D正确. 故选：ACD 三､填空题.（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，且，则　________　. 【答案】 【解析】 【详解】∵ ，∴ . ∵ ，∴ ，即是方程的根. 将代入方程得，解得. 13. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，不等式恒成立，满足题设， 当时，要使不等式恒成立，则，解得， 综上，的取值范围为. 14. 定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是________； 【答案】## 【解析】 【分析】根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知全集，集合，． （1）求，； （2）求，． 【答案】（1），； （2），或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，再根据交集、并集的定义及利用数轴运算可得； （2）先求集合的补集，再根据交集、并集的定义及利用数轴运算可得. 【小问1详解】 因为集合， 又集合， 所以， ． 【小问2详解】 因为全集，，， 所以或，或， 所以或， 或或或. 16. 求下列不等式的解集 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【小问1详解】 不等式化简得，， 所以该不等式解集为. 【小问2详解】 不等式化简得，， 所以该不等式解集为. 【小问3详解】 不等式化简得，， 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 17. 某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元．设备使用年后，该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为万元． （1）求关于的表达式． （2）求该设备的年平均盈利额的最大值，以及此时使用年数．（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） 【答案】（1） （2） 年平均盈利额的最大值为22万元，此时使用年数为7年 【解析】 【分析】（1）根据已知写出总收入和总成本，作差即可得盈利总额的表达式； （2）根据题意得到平均盈利额，应用基本不等式求其最大值并确定对应使用年数. 【小问1详解】 由题意，设备使用年后的总收入为万元， 总成本包括购买设备的费用和总维修保养费用，即万元， 所以，化简得， 因为为设备使用的年数，所以， 因此，关于的表达式为； 【小问2详解】 设该设备的年平均盈利额为万元，则，​ 因为，得到， 因为，可得， 当且仅当时，等号成立， 因为，所以等号可以取到，此时的最大值万元， 所以该设备的年平均盈利额的最大值为22万元，此时使用年数为7年. 18. 根据题意，求解下列问题： （1）已知，求的最大值，并求出取最大值时的值是多少？ （2）已知，求的最小值，并求出取最小值时的值是多少？ （3）已知，且，求的最大值，并求出取最大值时，的值是多少？ 【答案】（1）， （2）6， （3）， 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，将各项转化为正数利用基本不等式求解即可. （2）根据基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，构造出积为定值的形式利用基本不等式求解即可. （3）根据基本不等式可得，结合条件可得，化简可得结论. 【小问1详解】 因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 故当时，的最大值为，此时. 【小问2详解】 因为，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故当时，的最小值为6，此时. 【小问3详解】 因为，，所以，即， 所以，即，当且仅当，时，等号成立. 故的最大值为，此时，. 19. 已知集合A满足：若，则，集合中的元素个数为m，中的元素个数为n． （1）若，求集合M，N； （2）若A中有5个元素，求m； （3）证明：． 【答案】（1），． （2）19或13． （3） 设，则，，且． 因为若，则，所以，，所以， 即对于M中任意一个元素，都有对应的，所以． 设，则，，且． 因为若，则，所以，，所以， 即对于N中任意一个元素，都有对应的，所以．综上，． 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义确定集合的元素即可得集合； （2）设中5个元素为，，，，，且，根据集合中元素性质可得，再根据集合的新定义确定集合的元素即可得集合中的元素个数的值； （3）设，根据集合的新定义确定集合的元素，从而得结论. 【小问1详解】 因为， 所以， ． 【小问2详解】 设中5个元素为，，，，，且． 因为若，则，所以，，，即． 对于M中的元素，若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为． 若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为，． 若，则，即．若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，，，． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为，． 若，则，即．若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为．若，则，即． 综上，若，则，若则．即m的值为19或13． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $