精品解析：福建省三明第一中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

三明一中2026-2027学年上学期10月月考高三 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则实数的值为（ ） A. 或3 B. 0或 C. 3 D. 2. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知i为虚数单位，复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 5 4. 若函数 为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 数列是等差数列，，且，，构成公比为q的等比数列，则（ ） A. 1或3 B. 0或2 C. 3 D. 2 7. 已知偶函数及其导函数的定义域均为，在上单调递减，，时，，则关于的不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 若向量，满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上的投影向量为 10. 给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6 B. 已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20 C. 已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一 D. 已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则 11. 已知函数，则（ ） A. B. ， C. 在内存在极小值点 D. 有2个解 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则正实数的最小值为______. 13. 已知，，则的最小值为________． 14. 已知数列的通项公式为，函数，求________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为促进消费，扩大内需，江苏省体育局主办了年城市足球联赛，简称“苏超”．随着赛事的进行，引发全省乃至全国人民的关注，城市旅游人数显著提升．下表是比赛五个月来的某城市旅游人数（百万）与第个月的数据： （月份） （人数） （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程； （2）该市随机抽取了部分市民及游客，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表： 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 女性 请依据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关． 参考公式：，，其中． 16. 设的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）设的角平分线交于点，求的最小值． 17. 已知数列的首项，． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）令，求数列的最大项． 18. 已知数列是以为首项，为公比的等比数列，数列满足：，，． （1）求数列的通项公式； （2）（i）若，记，求数列的前项和； （ii）若，证明：． 19. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明一中2026-2027学年上学期10月月考高三 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则实数的值为（ ） A. 或3 B. 0或 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意集合相等，元素相同且同一集合元素互异求解即可. 【详解】解：因为集合，， 所以，解得. 故选：C 2. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质，通过作差法逐一判断各选项即可. 【详解】对于A：由，两边同乘正数得，再同乘正数得，故A错误； 对于B：因为，因为， 所以，即，所以，故B错误； 对于C：因为，因为， 所以，即，所以，故C错误； 对于D：因为，因为，所以，即，所以，故D正确. 3. 已知i为虚数单位，复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】令，得出,再计算，即可求出答案． 【详解】解：令，则， ∴解得 ，∴ ，故选B. 【点睛】本题考查复数模的运算，属于基础题． 4. 若函数 为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】奇函数的定义域关于原点对称，而 的定义域由分母 的零点确定，故只需让分母的零点集合关于原点对称，求出 后再检验奇偶性. 【详解】因为 为奇函数，所以 的定义域关于原点对称. 令 ，得零点 或 ，定义域需剔除这两个零点. 定义域关于原点对称，要求每个零点的相反数仍是零点. 若 ，则定义域中含 却不含 ，不对称；若 ，两个零点重合为 ，其相反数 不是零点，也不对称；故只能 ，即 . 检验：当 时，分母 为偶函数，分子 为奇函数，于是 ， 确实为奇函数. 得 . 5. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题先对已知式子切化弦，利用两角和差正弦公式化简，再用正弦定理完成边角互化，化简求出的值，结合三角形内角范围得到角. 【详解】将题中所给等式切化弦得，，则， 由两角和公式化简可知，， 因为，所以两边同时乘以得，， 由正弦定理得，， 因为，所以两边同时除以得，，所以， 因为，所以. 6. 数列是等差数列，，且，，构成公比为q的等比数列，则（ ） A. 1或3 B. 0或2 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比中项的性质列方程，由此求得，进而求得，从而求得的值 【详解】设等差数列的公差为d，∵构成公比为q的等比数列，∴， 即，解得或2， 所以或，所以或3， 故选：A 7. 已知偶函数及其导函数的定义域均为，在上单调递减，，时，，则关于的不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用偶函数的对称性得到在上的单调性及，再分和讨论与的符号，求解乘积小于的区间. 【详解】 因为是定义域为的偶函数，故，且图象关于轴对称， 已知在上单调递减，由对称性可得在上单调递增， 当时，单调递减，故，此时不等式等价于， 由于时单调递减，且，因此的解集为， 当时，单调递增，故，此时不等式等价于， 由于时单调递增，且，因此的解集为， 综上，不等式的解集为. 8. 已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的周期性，再设，，根据已知条件，判断的符号，再判断与的大小. 【详解】由题意：， 所以， 所以. 所以函数的周期为. 设，， 则，，，. 故，，，. 由，则，即； 由，则，即. 所以，可得，无法确定， 所以，无法判断. 综上所述，. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 若向量，满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知可得可判断B；利用向量的夹角公式求解可判断A；求得可判断C；利用投影向量的定义求解可判断D. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以，故B正确； 所以，又，所以，故A错误； ，所以与不垂直，故C错误； 因为， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 10. 给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6 B. 已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20 C. 已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一 D. 已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求得极差、中位数即可判断；对于B，根据方差的性质即可判断；对于C，根据方差的定义可得，从而可判断；对于D，根据平均数的计算公式即可判断. 【详解】对于A，极差为，中位数为，所以极差与中位数之积为，A对； 对于B，根据方差的性质可知，数据的方差是，B错； 对于C，由方差， 可得，即此组数据众数唯一，C对； 对于D，， ，D对. 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. B. ， C. 在内存在极小值点 D. 有2个解 【答案】ABD 【解析】 【分析】A 利用经典不等式放缩；B 通过放大分子，构造函数证明不等式；C 由在上单调递减且仅有一个零点，判断该零点为极大值点；D 构造，通过二阶导数分析单调性与零点个数. 【详解】函数，求导得，记. 选项 A：要证，即证. 易知，因为两处取等条件不一致，所以，A 正确. 选项 B：要证，，即证. 因，故，只需证. 令，则， 令，则. 当时，，，故括号内大于 1， 又 ，所以.从而在上单调递增， ，故单调递增，. 因此 ，进而，即.B 正确. 选项 C：在内，， 故在内单调递减. 又，，故存在唯一使. 当 时，；当时，. 故是极大值点，在 内不存在极小值点.C 错误. 选项 D：方程即，令. 当时，若，，故，；若，，故，.因此时无零点. 当时，，令，则. 在内，故单调递增.又，， 故存在唯一使，在上单调递减，在上单调递增. ，，. 故在和内各有一个零点. 当时，，单调递增且，故无零点. 综上，恰有 2 个正根，即有 2 个解.D 正确. 【点睛】方法点睛：本题以含三角函数与指数函数的分式函数为载体，核心是求导后通过分子的符号分析单调性.解题中反复运用 "放缩 — 构造 — 求导定单调" 的思路：先用经典不等式，合理放缩，再构造辅助函数，必要时通过二阶导数判断一阶导数的符号，进而确定原函数的单调性与极值、零点情况. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则正实数的最小值为______. 【答案】8 【解析】 【详解】函数的图象向右平移个单位长度后解析式为： ， 要使其与原图象重合，即，， 所以，， 因为是正实数， 所以，当时，最小为8. 13. 已知，，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【详解】由，，得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 14. 已知数列的通项公式为，函数，求________. 【答案】 【解析】 【分析】由得，再利用裂项求和的方法求解即可. 【详解】因为，， 所以 所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为促进消费，扩大内需，江苏省体育局主办了年城市足球联赛，简称“苏超”．随着赛事的进行，引发全省乃至全国人民的关注，城市旅游人数显著提升．下表是比赛五个月来的某城市旅游人数（百万）与第个月的数据： （月份） （人数） （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程； （2）该市随机抽取了部分市民及游客，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表： 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 女性 请依据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关． 参考公式：，，其中． 【答案】（1） （2）能 【解析】 【分析】（1）求出、的值，结合最小二乘法公式求出、，即可得出线性回归方程； （2）零假设关注“苏超”赛事与性别无关，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】 由表格中的数据可得，， 所以， ， 故关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 零假设关注“苏超”赛事与性别无关， 由表格中的数据可得， 依据小概率值的独立性检验，能认为关注“苏超”赛事与性别有关. 16. 设的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）设的角平分线交于点，求的最小值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）首先根据正弦定理将边化为角，再结合三角恒等变换，即可求解； （2）首先根据角平分线的性质，结合三角形的面积公式，求得，再结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 . 由正弦定理，得 ，即 ，即 【小问2详解】 由题意可得， 即 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 17. 已知数列的首项，． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）令，求数列的最大项． 【答案】（1） 因为， 所以， 又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得； （3）由（2）可得，利用作差法判断数列的单调性，即可求出最大项. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以 . 【小问3详解】 由（2）可得， 则， 所以当时，当时， 即， 所以数列的最大项为. 18. 已知数列是以为首项，为公比的等比数列，数列满足：，，． （1）求数列的通项公式； （2）（i）若，记，求数列的前项和； （ii）若，证明：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：，， 累加得，，， 时，， ， 时，， 综上，. 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出数列的通项公式，即可得解； （2）（i）利用构造法求得数列的通项公式，从而可得数列的通项公式，再利用错位相减法即可得出答案； （ii）根据题意可得，再利用累加法求得数列的通项公式，放缩可得时，，再根据裂项相消求和法即可得出结论. 【小问1详解】 解： 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，即； 【小问2详解】 （i）解：， 两边同时除以，得，又 数列是以2为首项，公差为1的等差数列，， ，， ， 两式相减可得， （ii）略 19. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义及导数的运算求解即可. （2）通过参变分离，得到存在，使得成立；构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. （3）通过参变分离，构造函数，，，根据导数与单调性及最值的关系得到；令，结合，构造函数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【小问1详解】 当时，，于是. ，于是， 所以函数在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 存在，使得成立，即存在，使得， 也即存在，使得成立. 令，则. 令，则， 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故. 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以. 故实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，得， 而. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 于是 令，则. 当时，，单调递增，而， 故，则. 令，则，于是，，且. 故. 令，则. 令，则，故单调递增， 于是，故，在单调递增. 又，于是. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $