江苏泰州市靖江市实验学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测九年级数学试题

数学试卷（第①次月考） （满分150分 考试时间120min） 一、选择题（18分） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列两个图形，一定相似的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形 C. 两个等边三角形 D. 两个直角三角形 3. 如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A. B. C. D. 5. 小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数与反比例函数的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M作轴，轴，垂足分别为A，B；过点N作轴，轴，垂足分别为C，D．记矩形的面积为，周长为，记矩形的面积为，周长为，下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（30分） 7. 已知线段，线段是线段的比例中项，那么______________． 8. 关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为 ___________． 9. 在比例尺为的地图上，小聪量得我市和某市的直线距离是，则实际距离是 ___________． 10. 已知方程：的两根为、，则代数式的值为_____． 11. “浔阳江头夜送客，枫叶荻花秋瑟瑟”，枫叶自古以来都是深秋时节的象征，被赋予一种优伤、愁虑的意象．如图是一片枫叶，其叶尖到叶柄末端可近似看作线段，点B是的黄金分割点（）．经测量得知的长度为14厘米，则的长度为______厘米．（结果保留根号） 12. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，x的取值范围是____________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为_________． 14. 如图，在 中，D，E分别是， 的中点，点F在 的延长线上．若 的面积是3，则 的面积是_______． 15. 如图，在中，为重心，过点的直线，交于点，交于点，，________． 16. 关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，）有两个相等的实数根．若m，n为不相等的非零实数，当，，时，代数式的值为________． 三、解答题（102分） 17. 解方程 （1）；（配方法） （2） 18. 如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，． （1）是________三角形 （2）以点B为位似中心，在点B的下方画出,使与位似，且位似比为． （3）若内部有一点，直接写出经过（2）中位似变换后的对应点的坐标为________ 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根． （2）若的一条边的长为5，另两边，的长是一元二次方程的两个实数根．当m为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 20. 2025年粤港澳大湾区全运会筹备工作全面推进，赛事周边文创产品市场热度持续攀升．某文创企业推出“活力大湾区”系列吉祥物智能手办，融合AR互动、赛事资讯实时推送等功能，一经推出便受到市场热烈追捧．市场调研显示，当每个智能手办售价为200元时，月销售量为3000件；在此基础上，售价每上涨5元，月销售量将减少50件，从生产部门得知，该系列智能手办的生产成本为每件120元．在充分考虑全运会期间市场竞争的情况下，为使月销售利润达到36万元，且使得销量尽可能多，该企业应将智能手办的实际售价定为多少元/件？ 21. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法．               （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高，此时，小组同学测得旗杆的影长为11.3m，据此可得旗杆高度为______； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为______； （3）如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小组同学测得小王的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 22. 通过实验研究发现，初中生在课堂中的专注度随着上课时间的变化而变化，刚上课时，学生兴趣激增，10分钟后保持平稳一段时间，20分钟后注意力开始分散．若学生的专注度y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）______． （2）当时，求y与x的函数关系式． （3）数学老师讲一道函数综合题需要25分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60？请说明理由． 23. 如图，在中，在延长线上取一点P，连接交于点E，且 （1）求的值． （2）若的面积为9，求的面积． 24. 如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且． （1）求证：； （2）如果平分，求证：． 25. 如图，在正方形中，是边上一动点（不与端点重合），连接，作关于的对称图形． （1）如图1，延长交于点P，与相等吗？证明你的结论． （2）如图2，当时，连接交于点G，求的值． （3）如图3，连接交于点M，连接并延长交于点N，求证∶． 26. 如图，点A在反比例函数的图象上，过A分别作x轴、y轴的平行线，与反比例函数，的图象相交于点B，C，过C作x轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点D（其中，为常数，且）． （1）若点，，则_________． （2）若点A的横坐标为2，且，求与之间的数量关系． （3）延长，相交于点P，当点A在函数图象上运动时，点P在y轴上吗？请说明理由． 数学试卷（第①次月考） （满分150分 考试时间120min） 一、选择题（18分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 二、填空题（30分） 【7题答案】 【答案】6 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】150 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】## 【12题答案】 【答案】或 【13题答案】 【答案】或 【14题答案】 【答案】6 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 三、解答题（102分） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）等腰直角 （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） 证明：一元二次方程为， 其判别式 . ∵ 无论取何值，，即， ∴ 无论为何值，方程总有两个实数根. （2）当时，是以为斜边的直角三角形 【20题答案】 【答案】该企业应将智能手办的实际售价定为元/件 【21题答案】 【答案】（1）11.3 （2）11.2 （3）旗杆的高度约为11.4米 【22题答案】 【答案】（1）20 （2） （3） 解：经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60． 理由如下： 由题意得：， 解得， ， 经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60． 【23题答案】 【答案】（1） （2）16 【24题答案】 【答案】（1） 证明：， ， ， 又在中，点为中点， ， ， ； （2） 证明：平分， ， ， ， 又点是中点，， ， ， ∵ ， ， ． 【25题答案】 【答案】（1）解：，证明如下： 如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 由对称可得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） （3）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由对称可得，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵在正方形中，是对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【26题答案】 【答案】（1）5 （2） （3）解：当点A在函数图象上运动时，点P在y轴上，理由如下： 如图所示， 设点的坐标为， ∵轴，轴， ∴点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵点、在的图象上， ∴，即，， ∴，， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴点的纵坐标为， ∵点在的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴，，， ∴，， 根据题目条件得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即点P在y轴上， ∴当点A在函数图象上运动时当点A在函数图象上运动时，点P在y轴上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $