精品解析：福建省三明市尤溪县第五中学2025-2026学年高三上学期核心素养检测二数学试题

2025-2026学年度上学期核心素养检测二 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ） A. B. i C. D. 3. 已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5. 若圆上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则 A. -2 B. C. D. 2 7. 已知向量，，其中，则的最大值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 的内角的对边分别为，若边上的高为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选的得0分. 9. 已知函数（其中）的部分图象如图所示.则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 与图象的所有交点的横坐标之和为 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，，垂足为，则（ ） A. 准线的方程为 B. 点到的距离为2 C. 是等边三角形 D. 直线的斜率为1 11. 已知椭圆的左、右焦点为，上顶点为M，直线l经过左焦点与C交于A、B两点，与y轴交于点N．则下列判断正确的是（ ） A. 的周长为4 B. 为等边三角形 C. 的最小值为1 D. 存在点N，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则__________． 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 14. 已知分别是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，且位于第一象限，为的内心，若，则双曲线的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 16. 已知函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若恰有两个极值点，求的取值范围. 17. 在中，分别是角所对的边，且满足. （1）求的大小； （2）点是边上一点，且满足， ①求的值； ②求的值. 18. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求证：； （3）在（2）的条件下，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为A，P为直线上一点.当时，，. （1）求椭圆E的方程. （2）过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）. ①若，求； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期核心素养检测二 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求得集合A，B，进而利用交集的意义求解即可. 【详解】由，可得，解得，所以， 又， 故． 故选：D. 2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ） A. B. i C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的坐标表示，共轭复数的定义以及复数除法运算计算可得答案. 【详解】由题意可知，，则，所以． 故选：B 3. 已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合条件列方程可求结论. 【详解】在方向上的投影向量为， 由已知可得， 因为，所以，又， 所以，又， 所以与的夹角为. 故选：D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量运算的坐标表示，以及向量垂直的坐标表示，列出方程，求出参数即可. 【详解】由题意得， 因为，所以，即，解得． 故选：C. 5. 若圆上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题可先将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标，再根据圆上存在无数对点关于直线对称，得出直线一定过圆心，进而得到直线定过的点. 【详解】圆的标准方程为，圆心为． 由题意可得，直线一定过圆心． 故选：A 6. 已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则 A. -2 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的周期性与奇偶性可得且，可得的值，进而分析可得，从而可得结果. 【详解】因为函数是定义在的周期为的奇函数， 所以则有且， 即，则， ， 则，故选A. 【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度； （1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； （3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 7. 已知向量，，其中，则的最大值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先计算向量差的坐标，再通过模长公式得出模长的表达式，利用三角函数辅助角公式化简，最后根据正弦函数的性质求出最大值． 【详解】，， ， ，当且仅当时取等号， 的最大值是3． 故选：B． 8. 的内角的对边分别为，若边上的高为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形的余弦定理求解即可 【详解】如图： 设边上的高为．因为，所以， 所以． 由勾股定理可得， 由余弦定理可得． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选的得0分. 9. 已知函数（其中）的部分图象如图所示.则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 与图象的所有交点的横坐标之和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图像求出函数解析式，再逐个选项判断即可. 【详解】由题意，，， 所以，又， 可得，又， 所以，所以. 因为， 所以不是函数的对称轴，A错； ， 所以是对称中心，B正确； 时，， 所以在上单调递增，C正确； ，， 所以或， 即或， 又， 所以，它们的和为，D正确. 故选：BCD 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，，垂足为，则（ ） A. 准线的方程为 B. 点到的距离为2 C. 是等边三角形 D. 直线的斜率为1 【答案】BC 【解析】 【分析】根据抛物线方程，可得准线方程，即可判断A、B的正误；根据的长，结合焦半径公式，可得P点坐标，可得的长，根据抛物线定义，可判断C的正误；根据是等边三角形，即可求得直线的倾斜角，即可判断D的正误. 【详解】由题意，准线的方程为，点到的距离为2，故错误，B正确． 因为，所以点的横坐标为3， 由，得，即， 记与轴交于点，则， 所以， 所以，所以是等边三角形，故C正确． 由C选项得：， 所以，直线的斜率为，故D错误． 故选：BC 11. 已知椭圆的左、右焦点为，上顶点为M，直线l经过左焦点与C交于A、B两点，与y轴交于点N．则下列判断正确的是（ ） A. 的周长为4 B. 为等边三角形 C. 的最小值为1 D. 存在点N，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，利用椭圆的定义、性质逐项分析判断得解. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，直线过点， 对于A，的周长为，A错误； 对于B，点，则，为等边三角形，B正确； 对于C，当且仅当为椭圆左顶点时，取得最小值，C正确； 对于D，假设存在点，令，由，得， 则，显然此方程组无解，即不存在点，使得，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论的范围，结合不同范围下的函数解析式，即可得解. 【详解】当时，，解； 当时，，解得． 综上，. 故答案为：. 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 14. 已知分别是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，且位于第一象限，为的内心，若，则双曲线的离心率为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】结合题意与三角形的面积公式建立方程，求解离心率即可. 【详解】如图，记内切圆的半径为，因为， 所以， 即，得到， 得到，即，故双曲线的离心率为2． 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，  由 ，令，可得，解得，从而可得结果； （2）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，可得，结合（1）可得，利用等差数列与等比数列的求和公式，根据分组求和法可得数列的前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为， 则，即，解得 ， 所以.   则 数列的通项公式为： 【小问2详解】 因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，则， 又因为，所以.    设数列的前项和为， 则 所以数列的前项和为 16. 已知函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若恰有两个极值点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出得到切线斜率，再由点斜式写出直线方程； （2）由题知有两个不相等的正实根，结合二次方程根的分布问题处理. 【小问1详解】 当时， ， 则 则的图象在处的切线方程为， 即 【小问2详解】 令，由恰有两个极值点， 则有两个不同实数根，且 则有 解得 17. 在中，分别是角所对的边，且满足. （1）求的大小； （2）点是边上一点，且满足， ①求的值； ②求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理由边化角，再根据两角和的正弦公式解三角形. （2）①根据正弦定理，列出方程组，进而求出结果； ②方法一：根据两角和的正弦公式和二倍角公式，求出角的值，再根据正弦定理，求出结果； 方法二：根据前面两个小问的结果，列出方程，根据两角和的余弦公式，求出角的值，再根据正弦定理，求出结果. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得：. 由于，则，所以 由于在中，， 代入上式化简得：，则， 由于，所以； 【小问2详解】 ①由于，则， 在中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得， 所以，由于满足， 所以， ②法1.由于在中，， 所以，即， 所以，所以， 由于，则， 所以则或，解得或， 当时，，所以， 当时，，则，与已知矛盾. 综上，. 法2.由①知，又由（1）知 且，在中，， ， 又，故，又，所以， 所以. 18. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求证：； （3）在（2）的条件下，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明如下： 取的中点，连接， 在中，且，又，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以． 又平面，平面， 所以平面． （2）证明如下： 过点作的垂线，垂足为， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面PMC，又平面，所以． 因为平面，平面，所以． 因为，平面，平面， 所以平面．又平面，所以． （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用线面平行的判断定理将问题转化为证明即可； （2）过点作的垂线，垂足为，利用线面垂直的性质定理将问题转化为证明平面，而证明平面只需证明，即可； （3）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的一个法向量，利用平面与平面夹角的向量公式即可求出，最后利用棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，过点作，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系， 因为，为的中点，所以， 设，，所以， ， 设平面的法向量， 取； 同理设平面的法向量， 取； 设平面与平面的夹角为， 所以，， . 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为A，P为直线上一点.当时，，. （1）求椭圆E的方程. （2）过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）. ①若，求； ②证明：. 【答案】（1） （2）①； ②根据对称性，不妨设点在第一象限，且，直线. 由，得. 由题意可得， 展开后整理得，. 直线的斜率，， 所以，所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，解方程组即可得出答案； （2）①设，由题意得到，进而得到关于的方程，解此方程即可得出，最后再根据两点间距离即可得出答案； ②将问题转化为，设，直线与椭圆联立，利用得到，，即可得证. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①解：根据对称性，不妨设点在第一象限，且. ，. 因为，所以， ， 所以，解得（舍去），所以. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $