精品解析：湖南岳阳市第十九中学2026-2027学年九年级上学期第一次质量检测数学试卷

2026年下学期九年级第一次质量检测试卷 数学 温馨提示： 1．本试卷共三道大题，24道小题，满分120分，考试时量120分钟． 2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为，是整式方程，据此判断即可． 【详解】解：、方程中未知数最高次数为，不是一元二次方程； 、方程中含有、两个未知数，不是一元二次方程； 、方程是分式方程，不是一元二次方程； 、方程中只含一个未知数，未知数的最高次数为，且是整式方程，是一元二次方程． 2. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，根据确定斜边与的邻边，利用余弦定义求解． 【详解】解：在中，， 为斜边，为的邻边， ． 3. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用，已知字母的值，求代数式的值．通过配方法将方程化为完全平方形式，确定和的值，即可得的值． 【详解】解：∵ , ∴, ∴, ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4. 如图，的顶点均在正方形网格的格点上，下列阴影部分的三角形与相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：在中， ，，， A、三边分别为，，，则，故与相似，符合题意； B、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意； C、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意； D、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握． 5. 黄金分割最早是由古希腊数学家欧多克索斯提出的，若线段上的一点C将线段分为两部分，其中，那么称点C将线段进行了黄金分割．把长度为的线段进行黄金分割，则分割后较长线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，根据黄金分割的定义直接作答即可． 【详解】解：设线段为，黄金分割点为，较长的边为，根据定义可知， ∴， 故选：D ． 6. 如图，能使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】由题意得，， 若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似， 可判断，故C选项符合题意； A， B， D选项均不能判定，故不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在平行四边形中，交于，交于，，，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，证明，由相似三角形的性质得出，再由平行四边形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 故选：B． 8. 如图，由边长均相等的小正方形组成的网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取在上格点，连接，设小正方形边长为，利用勾股定理及其逆定理可得，，，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：如图，取在上格点，连接，设小正方形边长为， 由网格可知，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 9. 学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处看北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在，两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即，，三点共线，，，三点共线）．已知电线杆，之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，则这条河的宽度为（ ） A. 25米 B. 30米 C. 45米 D. 50米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用．延长交于点，设这条河的宽度为x米．由相似三角形对应高的比等于相似比得到，代入有关数据列方程求解方程，即可得解． 【详解】解：延长交于点，如解图所示． ，， ， 依题意，米，米． 设这条河的宽度为米． ， ． ， 即， 解得． 这条河的宽度为30米． 故选：B． 10. 如图，已知在矩形中，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，当点运动到点时，、两点停止运动．连接，过点E作，垂足为，连接，交于点，交于点，连接．给出下列结论：①∽；②；③；④的值为定值；⑤若，则．上述结论中正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等判定 ，判断①；利用相似三角形性质及互余关系证 ，判断②；通过证明 推导边长比例及定值，判断③④；利用平行线分线段成比例及三角函数定义计算 ，判断⑤. 【详解】解：设运动时间为 ． 四边形 是矩形， ，，． ，， ， ，故①正确； ，． ， ． ， ， ，故②正确； ． ， ． ， ． ， ， ，． ． ， ，即， ， ，即 ． ， ，故③错误； ， ，为定值，故④正确； 若 ，则 ． ， ， ，即 ． ， ， ，即 ． 解得 ． 与是对顶角， ， ， ， 是直角三角形，， ， 前面已证， ，变形得， 代入已知线段比例，得 ， ， ⑤错误． 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】对等式左边拆分变形，即可计算得到的值. 【详解】解：，且已知 移项计算得. 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点O是位似中心，若，则__． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，位似图形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键，根据题意得到，由位似得到，结合题意得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与位似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12 ． 13. 已知m是一元二次方程的一个实数根，则代数式的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，整体代入所求代数式计算即可. 【详解】解：∵ 是一元二次方程的一个实数根， ∴ 把代入方程得 ， ∴ ， ∴ . 14. 在中，，均为锐角，且满足，则__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据平方和绝对值的非负性，得到两个式子分别等于0，求出和的值，再结合特殊锐角的三角函数值得到，的度数，最后利用三角形内角和计算． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ，， 即 ，， ∵ ，均为锐角， ∴ ，， ∴ ． 15. 如图所示，在中，，，于点．若，则的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，含30度角的直角三角形．由，得到，求出，，由含30度角的直角三角形的性质推出． 【详解】解：， ， 于， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．点G是上一点，将沿折叠，使点A的对应点H落在上．若． （1）的度数是______； （2）延长交于M，则的值是______． 【答案】 ①. ##度 ②. 【解析】 【分析】（1）作于点，由题意得点、分别是、的中点，利用矩形的性质与判定证明四边形是矩形，得到，利用翻折的性质得到，在中利用正弦的定义即可求出的度数； （2）作于点，设，结合表示出的长，通过证明得出，由翻折的性质得，，在中利用正切的定义得到，利用求出的长，再分别解和求出、的长，即可求解的值． 【详解】解：（1）如图，作于点，则， 矩形纸片， ，，， 由题意得，点、分别是、的中点， ，， ， 又，， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 由翻折的性质得，， 在中，， ，即． 故答案为：； （2）如图，作于点，则， 设，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ，即， ， 由（1）得，，， ， 由翻折的性质得，， ， 在中，， ， ， ，即 ， 在中，， ， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折的性质、矩形的性质与判定、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的性质与判定，结合图形作垂线构造直角三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 三、解答题（共8小题） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴或， ∴，． 19. 如图，在中，，是边上一点，连接，，． （1）求的长． （2）求的值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦的定义求出的长，再利用勾股定理即可求解； （2）根据等腰三角形三线合一性质得到，得出，在中利用正切的定义即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 由（1）得，，， ∴在中，． 20. 如图，在中，点，分别是边和上的点，． （1） 求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， 又，， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证； （2）由（1）可知，则有，然后可得，进而根据三角函数可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 21. 小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 【答案】（1）旗杆的高度为6米 （2）小水坑F到小明的距离的长为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解： ， ． ， ． ． ， ． ． ． 经检验，是原分式方程的解． 答：旗杆的高度为6米． 【小问2详解】 解：由题意得： ，， ． ． ． ． 即 经检验：是原分式方程的解． 答：小水坑F到小明的距离的长为米． 22. 某学校开展综合实践活动，如图，，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到E点的距离为．楼房底层窗台P处至地面C处的高度为，在点P处观察点B的仰角为，底部C距F处距离为．图中所有点均在同一平面内，． （1）求山坡的垂直高度； （2）求楼房的高度． （参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】（1）山坡的垂直高度约为 （2）楼房的高度约为 【解析】 【分析】（1）直接解求出的长即可得到答案； （2）延长交直线于点Q，则，过点P作于点G，则四边形 和四边形都是矩形，由矩形的性质得到，解得到，则可得到，解求出的长，进而可求出的长． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， ∴山坡的垂直高度约为． 【小问2详解】 解：如图，延长交直线于点Q，则，过点P作于点G， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴楼房的高度约为． 23. 综合与实践 【问题发现】（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接， ①求证：． ②当正方形的边长为，时，则__________． 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接．若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①证明：四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ； ② （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）①由证明，可得结论； ②先求出，利用全等得出，根据勾股定理求出结论即可； （2）通过证明，可得； （3）求出，设则，分三种情况解答，由勾股定理建立方程即可求出答案． 【详解】（1）①略 ②四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：，， ， 根据直径所对的圆周角是，可得点，点，点，点在为直径的圆上， 点，点，点，点四点共圆， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：①当在线段上时，由（2）知：， ， ， M为斜边的中点， ， 由（2）知， ， ， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 或， 当时，，不符合题设，舍去， ∴此时； ②如图，当在延长线上时， 同（2）可证：， ∴， ， ， 同（3）①可证：， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ， ， 设，则， ， ， ， 或， 当时，，不符合题设，舍去； ∴此时； ③如图，当点在延长线上时， 同（2）可证：， ∴， ， ， 同（3）①可证：， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ， ， 设，则， ， ， ， ， 或，均不符合题设，舍去； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 在平行四边形中，E，F分别是相邻边上的一点． （1）如图①，若E是的中点，F是上一点，连接，交于点G，当时，试说明线段与的数量关系，并说明理由；（提示：过点E作交于点H） （2）如图②，若平行四边形为正方形，E，F分别是，的中点，连接，点G是上一点，，，求的长； （3）如图③，若四边形是菱形，E是的中点，F是上一点，连接，，为的平分线，过点F作，交于点G，若，，求的长． 【答案】（1）解∶ ， 理由：过点E作交于点H， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1） 过点E作交于点H，证明，根据相似三角形的性质可求出，证明，根据相似三角形的性质可求出，然后结合平行四边形的性质求解即可； （2）延长交于H，过E作于K，证明，得出，，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质可求出，最后解直角三角形即可； （3）过点C作于N，分别延长和交于点M，证明，得出，根据，，得出，求出，根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，根据等角对等边得出，证明，根据相似三角形的性质得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交于H，过E作于K， ∵正方形中， ∴，，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：过点C作于N，分别延长和交于点M， ∵菱形中， ∴，，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期九年级第一次质量检测试卷 数学 温馨提示： 1．本试卷共三道大题，24道小题，满分120分，考试时量120分钟． 2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 4. 如图，的顶点均在正方形网格的格点上，下列阴影部分的三角形与相似的是（　　） A. B. C. D. 5. 黄金分割最早是由古希腊数学家欧多克索斯提出的，若线段上的一点C将线段分为两部分，其中，那么称点C将线段进行了黄金分割．把长度为的线段进行黄金分割，则分割后较长线段的长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，能使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，交于，交于，，，则的长为（    ） A. B. C. D. 8. 如图，由边长均相等的小正方形组成的网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处看北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在，两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即，，三点共线，，，三点共线）．已知电线杆，之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，则这条河的宽度为（ ） A. 25米 B. 30米 C. 45米 D. 50米 10. 如图，已知在矩形中，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，当点运动到点时，、两点停止运动．连接，过点E作，垂足为，连接，交于点，交于点，连接．给出下列结论：①∽；②；③；④的值为定值；⑤若，则．上述结论中正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则的值为__________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点O是位似中心，若，则__． 13. 已知m是一元二次方程的一个实数根，则代数式的值等于__________． 14. 在中，，均为锐角，且满足，则__________． 15. 如图所示，在中，，，于点．若，则的长是_________． 16. 如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．点G是上一点，将沿折叠，使点A的对应点H落在上．若． （1）的度数是______； （2）延长交于M，则的值是______． 三、解答题（共8小题） 17. 计算：． 18. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 19. 如图，在中，，是边上一点，连接，，． （1）求的长． （2）求的值． 20. 如图，在中，点，分别是边和上的点，． （1） 求证：； （2）若，求的长． 21. 小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 22. 某学校开展综合实践活动，如图，，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到E点的距离为．楼房底层窗台P处至地面C处的高度为，在点P处观察点B的仰角为，底部C距F处距离为．图中所有点均在同一平面内，． （1）求山坡的垂直高度； （2）求楼房的高度． （参考数据：，，，，结果精确到） 23. 综合与实践 【问题发现】（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接， ①求证：． ②当正方形的边长为，时，则__________． 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接．若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 24. 在平行四边形中，E，F分别是相邻边上的一点． （1）如图①，若E是的中点，F是上一点，连接，交于点G，当时，试说明线段与的数量关系，并说明理由；（提示：过点E作交于点H） （2）如图②，若平行四边形为正方形，E，F分别是，的中点，连接，点G是上一点，，，求的长； （3）如图③，若四边形是菱形，E是的中点，F是上一点，连接，，为的平分线，过点F作，交于点G，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $