精品解析：上海市上海中学东校2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

高一数学 2026.10 满分：110分 时间：90分钟 一、填空题 1. 已知，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论计算结合互异性计算求解. 【详解】由分两种情况讨论： 若，则，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，解得舍或，因此实数的值为； 2. 已知全集，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解、的补集再计算交集即可得到结果． 【详解】根据补集定义，得, 根据交集定义，得． 3. 已知集合，则集合的真子集个数为__________． 【答案】 7 【解析】 【分析】先确定集合A的元素个数，再利用含n个元素的集合的真子集个数公式计算结果. 【详解】根据集合的性质：若一个集合含有个元素，则该集合的所有子集个数为； 真子集是指除集合本身以外的子集，因此真子集个数为. 本题中集合，共含有3个元素，即，代入公式可得真子集个数为. 4. 已知实数x，y满足：，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由于，所以直接利用基本不等式求解即可 【详解】解：因为实数x，y满足：， 所以， 当且仅当，即或时，取等号， 所以，所以的最大值为， 故答案为： 5. 关于x的不等式 的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先将不等式进行移项通分，然后转化为整式不等式求解. 【详解】因为不等式，所以，即， 所以或，解得或， 所以或，则解集为. 故答案为：. 6. 若集合为单元素集，则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据二次项系数是否为0，将方程分为一元一次方程、一元二次方程两类讨论，结合方程仅有1个实根的条件求解的值． 【详解】集合为单元素集等价于方程仅有1个实根，分两类讨论： 当时，方程化为一元一次方程，对应集合为，符合单元素集的要求； 当时，方程为一元二次方程，若有2个相等的实根，则判别式， 所以， 此时方程为，对应集合为，符合要求； 综上，的值为0或1． 7. 已知是方程的两个不同实根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合立方和公式变形后代入计算即可. 【详解】因为，是方程的两个不同实根，由韦达定理可得： ，. 根据立方和公式，， 又由完全平方公式变形得，代入，得： ， 因此， 代入立方和公式得. 8. 已知集合，，若，则实数的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【详解】因为，所以， 若，则，得； 若，则，得， 综上，实数的取值范围是或 9. 若正实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先将转换成只有分母有未知数的形式，再利用基本不等式中的乘1法求解即可. 【详解】化简得. 当且仅当时取得最小值，结合正实数，满足可得，符合题意. 10. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为__________． 【答案】或 【解析】 【详解】由题意可知，且是方程的两根， 则，则， 故可化为，得或， 故不等式的解集为或 11. 已知函数，若当时，能取到最小值，则实数的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值的意义可得当时，函数取得最小值为．而已知当时，能取到最小值，可得和的交集非空，即，或，由此求得的范围． 【详解】解：根据绝对值的意义，函数表示数轴上的x对应点到对应点的距离之和， 故当时，函数取得最小值为． 而已知当时，能取到最小值，故有和有交集， ∴，或，即，或， 求得， 故答案为：． 12. 已知关于的不等式的整数解恰好有三个，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】当不等式有三个整数解时，可得，解得， 设该不等式的三个整数解分别为， 可得，解得， 由可得，解得，所以， 当时，得，即， 当时，得，此时无解， 综上所述，实数的取值范围是. 13. 已知正实数a，b，满足，则的最大值为___． 【答案】 【解析】 【分析】由已知进行分离，然后进行换元，结合基本不等式进行求解即可． 【详解】解：因为正实数，，满足， 则， 因为，，， 所以，当且仅当时取等号， 令，， 则原式 ， 当且仅当，即时取等号，此时取得最大值， 故答案为：. 14. 已知，，均为实数，若对于任意的实数，均有不等式：成立，则的取值范围是__________． 【答案】. 【解析】 【分析】令，将原不等式转化为关于的不等式恒成立问题.先确定，再舍去的情况，得到；利用绝对值三角不等式求的范围. 【详解】令，则 对所有恒成立， 若即，则对所有恒成立， 故，故，此方程无实数解， 若即，取，则，故， 此时在上恒成立，故， 故. 而，当且仅当时等号成立， 而. ，因为，所以在单调递增， 故，，故 即， 当且仅当，，时等号成立， 所以的取值范围为. 二、选择题 15. 已知，则“成立”是“”成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】解不等式得，解方程得， 所以“成立”是“”成立的充要条件. 16. 设a，b∈R，下列不等式中恒成立的是（　　） A. B. C. a2+b2＞2ab D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式的性质即可判断，注意“一正二定三相等”的法则. 【详解】A选项当时不成立； B选项当时不成立； C选项当时不成立； D选项 = +，令， 在区间上单调递增，所以成立，故D正确. 故选：D 【点睛】本题考查了基本不等式的性质、“一正二定三相等”的法则，属于基础题. 17. 若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用基本不等式，求得最小值为，从而得到，即可求解. 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即时，取等号， 又不等式有解，所以，解得或， 故选：D. 18. 当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”，则称是一个数域．以下关于数域的4个命题中，真命题的个数是（ ） ①0是任何数域中的元素； ②若数域中有非零的元素，则； ③集合是一个数域； ④有理数集、无理数集都是数域． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意相同元素之差为0，可判断①；根据当时，，利用定义依次推导，可判断②，举反例判断③，根据有理数、无理数的运算结果判断④. 【详解】对①：当时，有，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对②：取非零元素，则，再由，则， 可得任意正整数属于，故，故②正确； 对③：若为数域， 取，，则不成立，故③错误； 对④：任取有理数，，令，， 则， ， ，且，所以有理数集是数域， 当时，符合是无理数，，是有理数不是无理数， 则无理数集不是数域，故④错误； 所以正确的有：①②共2个． 三、解答题 19. 解以下不等式（组）： （1） （2） 【答案】（1） 当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 . （2） 解集为 . 【解析】 【分析】（1）先进行因式分解，然后比较与2的大小进行讨论即可. （2）分别求出每个不等式的解集，然后求交集即可. 【小问1详解】 原不等式因式分解为 . 比较两根 与 ， 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，解集为空集. 【小问2详解】 将不等式变形得，解得； 对于不等式，由于的判别式， 所以恒成立， 所以当时，即或时，要使不等式成立，则. 此时，不等式的解集为，与取交集得； 当时，即时，要使不等式成立，则. 此时，不等式的解集为，与取交集得； 综上，不等式组的解集为. 20. 已知，；，非空集合． （1）求实数的取值范围； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合是非空集合可得，可求实数的取值范围. （2）令，由题意可得，列出所满足的不等式，求解可得实数的取值范围． 【小问1详解】 因为集合是非空集合， 所以有解，所以，解得 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 因为是的必要条件，所以，即， 令，二次函数的对称轴为. 由，得，即，解得. 所以实数的取值范围为． 21. 已知陈述句：关于的方程有两个不同的正数根，陈述句：集合中至多有一个元素. （1）若和都是真命题，求实数的取值范围； （2）若和至多有一个是假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】(1)分别求出和中的取值范围，取其交集即可； （2）先把和都当作假命题，求出的取值范围，再取其补集即可. 【详解】（1）因为关于的方程有两个不同的正数根，则 解得， 集合中至多有一个元素.， 则或解得， 和都是真命题，所以实数的取值范围为 （2）由（1）知当为假命题时，或，当为假命题时，且， 所以和均为假命题时，的范围是且， 和至多有一个是假命题时，实数的取值范围为或 22. 某跨国公司决定将某种智能产品大量投放中国市场，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润＝销售收入﹣成本）； （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1）；（2）当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元. 【解析】 【分析】（1）根据利润销售收入成本，即可得解； （2）分和两种情况，分别根据二次函数的性质和基本不等式，求出对应的的最大值，再比较大小，即可得解． 【详解】解：（1）年利润. （2）当时，， 所以在上单调递增， 所以； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，此时， 因为，所以，， 故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元. 23. 定理（三角不等式），对于任意的、，恒有.定义:已知且，对于有序数组、、、，称为有序数组、、、的波动距离，记作，即，请根据上述俼息解决以下几个问题: （1）求函数的最小值，并指出函数取到最小值时的取值范围； （2）①求有序数组、、、的波动距离； ②求证：若、、、且，则；题（注：该命题无需证明，需要时可直接使用）.设两两不相等的四个实数、、、，求有序数组、、、的波动距离的最大值. 【答案】（1）函数的最小值为，此时的取值范围是. （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用三角不等式可求得的最小值及其对应的的取值范围； （2）①由题中定义可求得的值； ②利用题中定理可求得的最大值. 【小问1详解】 解：由三角不等式可知，当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 由三角不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此，函数的最小值为，此时的取值范围是. 【小问2详解】 解：①由题中定义可得； ②若、、、且，则， 当时，， ， 所以， ，即， 且有， 当取到最大值时，或， 同理或， 若，则，所以，， 故 ， 当且仅当，，，时，等号成立， 所以，为的最大值； 若，则，所以，， 同理可知为的最大值. 综上所述，的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查绝对值不等式的应用，求解的最大值在于确定、的大小关系，确定这两者为四个数的最大值和最小值，结合题中定理进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 2026.10 满分：110分 时间：90分钟 一、填空题 1. 已知，则实数的值为__________． 2. 已知全集，，，则__________． 3. 已知集合，则集合的真子集个数为__________． 4. 已知实数x，y满足：，则的最大值为___________. 5. 关于x的不等式 的解集为___________. 6. 若集合为单元素集，则的值为__________． 7. 已知是方程的两个不同实根，则的值为__________． 8. 已知集合，，若，则实数的取值范围是__________． 9. 若正实数，满足，则的最小值为__________． 10. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为__________． 11. 已知函数，若当时，能取到最小值，则实数的取值范围是___． 12. 已知关于的不等式的整数解恰好有三个，则实数的取值范围是______． 13. 已知正实数a，b，满足，则的最大值为___． 14. 已知，，均为实数，若对于任意的实数，均有不等式：成立，则的取值范围是__________． 二、选择题 15. 已知，则“成立”是“”成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 16. 设a，b∈R，下列不等式中恒成立的是（　　） A. B. C. a2+b2＞2ab D. 17. 若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 18. 当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”，则称是一个数域．以下关于数域的4个命题中，真命题的个数是（ ） ①0是任何数域中的元素； ②若数域中有非零的元素，则； ③集合是一个数域； ④有理数集、无理数集都是数域． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题 19. 解以下不等式（组）： （1） （2） 20. 已知，；，非空集合． （1）求实数的取值范围； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围． 21. 已知陈述句：关于的方程有两个不同的正数根，陈述句：集合中至多有一个元素. （1）若和都是真命题，求实数的取值范围； （2）若和至多有一个是假命题，求实数的取值范围. 22. 某跨国公司决定将某种智能产品大量投放中国市场，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润＝销售收入﹣成本）； （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润. 23. 定理（三角不等式），对于任意的、，恒有.定义:已知且，对于有序数组、、、，称为有序数组、、、的波动距离，记作，即，请根据上述俼息解决以下几个问题: （1）求函数的最小值，并指出函数取到最小值时的取值范围； （2）①求有序数组、、、的波动距离； ②求证：若、、、且，则；题（注：该命题无需证明，需要时可直接使用）.设两两不相等的四个实数、、、，求有序数组、、、的波动距离的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $