第一章 集合与常用逻辑用语 单元复习专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章　集合与常用逻辑用语 单元复习专项训练（★★★★★） 人教A版（2019）必修第一册　·　适配江苏/广东/浙江/上海/安徽　·　满分100分　时长90分钟 项目 内容 版本对标 人教A版（2019）必修第一册第一章；沪教版对应章节：集合与逻辑 课标依据 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修“预备知识”主题 难度结构 A组基础巩固35分 : B组能力提升40分 : C组综合应用15分 : 建模探究10分（难度导向 基础:提升:综合≈35:40:25，即 7:8:5） 素养指向 数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模、数据分析 命题原则 全部原创命制，情境数据自拟，无版权风险 题量结构（细目表） 板块 题型 题号 题量 分值 难度层级 A组 基础巩固（35分） — — 选择题 A1～A3 3 15 基础 填空题 A4～A5 2 10 基础 解答题 A6（A7附加） 2 10 基础→提高 B组 能力提升（40分） — — 选择题 B1～B2 2 12 提高 填空题 B3～B4 2 12 提高 解答题 B5～B6 2 16 提高→挑战 C组 综合应用（15分） 解答题 C1～C2 2 15 挑战 建模探究（10分） 解答题 M1 1 10 挑战 合计 — A1～M1 16题（含附加1题） 100 分层递进 　【作答说明】 ①　时间与分值：本卷满分 100 分，建议 90 分钟内完成。其中 A 组约 30 分钟、B 组约 35 分钟、C 组与建模题约 25 分钟，请合理分配时间，先易后难。 ②　填涂与书写：选择题请在题号后的括号内填涂正确选项字母；填空题直接填写最简结果；解答题须写出必要的文字说明、推理过程和演算步骤，只写答案不得分，结果须化为最简形式。 ③　规范表达：集合用列举法或描述法规范书写，区间注意端点开闭；涉及字母参数时须分类讨论（如空集情形），讨论完毕要合并结果。 ④　工具辅助：可用 Venn 图、数轴辅助分析；建模题（M1）允许画图作答，作答流程建议为“明确问题—建立模型—求解验证—检验反思”四步。 ⑤　自评复盘：完成后对照“六、参考答案与详细解析”逐题核对，将错题归类记录并标注错误类型（概念性 / 运算性 / 方法性），为月考复习提供靶向清单。 ⑥　素养导向：本卷按课标“数学建模活动与数学探究活动”要求设计分层任务，A→B→C→M 逐级递进，重在落实数学抽象、逻辑推理与数学运算等核心素养。 　一、单元复习导航 1.1 知识框架（建议先画思维导图再做题） 图1　第一章知识体系思维导图：由“概念表示—关系—运算—逻辑用语—量词否定”五大模块构成 　集合：概念（元素三性：确定性/互异性/无序性）→ 表示（列举法/描述法/Venn 图/数轴）→ 关系（子集/真子集/相等/空集）→ 运算（交集/并集/补集，德摩根律） 逻辑：命题 → 充分条件/必要条件/充要条件 → 全称量词命题/存在量词命题 → 含一个量词的命题的否定 核心工具：Venn 图、数轴；子集个数公式 2ⁿ（真子集 2ⁿ−1） 1.2 考点清单与命题角度 考点 命题角度 本卷对应 集合概念与表示 元素三性、描述法写集合 A1、A2 集合间关系 子集/真子集、含参子集 A6、B1 集合运算 交并补、数轴/Venn 图 A3、A5、B5 充分条件与必要条件 判定方向、含参求范围 A4、A7、B2、B6 量词与命题否定 全称/存在命题否定 B4 综合与新定义 容斥原理、新定义集合 C1、C2、建模题 1.3 方法归纳（快查表） 题型 核心方法 易忽视点 含参子集 按 B=∅ 与 B≠∅ 分类，端点代回检验 B=∅ 漏解 集合运算 数轴取交用“且”、取并用“或” 端点开闭 充要条件 小范围⇒大范围；子集关系翻译 方向判断 命题否定 量词互换+结论否定 只否定结论 1.4 易错提醒（错解-正解对照） 错误做法 正确做法 点拨 把 0 与空集混淆 ∅ 不含元素；{0} 含元素 0 空集是任何集合的子集 含参子集漏 B=∅ 分两类讨论后合并 B⊆A 时 B 可为空集 补集未注意全集 补集相对全集而言 先定全集再求补 充要方向判反 p 是 q 的充分条件 ⇔ p⇒q 用“推出箭头”检验 否定只改结论 全称⇔存在，结论同时否定 “∀x，P(x)”否定为“∃x，¬P(x)” 　二、A组　基础巩固（共35分） 选择题（每小题5分，共15分） A1.（　）已知集合 A={x∈N | x²−x−6≤0}，则集合 A 中元素的个数为（　） A. 2　B. 3　C. 4　D. 5 A2.（　）已知集合 A={1,2,3}，B={x∈Z | 1≤x≤3}，则（　） A. A⊆B　B. B⊆A　C. A=B　D. A∩B=∅ A3.（　）已知集合 A={x | −1≤x≤2}，B={x | 0<x≤3}，则 A∪B=（　） A. [−1,3]　B. [−1,2]　C. (0,2]　D. (0,3] 填空题（每小题5分，共10分） A4. 设 p：x>2，q：x>1，则 p 是 q 的＿＿＿＿条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）。 A5. 已知全集 U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,5}，B={2,3,4}，则 ∁ᵤ(A∩B)=＿＿＿＿。 解答题（共10分） A6.（10分）已知集合 A={x | x²−5x+6=0}，B={x | ax−2=0}，且 B⊆A，求实数 a 的取值集合。 A7.（附加巩固）判断命题 p：“x²=4”是 q：“x=2”的什么条件。 　三、B组　能力提升（共40分） 选择题（每小题6分，共12分） B1.（　）已知集合 A={x | −2≤x≤5}，B={x | m+1≤x≤2m−1}，若 B⊆A，则实数 m 的取值范围是（　） A. m≤3　B. m<3　C. m≥2　D. −3≤m≤3 B2.（　）已知集合 A={x | x²−5x+6≤0}，B={x | 2≤x≤3}，则“x∈A”是“x∈B”的（　） A. 充分不必要条件　B. 必要不充分条件　C. 充要条件　D. 既不充分也不必要 填空题（每小题6分，共12分） B3. 某班45名学生中，参加数学兴趣小组的有25人，参加物理兴趣小组的有18人，两个小组都参加的有8人，则至少参加一个小组的人数为＿＿＿＿。 B4. 命题“∀x∈R，x²+x+1>0”的否定是＿＿＿＿。 解答题（共16分） B5.（8分）已知集合 A={x | x²−2x−3>0}，B={x | a≤x≤a+2}，若 A∩B=∅，求实数 a 的取值范围。 B6.（8分）设 p：2≤x≤3，q：(x−m)(x−2m)≤0（m>0）。若 q 是 p 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围。 　四、C组　综合应用（共15分） C1.（8分）某校高一年级共有学生400人。参加数学社团的有160人，参加物理社团的有120人，参加化学社团的有90人；同时参加数学和物理社团的有45人，同时参加数学和化学社团的有30人，同时参加物理和化学社团的有25人，三个社团都参加的有10人。求： （1）至少参加一个社团的人数； （2）三个社团都没参加的人数。 C2.（7分）定义集合的差集：A−B={x | x∈A 且 x∉B}。已知 A={x∈Z | x²≤9}，B={x | x²−4x−5≤0}，求 A−B。 　五、数学建模与数学探究题（共10分） 　对标课标：必修课程“数学建模活动与数学探究活动”要求至少完成1次建模活动、1次探究活动（各不少于2课时）。本题即第一章对应的探究性任务，建议在小组合作中完成并展示。 M1.（10分）为筹备校园科技节，某班对45名同学参加社团的情况进行调查：参加机器人社团的有25人，参加编程社团的有18人，参加无人机社团的有15人；既参加机器人又参加编程社团的有8人，既参加机器人又参加无人机社团的有6人，既参加编程又参加无人机社团的有4人；三个社团都参加的有2人。 （1）用Venn 图表示上述信息，标出图中每一块的对应人数； （2）求至少参加一个社团的人数； （3）求恰好参加一个社团的人数； （4）求三个社团都没有参加的人数； （5）提出一个可以用集合运算解决的新问题，并给出解答。 图2　空白 Venn 图（请在图中标出每一块的人数） 　六、参考答案与详细解析 A组 解析 　A1. 答案 C 【考查目标】集合的元素计数与一元二次不等式解集（数学运算）。 【思路分析】先解不等式确定 x 的范围，再按 x∈N 取自然数。 【规范解答】x²−x−6≤0 ⇔ (x−3)(x+2)≤0 ⇔ −2≤x≤3。又 x∈N，故 A={0,1,2,3}，共4个元素，选 C。 【易错点拨】注意 N 中是否含 0：现行教材 N 表示非负整数集，含 0。 　A2. 答案 C 【考查目标】集合相等与整数集元素列举（数学抽象）。 【思路分析】写出 B 的所有元素，与 A 比较。 【规范解答】B={x∈Z | 1≤x≤3}={1,2,3}=A，故 A=B，选 C。 【易错点拨】列举时不要遗漏区间端点。 　A3. 答案 A 【考查目标】区间的并集运算（直观想象）。 【思路分析】在数轴上分别标出 A、B，取所有点的并集。 【规范解答】A=[−1,2]，B=(0,3]，数轴合并得 A∪B=[−1,3]，选 A。 【易错点拨】并集取“覆盖全段”，注意左端 −1 闭、右端 3 闭。 　A4. 答案 充分不必要 【考查目标】充要条件的判定（逻辑推理）。 【思路分析】用推出箭头检验：p⇒q 是否成立，q⇒p 是否成立。 【规范解答】x>2 ⇒ x>1 成立；但 x>1 ⇏ x>2（如 x=1.5）。故 p 是 q 的充分不必要条件。 【易错点拨】判断顺序为“p 能否推出 q”“q 能否推出 p”，不要颠倒。 　A5. 答案 {1,2,4,5,6} 【考查目标】交集与补集运算（数学运算）。 【思路分析】先求 A∩B，再在全集 U 中取补。 【规范解答】A∩B={3}；∁ᵤ(A∩B)=U∖{3}={1,2,4,5,6}。 【易错点拨】补集运算的“全集”是 U，不是实数集。 　A6. 答案 a∈{0, , 1} 【考查目标】含参子集问题（分类讨论+逻辑推理）。 【思路分析】先解出 A，再按 B=∅ 与 B≠∅ 分类。 【规范解答】A={x | (x−2)(x−3)=0}={2,3}。 ① a=0 时，B=∅，B⊆A 成立； ② a≠0 时，B={}，由 B⊆A 得 =2 或 =3，即 a=1 或 a=。 综上，a 的取值集合为 {0, , 1}。 【易错点拨】漏掉 a=0（B=∅）是本题最常见的失分点。 　A7. 答案 必要不充分 【考查目标】充分必要条件与方程解的关系（逻辑推理）。 【思路分析】分别检验 x²=4 能否推出 x=2，x=2 能否推出 x²=4。 【规范解答】x²=4 ⇔ x=±2，不能推出 x=2；而 x=2 ⇒ x²=4。故 p 是 q 的必要不充分条件。 【易错点拨】“p 是 q 的什么条件”与“q 是 p 的什么条件”方向相反，注意审题。 B组 解析 　B1. 答案 A 【考查目标】含参子集问题（分类讨论+端点检验）。 【思路分析】按 B=∅ 与 B≠∅ 分类，再合并。 【规范解答】① B=∅：m+1>2m−1 ⇒ m<2； ② B≠∅：m≥2，且 m+1≥−2、2m−1≤5 ⇒ m≥−3 且 m≤3，即 2≤m≤3。 综上，m≤3，选 A。 【易错点拨】B=∅ 情形漏解；端点值需代回检验。 　B2. 答案 C 【考查目标】集合包含与充要条件互化（逻辑推理）。 【思路分析】先求 A 的解集，再比较 A 与 B 是否相等。 【规范解答】x²−5x+6≤0 ⇔ (x−2)(x−3)≤0 ⇔ 2≤x≤3，即 A=B。故“x∈A”与“x∈B”互为充要条件，选 C。 【易错点拨】两个集合相等时，互为充要条件。 　B3. 答案 35 【考查目标】容斥原理（两个集合的并）（数学建模）。 【思路分析】至少参加一个小组 = 数学 ∪ 物理 的人数。 【规范解答】25+18−8=35（人）。 【易错点拨】两两交集被重复计入，需减去一次。 　B4. 答案 ∃x∈R，x²+x+1≤0 【考查目标】含一个量词的命题的否定（逻辑推理）。 【思路分析】全称量词改为存在量词，结论取否定。 【规范解答】“∀x∈R，P(x)”的否定为“∃x∈R，¬P(x)”，故为 ∃x∈R，x²+x+1≤0。 【易错点拨】量词与结论都要改，只改一处即错。 　B5. 答案 −1≤a≤1 【考查目标】集合运算与参数范围（数形结合+端点检验）。 【思路分析】解出 A，将“A∩B=∅”翻译为“B 完全落在 A 的补集内”。 【规范解答】x²−2x−3>0 ⇔ (x−3)(x+1)>0 ⇔ x<−1 或 x>3，故 A=(−∞,−1)∪(3,+∞)，∁ℝA=[−1,3]。 B=[a,a+2]。A∩B=∅ ⇔ B⊆∁ℝA ⇔ a≥−1 且 a+2≤3 ⇔ −1≤a≤1。 （检验：a=−1 时 B=[−1,1]；a=1 时 B=[1,3]；两端点均满足 A∩B=∅。） 【易错点拨】B 是长度固定为 2 的闭区间，必须同时满足左端点≥−1、右端点≤3；只写一边即漏解。 　B6. 答案 ≤m≤2 【考查目标】充要条件与含参二次不等式（逻辑推理+分类讨论）。 【思路分析】先把 q 化为区间 [m,2m]，再由“q 是 p 的必要不充分条件”得 p⊂q（真包含）。 【规范解答】q：(x−m)(x−2m)≤0 且 m>0 ⇒ q 对应区间 [m,2m]。 p 对应 [2,3]。q 是 p 的必要不充分条件 ⇔ p⇒q 且 q⇏p ⇔ [2,3]⊊[m,2m]。 故 m≤2 且 2m≥3，得 ≤m≤2。 （检验：m= 时 q=[,3] 真包含 [2,3]；m=2 时 q=[2,4] 真包含 [2,3]，均成立。） 【易错点拨】“必要不充分”的方向：p 的集合要真包含于 q 的集合；同时取等时为充要条件，要排除。 C组 解析 　C1. 答案 （1）280人；（2）120人 【考查目标】容斥原理（三集合）（数学建模+逻辑推理）。 【思路分析】用公式 |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A∩B∩C|。 【规范解答】设 M、P、C 分别表示数学、物理、化学社团。 （1）|M∪P∪C|=160+120+90−45−30−25+10=280（人）。 （2）都没参加 = 400−280=120（人）。 【易错点拨】三集合容斥：减去两两交集后，三交集被减了3次，要加回1次。 　C2. 答案 {−3,−2} 【考查目标】新定义集合运算（数学抽象+迁移）。 【思路分析】先写出 A、B 的元素，再按差集定义筛选。 【规范解答】A={x∈Z | −3≤x≤3}={−3,−2,−1,0,1,2,3}； B={x | (x−5)(x+1)≤0}={x | −1≤x≤5}。 A−B=A 中不属于 B 的元素，即 A 中小于 −1 的元素：{−3,−2}。 【易错点拨】注意 A 是整数集内的有限集，B 是实数区间；筛选时逐一对照。 建模探究题 解析 　M1. 答案 见解析 【考查目标】数学建模与探究：用集合语言整理现实数据（数学建模+数据分析）。 【思路分析】设 R、P、D 分别表示参加机器人、编程、无人机社团的学生集合；按 Venn 图从“三交集”向内向外逐层填数。 【规范解答】（1）Venn 图分层人数（由内向外，参见图3）： 　三科都参加：2人； 　只参加R且P：8−2=6人；只参加R且D：6−2=4人；只参加P且D：4−2=2人； 　只参加R：25−6−4−2=13人；只参加P：18−6−2−2=8人；只参加D：15−4−2−2=7人。 （2）至少参加一个社团：13+8+7+6+4+2+2=42（人）。 （3）恰好参加一个社团：13+8+7=28（人）。 （4）三个都没参加：45−42=3（人）。 （5）开放性问题示例：求“参加社团种类不超过两种的人数”=42−2=40（人）。 【易错点拨】Venn 图必须从最内层“三交集”开始逐层减，避免重复计数；开放问法答案不唯一，合理即可。 图3　M1 题 Venn 图（参考答案）：三圆交叠区域人数由内向外逐层标注 七、“上好复习课”方法指引（学生用） 【复习方法】 1. 主线先行：集合“概念→表示→关系→运算”＋逻辑“命题→充要→量词否定”，先默写主线再动笔。（对照 1.1 知识框架） 2. 图形辅助：交并补运算先画数轴/Venn 图再下结论，注意端点开闭与全集范围。（对应 A3、A5、B5、S2） 3. 对比记忆：充分/必要/充要条件列表对比；命题否定“量词互换＋结论否定”反复口述。（对应 A4、B2、B4、S3、S7） 4. 一题多解：含参子集按 B=∅ 与 B≠∅ 分类互验；容斥问题用公式法与 Venn 图各算一遍互验。（对应 A6、B1、S5、S8） 5. 限时自评：A组＋B组建议 65 分钟内完成（A 约 30 分钟、B 约 35 分钟），对照答案解析自评，记录丢分类型（概念性/运算性/方法性），为月考提供靶向清单。 八、“上好课”课时与教学环节设计（教师用，2课时+1课时练评） 环节 时间 内容要点 目标导学 5分钟 展示知识框架，明确“集合三要素+逻辑两把尺” 情境引入 5分钟 校园科技节社团选课情境引出Venn 图 合作探究 15分钟 含参子集、充要条件求参的组内讨论（B1、B6） 精讲点拨 10分钟 数轴法、分类讨论、端点检验三板斧 当堂检测 8分钟 A组6题限时完成并互批 小结作业 2分钟 思维导图填空式小结+分层作业（A组必做、B/C选做） 九、综合与实践·项目式学习（附加，可选做） 【项目名称】校园社团选课冲突检测 【任务1】发现问题：从社团选课场景中找出一个可用集合运算解决的现实问题（如选课时间冲突、社团人数统计）。 【任务2】收集数据：调查本班或本校不少于 40 名同学的选课情况，将各社团人数与两两交集记录成表。 【任务3】建立模型：用集合 A、B、C 表示各社团成员，画 Venn 图，写出交、并、补的数量关系式（可用 AI 工具辅助验算）。 【任务4】求解验证：求至少参加一个、恰好参加一个、三个社团都没参加的人数，检验数据是否自洽、结果是否合理。 【任务5】展示交流：用 Venn 图和表格把“数据—模型—结论”讲给同学听，接受提问。 课标对接：“综合与实践”以跨学科主题学习与项目式学习为主，本项目融合信息科技（数据表格）、班会课（社团报名）与统计（数据整理）。 评价维度 分值 评价标准 问题与数据 20 问题真实、数据≥40人、来源清楚 建模过程 30 Venn 图正确、交并补关系式完整 结论解释 20 人数结果正确、实际意义说明清楚、检验合理 表达交流 20 图表规范、讲解有条理 合作反思 10 协作良好、有反思改进 延伸思考：容斥原理与概率统计中的“包含—排除原理”一脉相承；集合的交并补运算还将在后续的逻辑推理与计数问题中继续使用。 十、月考加油站·仿真小测（20分钟，满分80分，每题10分） S1.（选择·★）已知集合 A={x∈N | x<5}，则集合 A 的子集个数为（　） A．16　B．32　C．8　D．4 S2.（选择·★）设全集 U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，B={3,4}，则 (∁ᵤA)∪B=（　） A．{3,4,5}　B．{1,2,5}　C．{2,3,4}　D．{1,2,3,4} S3.（填空·★）命题“∀x∈R，x²≥0”的否定是＿＿＿＿。 S4.（填空·★）已知集合 A={1,2,3}，B={x | x²−3x+2=0}，则 A∩B=＿＿＿＿。 S5.（填空·★★）已知集合 A={x | 1≤x≤3}，B={x | a≤x≤a+2}，若 A∩B=B，则实数 a=＿＿＿＿。 S6.（填空·★★）某班 50 名同学中，喜欢篮球的有 30 人，喜欢足球的有 25 人，两项都喜欢的有 12 人，则只喜欢其中一项的有＿＿＿＿人。 S7.（解答·★★）已知 p：x²−x−6≤0，q：x²−2x−8<0。判断 p 是 q 的什么条件，并说明理由。 S8.（解答·★★★）某校高一年级 180 名学生参加社团调查：参加书法社的 80 人、绘画社的 70 人、音乐社的 60 人；同时参加书法社和绘画社的 30 人、书法社和音乐社的 25 人、绘画社和音乐社的 20 人；三个社团都参加的 8 人。求： 　（1）至少参加一个社团的人数；　（2）只参加一个社团的人数；　（3）三个社团都没参加的人数。 仿真小测·参考答案（每题10分） S1. B　【A={0,1,2,3,4}，子集个数 2⁵=32】 S2. A　【∁ᵤA={4,5}，(∁ᵤA)∪B={3,4,5}】 S3. ∃x∈R，x²<0　【全称量词改存在量词，结论同时否定】 S4. {1,2}　【B={1,2}，A∩B={1,2}】 S5. a=1　【A∩B=B ⇔ B⊆A ⇔ a≥1 且 a+2≤3 ⇔ a=1】 S6. 31　【(30−12)+(25−12)=18+13=31】 S7. 既不充分也不必要　【p 对应 [−2,3]，q 对应 (−2,4)；取 x=−2，则 −2∈p 但 −2∉q，故 p⇏q；取 x=3.5，则 3.5∈q 但 3.5∉p，故 q⇏p】 S8. （1）143 人；（2）84 人；（3）37 人　【(1) 80+70+60−30−25−20+8=143；(2) 只参加一个：33+28+23=84；(3) 180−143=37】 十一、AI辅助学习·错题门诊（学生用） 用 AI 工具辅助复习时，建议按“三步门诊法”操作，把 AI 当作“学习助手”而不是“答案机器”： 步骤 操作 注意 1诊断 把错题发给AI工具（如豆包），请它分析考查的知识点（集合表示/交并补/充要条件/命题否定） 不发送真实姓名、学校、家庭住址等隐私信息 2变式 请AI出2道同类变式题（难度递进），独立完成后核对 先自己思考，再对照答案 3核查 用数轴/Venn 图逐条检验AI解析（重点核查端点开闭、B=∅分类、否定形式） AI答案仅供参考，以课本和老师讲解为准 教师应用：可用GeoGebra画Venn 图动态验证交并补结果；用AI生成“选课冲突”变式数据供学生互评；将典型错解录入做AI错因诊断（漏B=∅/交集重叠漏减/数据不自洽），据诊断数据精准讲评。 　衔接预告：本章“充要条件”与“恒成立”的思维习惯，将为第二章“基本不等式”与“二次不等式恒成立”问题奠基；月考复习时可将两章联合命题，形成知识闭环。 ✨ 素养立意 · 分层进阶 · 原创命题 · 解析完整 —— 教辅标准 ✨ 依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》编写 · 题目均为原创，无版权纠纷 [2] 学科网（北京）股份有限公司 $