专题05 第一章 集合与常用逻辑用语题型全归纳（专项训练18大重点题型）高一数学人教A版必修第一册

专题05 第一章 集合与常用逻辑用语题型全归纳 常考题型·精准突破 考点一 集合的概念 ◆题型1 数集与点集 1．【答案】C 【详解】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C 2．【答案】C 【详解】是点集，是数集，故A错误； 是含有元素0的集合，空集是不含任何元素的集合，故B错误； 0是自然数，所以，故C正确； 是有理数，故，故D错误. 故选：C 3．【答案】B 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 4．【答案】C 【详解】根据集合元素互异性，只要，集合中四个元素，，，均互不重复，因此，集合中最多有4个元素. 5．【答案】BD 【详解】对A，两个集合的元素不相同，不是同一集合； 对B，两个集合都是2和3两个元素，是同一集合， 对C，集合的元素是点（或有序实数对），集合的元素是实数，不是同一集合， 对D，两个集合都是由大于2的实数构成，是同一集合， 故选：BD． ◆题型2集合中元素的互异性应用（重） 1．【答案】C 【详解】由集合中元素的互异性可得，故一定不是等边三角形，故C正确； 可取，设中，，另一边为， 若，则，此时是等腰三角形，故A错误； 若，则有，即，此时是直角三角形，故B错误； 若，则有，即，此时是钝角三角形，故D错误. 故选：C. 2．【答案】BD 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 3．【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 4．【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． ◆题型3集合元素个数 1．【详解】因为集合中元素具有互异性， 所以集合中的元素有d，e，p，s，k，共个. 故答案为： 2．【答案】C 【详解】因为集合，所以，， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，不是整数，不满足条件； 当时，，满足条件； 综上：共有3个元素； 故选：C 3．【答案】C 【详解】因为，则，且，，可得， 当时，； 当时，； 当时，； 即，所以中元素的个数为6. 4．【答案】C 【详解】集合，，则集合， 所以集合中的元素个数是7. 故选：C ◆题型4集合与元素中的参数问题（重） 1．【答案】A 【详解】因为，所以，解得，， 故选：A． 2．【答案】D 【详解】当时，则需满足且，解得， 当中只有一个元素时，则或，解得， 综上可知：集合中至多有一个元素，则或， 故选：D 3．【答案】AC 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意； 综上可得或. 故选：AC 4．【详解】由集合，，得， 又因为，则或， 当时，，，， 于是，得，因此； 当时，集合，，有，则，解得与矛盾，舍去. 因此． 考点二 集合间的基本关系 ◆题型5子集、真子集的个数 1．【答案】D 【详解】由题意得，元素个数为，子集个数为. 2．【答案】B 【详解】已知，，且，所以的个数为. 3．【答案】B 【详解】满足条件的集合有， ，共7个. 4．【答案】B 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. 5．【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 ◆题型6集合间的基本关系中的参数问题（重） 1．【详解】因为集合没有真子集， 所以，即无解，则. 故答案为：0 2．【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 3.【答案】D 【详解】由，得， 所以或或，解得或或或. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，符合题意. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 故. 4．【答案】D 【详解】化简集合分式不等式等价于，解得，即， 化简集合由得，即； 根据包含关系求的范围表示中所有元素都属于， 要让区间完全落在内，只需满足：解得， 即的取值范围为. 5．【详解】解：由，则集合中的所有元素必须属于集合， 所以，即a的取值范围为. 考点三 集合的基本运算 ◆题型7集合的交、并、补运算（高频） 1．【答案】B 【详解】由得，所以 即，， 所以． 2．【答案】C 【详解】由题. 3．【答案】B 【详解】. 4．【答案】C 【详解】已知全集，集合，则， 又，因此. ◆题型8韦恩图和容斥原理（高频） 1．【答案】B 【详解】由图可知，阴影部分由属于不属于的元素构成， 因为，， 所以阴影部分表示的集合为 2．【详解】由韦恩图可知，如图所示的阴影部分表示的集合为， 又，， 则 ， 所以． 3．【答案】B 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为，则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得， 所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 4．【答案】C 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． ◆题型9集合的基本运算中的参数问题（难） 1．【答案】B 【详解】因为集合，且中只有一个元素， 则必有，且不属于集合， 所以,则实数的取值范围是 2．【答案】B 【详解】若，则， 所以或. 当时，. 此时不符合集合中元素的互异性，所以； 当时，， 即. 因为，所以，所以， 即. 当时，. 综上所述，. 3．【答案】B 【详解】，解得或， 当时，此时，不合题意. 当时，此时，要使，则. 综上. 4．【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 5．【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 6．【详解】（1）当时，集合， 且或， 所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． ◆题型10集合中的结构不良问题 1．【详解】（1）由不等式组，解得， 因此， 而，则，所以. （2）集合，， 选择条件①：，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 选择条件②：，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 2．【详解】（1）选择①，则，所以； 选择②，则，所以； 选择③，则，所以． （2）由，则， 又，所以， （ⅰ）若，即，则，满足题意； （ⅱ）若，即，由，得或，解得或． 综上实数的取值范围为或，即． 3．【详解】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. ◆题型11集合的新定义问题 1．【答案】C 【详解】，当时，； 当时，；时，， 因此，所以中元素个数为5. 故选：C 2．【详解】，，，，， ，，，，， ，，，，，，，，，， ， ，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， ，共个元素. 3．【详解】依题意，， 的2划分为，共3个， 的3划分为，共1个， 故集合的所有划分的个数为4. 故答案为：4 考点四 充分条件与必要条件 ◆题型12 充分必要条件的判断（重） 1．【答案】B 【详解】若是整数，则不一定是奇数；若是奇数，则一定是整数”， 所以“是整数”是"是奇数"的必要不充分条件． 2．【答案】A 【详解】若，则，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 3．【答案】A 【详解】当时，由不等式的性质可得，即“”“”； 当时，不妨取，则“”“”. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 4．【答案】A 【详解】当时，为整数，故不一定是整数，而当是整数时，一定是整数，所以“为整数”是“为整数”的必要不充分条件. 故选：A. 5．【答案】B 【详解】满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件. ◆题型13 充分必要条件的探求 1．【答案】B 【详解】因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，A错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的充分不必要条件，B正确； 因为集合与集合之间不存在包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，C错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，D错误. 2．【答案】A 【详解】解不等式得或，若，则成立，满足充分性， 由得或，不能推出，不满足必要性， 故是的充分不必要条件． 3．【答案】C 【详解】等价于，即且， 故选：C 4．【答案】A 【详解】若，，则，即， 故原命题为真命题的一个充分不必要条件是. 5．【答案】C 【详解】命题“，”是假命题等价于“，”是真命题， 即，不等式恒成立， 当时，则不等式化简为恒成立， 当时，不等式恒成立， 则等价于，解得， 综上所述命题“，”是真命题的充要条件是 即命题“，”是假命题的充要条件是， 若要找命题“，”是假命题的充分不必要条件， 则只需要找的真子集，由选项知只有是的真子集. ◆题型14充要条件的判断与证明（含既不充分也不必要条件） 1．【详解】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 2．【详解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 3．【详解】（1）若，所以； 若，所以； 所以的充要条件是； （2）因为，所以且，所以， 所以，所以； （3）因为，，，且， 又因为，所以， 当时，； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，所以； 所以实数的取值范围为或； 4．【详解】（1）当时，令，此时不成立， 当时，可得且， 所以， 所以是的必要不充分条件． （2）成立的充要条件是． 先证必要性： ； 再证充分性： ， 即： ，即． 综上所述：成立的充要条件是． ◆题型15 充分必要条件中的参数问题（难） 1．【详解】因为是的必要条件，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 2．【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 3．【详解】（1）当时，， ， ，其子集个数为个; （2）由题意，是的充分条件，则， 当时，此时，解得：，符合题意； 当时，则： 若为单元素集，则，解得 此时，符合题意； 若为双元素集，则 则有，无解. 综上所述，实数的取值范围为． 4．【详解】（1）若，则集合，或， 又集合， 所以， 或. （2）因为是的充分条件，所以， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 考点五 全称量词与存在量词 ◆题型16 全称（存在）量词命题的真假判断及否定 1．【答案】C 【详解】命题“，”的否定为，. 2．【答案】C 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：C 3.【答案】AC 【详解】对于A，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，A正确； 对于B，含有存在量词，不是全称量词命题，B错误； 对于C，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，C正确； 对于D，含有全称量词，是全称量词命题，但不是真命题，例如当时，，这是假命题，D错误. 故选：AC 4．【答案】ACD 【详解】命题“”的否定是“”，A选项正确； “至少有一个，使成立”是特称量词命题，B选项错误； 当时，，，C选项正确； 对于D，若，不妨取，则不成立， 若，则必有，所以“”是“”的必要不充分条件，D选项正确； ◆题型17 全称（存在）量词命题中的参数问题（高频） 1．【答案】C 【详解】由是假命题， 则是真命题， 即， 所以实数的取值范围是， 故选：C 2．【答案】A 【详解】由于该命题是真命题，则在上恒成立， 设函数，则． 因为，所以. 故选:A． 3．【详解】，使得，等价于在上有解,即， 又因为在上单调递增，则可得. 4．【详解】若“”是真命题，则的最小值大于0， 又且，可知，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 5．【详解】由命题“，使得”是假命题， 可得命题的否定：“，使得”是真命题， 设，则在上恒成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. ◆题型18常用逻辑用语与集合问题的综合考查（难） 1．【详解】集合，，由，得， 显然不一定推得，当时一定得到， 因此“”是“”的必要不充分条件； 由，得，显然当时，一定有， 反之当时，不一定有，因此是“”的充分不必要条件． 2．【详解】（1）因为命题，使得，为真命题， 所以，即，解得， 所以. （2）因为是的充分条件，所以， 又因为为非空集合，且， ， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 3．【详解】∵“”是“”的必要条件， ∴，∴. 当，即时，，满足． 当时，由，得，解得. 综上所述，实数的取值范围是． 4．【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 5．【详解】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．【答案】C 【详解】将满足的全部列举出来， 即，共有4个. 故选：C. 2．【答案】B 【详解】由，得时的值恒为1. 当时，；当时，. 所以，元素个数为2. 故选：B 3．【答案】B 【详解】方法一：因为集合，， 所以满足条件的集合C有：，，，，，，，共7个． 方法二：集合中有2个元素，集合中有5个元素， 故满足条件的集合C可以是集合的任意一个真子集与集合A的并集， 因为集合的真子集的个数为， 所以满足条件的集合C有 4．【答案】D 【详解】当时，不妨取，则，此时“”“”， 当时，不妨取，，则，此时“”“”， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 5．【答案】C 【详解】若，解得，即等价于. 对于选项A：因为集合与集合之间不存在包含关系， 可知是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于选项B：因为集合与集合相等， 可知是的充要条件，故B错误； 对于选项C：因为集合是集合的真子集， 可知是的充分不必要条件，故C正确； 对于选项D：因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故D错误. 6．【答案】B 【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 7．【答案】C 【详解】由于“，使得” 是真命题， 可得，使得成立， ，即， 故选：C 8．【答案】A 【详解】因为，所以，所以，所以且， 所以且，所以，即实数的取值范围为. 故选：A 9．【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 10．【答案】AC 【详解】若不等式对于所有实数恒成立，则，即， 的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确. 11.【答案】BCD 【详解】对于A, 由于，故方程的根为，因此,故A正确， 对于B, ,故，故B错误， 对于C, 方程组的解组成的集合为，故C错误， 对于D, ，而表示点集，故两个不是同一集合，故D错误， 故选：BCD 12．【答案】BC 【详解】对于A，由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得或，所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B；由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件，故B正确； 对于C；由，且，得，所以，且是的充分条件； 当时，有，但且， 所以，且是的不必要条件； 所以“，且”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，得或，所以是的不充分条件， 由，得，所以是的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 二、填空题 13．【答案】2或或 【详解】因为，所以或，解得或. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 故或或. 14．【答案】或 【详解】当，即时，，满足题意； 当，即时，，解得：； 综上所述：或. 故答案为：或. 15．【答案】 【详解】设命题对应的集合为，命题对应的集合为， 因为是成立的充分不必要条件，所以，需满足不等式组， 解第一个不等式得，解第二个不等式得， 因此实数的取值范围是. 16．【答案】 【详解】由得，则，解得， 时，，此时，不符合题意， 时，，，符合题意， 所以. 反之，由可得， 所以充要条件是. 17.【答案】 【详解】因为前两天都售出的商品有种， 因此第一天售出且第二天没有售出的商品有种； 同理由后两天都售出的商品有种， 则第三天售出的商品中有种第二天未售出； 所以三天售出商品种数最少时， 即第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过的，且第二天未售出的那些即可， 所以这三天售出的商品至少有种. 故答案为：；. 三、解答题 18．【答案】或 【详解】化简集合 ，得 ．由于 ，则有 可知集合 或为空集，或只含有根0或 ． ①若，由 ，得． ②若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，也符合题意； ③若，代入，得 ，即 或 ，当时，②中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综合①②③得或. 19．【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，又， . （2）若选①，由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得； 综上，实数的取值范围为； 若选②，由“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得，经验证， 综上，实数的取值范围为. 20．【答案】(1)或； (2)或 【详解】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 21．【答案】(1) (2) 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或，即. 22．【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. （2）因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是. 23．【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 则； （2）因为， 由是的必要不充分条件，得⫋， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. 24．【答案】(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 25．【答案】(1) (2) 【详解】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 26．【答案】(1), (2) (3) 【详解】（1）当时，，又， 所以，或，. （2）若“”是“”的充分条件，则，即， 解得，即实数的取值范围为. （3）因为， 当时，，解得， 当时，，无解， 综上，a的取值范围是. 27．【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以解得或 所以p为真命题时，a的取值范围是. （2）因为得出且所以q为真命题时，a的取值范围是； 若p真q假时，，所以a的取值范围是， 若p假q真时，，所以a的取值范围是； 综上知，a的取值范围是. 28．【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解不等式，得，即，故. 因为“是的必要条件”等价于，分两种情况讨论： ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，要使，则，，解得. 综上所述，当时，或. 因此实数的取值范围为或. （2）命题“”为真命题等价于，先求的取值范围： ① 当时，由（1）知，满足； ② 当时，，若，则或， 即或，解得或. 或 综上，时，的取值范围是或， 取补集得时，的取值范围为. 因此实数的取值范围为. 29．【详解】(1)当时，因为存在，满足，与对于A中的任意两个元素x，y，都有，相矛盾，所以集合B不具有性质； 当时，对于集合中任意两元素之差的绝对值共有以下种情形： 因为这种情形都满足，所以集合C具有性质； (2)将集合中的元素分为如下11个集合: ， 要从集合中选取12个元素，由于前9个集合中，每个集合中的2个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以前9个集合中，每个集合最多选1个元素，而最后2个集合中各只有1个元素，就算必选，也才只有11个元素，而题意中要选12个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，这样就存在两个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以A不可能具有性质； （3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以为例. 按相差7来构造抽屉，按相差来分类研究： ①5，6，7同时选，因为具有性质和， 所以选5则不选1，9，选6则不选2，10，选7则不选3，11， 则只剩4，8可选，由于， 所以只能选其中1个数，此时只能选5，6，7，4或5，6，7，8共4个元素， 故中属于集合A的元素不超过5个. ②5，6，7中选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选， 又中只能选1个元素，3，8可以选(4与8不能同时选)， 若选，最多全选，也才是5个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选， 故中属于集合A的元素不超过5个. 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选， 又中只能选1个元素，4，9可以选， 故中属于集合A的元素不超过5个. ③5，6，7中选0个或只选1个，又四个集合每个集合至多选1个元素， 故中属于集合A的元素不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取， 因为， 则把每11个连续自然数分组，前21组每组至多选取5项. 从232开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有个. 给出如下选取方法:从中选取， 然后在这5个数的基础上每次累加11，构造21次.此时集合A中的元素为，共有110个元素， 经检验可得该集合符合要求.故集合A中的元素最多有110个. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 第一章 集合与常用逻辑用语题型全归纳 常考题型·精准突破........................................................................................................................1 考点一 集合的概念 ◆题型1 数集与点集 1 ◆题型2集合中元素的互异性应用（重） 2 ◆题型3集合元素个数 3 ◆题型4集合与元素中的参数问题（重） 3 考点二 集合间的关系 ◆题型5子集、真子集的个数 3 ◆题型6集合间的基本关系中的参数问题（重） 4 考点三 集合间的运算 ◆题型7集合的交、并、补运算（高频） 4 ◆题型8韦恩图和容斥原理（高频） 5 ◆题型9集合的基本运算中的参数问题（难） 6 ◆题型10集合中的结构不良问题 6 ◆题型11集合的新定义问题 7 考点四 充分条件与必要条件 ◆题型12 充分必要条件的判断（重） 7 ◆题型13 充分必要条件的探求 8 ◆题型14充要条件的判断与证明（含既不充分也不必要条件） 8 ◆题型15 充分必要条件中的参数问题（难） 9 考点五 全称量词与存在量词 9 题型16 全称（存在）量词命题的真假判断及否定 9 题型17 全称（存在）量词命题中的参数问题（高频） 10 题型18常用逻辑用语与集合问题的综合考查（难） 10 11 常考题型·精准突破 考点一 集合的概念 ◆题型1 数集与点集 1．（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 2．（25-26高一上·天津·期中）下列表述中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 5．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． ◆题型2集合中元素的互异性应用（重） 1．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若集合中的元素是的两条边的边长，则（    ） A．一定不是等腰三角形 B．一定不是直角三角形 C．一定不是等边三角形 D．一定不是钝角三角形 2．（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 3．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． ◆题型3集合元素个数 1．（25-26高一上·云南文山·期末）由单词“deepseek”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个. 2．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）集合中的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 ◆题型4集合与元素中的参数问题（重） 1．已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 2．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 3．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 4．（25-26高三·全国·一轮复习）设集合，，若，则的值为________． 考点二 集合间的基本关系 ◆题型5子集、真子集的个数 1．（2026·湖南长沙·三模）集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 3．（2026·福建福州·模拟预测）满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 5．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 ◆题型6集合间的基本关系中的参数问题（重） 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）若集合的没有真子集，则实数________． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合 ，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 考点三 集合的基本运算 ◆题型7集合的交、并、补运算（高频） 1．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）已知集合 ，，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北秦皇岛·二模）已知集合 ， ，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． ◆题型8韦恩图和容斥原理（高频） 1．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 2．（25-26高二下·天津河西·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 3．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． ◆题型9集合的基本运算中的参数问题（难） 1．（25-26高一下·浙江·期中）已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东汕尾·期末）已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 3．（2026·重庆·二模）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 5．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 6．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． ◆题型10集合中的结构不良问题 1．（25-26高一上·北京西城·期中）已知关于的不等式组的解集是，集合. (1)求实数的值； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，． (1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求； (2)若，求实数的取值范围． 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. ◆题型11集合的新定义问题 1．（25-26高一上·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·广东东莞·模拟预测）已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集，且，那么称子集族构成集合的一个划分．已知集合，则集合的所有划分的个数为__________． 考点四 充分条件与必要条件 ◆题型12 充分必要条件的判断（重） 1．（25-26高二下·广东·期末）“是整数”是“是奇数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（2026高三·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·江西·阶段检测）“为整数” 是 “为整数” 的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ◆题型13 充分必要条件的探求 1．“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（25-26高一上·江苏徐州·期中）设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 4．（25-26高二下·重庆·期末）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·重庆·期末）使命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． ◆题型14充要条件的判断与证明（含既不充分也不必要条件） 1．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 2．（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 3．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）设，集合，，. (1)证明：的充要条件是； (2)若集合，求集合； (3)若，，，求实数的取值范围. 4．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）请选择“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填入下面空格处．并完成第（2）问的证明． (1)是的___________条件： (2)已知，证明：成立的___________条件是． 提示： ◆题型15 充分必要条件中的参数问题（难） 1．（25-26高一上·上海·期末）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 3．（25-26高一上·贵州贵阳·期中）若集合 (1)若，写出的子集的个数； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 4．（25-26高一上·甘肃白银·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 考点五 全称量词与存在量词 ◆题型16 全称（存在）量词命题的真假判断及否定 1．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一上·浙江宁波·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·内蒙古包头·期中）下列是全称量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）下列命题中，正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题 C．“，”是假命题 D．“”是“”的必要不充分条件 ◆题型17 全称（存在）量词命题中的参数问题（高频） 1．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·云南·一模）已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）若命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围是_____. 4．（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测）已知集合，且“”是真命题，则实数的取值范围为__________. 5．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____. ◆题型18常用逻辑用语与集合问题的综合考查（难） 1．（25-26高二·全国·暑假作业）设集合，，则“”是“”的________条件，是“”的________条件（从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件） 2．（25-26高一上·山西运城·期末）已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若是的充分条件，求实数的取值范围. 3．已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 4．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 5．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知集合，则中元素的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 3．（2026高一上·广东清远·专题练习）已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 4．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一下·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）若“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（25-26高二下·山西·期末）对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）下列四个命题中不正确的是（    ） A．集合用列举法表示为 B．若，则 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 12．（多选）（23-24高一上·云南文山·阶段检测）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 二、填空题 13．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，则______. 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合有且仅有一个元素，则实数___________ 15．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）已知命题，命题，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是______. 16．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）设集合，，则“”的一个充要条件是_________． 17．（25-26高一上·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 三、解答题 18．（2026高一·全国·专题练习）设 ．若 ，求 的取值范围． 19．（25-26高一上·河南信阳·期中）已知集合. (1)若，定义集合且，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 20．（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 21．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 22．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 23．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）已知集合． (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 24．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 25．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 26．（25-26高一上·湖北荆门·阶段检测）设全集，集合，集合 (1)若，求 (2)若是的充分条件，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 27．（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知，. (1)若p为真命题，求a的取值范围； (2)若p，q一个是真命题，一个是假命题，求a的取值范围. 28．（26-27高一上·北京东城·阶段检测）设全集，集合，集合 (1)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围： (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围 29．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由. (2)若，证明：A不可能具有性质. (3)若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 第一章 集合与常用逻辑用语题型全归纳 常考题型·精准突破........................................................................................................................1 考点一 集合的概念 题型1 数集与点集 1 题型2集合中元素的互异性应用（重） 3 题型3集合元素个数 5 题型4集合与元素中的参数问题（重） 6 考点二 集合间的基本关系 题型5子集、真子集的个数 7 题型6集合间的基本关系中的参数问题（重） 8 考点三 集合间的基本运算 题型7集合的交、并、补运算（高频） 10 题型8韦恩图和容斥原理（高频） 10 题型9集合的基本运算中的参数问题（难） 12 题型10集合中的结构不良问题 14 题型11集合的新定义问题 16 考点四 充分条件与必要条件 题型12 充分必要条件的判断（重） 18 题型13 充分必要条件的探求 19 题型14充要条件的判断与证明（含既不充分也不必要条件） 20 题型15 充分必要条件中的参数问题（难） 22 考点五 全称量词与存在量词 题型16 全称（存在）量词命题的真假判断及否定 24 题型17 全称（存在）量词命题中的参数问题（高频） 25 题型18常用逻辑用语与集合问题的综合考查（难） 27 综合攻坚·知能拔高 30 常考题型·精准突破 考点一 集合的概念 ◆题型1 数集与点集 1．（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C 2．（25-26高一上·天津·期中）下列表述中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是点集，是数集，故A错误； 是含有元素0的集合，空集是不含任何元素的集合，故B错误； 0是自然数，所以，故C正确； 是有理数，故，故D错误. 故选：C 3．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 4．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】根据集合元素互异性，只要，集合中四个元素，，，均互不重复，因此，集合中最多有4个元素. 5．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对A，两个集合的元素不相同，不是同一集合； 对B，两个集合都是2和3两个元素，是同一集合， 对C，集合的元素是点（或有序实数对），集合的元素是实数，不是同一集合， 对D，两个集合都是由大于2的实数构成，是同一集合， 故选：BD． ◆题型2集合中元素的互异性应用（重） 1．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若集合中的元素是的两条边的边长，则（    ） A．一定不是等腰三角形 B．一定不是直角三角形 C．一定不是等边三角形 D．一定不是钝角三角形 【答案】C 【详解】由集合中元素的互异性可得，故一定不是等边三角形，故C正确； 可取，设中，，另一边为， 若，则，此时是等腰三角形，故A错误； 若，则有，即，此时是直角三角形，故B错误； 若，则有，即，此时是钝角三角形，故D错误. 故选：C. 2．（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 3．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． ◆题型3集合元素个数 1．（25-26高一上·云南文山·期末）由单词“deepseek”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个. 【答案】 【详解】因为集合中元素具有互异性， 所以集合中的元素有d，e，p，s，k，共个. 故答案为： 2．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）集合中的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为集合，所以，， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，不是整数，不满足条件； 当时，，满足条件； 综上：共有3个元素； 故选：C 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】因为，则，且，，可得， 当时，； 当时，； 当时，； 即，所以中元素的个数为6. 4．（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【详解】集合，，则集合， 所以集合中的元素个数是7. 故选：C ◆题型4集合与元素中的参数问题（重） 1．已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得，， 故选：A． 2．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【详解】当时，则需满足且，解得， 当中只有一个元素时，则或，解得， 综上可知：集合中至多有一个元素，则或， 故选：D 3．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】AC 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意； 综上可得或. 故选：AC 4．（25-26高三·全国·一轮复习）设集合，，若，则的值为________． 【答案】 【详解】由集合，，得， 又因为，则或， 当时，，，， 于是，得，因此； 当时，集合，，有，则，解得与矛盾，舍去. 因此． 考点二 集合间的基本关系 ◆题型5子集、真子集的个数 1．（2026·湖南长沙·三模）集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】由题意得，元素个数为，子集个数为. 2．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【详解】已知，，且，所以的个数为. 3．（2026·福建福州·模拟预测）满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】满足条件的集合有， ，共7个. 4．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. 5．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 ◆题型6集合间的基本关系中的参数问题（重） 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）若集合的没有真子集，则实数________． 【答案】 【详解】因为集合没有真子集， 所以，即无解，则. 故答案为：0 2．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 3.（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以或或，解得或或或. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，符合题意. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 故. 4．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合 ，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】化简集合分式不等式等价于，解得，即， 化简集合由得，即； 根据包含关系求的范围表示中所有元素都属于， 要让区间完全落在内，只需满足：解得， 即的取值范围为. 5．（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【详解】解：由，则集合中的所有元素必须属于集合， 所以，即a的取值范围为. 考点三 集合的基本运算 ◆题型7集合的交、并、补运算（高频） 1．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）已知集合 ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，所以 即，， 所以． 2．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题. 3．（2026·河北秦皇岛·二模）已知集合 ， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 4．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知全集，集合，则， 又，因此. ◆题型8韦恩图和容斥原理（高频） 1．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，阴影部分由属于不属于的元素构成， 因为，， 所以阴影部分表示的集合为 2．（25-26高二下·天津河西·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 【答案】 【详解】由韦恩图可知，如图所示的阴影部分表示的集合为， 又，， 则 ， 所以． 3．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为，则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得， 所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． ◆题型9集合的基本运算中的参数问题（难） 1．（25-26高一下·浙江·期中）已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，且中只有一个元素， 则必有，且不属于集合， 所以,则实数的取值范围是 2．（25-26高二下·广东汕尾·期末）已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【详解】若，则， 所以或. 当时，. 此时不符合集合中元素的互异性，所以； 当时，， 即. 因为，所以，所以， 即. 当时，. 综上所述，. 3．（2026·重庆·二模）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，解得或， 当时，此时，不合题意. 当时，此时，要使，则. 综上. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 5．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 6．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 且或， 所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． ◆题型10集合中的结构不良问题 1．（25-26高一上·北京西城·期中）已知关于的不等式组的解集是，集合. (1)求实数的值； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】(1)2； (2) 选择条件①：实数的取值范围是. 选择条件②：实数的取值范围是. 【详解】（1）由不等式组，解得， 因此， 而，则，所以. （2）集合，， 选择条件①：，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 选择条件②：，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，． (1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）选择①，则，所以； 选择②，则，所以； 选择③，则，所以． （2）由，则， 又，所以， （ⅰ）若，即，则，满足题意； （ⅱ）若，即，由，得或，解得或． 综上实数的取值范围为或，即． 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)实数的取值范围为. 【详解】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. ◆题型11集合的新定义问题 1．（25-26高一上·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】，当时，； 当时，；时，， 因此，所以中元素个数为5. 故选：C 2．（2026·广东东莞·模拟预测）已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 【答案】 【详解】，，，，， ，，，，， ，，，，，，，，，， ， ，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， ，共个元素. 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集，且，那么称子集族构成集合的一个划分．已知集合，则集合的所有划分的个数为__________． 【答案】4 【详解】依题意，， 的2划分为，共3个， 的3划分为，共1个， 故集合的所有划分的个数为4. 故答案为：4 考点四 充分条件与必要条件 ◆题型12 充分必要条件的判断（重） 1．（25-26高二下·广东·期末）“是整数”是“是奇数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若是整数，则不一定是奇数；若是奇数，则一定是整数”， 所以“是整数”是"是奇数"的必要不充分条件． 2．（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 3．（2026高三·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，由不等式的性质可得，即“”“”； 当时，不妨取，则“”“”. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 4．（25-26高一上·江西·阶段检测）“为整数” 是 “为整数” 的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，为整数，故不一定是整数，而当是整数时，一定是整数，所以“为整数”是“为整数”的必要不充分条件. 故选：A. 5．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件. ◆题型13 充分必要条件的探求 1．“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，A错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的充分不必要条件，B正确； 因为集合与集合之间不存在包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，C错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，D错误. 2．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】解不等式得或，若，则成立，满足充分性， 由得或，不能推出，不满足必要性， 故是的充分不必要条件． 3．（25-26高一上·江苏徐州·期中）设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【详解】等价于，即且， 故选：C 4．（25-26高二下·重庆·期末）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，，则，即， 故原命题为真命题的一个充分不必要条件是. 5．（25-26高二下·重庆·期末）使命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题“，”是假命题等价于“，”是真命题， 即，不等式恒成立， 当时，则不等式化简为恒成立， 当时，不等式恒成立， 则等价于，解得， 综上所述命题“，”是真命题的充要条件是 即命题“，”是假命题的充要条件是， 若要找命题“，”是假命题的充分不必要条件， 则只需要找的真子集，由选项知只有是的真子集. ◆题型14充要条件的判断与证明（含既不充分也不必要条件） 1．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【详解】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 2．（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【详解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 3．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）设，集合，，. (1)证明：的充要条件是； (2)若集合，求集合； (3)若，，，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)或； 【详解】（1）若，所以； 若，所以； 所以的充要条件是； （2）因为，所以且，所以， 所以，所以； （3）因为，，，且， 又因为，所以， 当时，； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，所以； 所以实数的取值范围为或； 4．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）请选择“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填入下面空格处．并完成第（2）问的证明． (1)是的___________条件： (2)已知，证明：成立的___________条件是． 提示： 【答案】(1)必要不充分 (2)充要，证明见解析 【详解】（1）当时，令，此时不成立， 当时，可得且， 所以， 所以是的必要不充分条件． （2）成立的充要条件是． 先证必要性： ； 再证充分性： ， 即： ，即． 综上所述：成立的充要条件是． ◆题型15 充分必要条件中的参数问题（难） 1．（25-26高一上·上海·期末）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 3．（25-26高一上·贵州贵阳·期中）若集合 (1)若，写出的子集的个数； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)8个 (2) 【详解】（1）当时，， ， ，其子集个数为个; （2）由题意，是的充分条件，则， 当时，此时，解得：，符合题意； 当时，则： 若为单元素集，则，解得 此时，符合题意； 若为双元素集，则 则有，无解. 综上所述，实数的取值范围为． 4．（25-26高一上·甘肃白银·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2). 【详解】（1）若，则集合，或， 又集合， 所以， 或. （2）因为是的充分条件，所以， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 考点五 全称量词与存在量词 ◆题型16 全称（存在）量词命题的真假判断及否定 1．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题“，”的否定为，. 2．（25-26高一上·浙江宁波·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：C 3.（25-26高一上·内蒙古包头·期中）下列是全称量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【详解】对于A，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，A正确； 对于B，含有存在量词，不是全称量词命题，B错误； 对于C，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，C正确； 对于D，含有全称量词，是全称量词命题，但不是真命题，例如当时，，这是假命题，D错误. 故选：AC 4．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）下列命题中，正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题 C．“，”是假命题 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【详解】命题“”的否定是“”，A选项正确； “至少有一个，使成立”是特称量词命题，B选项错误； 当时，，，C选项正确； 对于D，若，不妨取，则不成立， 若，则必有，所以“”是“”的必要不充分条件，D选项正确； ◆题型17 全称（存在）量词命题中的参数问题（高频） 1．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由是假命题， 则是真命题， 即， 所以实数的取值范围是， 故选：C 2．（2025·云南·一模）已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于该命题是真命题，则在上恒成立， 设函数，则． 因为，所以. 故选:A． 3．（2026高一·全国·专题练习）若命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】，使得，等价于在上有解,即， 又因为在上单调递增，则可得. 4．（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测）已知集合，且“”是真命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】若“”是真命题，则的最小值大于0， 又且，可知，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____. 【答案】 【详解】由命题“，使得”是假命题， 可得命题的否定：“，使得”是真命题， 设，则在上恒成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. ◆题型18常用逻辑用语与集合问题的综合考查（难） 1．（25-26高二·全国·暑假作业）设集合，，则“”是“”的________条件，是“”的________条件（从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件） 【答案】 必要不充分 充分不必要 【详解】集合，，由，得， 显然不一定推得，当时一定得到， 因此“”是“”的必要不充分条件； 由，得，显然当时，一定有， 反之当时，不一定有，因此是“”的充分不必要条件． 2．（25-26高一上·山西运城·期末）已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为命题，使得，为真命题， 所以，即，解得， 所以. （2）因为是的充分条件，所以， 又因为为非空集合，且， ， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 3．已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】∵“”是“”的必要条件， ∴，∴. 当，即时，，满足． 当时，由，得，解得. 综上所述，实数的取值范围是． 4．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 5．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知集合，则中元素的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】将满足的全部列举出来， 即，共有4个. 故选：C. 2．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得时的值恒为1. 当时，；当时，. 所以，元素个数为2. 故选：B 3．（2026高一上·广东清远·专题练习）已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【详解】方法一：因为集合，， 所以满足条件的集合C有：，，，，，，，共7个． 方法二：集合中有2个元素，集合中有5个元素， 故满足条件的集合C可以是集合的任意一个真子集与集合A的并集， 因为集合的真子集的个数为， 所以满足条件的集合C有 4．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，不妨取，则，此时“”“”， 当时，不妨取，，则，此时“”“”， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 5．（25-26高一下·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，解得，即等价于. 对于选项A：因为集合与集合之间不存在包含关系， 可知是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于选项B：因为集合与集合相等， 可知是的充要条件，故B错误； 对于选项C：因为集合是集合的真子集， 可知是的充分不必要条件，故C正确； 对于选项D：因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故D错误. 6．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 7．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）若“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于“，使得” 是真命题， 可得，使得成立， ，即， 故选：C 8．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以，所以且， 所以且，所以，即实数的取值范围为. 故选：A 9．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 10．（多选）（25-26高二下·山西·期末）对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若不等式对于所有实数恒成立，则，即， 的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确. 11．（多选）（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）下列四个命题中不正确的是（    ） A．集合用列举法表示为 B．若，则 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 【答案】BCD 【详解】对于A, 由于，故方程的根为，因此,故A正确， 对于B, ,故，故B错误， 对于C, 方程组的解组成的集合为，故C错误， 对于D, ，而表示点集，故两个不是同一集合，故D错误， 故选：BCD 12．（多选）（23-24高一上·云南文山·阶段检测）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 【答案】BC 【详解】对于A，由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得或，所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B；由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件，故B正确； 对于C；由，且，得，所以，且是的充分条件； 当时，有，但且， 所以，且是的不必要条件； 所以“，且”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，得或，所以是的不充分条件， 由，得，所以是的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 二、填空题 13．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，则______. 【答案】2或或 【详解】因为，所以或，解得或. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 故或或. 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合有且仅有一个元素，则实数___________ 【答案】或 【详解】当，即时，，满足题意； 当，即时，，解得：； 综上所述：或. 故答案为：或. 15．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）已知命题，命题，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】设命题对应的集合为，命题对应的集合为， 因为是成立的充分不必要条件，所以，需满足不等式组， 解第一个不等式得，解第二个不等式得， 因此实数的取值范围是. 16．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）设集合，，则“”的一个充要条件是_________． 【答案】 【详解】由得，则，解得， 时，，此时，不符合题意， 时，，，符合题意， 所以. 反之，由可得， 所以充要条件是. 17．（25-26高一上·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 【答案】 【详解】因为前两天都售出的商品有种， 因此第一天售出且第二天没有售出的商品有种； 同理由后两天都售出的商品有种， 则第三天售出的商品中有种第二天未售出； 所以三天售出商品种数最少时， 即第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过的，且第二天未售出的那些即可， 所以这三天售出的商品至少有种. 故答案为：；. 三、解答题 18．（2026高一·全国·专题练习）设 ．若 ，求 的取值范围． 【答案】或 【详解】化简集合 ，得 ．由于 ，则有 可知集合 或为空集，或只含有根0或 ． ①若，由 ，得． ②若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，也符合题意； ③若，代入，得 ，即 或 ，当时，②中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综合①②③得或. 19．（25-26高一上·河南信阳·期中）已知集合. (1)若，定义集合且，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，又， . （2）若选①，由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得； 综上，实数的取值范围为； 若选②，由“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得，经验证， 综上，实数的取值范围为. 20．（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【详解】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 21．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或，即. 22．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. （2）因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是. 23．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）已知集合． (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 则； （2）因为， 由是的必要不充分条件，得⫋， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. 24．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 25．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 26．（25-26高一上·湖北荆门·阶段检测）设全集，集合，集合 (1)若，求 (2)若是的充分条件，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1), (2) (3) 【详解】（1）当时，，又， 所以，或，. （2）若“”是“”的充分条件，则，即， 解得，即实数的取值范围为. （3）因为， 当时，，解得， 当时，，无解， 综上，a的取值范围是. 27．（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知，. (1)若p为真命题，求a的取值范围； (2)若p，q一个是真命题，一个是假命题，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以解得或 所以p为真命题时，a的取值范围是. （2）因为得出且所以q为真命题时，a的取值范围是； 若p真q假时，，所以a的取值范围是， 若p假q真时，，所以a的取值范围是； 综上知，a的取值范围是. 28．（26-27高一上·北京东城·阶段检测）设全集，集合，集合 (1)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围： (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解不等式，得，即，故. 因为“是的必要条件”等价于，分两种情况讨论： ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，要使，则，，解得. 综上所述，当时，或. 因此实数的取值范围为或. （2）命题“”为真命题等价于，先求的取值范围： ① 当时，由（1）知，满足； ② 当时，，若，则或， 即或，解得或. 或 综上，时，的取值范围是或， 取补集得时，的取值范围为. 因此实数的取值范围为. 29．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由. (2)若，证明：A不可能具有性质. (3)若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 【详解】(1)当时，因为存在，满足，与对于A中的任意两个元素x，y，都有，相矛盾，所以集合B不具有性质； 当时，对于集合中任意两元素之差的绝对值共有以下种情形： 因为这种情形都满足，所以集合C具有性质； (2)将集合中的元素分为如下11个集合: ， 要从集合中选取12个元素，由于前9个集合中，每个集合中的2个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以前9个集合中，每个集合最多选1个元素，而最后2个集合中各只有1个元素，就算必选，也才只有11个元素，而题意中要选12个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，这样就存在两个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以A不可能具有性质； （3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以为例. 按相差7来构造抽屉，按相差来分类研究： ①5，6，7同时选，因为具有性质和， 所以选5则不选1，9，选6则不选2，10，选7则不选3，11， 则只剩4，8可选，由于， 所以只能选其中1个数，此时只能选5，6，7，4或5，6，7，8共4个元素， 故中属于集合A的元素不超过5个. ②5，6，7中选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选， 又中只能选1个元素，3，8可以选(4与8不能同时选)， 若选，最多全选，也才是5个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选， 故中属于集合A的元素不超过5个. 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选， 又中只能选1个元素，4，9可以选， 故中属于集合A的元素不超过5个. ③5，6，7中选0个或只选1个，又四个集合每个集合至多选1个元素， 故中属于集合A的元素不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取， 因为， 则把每11个连续自然数分组，前21组每组至多选取5项. 从232开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有个. 给出如下选取方法:从中选取， 然后在这5个数的基础上每次累加11，构造21次.此时集合A中的元素为，共有110个元素， 经检验可得该集合符合要求.故集合A中的元素最多有110个. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $