精品解析：江苏南京市金陵汇文学校2026-2027学年第一学期九年级学情自测数学卷（10月）

2026~2027学年第一学期金陵汇文中学自测卷 九年级数学（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将一根木棒的一端固定在点，另一端绑一重物．将此重物拉到点后放开，让此重物由点摆动到点．则此重物移动路径的形状为（ ） A. 水平直线 B. 倾斜直线 C. 两条线段组成的折线 D. 圆弧 3. 一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），此管件的直径为，测得水的深度为，则水面宽为（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数图象上有两个点和点，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知方程的两根为，．记，，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 6. 若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积为（    ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 已知中最大的弦长为4，则圆的半径为______． 8. 用配方法将方程变形为，则的值是______． 9. 已知、是一元二次方程的两根，则的值是______． 10. 列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到______． 11. 若函数是反比例函数，则______． 12. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接，，若的面积为5，则k的值是_____． 13. 已知的半径是1，、分别是的弦，且，，则______． 14. 如图在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限，点在线段上，点在的右侧，和都是等腰直角三角形，，若函数的图象经过点，且与的面积之差为3，则______． 15. 如图，是的直径，弦交于，且，，且，则弦的长为______． 16. 如图，点、在反比例函数的图像上，点、在轴上，、均为正三角形，则点 坐标是______. 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4） 18. 如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 19. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论取何值时，该方程总有实数根； （2）此方程的两个实数根可能都是负根吗？判断并说明理由． 20. 如图，将矩形放在直角坐标系中，其中顶点的坐标为，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点F． （1）求的坐标及的值； （2）求的长度． 21. 某农户去年种植了10亩花生，亩产量为．今年种植新品种花生后，亩产量增加，但种植面积有所减少，已知亩产量的增长率是种植面积减少率的2倍．已知今年花生的总产量为．求种植新品种花生后亩产量的增长率． 22. 如图，点是直角坐标系第三象限内的一个点． （1）求作，使得经过、两点且圆心在轴上；（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若点的坐标为，求的半径． 23. 已知关于的方程有两个不相等的实数根、． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 24. 如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． （1）求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； （2）生活委员到校打开电源，请通过计算说明：当第一节课下课时（），同学们能否喝到不高于的温水． 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）求的面积； （3）结合完整的函数图象，请直接写出不等式的解集． 26. 解决下列问题： （1）已知实数、满足，试证明：、至少有一个为0； （2）试解下列方程： ①； ②． 27. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，方程的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”． （1）下列方程是“二倍根方程”的有______；（填序号即可） ①；②；③ （2）如果关于的方程是“二倍根方程”，求的值； （3）如果点在反比例函数的图象上，求证：关于的方程是“二倍根方程”； （4）若关于的方程（、是常数，）是“二倍根方程”，令，试求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期金陵汇文中学自测卷 九年级数学（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义判断作答即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 则“□”含，可以是， 故选：C． 2. 如图，将一根木棒的一端固定在点，另一端绑一重物．将此重物拉到点后放开，让此重物由点摆动到点．则此重物移动路径的形状为（ ） A. 水平直线 B. 倾斜直线 C. 两条线段组成的折线 D. 圆弧 【答案】D 【解析】 【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点A的运动轨迹是以O为圆心，为半径的一段圆弧． 3. 一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），此管件的直径为，测得水的深度为，则水面宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵此管件的直径为， ∴， ∵水的深度为， ∴， ∴， ∵， ∴． 4. 已知反比例函数图象上有两个点和点，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据反比例函数图象上点的特点得出，，即与同号，与同号，然后分情况讨论即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，，即与同号，与同号， 若、同号，∵， ∴，即，与已知矛盾， ∴、异号， ∴、异号， ∵， ∴， ∴． 5. 已知方程的两根为，．记，，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察所求式结构，提取公因式凑出方程左边的形式，结合根的定义求解． 【详解】解：∵ ,是方程的根． ∴ ,． ． 故选：． 6. 若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，利用换元的思想是解决问题的关键． 把方程看作关于的一元二次方程，则利用关于的方程的两根为得到，然后利用根与系数的关系即可解答本题． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 设关于的方程的两根为， 则方程的两根为， 关于的方程的两根之和为，两根之积为， ， ． 故选：D． 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 已知中最大的弦长为4，则圆的半径为______． 【答案】2 【解析】 【分析】圆中最大的弦为直径，已知直径长度，利用半径是直径长度的一半计算即可得到结果． 【详解】解：∵圆中最大的弦是直径，中最大的弦长为， ∴的直径为． ∵圆的半径等于直径的， ∴半径为． 8. 用配方法将方程变形为，则的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-4x-1=0， 移项得：x2-4x=1， 配方得：x2-4x+4=5，即（x-2）2=5， 所以m=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤： （1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可； （2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方． 9. 已知、是一元二次方程的两根，则的值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对所求代数式变形代入计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 ． 根据根与系数的关系可得，， ∴ ． 10. 列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到______． 【答案】300 【解析】 【分析】设利用待定系数法求解反比例函数解析式，把代入函数解析式求解的值，结合图象上点的坐标含义可得答案． 【详解】解：由题意设， 把代入得：， ， 当h时，， 由函数图象可得，随着的增大而减小， 所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到． 11. 若函数是反比例函数，则______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵为反比例函数时，的次数为， ∴， 解得． 12. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接，，若的面积为5，则k的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：连接，如图， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 13. 已知的半径是1，、分别是的弦，且，，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】弦、可在半径的同侧或异侧，需分两种情况讨论，连接，证明是等边三角形，求出，证明是直角三角形，得到，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，当点B和点C在半径的同侧时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； 如图所示，当点B和点C在半径的异侧时，连接， 同理可得，， ∴； 综上所述，的度数为或． 14. 如图在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限，点在线段上，点在的右侧，和都是等腰直角三角形，，若函数的图象经过点，且与的面积之差为3，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意可设，则，由于函数的图象经过点，故，再由与的面积之差为3求解． 【详解】解：∵，和都是等腰直角三角形，， ∴设， 则， ∵函数的图象经过点， ∴ ∵与的面积之差为3， ∴ ∴． 15. 如图，是的直径，弦交于，且，，且，则弦的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点O作于点E，连接，根据圆的性质可求出，由垂径定理得到，证明是等腰直角三角形，则可求出，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于点E，连接， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，点、在反比例函数的图像上，点、在轴上，、均为正三角形，则点 坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正三角形的性质得出OE=EB=1，设BF=m，进而表示出C点的坐标，代入解析式即可得出m的值，进而得出C点的坐标． 【详解】作AE⊥OB于E，CF⊥BD于F， ∵△OAB,△BCD均为正三角形,A在反比例函数， 设A的横坐标是−1， 则A的纵坐标是−， ∴OE=1,OA=2OE=2,AE=， ∴易求OE=EB=1， 设BF=m， 则C(−2−m, -m)， 代入得： m2+2m−1=0， 解得：m=−1±， ∵m>0， ∴m=−1+， ∴点C的坐标为：. 【点睛】本题考查反比例函数综合题，解题的关键是掌握反比例函数的应用和正三角形的性质. 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 18. 如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 【答案】证明：连接． 在中， ， ， ，、分别是半径和的中点， ， ， ， ． 【解析】 【分析】连接，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得． 【详解】略 19. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论取何值时，该方程总有实数根； （2）此方程的两个实数根可能都是负根吗？判断并说明理由． 【答案】（1）证明：． ∵， ∴． ∴不论取何值，该方程总有实数根 （2）解：不可能．理由： 设方程两根为，， 根据韦达定理，． 若两个根都是负数，则两根之和应为负数，与矛盾， 故此方程的两个实数根不可能都是负根． 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式证明即可； （2）求出两根之和，可知此方程的两个实数根不可能都是负根． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 20. 如图，将矩形放在直角坐标系中，其中顶点的坐标为，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点F． （1）求的坐标及的值； （2）求的长度． 【答案】（1）的坐标为，的值为30 （2）的长度为 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理求解，然后设，结合折叠性质可得，然后对运用勾股定理求解，即可求解点坐标，再由待定系数法求解反比例函数表达式； （2）求出点F的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴，，． 由折叠的性质可知，． 在中，由勾股定理得：． ∴． 设，则， ∴． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得． ∴． ∵点在上， ∴点的坐标为． ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得． 答：的坐标为，的值为30； 【小问2详解】 解：由（1）得反比例函数的解析式为． ∵点在边上，且， ∴点的纵坐标为8． 当时，，解得． ∴点的坐标为． ∴． 答：的长度为． 21. 某农户去年种植了10亩花生，亩产量为．今年种植新品种花生后，亩产量增加，但种植面积有所减少，已知亩产量的增长率是种植面积减少率的2倍．已知今年花生的总产量为．求种植新品种花生后亩产量的增长率． 【答案】种植新品种花生后亩产量的增长率为 【解析】 【详解】解：设种植新品种花生后亩产量的增长率为． ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：种植新品种花生后亩产量的增长率为． 22. 如图，点是直角坐标系第三象限内的一个点． （1）求作，使得经过、两点且圆心在轴上；（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若点的坐标为，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）圆心M一定在线段的垂直平分线上，故作线段的垂直平分线交x轴于点M，再以M为圆心， 的长为半径画圆即可； （2）设点M的坐标为，根据，即建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设点M的坐标为， 由圆的性质可得，则 ∴， ∴ ∴， 解得， ∴圆心的坐标为． ∴的半径为． 23. 已知关于的方程有两个不相等的实数根、． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）的取值范围是且； （2）不存在，理由如下： 由根与系数的关系得： ，， 代入得：， ∵两边同时乘得：， 解得， ∵，不符合的取值范围， ∴不存在实数使得． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，再根据方程有两个不相等的实数根得到，据此解不等式组即可； （2）由根与系数的关系得，，代入，可得关于的方程，求解并检验即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 计算判别式： ， ， 解得， 综上，的取值范围是且； 【小问2详解】 略 24. 如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． （1）求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； （2）生活委员到校打开电源，请通过计算说明：当第一节课下课时（），同学们能否喝到不高于的温水． 【答案】（1）加热阶段的函数表达式为，水温下降阶段的函数表达式为 （2）同学们能喝到不高于的温水 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求解即可； （2）判断出时，饮水机处于第4个周期的第10分钟，则此时处于水温下降阶段，将代入反比例函数表达式求出函数值，再与比较即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，加热阶段与是一次函数关系． 设加热阶段的函数表达式为． 因为初始水温为， 所以． 因为每分钟上升， 所以． 所以加热阶段的函数表达式为． 当时，， 解得． 所以加热阶段的函数表达式为． 由题意可知，水温下降阶段与成反比例关系． 设水温下降阶段的函数表达式为． 因为图象经过点， 所以， 解得． 所以水温下降阶段的函数表达式为． 当时，， 解得． 所以水温下降阶段的函数表达式为． 综上：加热阶段的函数表达式为， 水温下降阶段的函数表达式为； 【小问2详解】 解：从到经过的时间为：1小时10分钟分钟． 由（1）可知，一个周期的时间为20分钟．． 所以时，饮水机处于第4个周期的第10分钟． 因为， 所以此时处于水温下降阶段． 将代入，得． 因为， 所以同学们能喝到不高于的温水． 答：同学们能喝到不高于的温水． 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）求的面积； （3）结合完整的函数图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入求出反比例函数关系式，进而将代入得到，将、代入求解即可； （2）求出点的坐标，根据割补法计算即可； （3）根据题意画出函数图象，进而作答即可． 【小问1详解】 解：将代入得：，即， ∴， 将代入得， ∴， 将、代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时， 解得， 即， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：即， 作及的图象如下： 可知不等式的解集为或． 26. 解决下列问题： （1）已知实数、满足，试证明：、至少有一个为0； （2）试解下列方程： ①； ②． 【答案】（1）证明：， ∵， ∴， ∴， ∴或， 即、至少有一个为0； （2）①，； ②，，，． 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式将原式化为，即可证明； （2）①结合（1）的结论根据因式分解法求解即可； ②结合（1）的结论先将原方程化为，得到或，分别根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：， ∴， 同（1）得， 或， 解得，； ②解：， ∴， 同（1）得， 或， 当时，， 或， 解得，， 当时，， 或， 解得，． 27. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，方程的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”． （1）下列方程是“二倍根方程”的有______；（填序号即可） ①；②；③ （2）如果关于的方程是“二倍根方程”，求的值； （3）如果点在反比例函数的图象上，求证：关于的方程是“二倍根方程”； （4）若关于的方程（、是常数，）是“二倍根方程”，令，试求的最大值． 【答案】（1）① （2）18 （3）证明：设一元二次方程两根为，，不妨设． 由韦达定理可得，， 消去，得二倍根方程满足关系式：． ∵点在反比例函数图象上， ∴． 方程中，，，． 验证： 左边，右边． ∴成立， 该方程满足二倍根方程条件． ∴方程是“二倍根方程”； （4）的最大值为3 【解析】 【分析】（1）分别求解每一个方程的根，再根据定义判断即可； （2）由题意设方程两根为，，然后根据韦达定理求解即可； （3）根据韦达定理得到二倍根方程满足关系式：，即可证明； （4）方程是二倍根方程，则，则本问中得到，将代入，得到，然后配方求解最值即可． 【小问1详解】 解：①，因式分解得， 根为，，一根是另一根的2倍，是二倍根方程； ②， 可得两个根为0，2，不满足一根是另一根的2倍，故不是二倍根方程； ③， 因式分解得， 可得两个根为，3，不满足一根是另一根的2倍，故不是二倍根方程； 故填：①； 【小问2详解】 解：由题意设方程两根为，． 由韦达定理可得， 解得， ∴两根为和， 由韦达定理可得， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：方程是二倍根方程，则，这里： ∴， ∴ 将代入： ． 配方：． ∵ ∴ ∴ ∴当时，取得最大值3． 此时，符合条件． 综上，的最大值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $