精品解析：河南沈丘县风华学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

风华学校数学月考试卷 考试时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 矩形的面积等于长与宽的乘积 B. 菱形的对角线平分一组对角 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 3. 由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是（ ） x 13 A. B. C. D. 4. 若将一元二次方程化成的形式，则的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5. 如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，则下列说法正确的是（　　） A. EH＝HG B. △ABO的面积是△EFO的面积的2倍 C. EO＝FO D. 四边形EFGH是平行四边形 7. 下列说法： （1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （2）四条边都相等的四边形是菱形． （3）对角线互相垂直的平行四边形是正方形． （4）四个角都相等的四边形是矩形． 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动．当点Q到达点C时，点P停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒的面积等于，则t的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 2或4 10. 如图，在正方形中，点E、点F分别是边的中点，连接交于点G．连接，若点O，点H分别是的中点，连接，且，则正方形的边长等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根是____________． 12. 已知α，β是一元二次方程的两根，则的值是______． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 14. 如图，在中，，，，作斜边的中线，得到第一个；于点E，作斜边的中线，得到第二个；依此作下去…，则第3个三角形的面积等于____________． 15. 如图，在矩形中，，点E是直线上一动点，将沿折叠，当点D的对应点恰好落到边的中垂线上时，则写出的长为____________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解一元二次方程： （1）（运用适当的方法）； （2）（公式法）； （3）（因式分解法）． 17. 如图，在菱形中， （1）尺规作图：作的角平分线交于点，并在线段上截取，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：平分． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的2倍，求t的值． 19. 如图，在中，，点，，分别是，，的中点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 22. 关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． （1）方程 ____（填“是”或“否”）存在“”点； （2）若关于x的一元二次方程的“”点为，求b，c的值； （3）关于x的一元二次方程是否存在“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 23. [问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点的对应点分别为点．     [问题解决] （1）如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点A逆时针旋转任意角度的过程中，直接写出线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 风华学校数学月考试卷 考试时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需先将各选项方程化为一般形式，再进行判断． 【详解】解：选项含，不是整式方程，不符合． 选项含，两个未知数，不符合． 选项展开得，符合要求． 选项移项化简得，是一元一次方程，不符合． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 矩形的面积等于长与宽的乘积 B. 菱形的对角线平分一组对角 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】可通过举反例判断假命题，重点关注特殊四边形判定定理的适用前提． 【详解】解：A、B、D中的说法均正确， C、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线相等，该说法错误． 3. 由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是（ ） x 13 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察表格的值，确定与16最接近时x的范围即可求解． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程的一个根的范围为， 故选：C． 【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解，观察表格中的数据确定16所在范围是解题的关键． 4. 若将一元二次方程化成的形式，则的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得， ∴ 两边同时加4得， ∴ ， ∵ 方程需化为的形式， ∴ ，， ∴ ． 5. 如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，然后逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴A项不符合题意， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴B项不符合题意， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴C项符合题意， ∵，无法判定平行四边形是矩形， ∴D项不符合题意． 6. 如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，则下列说法正确的是（　　） A. EH＝HG B. △ABO的面积是△EFO的面积的2倍 C. EO＝FO D. 四边形EFGH是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理、相似三角形的性质定理判断即可． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点， ∴EF、FG、GH、HE分别是△OAB、△OBC、△OCD、△OAD的中位线， ∴EH＝AD＝2，HG＝CD＝1，EF∥AB，EF＝AB，HG＝CD，HG∥CD， ∴EH≠HG，A选项错误，不符合题意； ∵EF∥AB，EF＝AB， ∴△EFO∽△ABO，且相似比为 ∴△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，B选项错误，不符合题意； ∵∠ABC不一定为90°， ∴AC与BD不一定相等， ∴EO＝FO不一定成立，C选项错误，不符合题意； ∵EF∥AB，EF＝AB，HG＝CD，HG∥CD，AB∥CD， ∴四边形EFGH是平行四边形，D选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定定理是解题的关键． 7. 下列说法： （1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （2）四条边都相等的四边形是菱形． （3）对角线互相垂直的平行四边形是正方形． （4）四个角都相等的四边形是矩形． 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的判定，根据平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定定理，逐个判断说法正误，统计正确个数即可得解． 【详解】解：（1）由平行四边形判定定理可知，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故（1）正确； （2）由菱形判定定理可知，四条边都相等的四边形是菱形，故（2）正确； （3）对角线互相垂直且相等的平行四边形才是正方形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（3）错误； （4）∵四边形内角和为，四个角都相等，∴每个角的度数为，四个角都是直角的四边形是矩形，故（4）正确． 综上，正确的说法共有3个，因此选C． 8. 为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形确定圆的半径与正方形边长的关系，利用“绿植面积圆面积正方形面积”列出方程即可． 【详解】解：设正方形水池的边长为米， 水池的每条边到圆周的距离均为米，且正方形中心到边的距离为边长的一半， 圆的半径． 绿植部分的面积为平方米， 圆面积正方形面积， 即． 9. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动．当点Q到达点C时，点P停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒的面积等于，则t的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 2或4 【答案】A 【解析】 【分析】用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解． 【详解】解：点从到运动时间为：，点从到运动时间为：， 设点P，Q运动的时间为， ∴, ∴, 解得：或（舍去）． 10. 如图，在正方形中，点E、点F分别是边的中点，连接交于点G．连接，若点O，点H分别是的中点，连接，且，则正方形的边长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点T，连接，证明，推出；由三角形中位线定理推出；设，则，利用勾股定理和等面积法可求出，则，，由勾股定理得，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点T，连接， ∵四边形是正方形， ∴； ∵点E、点F分别是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点O，点H分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点T，点F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根是____________． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先移项将方程整理为一元二次方程标准形式，再用因式分解法求解． 【详解】解：移项得， 提取公因式得， 令各因式等于0得或， 解得，． 12. 已知α，β是一元二次方程的两根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的值，再根据根与系数的关系得到的值，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入方程得：， 即， ∵，是一元二次方程的两根， ∴根据根与系数的关系得：， 将，代入原式得： ． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 【答案】 且 【解析】 【分析】该方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0；方程有实数根，因此根的判别式大于等于0，结合两个条件即可求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，得， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 将，，代入得：， 解得， 综上，的取值范围是且． 14. 如图，在中，，，，作斜边的中线，得到第一个；于点E，作斜边的中线，得到第二个；依此作下去…，则第3个三角形的面积等于____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，易得被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形，根据含度角的直角三角形的性质以及斜边上的中线，推出第n个三角形的面积，即可得出结果. 【详解】解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 同理可得，被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形， ∵是的中线，是的中线，…， ∴第一个等边三角形的边长， 第二个等边三角形的边长， … 第n个等边三角形的边长为， 过点作，则， ∴， 同理，第n个等边三角形的高为， ∴第n个三角形的面积， ∴第3个三角形的面积． 15. 如图，在矩形中，，点E是直线上一动点，将沿折叠，当点D的对应点恰好落到边的中垂线上时，则写出的长为____________． 【答案】4或11 【解析】 【分析】分两种情况：当点E在线段上时和当点E在的延长线上时，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：设线段的中垂线分别交于点H，交于点G， 如图所示，当点E在线段上时， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得； 由中垂线的定义可得， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； 如图所示，当点E在的延长线上时， 同理可得四边形是矩形， ∴， ∴； 由折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的长为4或11． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解一元二次方程： （1）（运用适当的方法）； （2）（公式法）； （3）（因式分解法）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 17. 如图，在菱形中， （1）尺规作图：作的角平分线交于点，并在线段上截取，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：平分． 【答案】（1）如图，，，即为所求． （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交，于，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，再用圆规在上截取，连接； （2）根据菱形的性质，证明，推出，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的2倍，求t的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中， ，，， ∴ ， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴该方程总有两个实数根. （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式进行求解即可； （2）先解方程得出，，再分两种情况：当时，当时，分别列出方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， 解得：，， 方程的一个根是另一个根的2倍， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上，的值为或． 19. 如图，在中，，点，，分别是，，的中点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵点，，分别是，，的中点， ∴，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可证明； （2）过作于，根据等边对等角和三角形内角和定理得出，根据等角对等边得出，结合勾股定理求出，根据菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作于，如图： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，点，分别是，的中点， ∴，， 在中，， 故， ∴菱形的面积． 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 21. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低元 【解析】 【分析】（1）根据9月、11月销售量及月平均增长率相同的条件，列一元二次方程求解； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售量的等量关系列方程，结合尽量减少库存的要求选取对应解． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， ∵9月份销售量为500件，月平均增长率为， ∴11月份销售量为件， 可得方程， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元，则降价后每件利润为元， ∵原每天销售20件，售价每降低1元每天多售出2件， ∴降价后每天销售量为件， ∵每天获利1200元， ∴可得， 解得， ∵要尽量减少库存，即销售量尽可能大， ∴取较大值20， 答：售价应降低20元． 22. 关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． （1）方程 ____（填“是”或“否”）存在“”点； （2）若关于x的一元二次方程的“”点为，求b，c的值； （3）关于x的一元二次方程是否存在“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）是 （2）； （3）解：不存在； 理由：假设关于x的一元二次方程存在“”点，且该点在直线上， 由， 得， 故， 由一元二次方程的根与系数的关系得：， ∵“”点在直线上， ∴， ∴， ∴， 解得：， 把代入得： ， 解得：，， 此时方程的两个解都不是整数，不符合题意， ∴关于x的一元二次方程不存在“”点． 【解析】 【分析】（1）先解一元二次方程，得到方程的两个根，再根据“”点的定义判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得，，进而可得答案； （3）假设存在，根据题意，求出；再根据根与系数的关系得出，将代入直线得：，从而得出，求出m，检验是否符合题意即可． 【小问1详解】 解：由，得， ∴或， 解得，， ∵，为整数， ∴是“”点； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为， ∴，， 故，； 【小问3详解】 略 23. [问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点的对应点分别为点．     [问题解决] （1）如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点A逆时针旋转任意角度的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）四边形是正方形； 理由如下：将绕点按逆时针方向旋转，点，的对应点分别为点，，， ，，， 又延长交于点F， ， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； （3）． 【解析】 【分析】（1）先求出的长度，再求出的长度，最后用减去得到的长． （2）根据旋转的性质得到相关边和角的关系，再结合已知条件进行判断． （3）找到点的运动轨迹，根据点与圆的位置关系来确定的最大值． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 将绕点按逆时针方向旋转度，点，的对应点分别为点，，且点落在上， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是固定值，点是定点，点是动点， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图， 当点、、依次共线时，最大， 此时，， 即线段长度的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $