江苏南京市金陵汇文学校2026-2027学年第一学期九年级学情自测数学卷（10月）

2026~2027学年第一学期金陵汇文中学自测卷 九年级数学（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将一根木棒的一端固定在点，另一端绑一重物．将此重物拉到点后放开，让此重物由点摆动到点．则此重物移动路径的形状为（ ） A. 水平直线 B. 倾斜直线 C. 两条线段组成的折线 D. 圆弧 3. 一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），此管件的直径为，测得水的深度为，则水面宽为（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数图象上有两个点和点，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知方程的两根为，．记，，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 6. 若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积为（    ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 已知中最大的弦长为4，则圆的半径为______． 8. 用配方法将方程变形为，则的值是______． 9. 已知、是一元二次方程的两根，则的值是______． 10. 列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到______． 11. 若函数是反比例函数，则______． 12. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接，，若的面积为5，则k的值是_____． 13. 已知的半径是1，、分别是的弦，且，，则______． 14. 如图在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限，点在线段上，点在的右侧，和都是等腰直角三角形，，若函数的图象经过点，且与的面积之差为3，则______． 15. 如图，是的直径，弦交于，且，，且，则弦的长为______． 16. 如图，点、在反比例函数的图像上，点、在轴上，、均为正三角形，则点 坐标是______. 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4） 18. 如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 19. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论取何值时，该方程总有实数根； （2）此方程的两个实数根可能都是负根吗？判断并说明理由． 20. 如图，将矩形放在直角坐标系中，其中顶点的坐标为，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点F． （1）求的坐标及的值； （2）求的长度． 21. 某农户去年种植了10亩花生，亩产量为．今年种植新品种花生后，亩产量增加，但种植面积有所减少，已知亩产量的增长率是种植面积减少率的2倍．已知今年花生的总产量为．求种植新品种花生后亩产量的增长率． 22. 如图，点是直角坐标系第三象限内的一个点． （1）求作，使得经过、两点且圆心在轴上；（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若点的坐标为，求的半径． 23. 已知关于的方程有两个不相等的实数根、． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 24. 如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． （1）求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； （2）生活委员到校打开电源，请通过计算说明：当第一节课下课时（），同学们能否喝到不高于的温水． 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）求的面积； （3）结合完整的函数图象，请直接写出不等式的解集． 26. 解决下列问题： （1）已知实数、满足，试证明：、至少有一个为0； （2）试解下列方程： ①； ②． 27. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，方程的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”． （1）下列方程是“二倍根方程”的有______；（填序号即可） ①；②；③ （2）如果关于的方程是“二倍根方程”，求的值； （3）如果点在反比例函数的图象上，求证：关于的方程是“二倍根方程”； （4）若关于的方程（、是常数，）是“二倍根方程”，令，试求的最大值． 2026~2027学年第一学期金陵汇文中学自测卷 九年级数学（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 【7题答案】 【答案】2 【8题答案】 【答案】5 【9题答案】 【答案】6 【10题答案】 【答案】300 【11题答案】 【答案】3 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】或 【14题答案】 【答案】6 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【17题答案】 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【18题答案】 【答案】证明：连接． 在中， ， ， ，、分别是半径和的中点， ， ， ， ． 【19题答案】 【答案】（1）证明：． ∵， ∴． ∴不论取何值，该方程总有实数根 （2）解：不可能．理由： 设方程两根为，， 根据韦达定理，． 若两个根都是负数，则两根之和应为负数，与矛盾， 故此方程的两个实数根不可能都是负根． 【20题答案】 【答案】（1）的坐标为，的值为30 （2）的长度为 【21题答案】 【答案】种植新品种花生后亩产量的增长率为 【22题答案】 【答案】（1） （2） 【23题答案】 【答案】（1）的取值范围是且； （2）不存在，理由如下： 由根与系数的关系得： ，， 代入得：， ∵两边同时乘得：， 解得， ∵，不符合的取值范围， ∴不存在实数使得． 【24题答案】 【答案】（1）加热阶段的函数表达式为，水温下降阶段的函数表达式为 （2）同学们能喝到不高于的温水 【25题答案】 【答案】（1）， （2） （3）或 【26题答案】 【答案】（1）证明：， ∵， ∴， ∴， ∴或， 即、至少有一个为0； （2）①，； ②，，，． 【27题答案】 【答案】（1）① （2）18 （3）证明：设一元二次方程两根为，，不妨设． 由韦达定理可得，， 消去，得二倍根方程满足关系式：． ∵点在反比例函数图象上， ∴． 方程中，，，． 验证： 左边，右边． ∴成立， 该方程满足二倍根方程条件． ∴方程是“二倍根方程”； （4）的最大值为3 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $